2025届高三物理暑假复习讲义-曲线运动 运动的合成与分解（含解析）

2025届高三暑假培优物理讲义2025届高三暑假培优讲义—第8

讲曲线运动运动的合成与分解含解析第8讲曲线运动运动

的合成与分解

技由一切德・俵司目标

考点一物体做曲线运动的条件

及轨迹

考点二运动的合成及运动性质

凉布二知己•朴金基础/分析

考点三小船渡河模型

考点四绳(杆)端速度分解模型

模好三摒朝•例取情析

题型1曲线运动条件及特点

题型2曲线运动速率的变化

题型3生活中的运动合成与分解

题型4有关运动合成与分解的

理好三神春,噩型专练图像问题

题型5小船渡河最短时间问题

题型6小船渡河最短5自离问题

题型7绳类关联速度

题型8杆类关联速度

知植•复力。林

1.掌握曲线运动的概念、特点及条件.

2.掌握运动的合成与分解法则.

知3•务实知也

考点一物体做曲线运动的条件及轨迹

1.曲线运动

(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向.

(2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动.

(3)曲线运动的条件：物体所受合处力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同

一条直线上.

2.合外力方向与轨迹的关系

物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间,速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧.

3.速率变化情况判断

（1）当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大;

（2）当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小;

（3）当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变.

探秘­例题样析

[例题1]（2024•重庆模拟）如图所示，“嫦娥号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点向N点飞行的过程

中，速度逐渐减小，在此过程中探月卫星所受合力方向可能是下列图中的（）

[例题2]（2024•金台区模拟）我国研制的“威龙”J-20是高性能五代歼击机，它在空中能做连续的开普勒抛物线飞

行，飞机飞行的轨迹从左向右运动，图中各点的速度与飞机所受合力的方向可能正确的（）

A.a点B.b点C.c点D.d点

[例题3]（2023•黄埔区三模）如图所示，乒乓球从斜面上滚下后在水平桌面上沿直线运动。在与乒乓球运动路线垂

直的方向上横放一个纸筒（纸筒开口略大于乒乓球直径）。人趴在桌子边沿并鼓起嘴巴正对纸筒口，当乒乓球

经过筒口时，对着乒乓球向筒口吹气，则乒乓球被吹后（）

A.保持原运动方向继续前进

B.一定能沿吹气方向进入纸筒

C.偏离原运动方向滚向纸筒左侧

D.偏离原运动方向滚向纸筒右侧

考点二运动的合成及运动性质分析

1.遵循的法则：

位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则.

2.合运动与分运动的关系

(1)等时性:合运动和分运动经历的蛔相等，即同时开始、同时进行、同时停止.

(2)独立性:一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行,不受其他运动的影响.

(3)等效性:各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有定全相同的效果.

3.合运动的性质判断

变化:非匀变速运动

加速度或合外力于在

［不变:匀变速运动

共线：直线运动

加速度或合外力方向与速度方向

不共线：曲线运动

4.两个直线运动的合运动性质的判断

标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线.

两个互成角度的分运动合运动的性质

两个匀速直线运动匀速直线运动

一个匀速直线运动、一个匀变速直线运

匀变速曲线运动

动

两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动

两个初速度不为零的匀变速直线运动如果V仑与。仑共线，为匀变速直线运动

探秘­例题样析

［例题4］(2024•惠州一模)我国的风洞技术处于世界领先地位。如图所示，在某次风洞实验中，一质量为m的轻

质小球，在恒定的风力作用下先后以相同的速度大小v经过a、b两点，速度方向与a、b连线的夹角a、B均

为45。。已知a、b连线长为d,小球的重力忽略不计。则小球从a点运动到b点过程中，下列说法正确的是

A.风力方向与a、b连线平行

V2d

B.所用时间为----

v

C.小球做匀速圆周运动

,,,,2mv2

D.风力大小为一丁

a

[例题5]（2024•沈阳二模）风洞实验是进行空气动力学研究的重要方法。如图所示，将小球从A点以某一速度vo

水平向左抛出，经过一段时间，小球运动到A点正下方的B点，O点是轨迹的最左端，风对小球的作用力水

平向右，大小恒定。则小球速度最小时位于（）

风向v0：

/I

:\

*O*：

I'

一、、•

------、I、

、I

------->1B

A.A点B.O点

C.轨迹AO之间的某一点D.轨迹OB之间的某一点

[例题6]（2024•天河区一模）如图为自动控制货品运动的智能传送带，其奥秘在于面板上蜂窝状的小正六边形部

件，每个部件上有三个导向轮A、B、C,在单个方向轮子的作用下，货品可获得与导向轮同向的速度v,若此

时仅控制A、C两个方向的轮子同时按图示箭头方向等速转动，则货品获得的速度大小为（）

A.vB.V2vC.V3vD.2v

考点三小船渡河模型

小船渡河问题分析

（1）船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动.

