初中数学 认识有理数（有理数及其分类）知识梳理与分类讲解

专题2.1认识有理数（有理数及其分类）

（知识梳理与考点分类讲解）

第一部分【知识点归纳】

【知识点一】认识正数、负数

（1）正数：像+5,+g,万，2.86这样大于0的数（“+”通常省略不写）叫做正数，正数大

于0;

（2）负数：像-5,-4焉，-0.68这样正数前面加个符号“一”（负号）的数叫做负数，负数小

O

于0;

（3）0：既不是正数也不是负数，正负数以0为界.规定：0是最小的自然数.

【知识点二】正、负数的意义

（1）具有相反意义的量：我们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义

规定为负的，负数是根据实际需要而产生的.

（2）具有相反意义的量的表达：描述一对具有相反意义的量的词语一般是有一对反义词，

习惯上，把“上升、增加、盈利、收入”等规定为正，“下降、减少、亏损、支出”等规定为

负.

【知识点三】有理数的概念

整数和分数统称有理数.

知识拓展：有限小数和无限循环小数都可以化为分数；反过来，分数都可以化为有限小数和

无限循环小数.

【知识点四】有理数的分类

（-）按定义分类（二）按性质分类

*

‘正整数‘正整数

正有理数＜

整数＜零正分数

有理数＜负整数有理数■零

【正分数'负整数

分数•负有理数，

负分数负分数

知识拓展：（1）小数包括无限不循环小数，故小数不能等同于分数，但除了.无限不循环小

数，其他小数都属于分数；（2）圆周率乃是无限不循环小数，它不能化为分数，是将来要

学的无理数.

试卷第1页，共6页

【知识点五】0的意义

（1）既不是正数也不是负数，正负数以0为界；（2）为了表示没有而产生一个数0；（3）

0还可以表示为一个事件的起点；（4）与0对应的是非零，非零表示正数或负数，总之，一

个圈，表示的意义有无穷无尽的地方.

【知识点六】带“非”字的有理数

带“非”字的有理数“非负数”“非正数”“非负整数”“非正整数”“非零”“非小数”等等，如“非负数”

表示不是负数，就是正数或0,在理解“非负整数”，表示的含义有两层意义：首先它是整数，

其次它才是正负整数，所以“非负整数”表示的是不是负整数，就是0和正整数，这是学生易

错的地方.

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】正负数的意义与相反意义的量

【例1】

1.如果把一个物体向右移动1m记作移动+hn,那么这个物体又移动了-1m是什么意思？

如何描述这时物体的位置？

【变式1】

（2024•四川自贡•二模）

2.负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作+5

元，那么支出8元记作（）

A.-8元B.3元C.-3元D.+13元

【变式2】

（2024七年级上•山东青岛•专题练习）

3.下列各数中：5,-;，-3,0,-25.8,+2,负数有个.

【题型2】正负数的实际应用

【例2】

（24-25七年级上•全国•假期作业）

4.某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有"500±30（mL）”字样，请问"500±30（mL）”

是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为503mL,511mL,489mL,473mL,

527mL，问抽查产品的容量是否合格？

【变式1】

试卷第2页，共6页

（24-25七年级上•全国•随堂练习）

5.两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、

吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业.小虎所在的生产车间需要加工标

准尺寸为4.5mm的零部件，其中（4.5±0.2）mm范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件

不合格的是（）

A.4.4mmB.4.5mmC.4.6mmD.4.8mm

【变式2】

（2024•甘肃陇南•模拟预测）

6.根据文献记载，魏晋学者刘徽是引入负数概念的第一人，他在注解《九章算术》时写道:

“正算赤，负算黑；否则以斜正为异.今两算得失相反，要令正负以名之.”简而言之，刘徽

不仅给了正负数定义，而且还指出用赤黑区分正负数，即“正算赤，负算黑”.如果向东走

30米记作“+30米”，那么向西走70米记作.

【题型3】有理数的分类

【例3】

（24-25七年级上•全国•随堂练习）

7.把下列各数的序号填在相应的大括号里：

21

（T）0：（2）3.1415926；③200；（4）—2020；⑤—6.143；⑥）+108；（7）—；（8）—.

整数：{…};

正数：{•­-};

正分数：{…};

负有理数：{­••}.

【变式1】

（2024七年级上•全国•专题练习）

8.下列是数的分类，正确的是（）

整数有理数整数D.有理数［整数

A.有理数B.整数C.分数

分数分数有理数I0

【变式2】

（2024七年级上•全国•专题练习）

试卷第3页，共6页

22jr-314

9.在3.14,0,-2,0.12,y,——,0.2020020002...,中，正有理数有个.

