空间向量及空间位置关系-2025年高考数学备考复习

第七章立体几何与空间向量

第5讲空间向量及空间位置关系

课标要求命题点五年考情命题分析预测

1.（1）了解空间直角坐标系，会用空间直空间向量的

该讲知识是

角坐标系刻画点的位置；（2）借助特殊长基本定理

利用空间向

方体顶点的坐标，探索并得出空间两点间空间向量的

量求解立体

的距离公式.坐标运算

几何问题的

2.了解空间向量的概念.

基础，主要

3.（1）了解空间向量基本定理及其意义，

用来求解平

掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

面的法向量

（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表2021新高考

和直线的方

示；（3）掌握空间向量的数量积及其坐标卷IIT10；

利用向量法向向量，以

表示；（4）了解空间向量投影的概念以及2021全国卷

证明平行与及利用向量

投影向量的意义.甲T19；2021

垂直问题解决空间位

4.（1）理解直线的方向向量与平面的法向浙江T6；

置关系的判

量；（2）能用向量语言表述直线与直线、2020天津T17

断问题，考

直线与平面、平面与平面的垂直与平行关

查数学运算

系；（3）能用向量方法证明有关直线、平

素养.

面位置关系的判定定理.

6学生用书P154

1.空间向量的三个定理

共线向量

对空间任意两个向量a,b（6=0）,a〃b=存在九GR,使①a=kb.

定理

共面向若两个向量a,b②不共线，则向量p与向量m〃共面o存在唯一的有序

量定理实数对（x,y）,使③0=—+/.

如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序

空间向量实数组（x,力z）,使得口=⑷乃+zc,{fl,b,c}叫做空间的一个

基本定理基底.

注意（1）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.

（2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.

规律总结

应用共线（面）向量定理证明点共线（面）的方法

P,4,3三点共线M,P,4*四点共面

PA=\PBMP=xMA+yMB

对空间任一点O,OP=OA+tAB对空间任一点。，苏=凉+%祝l+y笳

对空间任一点+-％）笳对空间任一点0,0P=x0M+yOA+(1-x-y)OB

2.空间向量的坐标运算

设〃=（0，。3），b=（b\f历，Z>3），则

(1)〃土〃=（。1±61，〃2±b2，。3±63）；

(2)入〃=（九。1，入。2，九。3）（九£R）；

(3)a-b=(§)06+4262+0363.

(4)a//b<^a=kb(〃W0)Q⑥九①，。2=肪2，的=入=3(九£R)

(5)a±6<=>«7>=0<=>⑦06+0262+0363=。

IaI=yjaa=廨+说+房;

cos<db>=*

(7)即如+a2b2+。3b3

al+a1+aj-bl+bj+bj

规律总结

空间两点间的距离及中点坐标公式

设点4（xi,yi,zi）,B（%2,y2,Z2）是空间中两点，则

222

J+（当一冷）一+（Z厂Z?）一;

%1+%2%+丫2Z1+Z2)

（2）线段的中点坐标为（

222

3.直线的方向向量和平面的法向量

如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线/平行或重合，则称向量

直线的方向向量

a为直线/的方向向量.

直线/La,取直线/的方向向量a,则向量a叫做平面a的法向量.一个平

平面的法向量

面的法向量有无数个，它们是共线向量.

思维拓展

确定平面法向量的方法

（1）直接法：观察是否有垂直于平面的直线，若有，则此直线的方向向量就是平面的法向

量.

（2）待定系数法：建立空间直角坐标系，找出（求出）平面内的两个不共线的向量，如

=(6Z1,。2,的)，b=(b],岳，b3),设平面的法向量为〃=(x,y,z),则

解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量.

(nb-0,

注意〃=(0,0,0)不能作为法向量.