（2）三种速度：VI（船在静水中的速度）、也（水流速度）、V（船的实际速度）.

（3）三种情景

①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，f短为河宽）.

②过河路径最短（也<vi时）：合速度垂直于河岸，航程最短，s短=4.船头指向上游与河岸夹角为a,cosa=葭.

③过河路径最短（V2>V1时）：合速度

।/

1

“2

不可能垂直于河岸，无法垂直渡河.确定方法如下：如图所示，以V2矢量末端为圆心，以VI矢量的大小为半径画

弧，从也矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短.由图可知：cosa=子，最短航程：5短=总

V2COS。

=~d.

vi

探秘•创题稀析

[例题7]（2024•肇庆二模）下列说法正确的是（）

A.人在松软的土地上下陷时，人对地面的压力大于地面对人的支持力

B.“强弩之末，势不能穿鲁缩”，是因为弩箭的惯性减小了

C.跳高运动员在越杆时处于平衡状态

D.船相对于静水的速度大于河水流速时，船过河的最短路程等于河的宽度

[例题8]（2023•海南模拟）一小船在静水中的速度为3m/s,它在一条河宽150m,流速为5m/s的河流中渡河，则

下列说法正确的是（）

A.小船渡河时间不少于60s

B.小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为150m

C.小船以最短位移渡河时，位移大小为250m

D.小船以最短位移渡河时，时间为60s

[例题9]（2023•南岗区校级三模）如图所示，以岸边。点为原点建立空间直角坐标系，x轴沿河岸方向、y轴垂直

河岸方向、z轴竖直向上。水速恒为vx=5m/s,方向沿x轴正向。t=0时刻开始，某船保持船头始终朝向y轴

正方向运动至江心，船在y方向上的初速度为零，加速度为的=4根/S2。船在x轴方向上的速度始终与水速相

同。在t=5s时，船员相对船体以vz=10m/s的速度将一个小石块垂直向上抛出，忽略空气阻力，重力加速度

取g=10m/s2。求：

（1）t=5s时船的位置坐标（xi,yl,zi）；

（2）石块到达最高点时的位置坐标（X2,y2,Z2）=

考点四绳（杆）端速度分解模型

1.模型特点

沿绳（或杆）方向的速度分量大小相等.

2.思路与方法

合运动一绳拉物体的实际运动速度v

_［其一：沿绳或杆的速度也

分运动—《甘一I,jaTtTK古"八'击舟

［其一：与绳或杆垂直的分速度也

方法：也与V2的合成遵循平行四边形定则.

3.解题的原则：

把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解.常见的

模型如图8所示.

［例题10］（2024•碑林区校级模拟）甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，

甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑

动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（）

A.甲、乙两球的速度大小之比为4：3

B.甲、乙两球的速度大小之比为3；V7

C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等

D.甲球即将落地时，乙球的速度达到最大

［例题11］（2023•琼山区校级三模）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m

的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由

静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时（图中B处），下列说法正确的是（）

A.环减少的机械能大于重物增加的机械能

B.小环到达B处时，重物上升的高度也为d

V2

C.环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为学

D.环在B处的速度为黄=J（3-2a）gd

[例题12]（2023•泰和县校级一模）质量为m的物体P置于倾角为&的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分