【题型4】理解0的意义

【例4】

（20-21七年级•全国•假期作业）

10.请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性.（例：0是绝对值最小的数.例句除外）

【变式1】

（2024七年级上•山东青岛•专题练习）

11.下列关于零的说法中，正确的是（）

A.零是正数B.零是负数

C.零既不是正数，也不是负数D.零仅表示没有

【变式2】

（2024七年级上•山东青岛•专题练习）

12.下列关于“0”的说法正确的有个.

①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数

的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数.

【题型5】带“非”字的有理数

【例5】

（23-24七年级上•河南鹤壁•期中）

221

13.把下列各数分别填入相应的大括号内：-2,0,-0.314,25%,11,―,-4-,0.3,

2）.

5

非负有理数：｛…｝;

整数：｛…｝；

自然数：｛

非正整数：｛…｝.

【变式1】

（23-24七年级上•浙江宁波•期中）

12

14.已知下列各数：-8,2.57,6,----0.25,1-,0,其中非负有理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

试卷第4页，共6页

【变式2】

（24-25七年级上•全国,随堂练习）

34

15.在+8,0,-］，+《，2023,-5,0.26,11.3中，非负整数有个.

第三部分【中考链接与拓展延伸】

1、直通中考

【例1】

（2024•河北•中考真题）

16.如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是

（）

星期星期星期星期四

///

2T40c

【例2】

（2024•湖北武汉•中考真题）

17.中国是世界上最早使用负数的国家.负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3C

记作+3℃,则零下2℃记作℃.

2、拓展延伸

【例1】

18.把下列各数填入相应的数集中：

223

+1—、-5%、200、-3、6.8、0、一一、0.12003407,1、-43.555、77%、-3-

5154

（1）非负数集合：（2）负有理数集合：

（3）正整数集合:（4）负分数集合:

【例2】

19.把下列各数分别填在相应的横线上：

试卷第5页，共6页

1,-0.20,3：,325,-789,0,-23.13,0.618,-2014,兀，0,1010010001....正数

有：;

分数有：;

负数有：;

正整数有：;

非正数有：;

负整数有：;

非负数有：;

负分数有：;非负整数

有：.

试卷第6页，共6页

1.这个物体又移动了-1m表示物体又向左移动了1m.此时物体回到了原来的位置.

【分析】根据正负数的意义即可得出答案.

【详解】这个物体又移动了-1m表示物体又向左移动了1m.此时物体回到了原来的位

置.

【点睛】本题考查正负数的实际意义，解题的关键是正确理解“正”和“负”的相对性.

2.A

【分析】根据正数和负数的定义进行解答.

本题考查了正数和负数的定义，掌握正数和负数的定义是关键.

【详解】解：如果把收入5元记作+5元，

那么支出8元记作-8元.

故选：A.

3.3

【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，注意零既不是正数，也不是负数.掌握正负

数的定义是解决问题的关键.

根据正数和负数的定义判断即可，注意：零既不是正数，也不是负数.

【详解】解：5>0,是正数；

\<°，是负数；

-3<0,是负数；

0既不是正数，也不是负数；

-25.8<0,是负数;

+2>0,是正数；

负数有-：，-3,-25.8,共3个.

故答案为：3个.

4.合格，过程见详解

【分析】本题考查用正负数表示变化的量，在用正负数表示变化的量时，先规定其中的一个

为正(或负)，则其相反意义的量就用负(或正)表示.

理解500±30(mL)的意义,根据题意进行判断即可.

【详解】解：“500土30(mL)”是500mL为标准容量，470-530(mL)是合格范围，

故503mL,511mL,489mL,473mL,527mL,抽查产品的容量是合格的.

答案第1页，共6页

5.D

【分析】本题考查正数和负数，根据正数和负数的实际意义求得合格尺寸的范围，然后进行

判断即可，结合已知条件求得合格尺寸的范围是解题的关键.

【详解】解：由题意可得合格尺寸的范围为4.3mm~4.7mm,4.8mm不在尺寸范围内，

故选：D.

6.-70米

【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示意义相反的量，向西走为正，则向东走为

负，即可得出结果；

【详解】解：向东走30米记作“+30米”，那么向西走70米记作-70米；

故答案为：-70米

7.①③④⑥；②③⑥⑧；②⑧；④⑤⑦

【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键.根据有理数

的分类，即可求解.

【详解】解：整数：｛①③④⑥……｝；

正数：｛②③⑥⑧……｝

正分数：｛②⑧……｝

负有理数：｛④⑤⑦……｝

故答案为：①③④⑥；②③⑥⑧；②⑧；④⑤⑦.

