2025年高考数学一轮复习：等式性质与不等式性质（附答案解析）

等式的性质与不等式的性质-一轮复习考点专练

核心考点1不等式关系判断

角度1不等关系判断

6c74

—<〃+/?<—c

53

77

1.若正实数。，瓦。满足不等式组a<b+c<—a则<7,b,c的大小关系为（)

6

〜H

2b<c+a<——b7

4

A.b<a<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

2.设。，b为正实数，则下列不等式正确的是（）

aba+b

A.>

a+b4

a+ba2+b2

C.D.

2-Vab

3.设°=6+20，b=2+不，则"，b的大小关系为.

角度2不等条件下不等式关系的判断

4.已知a>0,6eR,则是“同>网”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.下列不等式中，一定成立的是（

2c2C

A.若a>Z?>O,c£R,贝IJ土〈土B.若a>6>0,ceR,贝I]4c

ab

C.若〃<b<0,贝!J"〉康〉/D.若。<6<0,则片+4<加+6

6.已知a,）,ceR,则下列命题为真命题的序号是.

①若左:疝，则6<。；②若/>/>3且必<0,则③若a〉b>c>。,则，>广二

abbb+c

ah

④若c>b>a>0,则---->----•

c—ac-b

核心考点2数式大小比较

角度1作差法比较大小

7.已知Q=log32,Z?=log43,c=log54,则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b

8.下面命题是真命题的是（）

A.若a>b>0,则,<IB.若Ivav2,3v〃v5,贝让<@<2

ab3/75

C.若a>b>0,则D.若Z?vav—1,贝U—<------

a+baa+1

9.若等比数列前〃项和为S〃（q>0M>0）,比较S£+2与S3的大小.

角度2作商比较大小

Z7h

10.已知H>Z?>0,且而=1,若把不，29），师按从小到大的顺序排列，则排在中

间的数（）

A.一定是不B.一定是2%+3

生日b

C.一定7HmD.不能确定，与的值有关

11.已知。力£（0,+oo）,4=a+b,〃=J3ab，则（）

A.A-//<0B.X—〃20

巴&昱D.幺>走

C.

厂2A2

丁口口32X52X-x（2n+l）2,

12.证明：—\——\-------------—>«+1.

22X42X.X（2M）2

角度3利用常见不等式比较大小

13.命题［x+y|+|x-y|V2”是“同（1,且闻41”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

14.我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由y=lnx在点（0,1）处的切线y=x-l写

W4-1

出不等式InxVx-1,进而用二替换x得到一系列不等式，叠加后有

n

++:+:+…这些不等式体现了数学之美.运用类似方法推导，下面的不等式正

v723n

确的有（）

n（n-l）

A，n!<e2

试卷第2页，共6页

111

B.-+-+lnn(n>2)

23n

C.

D.

22

15.设。、b是正实数，以下不等式①疝>1；®a>\a-b\-b；@a+b>4ab-3b\

a+b

2

④ab+=>2恒成立的序号为____.

ab

角度4利用函数单调性比较大小

16.若实数尤,yz满足,2=xz,z=ln（x+y）-x-y,则下列不等式错误的是（）

A.In（尤+y）〈尤+yB.尤>0C.y>0D.z<x<y

17.若。则下列不等式正确的是（）

A.log2019a>log2019bB.logca>logba

C.（c-b）ac>（c-b）abD.{a—c~）ac>（a—c）ab

18.已知a+3"=b+5"=3,则下列不等关系正确的是（）

A.0<a<b<lB.0<b<a<l

C.b+3a<a+5bD.b]na>alnb

核心考点3不等式的证明

角度1利用不等式的性质证明不等式

19.已知6g糖水中有华糖（匕>。>0）,往糖水中加入〃担糖（加>0）,（假设全部溶解）

糖水更甜了.

（1）请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式.

（2）利用（1）的结论证明命题：“若在口ABC中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则

cab..

---<----+----”

1+c1+a1+Z?

20.已知。>0*>0,3/伍4-1）=k（1_0.证明：

⑴当。>1时，0<&<1；

(2)a3b+3ab3>2y/3.

2,,1、」111,

21.证明:—(1---)<----1—z----FH------<1,nGN*.

3T2+122+12"+1

角度2利用基本不等式证明不等式

22.已知a〉0,Z?>0,—+—=2.

ab

(1)证明：----+-一7Vl.