别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。已知重力加速度

为g。当小车和滑轮间的细绳与水平方向成夹角例时（如图），下列判断正确的是（）

A.P的速率为v

B.P的速率为vsin02

C.运动过程中P处于超重状态

D.线的拉力始终等于mgsinOi

解惑•题型台薄

题型1曲线运动条件及特点

1.（2023•昌平区模拟）关于曲线运动，下列说法正确的是（）

A.曲线运动的速度方向可以不变

B.匀变速曲线运动任意相等时间内速度的变化量相同

C.速率恒定的曲线运动，任意相等时间内速度的变化量相同

D.物体受到的合外力持续为零时，物体仍可以做曲线运动

2.（2023•海口一模）如图所示，这是质点只在重力作用下所做的曲线运动轨迹的示意图，已知B为轨迹的最高

点，则下列说法正确的是（）

A.质点在B点时的加速度方向与速度方向不垂直

B.质点在A点时的加速度比在B点时的加速度小

C.质点在C点时的速率大于在B点时的速率

D.质点从A点到C点，加速度方向与速度方向的夹角先减小后增大，速度先增大后减小

题型2曲线运动速率的变化

3.（2023•鞍山一模）“歼-20”再次闪亮登场2022珠海航展。如图所示，战机先水平向右，再沿曲线ab向上，最

后沿陡斜线直入云霄。设飞行路径在同一竖直面内，飞行速率不变，则沿ab段曲线飞行时，战机（）

,/

A.所受合外力不变

B.所受合外力方向竖直向上

C.竖直方向的分速度不变

D.水平方向的分速度逐渐减小

4.（多选）（2022•海拉尔区校级四模）冰壶比赛中投壶手在投出冰壶时会带有一定的旋转（自旋），擦冰手在冰壶

运动的前方高速摩擦冰面（刷冰），减小冰壶前侧受到的摩擦力，可使冰壶做曲线运动。在图示的各图中，圆表

示冰壶，3表示冰壶自旋的方向，V表示冰壶前进的方向，则在刷冰的过程中，冰壶运动的轨迹（虚线表示）

可能正确的是（）

'Vfv

A.B.C.D.

题型3生活中的运动合成与分解

5.（2024•海门区校级二模）如图所示，光滑水平桌面上，一小球以速度v向右匀速运动，当它经过靠近桌边的竖

直木板ad边正前方时，木板开始做自由落体运动。若木板开始运动时，cd边与桌面相齐，则小球在木板.上

的投影轨迹是（）

6.（多选）（2024•佛山二模）如图所示，在一条玻璃生产线上，宽3m的待切割玻璃板以0.4m/s的速度向前匀速

平移。在切割工序处，金刚石切割刀的移动速度为0.5m/s,下列说法正确的是（）

A.切割一块矩形玻璃需要10s

B.切割得到的矩形玻璃长为2.4m

C.切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向夹角为37。，可使割下的玻璃板呈矩形

D.切割刀的移动轨迹与玻璃板平移方向夹角为143。，可使割下的玻璃板呈矩形

题型4有关运动合成与分解的图像问题

7.（2023•浙江模拟）由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示，

图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的理想运动轨迹。O、a、b、c、d为弹道曲线上的五点，其中O点为发

射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c为运动过程中经过的距地面高度相等的两点，重力加速度为

go下列说法正确的是（）

y

，--…、、图物线

《弹道曲鼠\、

。dx

A.炮弹到达最高点b时的加速度为g

B.炮弹经过c点时的加速度方向沿该点切线斜向上

C.炮弹经过a点时加速度的竖直分量大于g

D.炮弹由a点运动到b点的时间与由b点运动到c点的时间相等

8.（2024•吉林一模）质量为2kg的质点在xy平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图

所示，下列说法正确的是（）

A.质点的初速度为3m/s

B.质点所受的合外力为3N

C.质点初速度的方向与合外力方向垂直

D.2s末质点速度大小为6m/s

题型5小船渡河最短时间问题

9.（多选）（2023•上饶模拟）一艘小船正在渡河，如图所示，在到达离河对岸60m处的P点时，其下游80m处

有一危险水域，已知船在静水中的最大速度为6m/s,水流的速度大小为5m/s,P点离另一河岸的距离大于100m,

下列说法正确的是（）

80m

：--危-

二险:

i::g：

A.小船以最短时间渡河时，可以安全到达河岸

B.小船以最短时间渡河时，不能安全到达河岸

C.小船渡河的位移可能为60m

D.小船渡河的位移不可能为100m

10.（2022•桃城区校级模拟）某小船在河宽为d,水速恒定为v的河中渡河，第一次用最短时间从渡口向对岸开

去，此时小船在静水中航行的速度为VI,所用时间为⑴第二次用最短航程渡河从同一渡口向对岸开去，此时

小船在静水中航行的速度为V2,所用时间为t2,结果两次恰好抵达对岸的同一地点，则（）

A.第一次所用时间ti=3

B.第二次所用时间t2=§

C.两次渡河的位移大小之比为"