---------------------------------------------------------------------------------

■方法技巧

向量的叉乘〃义〃运算得出的是与明〃垂直的向量，所以可以利用叉乘计算平面的法向

量，运算法则如下：

i,j,4分别表示x,y,z轴正方向的单位向量，a=(xi,zi),b=(%2,yi,Z2),则

ijk

aXb=%iyiZi=(yiZ2-y2Zi)i-(xiZ2-X2Zi)y+(xi/—x沙i)k=(yiZ2~y2Zi,一

%2Z2

X1Z2+X2Z1,Xiy2~X2yi).

4.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表ZE

直线/l,/2的方向向量分别为h//hn\//n2<^n\=Xni（九£R,九WO）

n\,n2./山2〃2=0

直线/的方向向量为小平面a1//a〃_L胆<=>⑨"〃=0

的法向量为阻l.Lan//m<^n=Xm（九£R,入WO）

平面a,0的法向量分别为小a〃Pn//m<^n=Xm（九£R,入WO）

m.a±p〃_L/wo®mn=0

1.下列说法正确的是(c)

A.直线的方向向量是唯一确定的

B.若直线。的方向向量和平面a的法向量平行，则。〃a

C.若两平面的法向量平行，则两平面平行

D.若直线。的方向向量与平面a的法向量垂直，则。〃a

2.已知/(1,0,0),8(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面/5C的一个法

向量的是(C)

A.(-1,1,1)B.(1,-1,1)

C.(-A-£-均D,卢渔，-必

333333

3.在空间直角坐标系中，A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,

y,z)(x,y,z£R),若4,B,C,。四点共面，贝！J(A)

A.2x+y+z=1B.x+>+z=0C.x—y-\-z=-4D.x-\-y—z=0

4.已知向量〃=(1,0,-1),则下列向量中与〃成60。夹角的是(B)

A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)

5.［教材改编］已知"=(3,a+b,a—b)(a,b《R)是直线/的方向向量，n=(1,2,

3)是平面a的法向量.若/〃a,则q与b的关系式为5。-6+3=0；若/_La,贝!Ja+b=_

6.

解析由题意可知，若/〃a,则〃力=0,即3+2(a+b)+3(a—b)=0,整理得5a—b

+3=0.

若/J_a,则存在实数入，使得〃=九〃，即(3,a+bfa—b)=X(1,2,3),则

\a+b-2Z,解得Ja一5，则a+6=6.

(a-b=34,\b——1,

6学生用书P156

命题点1空间向量的基本定理

例1(1)已知空间任意一点。和不共线的三点4,B,C,且有前=拓2+y丽+=沆

(x,y,zdR),则x=2,y=—3,z=2是尸，A,B,C四点共面的(A)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

解析由题可知，要使P,A,B,C四点共面，则需x+y+z=l.当x=2,y=—3,z=2时

满足条件，所以x=2,y=-3,z=2是P,A,B,C四点共面的充分条件；反之，当四点

共面时，只要x+y+z=l即可，不一定要取x=2,>=—3,z=2,所以x=2,y——3,z

=2不是P,A,B,C四点共面的必要条件.故x=2,>=—3,z=2是尸，A,B,C四点共

面的充分不必要条件.

(2)在平行六面体/BCO-N/iGA中，”为/Ci与BQi的交点，若屈=a,AD^b,

AA[=c,则下列向量中与两相等的向量是(B)

A.：a+J+cB.—:a+%+c

2222

C.--ft+cD.-a--6+c

2222

解析如图，在平行六面体/BCD—/31GA中，M为AiCi与BiDi的文•.

点,故=夕+殳，故BM=B4+A4i+&M=

—ABAA^-\--a-\--b=-a+c+-a+-6=--a+-6+c,故选B.

12222224.

方法技巧

1.证明空间四点共面的方法

(1)利用共线向量定理；(2)利用共面向量定理.

2.空间基底的要求是不共面的三个向量.