〃+1b+1

Q

(2)证明：3abH-----V5+/+Z??.

a+b

23.已知b,c都是正数，且a+b+c=l,证明:

111c

(1)-+-+->9；

abc

b+cc+aa+b、r~r~

(2)—l—7=~—~j=~218,abc.

7ay/b7c

24.若小(0+孙则五£+总片|.

abah

⑴若存在常数使得不等式------------1------------<M<——+-一对任意正数。，b恒成立,

2a+ba+2ba+2b2a+b

ab

试求常数"的值，并证明不等式：M<------------1------------

a+2b2a+b

abab

(2)证明不等式:---+------<----—i---------------.

3a+2b2Q+3b2a+3b3Q+2b

角度3利用函数性质证明不等式

25.已知函数/(%)=siiu,且

⑴求”0+了a+的最大值

(2)写出/(«)+/(«+/?)与〃夕)的大小关系，并给出证明

⑶试问〃。)J(01(a+£)能否作为一ABC三边长？若能，给出证明，并探究，ABC的外

接圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由.

26.函数〃耳=竺士(Z?>0).

bx

⑴求“X)的单调区间(不需要证明);

(2)〃>0,%+%>°，x2+x3>0,冗1+兀3>0,|^|>-7=(/=1,2,3),求证:

7a

/(xj+/(3)+/(x；)>半^

b

27.设连续函数“X)的定义域为可，如果对于可内任意两数占,9,都有

x+x三/(占)+/5)玉+x>“尤1)+〃％)

12，则称〃》)为可上的凹函数;若了2

2222

试卷第4页，共6页

则称“X)为凸函数.若“X)是区间可上的凹函数，则对任意的石,马,•，/e[a,句，有琴

生不等式再+/++%]<"占)+小2)++"%)恒成立(当且仅当%=X?==X,时

\nJn

等号成立).

⑴证明：〃司=——在似1)上为凹函数；

(2)设芯,工2，，%>°，〃之2,且%+%2++Z=1,求W=丁匚+7^^++/”一的最小值；

]—X1-x2L—Xn

111n

⑶设。£名为大于或等于i的实数，证明：口1+亦++”之M,+1.(提示:

可设4=e")

核心考点4利用不等式求值或取值范围

28.已知-iWx+yWl,1<x—<3,则3x-2y的取值范围是()

A.2<3x-2y<8B.3«3x-2yK8C.2<3x-2y<7D.5<3x-2y<10

29.对于正数a,b,有(2ab+l)(a+b)=6ab,则a+b的取值范围是()

A.(0,1]B.[1,6]C.[1,2]D.[2,+a)]

a—2c

30.已知三个实数〃、b、c,其中c>0为W2a+3c且秘=",则^_的最大值为__.

b

31.设函数/(%)=ax2+bx+c,且/。)=一_|,3a>2c>2b,求证：

b3

(l)4i>0,且一3<一<一■-；

a4

⑵函数/(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；

(3)设巧、巧是函数/'(力的两个零点，则拉码为-引<冬.

核心考点5不等式性质的综合应用

角度1双重最值问题

1

32.若a>0,b>0,则min“b,a244b21的最大值是-(其中min{a,4表示a,b中的

较小值)

33.设实数无1,%2，演,无4，天均不小于1，且占"％"工3f,天=729,则

MnmaxHw.wW,WXQX/s}的最小值是一•(max{a,b,c,d)是指a,b,c,d四个数中最大的一

个）

34.定义miNqqL,a.｝表示《、的、L、与中的最小值，max1%,外,一。“｝表示可、的、

L、%中的最大值，设。<相<〃<。<2,已知〃23机或"?+2”43,贝|

min｛max｛n-m,p-n,2-p｝｝的值为.

角度2与不等关系有关的新定义

\YYIYYI^YL\nrn^n

35.设九定义运算“△”和“V”如下：m^n=\'~,nNn=\'一,若正数徵，

[n,m>n\m,m>n

n,p,q满足相〃之4,p+qK4,则（）

A.m\n>2,p/^q<2B,nNn>2,pVq<2

C.mAn>2,pS/q<2D,rrNn>2,pkq<2

36.19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，

并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理，那么在

证明有理数的不完备性时，经常会用到以下两个式子，己知正有理数P,满足p2<2,

q=P-J4—-2r，则下列说法正确的是（）

0+2

A.p<qB.p>q

C.q<V?D.q>V?

37.对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若ad<bc,那么称点“力）

是点（四）的“下位点”.

