人教A版（2019）必修第二册7.1复数的概念(学案)(原卷版+解析)

7.1复数的概念（学案）知识自测知识自测一．复数的有关概念1.复数(1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.（b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.）2.复数集(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.(2)表示：通常用大写字母C表示.二．复数的分类1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系三．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0.四．复平面五．复数的几何意义1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).六．复数的模1.定义：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.3.公式：|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).七．共轭复数1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.2.表示：z的共轭复数用eq\x\to(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi.知识简用知识简用题型一实部虚部辨析【例1-1】（2022春·新疆喀什·高一统考期中）复数（i为虚数单位）的虚部为（

）A． B．6 C．3 D．【例1-2】（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）已知复数的实部和虚部分别为和4，则实数和的值分别是（

）A． B． C． D．【例1-3】（2022·高一课时练习）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为（

）A．2 B． C． D．题型二复数的分类【例2-1】（2022·高一课时练习）在，，，，0.618这五个数中，纯虚数的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【例2-2】（2023·高一单元测试）实数a分别取什么值时，复数是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？题型三复数相等【例3-1】（2022·高一课时练习）若，，则复数等于（

）A． B． C． D．【例3-2】（2022·高一课前预习）若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝（

）A． B．－ C．－ D．5题型四复平面及其应用【例4-1】（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例4-2】（2022·高一课时练习）当时，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例4-3】（2022春·河南·高一校联考期中）复平面内的点M（1，2）对应的复数为（

）A． B． C． D．【例4-4】（2022广东珠海·高一统考期末）复数（i为虚数单位），则（

）A．1 B． C． D．【例4-5】（2023·高一课时练习）已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则______．7.1复数的概念（学案）知识自测知识自测一．复数的有关概念1.复数(1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.（b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.）2.复数集(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.(2)表示：通常用大写字母C表示.二．复数的分类1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系三．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0.四．复平面五．复数的几何意义1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).六．复数的模1.定义：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.3.公式：|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).七．共轭复数1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.2.表示：z的共轭复数用eq\x\to(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi.知识简用知识简用题型一实部虚部辨析【例1-1】（2022春·新疆喀什·高一统考期中）复数（i为虚数单位）的虚部为（

）A． B．6 C．3 D．【答案】B【解析】因为复数（i为虚数单位）所以其虚部为6.故选：B.【例1-2】（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）已知复数的实部和虚部分别为和4，则实数和的值分别是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，复数的实部和虚部分别为和4，因此，解得，所以实数和的值分别是.故选：D【例1-3】（2022·高一课时练习）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】由复数的实部与虚部之和为0，得，即．故选：A题型二复数的分类【例2-1】（2022·高一课时练习）在，，，，0.618这五个数中，纯虚数的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】，是纯虚数，，0.618是实数，是虚数．故纯虚数的个数为2．故选：C．【例2-2】（2023·高一单元测试）实数a分别取什么值时，复数是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？【答案】(1)(2)且(3)或【解析】（1）由题意知，∴当a=5时，复数z是实数.（2）由题意知，且∴当且时，复数z是虚数.（3）由题意知，或∴当或时，复数z是纯虚数.题型三复数相等【例3-1】（2022·高一课时练习）若，，则复数等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，则，根据复数相等的充要条件得，解得，故．故选：B．【例3-2】（2022·高一课前预习）若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝（

）A． B．－ C．－ D．5【答案】B【解析】(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，所以解得a＝，b＝－，故有a＋b＝－.故选：B题型四复平面及其应用【例4-1】（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】依题意，复数，所以复数对应的点在第三象限.故选：C【例4-2】（2022·高一课时练习）当时，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】,若，则，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B【例4-3】（2022春·河南·高一校联考期中）复平面内的点M（1，2）对应的复数为（

）A． B． C