训练1［多选］如图，在四面体P42C中，以下说法正确的有(ABC)

/1\

A.若前=［而+|同，则近=3而

1\

I\

B.若。为△/BC的重心，则所=［用+］而+］玩

C.若港•近=0,PCAB^O,则丽•左=0

D.若四面体P4BC各棱长都为2,M,N分别为P43C的中点，贝！H市N=1

解析对于A,\'AD^AC+^AB,：.3AD^AC+2AB,：.2AD-2AB^AC~AD,：.2BD

=DC,则3丽=丽+虎=近，即3丽=就，故A正确；

对于B,为△48C的重心，则而+煎=0，­，-3PQ+QA+QB+QC=3PQ,

：.(PQ+QA)+(PQ+QB)+(.PQ+QC)=3PQ,则两+方+玩=3而，即所=g可

+|PB+|PC,故B正确；

对于C,若方•阮=0,PCAB=0,则可•阮+正・希=0,.,.PABC+PC-CAC+CB)=

0,：.PA-JC+PCAC+PC-CB=O,即可•丽+丽・尼一瓦•近=0,(PA-PC)-BC+

PCAC=0,：.CABC+PCAC^Q,则尼•而+而•而=0,：.AC-(PC+CF)=0,即

ACPB=0,故C正确；

对于D,连接尸N,'：MN='PN-~PM=^(,PB+PC')('PB+PC-PA),：.I

MN\=-\^B+PC-PAI=-IPA-JB-PCI,

22

又IPA-PB-PCI2^PA2+PB2+PC2-lPA-PB-2PA-PC+2PCPB^22+22+22-

2X2X2X1-2X2X2X1+2X2X2X1=8,AIM/VI=V2,故D错误.故选ABC.

命题点2空间向量的坐标运算

例2(1)若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且(c—〃)•

(2A)=-2,则尸2.

解析c-a=(0,0,1—%),(c-〃)•(26)=(0,0,1—x),2(1,2,1)=2(1—

x)=-2,解得x=2.

(2)如图，已知直三棱柱48C—41gle1中，CA=CB=1,Z5G4=90°,棱c)

44i=2,N是4N的中点，贝W丽I=V3,cos＜西，西＞=_44\居

解析如图，以。为原点，CA,CB,芯的方向分别为x,%z轴正方向建

立空间直角坐标系Gyz.依题意得3(0,1,0),N(1,0,1).

____________________________________________i

222:/\

J(1-0)+(0-1)+(l-o)=V3.NZ

依题意得出(1,0,2),C(0,0,0),Bl(0,1,2).

：.~BA[=(1,-1,2),CB[=(0,1,2),

西西二3,I西I=V6,I函I=遮

方法技巧

空间向量的概念以及空间向量的加、减、数乘、数量积运算及其坐标表示是平面向量的类

比推广.

训练2(1)［多选］已知空间向量。=(2,-2,1),b=(3,0,4),则下列说法正确

的是(BC)

A.向量c=(—8,5,6)与“，。垂直

B.向量"=(1,-4,-2)与a,b共面

C.若。与6分别是异面直线/1与h的方向向量，则Z1与/2所成的角的余弦值为|

D.向量。在向量6上的投影向量为(6,0,8)

解析对于A选项，ac=-16—10+6W0,be——24+24=0,故c与〃不垂直，A错；

对于B选项，设d=ma十几b,则m(2,—2,1)+〃(3,0,4)=(1,—4,—2),

2m+3n=1,/

—27n=—4,解得即2〃一〃=",B对；

ln=-1,

(m+4九=—2,

对于C选项，因为cos<a,b>=a'b

所以异面直线/1与，2所成的角的余弦值为I，C对；

对于D选项，向量〃在向量b上的投影向量IaIcosVa,b>'-^—=3X-X-(3,0,4)

IbI35

—0,|),D错.

故选BC.

(2)已知ei,。2是空间单位向量，0伫后.若空间向量〃满足从《1=2,6・氏=|,且对于任

意x,y£R,Ib~(%为+歹改)INIb~(xo«i+次/)I=1(xo,次£R)，贝|xo=—

1,vo=2,IbI=2V2.