⑴点（3/1）是点（2,7）的“下位点，，吗?请简单说明理由；

⑵若点3万）是点（c,d）的“下位点”，试判断：,二,修之间的大小关系；

⑶设正整数〃满足条件:对集合｛m10<〃7<2022,%eN｝内的每个机，总存在正整数左，使得

（办2022）是（左,〃）的“下位点”，且化〃）是（加+1,2023）的“下位点”，求正整数"的最小值.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.B

11a+b+c7

一<---------<—

5c3

【分析】根据题意，化简不等式为2〈也上<?a+b+ca+b+ca+b+c

得至1J---»---------->-----------

a6bca

「a+b+c15

3<----------<——

b4

即可求解.

6c7411a+b+c7

—<〃+〃<—c一<--------<—

535c3

7八a+b+c13

【详解】由不等式组〃因为a,6,c均为正实数，于是<2<----------<—

6a6

C711「a+b+c15

2b<c+a<—b73<----------<—

4b4

a+b+c-7a+b+c1113a+b+c”

所以--->3>->---------->—>—>------------，所以bvcva.

b3c56a

故选：B.

2.BC

【分析】利用基本不等式以及其变形以及不等式性质一一判断各选项，即可得答案.

【详解】对于A,a,b为正实数，则4+从“"，故（a+b）2"",

即（“+勿（。+勿24出;，故―《区S，A错误；

a+b4

对于B,由于“+!》2,当且仅当。=!即。=1时取等号,

Qa

b+^>2,当且仅当6=?即6=1时取等号，

bb

故,+:44,B正确；

对于C,因为。，6为正实数,a2+b2>2ab,故于。?+已）之（°+。为

故心止2（巴史了，即"世近，C正确；

222V2

,h2a2

对于D,因为。，b为正实数，则一+a>2b,一+b>2a,

ab

当且仅当a=8时，等号成立，

h22b2a2

故——+——a+b+a>2b+2a,BP1>b+a,D错误，

abab

故选：BC

答案第1页，共24页

3.a<b

【分析】先分别将。，匕平方，再进行大小比较即可.

【详解】解：a=6+2后,b=2+不，

a2=11+4A/6,Z?2=11+4V7

:■a、6的大小关系为a<b;

故答案为：a<b.

【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

4.B

【分析】利用不等式的性质证明必要性，举反例否定充分性即可.

【详解】当"=22=-3时，满足但同<瓦故充分性不成立，

若同>回，当b»0时，必有。成立，当》<0时，必有。>0>Z?,故必要性成立,

故"a"”是“同>网”的必要不充分条件，故B正确.

故选：B

5.AC

【分析】根据不等式基本性质判断A,通过作差法判断C,举例说明判断BD.

117C9C

【详解】对于A,由己>6>0,2。〉0,知。〈一〈不，得一v—，故A正确;

abab

对于B,当c=0时，故B错误；

对于C,当a<b<0时，由，之一"=a(a—b)>。，得/>ab,

又ab-b2=b(a—b)>0,则成>〃，故有片〉〃〉〉/,故C正确；

对于D,当〃=-2,6=-1时，a2+a>b2+bD中不等式不一定成立，故D错误.

故选：AC.

6.①②③

【分析】根据不等式的性质，结合作差法即可逐一判断.

【详解】对于①，由于历2<或2,故。2>0,贝！JZ?<a；正确，

对于②，由〃3>勿可得，又ab〈O,所以。〉0>匕，故正确；

ab

aa+ca(b+c\-b(a+c}(a-b\c

对于③，由于二-7-=------777—<-------=T77―；，

bb+cb\b+c)b[b+c)

答案第2页，共24页

又a>b>c>0,所以Q—b>0,c>0,b>0,/?+c>0,

a+c(a八milaa+c-rrfe

故16+c=)~TT(16--+--c-)T>。，贝匕——，正确,

1)bb+c

ba^c-b^-b^c-a^(a—b)c

对于④，c-ac-b(c-Z?)(c-(2)(c-Z7)(c-«)'

由于c>b>〃〉0,则a—Z?<0,c>0,c—0>0,c—a>0,

ab(a—b)c因止匕占，故④错误,

故<0,4<

c—ac—b(c-Z?)(c-6Z)c-ac-b

故答案为：①②③

7.C

【分析】做差，利用换底公式，基本不等式，对数的性质进行大小比较.