%

D.两次渡河所用时间之比匕=

题型6小船渡河最短距离问题

11.（2022•市中区校级模拟）一条平直小河的河水由西向东流，水流速度的大小为v水=4m/s,让小船船头垂直河

岸由南向北渡河，已知小船在垂直河岸方向运动的规律满足x=6t-0.05t2,且小船刚好到达河对岸，则小船在

渡河的这段时间内的运动情况，下列说法正确的是（）

A.小船渡河的轨迹为直线

B.小船在河水中40s时的速度为何m/s

C.小船在河水中40s时的位移为160m

D.小船到达河对岸时沿河岸方向运动的位移为240m

题型7绳类关联速度

12.（2023•重庆模拟）如图所示，物体A和小车用轻绳连接在一起，小车以速度vo向右匀速运动。当小车运动到

图示位置时，轻绳与水平方向的夹角为0,关于此时物体A的运动情况的描述正确的是（）

B.物体A的速度大小VA=VO

C.物体A的速度大小vA=vosin0

D.物体A的速度大小VA=VOCOSO

13.（2023•凯里市校级模拟）如图所示，质量为m的木块a放置在倾角为a的固定斜面上，通过一根不可伸长的

细线绕过固定在斜面上的轻滑轮与质量为m、套在杆上的小球b相连，小球以速率v向左匀速运动，不计空气

阻力和一切摩擦力，重力加速度为g。当细线与水平杆的夹角为B时（）

A.木块a的速度大小为v

V

B.木块a的速度大小为----

cosp

C.细线的拉力大于mgsina

D.细线的拉力小于mgsina

题型8杆类关联速度

14.（2023•浙江模拟）如图所示，斯特林发动机的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动。连杆AB,

OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动，连杆OB长为R,连杆AB长为L（L>R）,当OB杆以角速度co逆

时针匀速转动时，滑块在水平横杆上左右滑动，连杆AB与水平方向夹角为a,AB杆与OB杆的夹角为［3。在滑块

A.滑块A从右向左先做加速度减小的加速运动，后做加速度减小的减速运动

B.当OB杆与OA垂直时，滑块的速度最大

R2G

C.当OB杆与OA垂直时，滑块的速度大小为一广

D.当。=90。时，滑块的速度大小为——~——

15.（2022•雨花区校级一模）往复式活塞压缩机简图如图所示，圆盘与活塞通过钱链A、B连接在轻杆两端，左侧

活塞被轨道固定，只能在AO方向运动。圆盘绕圆心O做角速度为0的匀速圆周运动。已知OB距离为r。AB

杆长L>2r,则（）

A.当杆长不变时，若OB距离变大，活塞运动的范围变小

B.当OB距离不变时，杆长L越大，活塞运动的范围越大

C.当OB垂直于AO时，活塞速度为cor

D.当OB垂直于AB时，活塞速度为cor

第8讲曲线运动运动的合成与分解

我好一切彼・俵习目标

考点一物体做曲线运动的条件

,及轨迹

考点二运动的合成及运动性质

/分析

考点三小船渡河模型

考点四绳(杆)端速度分解模型

题型1曲线运动条件及特点

(题型2曲线运动速率的变化

V题型3生活中的运动合成与分解

(题型4有关运动合成与分解的

图像问题

题型5小船渡河最短时间问题

题型6小船渡河最短g自离问题

题型7绳类关联速度

题型8杆类关联速度

知被•夏习。林

I.掌握曲线运动的概念、特点及条件.

2.掌握运动的合成与分解法则.

知3•务实对M

考点一物体做曲线运动的条件及轨迹

1.曲线运动

(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向.

⑵运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动.

(3)曲线运动的条件：物体所受合处力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同

一条直线上.

2.合外力方向与轨迹的关系

物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧.

3.速率变化情况判断

（1）当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大;

（2）当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小;

（3）当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变.