解析由题意可令〃=%061+/62+«3,其中I。3I=1,e3-Lei,z=l,2.

__XQ+-=2,(Y=1

由Ae=2得xo+§=2,由〃,《2=彳得当+次=彳，由%25解得)

2222&=2,

2

贝I〃=6+2氏+«3,II=J(Ci+2e2+e3)=242.

命题点3利用向量法证明平行与垂直问题

例3[2021浙江高考]如图，已知正方体M,N分别

是/必，。由的中点，则(A)

A.直线小。与直线。出垂直，直线〃平面/BCD

B.直线小。与直线。由平行，直线平面加)。1囱

C.直线小。与直线D13相交，直线〃平面48C。

D.直线/。与直线。12异面，直线"N_L平面BDA21

解析解法一以点。为坐标原点，DA,DC,。人所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

DA,DC,西的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.设48=2,则小

(2,0,2),。(0,0,0),D\(0,0,2),B(2,2,0),所以"(1,0,1),N

(1,1,1),所以初=(-2,0,-2),*二(2,2,-2),而=(0,1,0),

所以布•石豆=-4+0+4=0,所以/。，。山.又由题图易知直线4。与ADi是异面直

线，所以4。与3D1异面且垂直，故B,C不正确.因为平面/BCD的一个法向量为〃=

(0,0,1),所以而♦〃=(),所以VN〃平面N5CD,故A正确.设直线与平面

BDDiBi所展的角为0,因为平面也犯避1的一个法向量为a=(—1,1,0),所以sin0

=Icos<MN,a>I=,1^"。।=3=它,所以直线MV与平面不垂直，故D

不正确.故选A.

解法二连接401,则易得点M在4D1上，且4Di_L/iD因为4B_L平面44。。，所以

ABLAiD,又NBC4Di=/,所以4D_L平面/ADi,所以4。与以力异面且垂直，故B,

C不正确.在△/瓦力中，由中位线定理可得VN〃/3,入MN仁平面ABCD,N5U平面

ABCD,所以〃平面/BCD,故A正确.易知直线48与平面BBLDLD成45°角，所以MN

与平面85101。不垂直，故D不正确.故选A.

方法技巧

1.利用空间向量证明平行问题的方法

线线平行证明两条直线的方向向量共线.

(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；

线面平行(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；

(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.

(1)证明两个平面的法向量平行；

面面平行

(2)转化为线线平行、线面平行问题.

2.利用空间向量证明垂直问题的方法

线线垂直证明两直线的方向向量垂直，即证它们的数量积为零.

(1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线；

线面垂直

(2)证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量都垂直.

(1)其中一个平面与另一个平面的法向量平行;

面面垂直

(2)两个平面的法向量垂直.

注意用向量法证明平行与垂直问题时，要注意解题的规范性.如证明线面平行时，需要说

明一条直线在平面内，另一条直线在平面外.

训练3如图，在矩形45。中，AB=2BC,P,0分别为线段CD

.

的中点，£尸，平面48co.

求证：(1)/。〃平面。£尸；卜

(2)平面/£Q_L平面DEP.

t--------0

解析(1)如图，连接尸。，因为四边形N3CD为矩形，且P,。分别

为线段NB,CZ1的中点，则尸。.'1•

易知P/,PQ,PE两两垂直，以尸为坐标原点，分别以尸/,PQ,PE

所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.；，，

A

设/2=2,PE=a,则P(0,0,0),/(1,0,0),。(0,1,0),E(0,0,a),C

(-1,1,0),D(1,1,0).

所以而=(-1,1,0),无=(-1,1,0),所以而〃而，即/。〃尸C.(证明平面外

直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行)

又仁平面CEP,PCU平面CEP,(注意说明前提条件)

所以40〃平面CEP.