【详解】

2

2j^ln2+ln4

9ln3-五回小姆

7।…cln3In21/3—In21n40

b-a=log.3-log.2=-------------=-------------------->----------

43In4In3In31n4]In31n4In31n4

2

In3+In5

ln24-

…cln4In3h?4—In31n52ln\^6-lnS/15>Q

c-b=logs4-log.3=-------------=----------->-----------

54In5In4In51n4In51n4In51n4

所以c〉Z?〉a.

故选：C.

8.ACD

【分析】对A,B,利用不等式性质可判断；对C,利用基本不等式判断；对D,利用作差

比较法判断.

吟，即呆本故A正确;

【详解】对于A,a>b>O-->0,贝！]〃,一->

fabab

对于'Q343KW，又1“<2,所以3/1，故B错误;

,即一2ab,故正确;

对于C,a>b>0f:.a+b>2y/ab^—<y[abC

a+b

bZ?+l_Z?(tz+l)-d!(Z?+l)_b-a

对于D,,Qb<a<-1,

aa+1a(a+l)

(a+l)>。，则需lUA-i-1

:.b-a<0,a八<o,即一<-故D正确.

aa+1

故选：ACD.

答案第3页，共24页

9.5„S„+2<C

【分析】由题意可得S“+2>S“M>S”,再分〃=1和4*1两种情况讨论，利用作差法结合基本

不等式即可得解.

【详解】设这个数列为｛叫，则/>0,故S“+2>S“+I>S",

当4=1时，SnS计2—S；+i=(〃+2)4—(〃+1)a；=〃(〃+2)(1^—+1)a；=—《<0,

所以S£+Z<S3,

1一产i_q“+[(l一产用_0_(1_尸『?q'S

口为匚尸一二――(i-^)O-r1)—-尸)'

当4>1时，l-q"<0,l-q"+i<0,

当0<q<l时，1一0'>0,1-尸>0,

故当时，(1-^)(1-^+1)>0,

2q*q"_q*<2\丁2&"2

所以吃以3一可血产了一‘

当且仅当q"=0"2,即q=l时取等号，

2Cq7+1-q/-q+2八

又3,所以"正丁。，

ss

所以萨<弋，即s“s“+2<s2,

°n+l%

综上所述，S,S〃+2<s；+「

10.B

【分析】先得至利用作商法，结合指数运算和指数函数性质比较出大小.

【详解】因为a>Z?>0,且必=1,所以a>l,OvZ?vl,

故,o,2e>a.>o,

答案第4页，共24页

2-("+“).1二2一("叽=2。•a,

因为所以2“〜>1,所以2一(叫<>1,

1b

故2々+幼>------=—

G-404"

2-(。+〃)=-(«+*)."4"=2b~a-b,

b-4b2

因为6-。<。,0<6<1,所以0<2~/<1,所以0<2%+")土

b-4b

故2-(碰<4==，

b-4b4b

综上：2s4，

故选：B

11.BC

【分析】两式平方再作差，利用基本不等式即可得大小关系，进而得选项A,B正误，两式相除,

由于〃力«0,4w),将分子分母同时除以打，再利用基本不等式即可求出其范围.

【详解1解:由题知X=a+),〃=13ab,

所以力—储=a2+b2—ab>2ab—ab=ab,

当且仅当a二6时取等，

因为a,be(0,+co),所以必>0,

即；I/一〃2士ab>0,故几>〃，

即选项A错误，选项B正确；

因为a,be(O,+a)),

所以；Ia+b4a14b2ML布2,

&\y[by[a

y[a_yfb

当且仅当，即a二〃时取等,

4b-Ja

所以可得卜卓

故选项C正确，选项D错误.

答案第5页，共24页

故选:BC

12.证明见解析

【分析】可利用糖水不等式：若x>0,则产>9,其等价于？>三.

b+xbaa+x

【详解】证明：证法一：由糖水不等式可得-X等I，

2462n3572n+l

证法二：易知(2〃+1)2>(2〃+2)・2〃，

.44132X52X..X(2«-1)2X(2/7+1)2(2»+1)2

••左边——X----------------------------------------------------->------------

2(2x4)x(4x6)xx[(2〃一2)x(2〃)]x(2〃)

证法三：等价于证明]x?x[xX竺]>而1.

246

由基本不等式得2〃+1.1n+1,

-------=n—

2〃2n

累乘可得』x9x?x*2±1>而万.得证.

246In

13.C

【分析】根据绝对值三角不等式和充分条件必要条件的定义即可判断.