提秘•创题稀析

[例题13]（2024•重庆模拟）如图所示，“嫦娥号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点向N点飞行的过程

中，速度逐渐减小，在此过程中探月卫星所受合力方向可能是下列图中的（）

【解答】解：“嫦娥号”探月卫星从M点运动到N,做曲线运动，速度逐渐减小，故合力指向指向凹侧，且合力

与速度的方向的夹角要大于90。，故ABC错误，D正确。

故选：D。

[例题14]（2024•金台区模拟）我国研制的“威龙”J-20是高性能五代歼击机，它在空中能做连续的开普勒抛物线飞

行，飞机飞行的轨迹从左向右运动，图中各点的速度与飞机所受合力的方向可能正确的（）

A.a点B.b点C.c点D.d点

【解答】解：由于曲线运动的速度方向沿轨迹上该点的切线方向，合外力应指向曲线的内侧，故ACD错误，B

正确

故选：Bo

[例题15]（2023•黄埔区三模）如图所示，乒乓球从斜面上滚下后在水平桌面上沿直线运动。在与乒乓球运动路线垂

直的方向上横放一个纸筒（纸筒开口略大于乒乓球直径）。人趴在桌子边沿并鼓起嘴巴正对纸筒口，当乒乓球

经过筒口时，对着乒乓球向筒口吹气，则乒乓球被吹后（）

A.保持原运动方向继续前进

B.一定能沿吹气方向进入纸筒

C.偏离原运动方向滚向纸筒左侧

D.偏离原运动方向滚向纸筒右侧

【解答】解：一开始乒乓球向右运动，当乒乓球受到沿纸筒方向的吹气的力后，乒乓球参与了两个方向的分运动,

会偏离原运动方向滚向纸筒右侧；由于惯性，乒乓球不可能吹气方向进入纸筒。故ABC错误，D正确。

故选：D。

考点二运动的合成及运动性质分析

1.遵循的法则：

位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则.

2.合运动与分运动的关系

(1)等时性:合运动和分运动经历的蛔相等，即同时开始、同时进行、同时停止.

(2)独立性:一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行,不受其他运动的影响.

(3)等效性:各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果.

3.合运动的性质判断

变化：非匀变速运动

加速度或合外力

.不变：匀变速运动

<

共线：直线运动

加速度或合外力方向与速度方向

.不共线：曲线运动

4.两个直线运动的合运动性质的判断

标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线.

两个互成角度的分运动合运动的性质

两个匀速直线运动匀速直线运动

一个匀速直线运动、一个匀变速直线运

匀变速曲线运动

动

两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动

两个初速度不为零的匀变速直线运动如果V合与a合共线，为匀变速直线运动

—龈■七

探秘­创题样析

[例题16](2024•惠州一模)我国的风洞技术处于世界领先地位。如图所示，在某次风洞实验中，一质量为m的轻

质小球，在恒定的风力作用下先后以相同的速度大小v经过a、b两点，速度方向与a、b连线的夹角a、B均

为45。。已知a、b连线长为d,小球的重力忽略不计。则小球从a点运动到b点过程中，下列说法正确的是

)

V

A.风力方向与a、b连线平行

B.所用时间为回

V

C.小球做匀速圆周运动

,,,,2mv2

D.风力大小为一7一

a

【解答】解：A、由题意可知小球做匀变速曲线运动，根据加速度的定义可知加速度方向移动和速度变化量的方

向相同，根据几何关系可知加速度（或合力）方向垂直于a、b连线，如图，

所以风力方向垂直于a、b连线，故A错误；

B、小球的速度沿a、b连线方向的分速度为：vi=vsin45°=

由于沿ab方向是做匀速直线运动，所以a运动到b的时间为：t=§=《-=尊，故B正确；

V1与vv

C、小球受到恒定风力的作用，做匀变速曲线运动。而匀速圆周运动必须受到始终指向圆心方向的合力，小球不

可能做匀速圆周运动，故C错误；

D、根据平行四边形定则和数学知识可得：沿风力的方向从a点运动到b点的速度变化量为：

Av风=丫$呻-（-vsina）=vsin45°+vcos450=V2v

那么加速度为：。=—篝=鲁=身

I7LdCL

v

根据牛顿第二定律，从a点运动到b点的风力为：F=ma=^,故D错误。

故选：Bo

[例题17]（2024•沈阳二模）风洞实验是进行空气动力学研究的重要方法。如图所示，将小球从A点以某一速度vo

水平向左抛出，经过一段时间，小球运动到A点正下方的B点，O点是轨迹的最左端，风对小球的作用力水

平向右，大小恒定。则小球速度最小时位于（）

风向V：

---------**7-OA

,-z:

0*：

1

一、、•

------»、、I

、I

---------►1B

A.A点B.。点

C.轨迹AO之间的某一点D.轨迹OB之间的某一点

【解答】解：风对小球的力恒定，说明水平方向的加速度恒定，设水平方向加速度为a,则有vx=vo-at

竖直方向受重力加速度影响，做匀加速运动，有Vy=gt

2222222

合速度为v=J误+哆=y1gt+VQ+at—2voat=yj（g+a）t—2voat+VQ

根号内为二次函数，其对称轴为t=/并理7说明当t=力与时，合速度有最小值

当Vx=vo-at=O时，t=%=翠＞苧，，说明最小速度出现在A0轨迹之间的某一点，故C正确，ABD错

ctaL。乙+。乙

误；

故选：Co

[例题18]（2024•天河区一模）如图为自动控制货品运动的智能传送带，其奥秘在于面板上蜂窝状的小正六边形部

件，每个部件上有三个导向轮A、B、C,在单个方向轮子的作用下，货品可获得与导向轮同向的速度v,若此

时仅控制A、C两个方向的轮子同时按图示箭头方向等速转动，则货品获得的速度大小为（）

A.vB.V2vC.V3vD.2v

【解答】解：物体参与了两个方向的运动，两个分速度的夹角为60。，根据速度合成可知，合速度为

v实际=2vcos30°=V3v

故ABD错误，C正确。

故选：Co

考点三小船渡河模型

小船渡河问题分析

（1）船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动.

（2）三种速度：VI（船在静水中的速度）、也（水流速度）、V（船的实际速度）.

（3）三种情景

①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，/短=（（d为河宽）.

②过河路径最短（也＜也时）：合速度垂直于河岸，航程最短，S短=4.船头指向上游与河岸夹角为a,cos6（=充

③过河路径最短（吸〉VI时）：合速度

不可能垂直于河岸，无法垂直渡河.确定方法如下：如图所示，以V2矢量末端为圆心，以VI矢量的大小为半径画

弧，从血矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短.由图可知：cosa=?,最短航程：5短=总

V2cosa

提秘•创题稀析

[例题19]（2024•肇庆二模）下列说法正确的是（）

A.人在松软的土地上下陷时，人对地面的压力大于地面对人的支持力

B.“强弩之末，势不能穿鲁缩”，是因为弩箭的惯性减小了

C.跳高运动员在越杆时处于平衡状态

D.船相对于静水的速度大于河水流速时，船过河的最短路程等于河的宽度

【解答】解：A.人对地面的压力与地面对人的支持力是作用力与反作用力，二者大小始终相等，故A错误；

B.质量是惯性大小的量度，与速度无关，故B错误；

C.跳高运动员在越杆时受重力作用，受到的力不等于零，所以不是平衡状态，故C错误；

D.船相对于静水的速度大于河水流速时，合速度可以垂直于河岸，船过河的最短路程等于河的宽度，故D正确。

故选：D。

[例题20]（2023•海南模拟）一小船在静水中的速度为3m/s,它在一条河宽150m,流速为5m/s的河流中渡河，则

下列说法正确的是（）

A.小船渡河时间不少于60s

B.小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为150m

C.小船以最短位移渡河时，位移大小为250m

D.小船以最短位移渡河时，时间为60s

【解答】解：AD、当船头垂直对岸行驶时时间最短，故最短时间是tmin=§代入数据解得tmin=50s,故AD错

误；

B、船以最短时间渡河，它沿水流方向位移大小为x=v水t代入数据解得x=250m,故B错误;