(2)由(1)知丽=(1,I,0),PE=(0,0,a),

因为丽•丽=(-1,1,0)-(1,1,0)=-1+1=0,所以筋_L而，FpAQ±PD.

因为而•丽=(-1,1,0)-(0,0,a)=0,所以而，而，AQLPE.(证明直线方向

向量与平面内两条相交直线的方向向量都垂直)

又PDCPE=P,PE,PDU平面DEP,所以NQ_L平面DEP,

又/QU平面/E0,(注意说明前提条件)

所以平面AEQ1^面DEP.

1.[命题点1/2024北京市陈经纶中学模拟]在正方体

中，点E为上底面4G的中心，^AE^AA^+xAB+yAD,则x=_

1_1

2—，尸一2—.

解析如图，在正方体48CD—/1SGD1中，因为点£为上底面小G的

中心，所以空=[(&B1+&D；)CAB+AD),故荏=

AA1+A^E=AA[+^AB+^AD,

因为荏=西+工南+y而，

所以x=y=g.

2.［命题点1,2］已知向量。=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,九)，若

a,b,c三向量共面，则实数九=_1_.

解析因为〃，b,c共面，所以设故(2,—1,3)=x(—1,4,—2)+

—X+7y=2,

4x+5y=-l,解得九=?.

(—2x+A.y=3,

3.［命题点3］如图，在四面体4—BCD中，4D_L平面5C。，BC工CD,

LXI

AD=2,BD=2®M是4。的中点，P是的中点，点0在线段ZC

上，且求证：P。〃平面BCD

解析如图，以。为原点，CD,CB的方向分别为％轴、y轴正方向，过

点。作底面5CD的垂线为z轴，建立空,

间直角坐标系，则4D〃z轴.

I./-1

设CD=a,因为P为血/的中点，/。=3。。，.、

小b/<»

所以。(。，0,0),/(。，0,2),M(a,0,1),5(0,

G，0,,所以而=(_=,

Q4Z4

又平面8co的一个法向量〃=(0,0,1),

所以所•"=(),

又PQC平面BCD,所以PQ〃平面BCD

(----------------------:练习帮；练透好题精准分层-------------------------

。学生用书•练习帮P339

耳础愫均正遇至〕

1.以下各选项中的三个向量，不能构成空间基底的是(A)

A.«=(1,0,0),b=(0,2,0),c=(p-V2,0)

B.«=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,2)

C.a=(1,0,1),b=(0,1,1),c=(2,1,2)

D.A=(1,1,1),b=(0,1,0),c=(1,0,2)

解析若空间三个向量％b,c能构成空间的一^个基底，则向量〃，b,c不共面，对于选

项A,因为〃=(1,0,0),b=(0,2,0),c——V2,0),则。=夕一¥〃，即

向量a,b,c共面，故选项A中的三个向量不能构成空间基底.选项B,C,D中的三个向

量均不共面，即都能构成空间基底.

2.已知直线/i的一个方向向量〃=(2,4,x),直线b的一个方向向量〃=(2,y,2),

若I〃I=6,且则x+y的值是(A)

A.—3或1B.3或一1

C.-3D.1

解析lai=J22+42+x2=6,.\x=±4.V/i±/2,••aLb,.*.a-/>=2X2+4y+2x=

0,.*.j=—1—y.・••当x=4时，y=—3;当x=-4时，y=1.,•x~\~y=—3或x+y=l.

3.已知〃=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2A)//(2〃一。)，则(B)

A.x=1,y=ly=—4

C.x=2,y=—~D.x=1,y~-1

解析由题意知，a+2b=(2x+1,4,4—j),2a—b=(2—x,3,—2y—2).;(a+

2b)//(2〃-6),・・・存在实数九，使〃+2〃=九(2a-b),

r4

px+1=A(2—x),4="

4=3A,解得"x='|,

(4-y=4(-2y-2),、y=-4.