【详解】^\x+y\+\x-y\<2,

2|A|=|x+y+x-y|<|x+_y|+|x-y|<2,Bp|x|<l,

2|y|=|x+y-x+y|<|x+y|+|x-y|<2,gp|y|<l,

则充分性成立；

若同41且卜归1,

当(尤+y)(x_y)NO时，|%+y|+|%-y|=|x+y+x-^|=2|x|<2,

：g(x+yXx-y)<OH^,\x+y\+\x-^=\x+y-x+^=2\y\<2,

则必要性成立；

综上所述：平+引+k小2”是“小1,且»区1”的充分必要条件.

故选：C.

14.BC

答案第6页，共24页

【分析】通过取特殊值确定AD错误，通过证明当x>l时，1-工<lnx,由此证明B,通过

证明了>1时，Inxv%-1,由此证明C.

【详解】A选项：疝<e号，当〃=1时1!<1不成立，A错误

B选项：—+—4---F—<lnn(n>2)等价于---1———<\n(n—i](n>3),

23n23n—1

故要证明：+…+'vln〃(〃N2)只需证明,<ln〃一(〃之3),且;<ln2-lnl,

乙nAT7/Z乙

]"

t-t'-rHD11n/-\n、十门口1------<111----2)

只需证明一<In-(n>2),只需证明nn—1,

nn-1

-n---—---17

11—丫

故考虑构造函数〃X)=1-7-lnx(x>o),则:(x)=F，

当x>l时，了'(力<0,函数〃x)在(1,+8)上单调递减,

当Ovx<l时,f\x)>0,函数〃力在(0,1)上单调递增,

所以当尤>0时，/(%)</(1)=0,即1一;Vlnx,当且仅当x=l时取等号,

rj

当〃22时，--->1，

n—1

nz八

将尤中的x替换为—r(n-2)»

Xn—1

可得-,即,<ln〃一In(〃一1),

nn—1n

所以gvln2-Ini,<In3-In2,…，—<Inn-ln(n-l),

…J11

所以7+彳++-<lnn(n>2),B选项正确

23n

C选项，设g(x)=x-l-lnx(x>0),贝！|g[x)=^^,

当1>1时，/(力>0,函数g(x)在(1,+8)上单调递增,

当Ovxvl时，g'G)>0,函数g(%)在(0,1)上单调递减,

所以当兀>0时，g(x)>g(l)=O,即Inx<%-1,当且仅当x=l时取等号,

将In%4犬一1中的无替换为1+4，因为1+<>1,

nn

所以]n[1+4]<-y

In)n

((2、(n1+2+,,,+n

所以此—+ln1+/++m—<-—‘

答案第7页，共24页

「（1+〃）〃

又1+2+…+〃=----—,

2

所以1n（1+/卜皿+/卜+ln[l+卦当U

故［1+9(巴C正确；

D选项：因为［g：+1||>g>3,D错误，

故选：BC.

【点睛】在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住

一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误.

15.②④

【解析】由题意结合不等式的性质逐一考查所给的不等式，正确的结论给出证明，错误的结

论举出反例即可.

【详解】由于人6是正实数，考查所给的命题：

①当。=6=1时，弧=1芈=1,不满足族〉当，所以①错误；

a+ba+b

®\a+b>\a-b\,a>|a—〃|一方恒成立，所以②正确；

③当。=2,Z?=l时，a2+b2=5,4ab-3必=5,不满足/+/〉4。。一3。2,所以③错误；

④处+222、ab2=2及>2恒成立,所以④正确；

abVab

综上可得，恒成立的序号是②和④.

故答案为：②④

【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，基本不等式求最值的方法等知识，考查学生

的逻辑推理能力和计算求解能力.

16.B

【分析】构造函数〃x)=lnx-x,利用导数探讨最值可得lnx<x,再结合已知及不等式性

质逐项判断即得.

【详解】对于A,令函数f(x)=lnx-x,求导得广⑴」一1,当o<x<l时，尸(幻>0,当

X

x>l时，f'(x)<0,

函数/(X)在(0,1)上递增，在(1，口)上递减，/(x)</(l)=-l<0,即lnx<x,

答案第8页，共24页

而x+y>0,因此ln(x+y)<x+y,A正确；

对于B,由z=ln(尤+y)-x-y,得x+y+z=ln(x+y)〈尤+y,贝！|z<0,

显然y/0,否贝(]x=o,尤+y=。，于是xz=y2>0,贝[|尤<0,B错误；

对于C,由x+y>0,得y>—尤>0,C正确；

对于D,……匚(.+丁)57)>0,即z<x,因此z<x<y,D正确.