C、因船速小于水速，故当合速度方向与船速垂直时，渡河位移最短，如图所示

设此时合速度的方向与河岸的夹角为0,Sin0=^=|,则渡河的最小位移为x=忌代入数据解得x=250m,

水

故C正确；

故选：Co

［例题21］(2023•南岗区校级三模)如图所示，以岸边。点为原点建立空间直角坐标系，x轴沿河岸方向、y轴垂直

河岸方向、z轴竖直向上。水速恒为vx=5m/s,方向沿x轴正向。t=0时刻开始，某船保持船头始终朝向y轴

正方向运动至江心，船在y方向上的初速度为零，加速度为的=4瓶/$2。船在x轴方向上的速度始终与水速相

同。在t=5s时，船员相对船体以vz=10m/s的速度将一个小石块垂直向上抛出，忽略空气阻力，重力加速度

取g=10m/s2。求：

(1)t=5s时船的位置坐标(xi,yl,zi)；

(2)石块到达最高点时的位置坐标(X2,y2,Z2)o

【解答】解：(1)沿y方向做匀加速直线运动，则：%=1的〃

代入已知数据解得：yi=50m

X方向做匀速直线运动，则Xl=Vxt

代入已知条件解得：xi=25m

所以t=5s时船的位置坐标为(25m,50m,0)

(2)石块扔出瞬间，止匕时：vy=ayt=4x5m/s=20m/s

石块到达最高点的时间：£2=号=柴=卜

此时x方向的位移：X2=vx(t+t2)=5(5+1)m=30m

y方向的位移：y2=yi+vyt2=50m+20xlm=70m

沿z方向的位移：=［自行=2X10x12m=5m

所以石块到达最高点时的位置坐标(30m,70m,5m)

答：(1)t=5s时船的位置坐标(25m,50m,0)；

（2）石块到达最高点时的位置坐标（30m,70m,5m）。

考点四绳（杆）端速度分解模型

1.模型特点

沿绳（或杆）方向的速度分量大小相等.

2.思路与方法

合运动一绳拉物体的实际运动速度v

其一：沿绳或杆的速度也

分运动

其二：与绳或杆垂直的分速度也

方法：也与V2的合成遵循平行四边形定则.

3.解题的原则:

把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量,根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解.常见的

模型如图8所示.

乙

探秘­例题样析

[例题22]（2024•碑林区校级模拟）甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，

甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑

动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（）

A.甲、乙两球的速度大小之比为4：3

B.甲、乙两球的速度大小之比为3：V7

C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等

D.甲球即将落地时，乙球的速度达到最大

【解答】解：AB、当乙球距离起点3m时，设轻杆与竖直方向夹角为0,根据几何知识可得sinO=[cos9=g

将两球的速度分别沿杆和垂直于杆的方向进行分解，如图所示：

则甲的速度VI在沿杆方向的分量为VIfl：=vicos0,乙的速度V2在沿杆方向的分量为V2fF=V2SinO,结合VI杆=丫2

杆，解得甲、乙两球的速度大小之比为VI：V2=3：V7,故A错误，B正确；

CD、当甲球即将落地时，0=90。，此时甲球的速度达到最大，根据vicos0=v2sin0,得乙球的速度v2=0,故CD

错误；

故选：Bo

[例题23](2023•琼山区校级三模)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m

的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由

静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是()

A.环减少的机械能大于重物增加的机械能

B.小环到达B处时，重物上升的高度也为d

C.环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为V停2

D.环在B处的速度为u=](3-2鱼)gd

【解答】解：A、由于小环和重物只有重力做功，则系统机械能守恒，所以环减少的机械能等于重物增加的机械

能，故A错误；

B、结合几何关系可知，重物上升的高度：h=-^-d=(V2-1)d,故B错误；

C、两个物体沿着绳子方向的分速度，故：丫环8$45。=丫6,故环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为企：

1,故C错误；

D、小环和重物组成的系统机械能守恒，故:mgd=1mv环2+^(2m)泥+(2m)gh；联立解得:v环=J(3-2V2)gd,

故D正确。

故选：D。

[例题24]（2023•泰和县校级一模）质量为m的物体P置于倾角为01的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分

别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。已知重力加速度

为g。当小车和滑轮间的细绳与水平方向成夹角02时（如图），下列判断正确的是（）

A.P的速率为v

B.P的速率为vsin02

C.运动过程中P处于超重状态

D.线的拉力始终等于mgsinOi

【解答】解：AB、将小车的速度沿细绳和垂直细绳方向分解，如图所示:

可知沿细绳方向分速度表达式为VP=V2=VCOs02,故A、B错误；

CD、由于小车往右运动，可知。2逐渐减小，因此VCOS02在逐渐增大，所以P往上做加速运动，故C正确，D错

误。

故选：Co

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解惑•题型有球

题型1曲线运动条件及特点

15.（2023•昌平区模拟）关于曲线运动，下列说法正确的是（