4.［多选〃024广东佛山一中校考］下列关于空间向量的命题中，正确的有(BD)

A.直线/的一个方向向量是。=(0,3,0),平面a的一个法向量是“=(0,-5,0),

则I//a

B.若mb,c可构成空间的一个基底，则向量a+b,b+c,c+。也可构成空间的一个基底

C.若非零向量a,b,c满足b±c,则有o〃c

D.若瓦?，05,沆可构成空间的一个基底，且时而+1沆，则/,B,C,。四

点共面

解析对于A,直线/的一个方向向量为a=(0,3,0),平面a的一个法向量是〃=

(0,—5,0),此时〃=—J,所以/_La,故A错误；

对于B,因为，b,c可构成空间的一个基底，所以对于空间中的任意一个向量股，存在

唯一的有序实数组(x,y,z),使得旭=xa+yb+zc='+：”(a+力)+匕：”•(〃+c)+

—|~~-(〃+c),由空间向量的基本定理可知，向量b~\~c,c+a也可构成空间的一

个基底，故B正确；

对于C,若非零向量〃，b,c满足〃_L〃，bLc,则〃与c关系不定，有可能平行，故C错

、口

沃；

对于D,若瓦?，~OB,沆可构成空间的一个基底，且而=［初+［而+］反，|+|+|=1,

易知N,B,C,。四点共面，故D正确.故选BD.

5.［2024浙江台州模拟］如图，三棱锥尸一4BC中，平面N2C,〃

AB1.BC,且/B=3C=2,4P=a.若。是棱PC上的点，满足尸。=孑C,

且4D_LP2,则0=应.

解析因为尸N_L平面N5C,AB,BCU平面/8C,所以

PAA.BC,又4BLBC,故尸/,AB,8C两两垂直，以/为坐标原点，

AB,4P所在直线分别为y轴，z轴，平行于3C的直线为x轴，建立如

图所示的空间直角坐标系，故/(0,0,0),3(0,2,0),C(2,

I9^sX/

2,0),尸(0,0,a),因为PD=|PC,所以。(|,|a),因为

ADLPB,所以而♦丽=|a)-(0,2,—a)=|-|a2=0,解得a=VI

能力练，口¥1

6.［2024辽宁省部分名校联考］已知正方体A8CD—NIBCLDI的棱长为2,尸是空间内的动

点，且I而+西I=2遍，则而•丽的最大值为(B)

A.-8B.-4+2V6C.1D.1

解析如图，连接5D1,取35的中点M,连接则方+阿=

2PM,则I而+西I=I2PMI=2百，即I两I=V3,故动点P的

轨迹为以〃为球心，遍为半径的球.由正方体/BCD—N/CiA的棱长

为2,可知正方体48CD—431GD1外接球的半径为百，故动点P的轨

迹为正方体4BCD-4121cbDi的外接球.

取的中点N,连接尸N,MN,则而•丽=—(.PN+NA)-(前+而)=-(前+

NA)-('PN-NA')=丽一丽2=1一丽2.

____,_____2_

由题可知，IMN|=&,则巡一/WIPNI^V3+V2,5—2乃WI丽IW5+2班,

贝I-4-2V6^1一丽2.一4+2伤

所以而•两的最大值为一4+2遍，故选B.

P

7.［多选/2024浙江联考］如图，在正方体中，44尸2,

点、M,N分别在棱48和A81上运动(不含端点)，若DiMLMN,则下列

I

命题正确的是(AD)

KMNLAiM

BJW_L平面D\MC

C.线段3N长度的最大值为1

D.三棱锥A—NiGM体积不变

解析如图，以。为坐标原点，DA,DC,所在直线分别为x轴，j*■

轴，z轴，建立空间直角坐标系，则4(2,0,2),Di(0,0,2),

设M(2,a,B,N(2,2,b),a,b©(0,2),则瓦标=(2,a,-2),丽=

(0,2—a,b),火DiMLMN,所以西诔丽=a(2—a)~2b=0,得b="7>.