8.A

【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，以及有理数的分类，解题的关键是熟练掌握所

学的知识.按照有理数、整数、分数的概念进行判断即可得出答案.

【详解】解：有理数可分为整数和分数，故A选项正确，符合题意；

整数可分为：正整数，0,负整数，故B选项错误，不符合题意；

分数可分为：正分数，负分数，故C选项错误，不符合题意；

有理数可分为整数和分数，故D选项错误，不符合题意.

故选：A.

9.3

【分析】本题主要考查了有理数的知识，根据正有理数的概念分析各数，即可获得答案.

227T-314

【详解】解：在3.14,0,-2,O.i2,y,——,0.2020020002...,中，

答案第2页，共6页

正有理数有：3.14,0.12,―,共3个，

故答案为：3.

10.见解析

【分析】根据题意可以写出零的数学特性，本题得以解决.

【详解】解：①零既不是正数也不是负数；

②零小于正数，大于负数；

③零不能做分母；

④零是最小的非负数；

⑤零的相反数是零；

⑥任何不为零的数的零次幕为1:

⑦零乘以任何数都是零等.

【点睛】本题考查有理数，解题的关键是明确题意，可以仿照例句写出关于零的别的数学特

性.

11.C

【分析】本题考查了对数的理解与运用，注意：负数都小于零，正数都大于零，零既不是正

数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数；零不仅表示没有，还表示一个介于负数与正

数之间的一个数.

依据题意，零大于负数，小于正数，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整

数，从而即可根据以上内容判断求解.

【详解】解：A、零不是正数，说法错误；

B、零不是负数，说法错误；

C、零既不是正数，也不是负数，说法正确；

D、零不仅仅表示没有，不同情形下，零表示的意义不同，说法错误；

故选：C.

12.4

【分析】本题考查了对数字0的认识，注意：负数都小于零，正数都大于零，零既不是正数

也不是负数，整数包括正整数、零、负整数；零不仅表示没有，还表示一个介于负数与正数

之间的一个数.

依据题意，零大于负数，小于正数，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整

答案第3页，共6页

数，零是自然数，零是偶数，从而即可根据以上内容判断求解.

【详解】0是正数和负数的分界点，故①正确；

0既不是正数，也不是负数，故②错误，⑥正确；

0是自然数，故③正确；

存在既不是正数也不是负数的数，即0,故④错误；

0既是整数也是偶数，故⑤正确；

故答案为：4.

223

13.0,25%,11,—,0.3,2-；-2,0,11；0,11；-2,0

75

【分析】本题主要考查有理数的分类，熟知有理数分类是解题关键.根据有理数的分类填空

即可.

223

【详解】解：非负有理数：｛0,25%,11,―,0.3,2-...｝；

整数：｛-2,0,11...｝；

自然数：｛0,11...｝;

非正整数：｛-2,0...｝.

14.D

【分析】此题主要考查了有理数的分类，正确掌握相关定义是解题关键.直接利用非负有理

数的定义得出答案即可.

122

【详解】解：-8,2.57,6,-0.25,lj,。中非负有理数有：2.57,6,1-,0共

4个.

故选：D.

15.3

【分析】本题考查有理数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.非负整数

包括正整数和0,据此即可求得答案.

【详解】解：+8,0,2023是非负整数，共3个，

故答案为：3.

16.A

【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键.

由五日气温为-2℃,-4coe得到-2>-4,-4<0<1,1>-1,则气温变化为先下降,

然后上升，再上升，再下降.

答案第4页，共6页

【详解】解：由五日气温为-2C-4coeic-rc得到一2>-4,-4<0<1,1>-1

•••气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降.

故选：A.

17.-2

【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正,

则另一个就用负表示.

【详解】解：零上3。。记作+3℃,则零下2℃记作-2℃.,

故答案为：-2.

2

18.(1)+1->200、6.8、0、0.12003407、1、77%；

23

(2)-5%、-3、——、-43.555、-3-；

154

(3)200、1；

23

(4)-5%、一一、-43.555、-3-.

154

【分析】根据有理数的分类，可得答案

2

【详解】解：(1)非负数集合：+1~>200、6.8、0、0.12003407>1、77%；

23

(2)负有理数集合：-5%、-3、一二、-43.555、-3：；

154

(3)正整数集合：200、1；

23

(4)负分数集合：-5%、一=、-43.555、-3-.

154

【点睛】本题考查了有理数，熟知有理数的分类是解题关键.