XX

故选：B

17.ABC

【分析】根据函数单调性及不等式的性质即可求解.

【详解】对选项A：由己知可得。根据对数函数单调性可知：

/⑺二照加产为增函数，所以/(。)>/。)，

即log2019«>log2019z?,故A正确；

对选项B：因为a>l>6>c>0,log«c<log，<。，

11

所以"i------>；-7.即logc4>log/,故B正确；

log/log/

对选项C、D项：由题意易知q。<(?且c-b<0,a-c>0,

所以(c-b)a。>(c-b)ab,(a-c)ac<(a-c)a*,

所以C中不等式正确，D中不等式错误.

故选：ABC.

18.BCD

【分析】将。，6看作y=3\y=5'的图象与直线y=3-x交点的横坐标，数形结合可判断A,

B；结合题意可推出3"<5",利用不等式性质可判断C；根据已知不等式的结构特征，构造

Inx

函数/(%)=—,(x>0),利用其单调性可判断D.

x

【详解】由a+3"=6+5"=3可知，若a<0,6<0,则则a+3f+5=3不成

立，

又a=6=l时，3"=3,5"=5,故

又3"=3-〃,5"=3-。，则可看作y=3”,y=5,的图象与直线>=3-无交点的横坐标，

答案第9页，共24页

作出y=3，,y=5,与y=3-x的图象如图,

结合图象可知,故A错误，B正确；

由a+3a=b+5b=3,得3°<5〃，

故6+3"<a+5",C正确；

令/(x)=---,(x>。)，贝！1/(无)=——,

XX

当0(尤<e时，r(x)>0,/(尤)在(l,e)上单调递增,

当%>e时，f'(x)<0,/(x)在(e,+8)上单调递减，

由于故ys)</m),即半〈叱，

ba

故blna>alnb,D正确，

故选：BCD

19.(1)：Z7〈产Z7+m；证明见解析；

bb+m

(2)证明见解析；

【分析】(1)根据题意直接写出答案，利用作差法证明该不等式;

(2)利用三角形的三边关系和放缩法即可证明.

【详解】(1)由题可得，;H〈产(1TY1

bb+m

一.aa+mab+am-ab-bm{a-b)m

证明:因为了一b>a>0,m>0,

b+mb(Jb+m)b(b+m)

匚匚27c7c[IHaa+m_aa+m

所以，a-b<OZ?+m>0,从而:一^----<0,SnRn—<-----

fbb+mbb+m

x1

(2)由三角形三边关系，可得a+b>c,而函数—=1---,为单调递增函数,

1+x1+x

cc+(a+b-c)a+bab

厂.-----<-----------------------------------------------1-------

1+c1+c+(a+b—c)1+a+Z?1+a+Z?1+a+Z?

aabb

------<----------<----

1+Q+Z?1+〃1+Q+Z?1+Z?

答案第10页，共24页

aaab

故--------1--------<-----+-----

1+Q+Z?1+Q+Z?1+Q1+Z?

ab

所以,-----<------+-----

1+c1+a1+Z?

20.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)由己知可得31b2一［一］，再根据不等式的性质结合一元二次不等式的

解法即可得证；

(2)由得：+W=/+3/,再结合基本不等式即可得证.

【详解】(1)证明：由3a《/-刊二从。-4),

等式两边同时除以片加，得3,2一'］='一"2,

当时，3-。2<0,所以

所以得/<1,又>>0,所以

11Q

(2)证明：由3b12-/一得/+记=/+3火

所以/+362=二+之2型，

abab

当且仅当尸=3/,即/=好方=型时等号成立,

55

3ab3=ab[a2+3b2)>2y/3.

21.证明见解析.

【分析】由3/21=2"+2122"+1>2"得1』丁4，<《，再利用不等式性质及等比

322+12

数列前〃项和公式推理作答.

【详解】77eN,,3X2"T=2"+2"T22"+1>2",于是g*击

1111

因此---19+--H--------<-I——r+

2+122+12〃+122223

11

-----------1-----n---------F+----->-(1+—+—+

2+122+12"+13222

2

答案第11页，共24页

2111〃・

所以_(1——)<——+++2"1<1'£N*

32〃2+122+1

22.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)根据已知条件及基本不等式即可求解;

(2)利用分析法及作差比较法即可求解.

112

【详解】(1)由基本不等式可得2=—+工之7，可得的别

ab7aTb

当且仅当〃=人=1时，等号成立.

又由工+，=2,得a+b=2ab,

ab

LLt、i11