对于A,A^M=(0,a,-2),所以巾•丽=a(2—a)—26=0,故小故A

正确；

对于B,C(0,2,0),MC=(-2,2~a,0),MN-MC=(2—a)2^0,所以MN与

MC不垂直，则MN不垂直于平面故B错误；

对于C,B(2,2,0),IBNI=b=a(2~a)=~|(a—1)2+1,ad(0,2),所以当

a=1时，IBNI取得最大值也故C错误；

对于D,力M-&C仞WXS*m*"=""2><2X2=£故D正确.故选

AD.

8.［多选〃024广东清远模拟］如图，正方体/BCD—481GD1的棱长为

2,点O为底面48co的中心，点尸为侧面ABCC内(不含边界)的

动点，贝!I(AC)；Jr

A.AOJ_/C

B.存在点P,使得。iO〃21P

C.三棱锥A-D^P的体积为3

D.若DxOLPO,则GP的最小值为《

54______<

解析以点。为坐标原点，DA,DC,£>Di所在直线分别为x轴，y

,4:.aJ1

轴，Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则/(2,0,0),C(0,:：二

2,0),D(0,0,0),Di(0,0,2),B\(2,2,2),Ci(0,2,

2),O(1,1,0),设点尸(x,2,z),其中0<x<2,0<z<2.

对于A选项，AC=(-2,2,0),D^O=(1,1,-2),则就•正5=—2+2=0,所以

DiO±AC,故A正确；

对于B选项，瓦/=(x—2,0,z-2),(1，1，-2),若BiP〃DQ,则一=-

,解得x=z=2,不符合题意，所以不存在点P,使得囱尸〃A。，故B错误；

—2

2

对于C选项，SAXDD1=ix2=2,点尸到平面NDD1的距离为2,所以乙_仍止=%_4。外

=lX2X2=p故C正确；

对于D选项，OP=(x-1,1,z),若。1。，尸。，则可万而=x—l+l—2z=x-2z=0,

可得x=2z,

,f0<z<2,

由可得OVzVl,

(0<2z<2,

所以GP=Jx2+(2—2)2+(z—2)2=J5z2—4z+4—J5(z—1),+装》?，当且

仅当z=5时取等号，故D错误.故选AC.

9.如图，已知平行六面体4BCD-N/iGA中，底面488是边长为1

2v

的正方形，441=2,140=120。..-"一

Y'X\

(1)求线段/C1的长；1\\

(2)求异面直线4cl与小。所成角的余弦值；」；

(3)求证：AA\LBD.

解析(1)设荏=〃，AD=b,A4；=c,这三个向量不共面，｛〃，b,c｝构成空间的一个

基底，则I〃I=I8I=1,IcI=2,ab=0,ca=cb=2X1Xcos120。=—1.因为4C；

=AC~\~CCi=ABADAA^=a~\~b~\~c,所以IAC^I—I〃+〃+cI=J(a+b+c)=

/222I

JIaI+I&I+IcI+2(ab+bc+ca)=Jl2+l2+22+2(0—1—1)=鱼.所

以线段4cl的长为鱼.

(2)设异面直线4cl与40所成的角为仇

贝4cos9=Icos<宿，AyD>I=上空I

11IAC^DI

因为ZC；=〃+l+c,A1D=b—c,

所以2。；4了=(a+〃+c)•(〃-c)a-c+A2—c2=0+l+l2—22=—2,

2=2222

IArDI=J(6—c)yJIbI~2b-c+IcI=11—2x~~(—1)+2=V7,所以cos

I-2IV14

A0=v^=—

故异面直线4cl与41。所成角的余弦值为手.

(3)因为44；=c,丽=〃一〃，

所以A41•前=c・(b—a)=cb—ca=(―1)—(―1)=0,

所以历_L而