教师资格认定考试初级中学数学模拟题18

教师资格认定考试初级中学数学模拟题18一、单项选择题1.

A.e-2B.e2C.2eD.-2e正确答案：A[解析]由，知选A。

2.

曲面z=4-x2-y2在点P处的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0，则点P的坐标是______A.(1，1，2)B.(-1，1，2)C.(1，-1，2)D.(-1，-1，2)正确答案：A[解析]设切点为P(x0，y0，z0)，故曲面在切点处的切平面的法向量为n=(2x0，2y0，1)，平面2x+2y+z-1=0的法向量m=(2，2，1)，则m∥n，所以，，解得P(1，1，2)。

3.

设A是n阶矩阵，则|(2A)*|=______A.2n|A*|B.2n-1|A*|C.2n2-n|A*|D.2n2|A*|正确答案：C[解析]|(2A)*|=|2A|n-1=(2n|A|)n-1=2n(n-1)|A*|，故选C。

4.

计算积分

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]

5.

下列命题中，假命题为______

A．存在四边相等的四边形不是正方形

B．z1，z2∈C，z1+z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数

C．若x，y∈R，且x+y＞2，则x，y至少有一个大于1

D．对于任意n∈N，都是偶数正确答案：B[解析]令z1=-1+mi，z2=9-mi(m∈R)，有z1+z2=8∈R，但z1，z2不互为共轭复数，故B项错误。四边相等的四边形可能是菱形，A项正确；对于x，y∈R，若假设x，y都不大于1，则必有x+y＜2，与x+y＞2矛盾，故假设错误，C项正确；对于任意n∈N，，必为偶数，D项正确。

6.

设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准型为，其中P=(e1，e2，e3)，若Q=(e1，-e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准型为______

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]x=Py，则，且，，则，，所以。

7.

解决柯尼斯堡七桥问题，并对一笔画问题进行了阐述的数学家是______A.高斯B.莱布尼茨C.欧拉D.费马正确答案：C[解析]欧拉在1736年解决了柯尼斯堡七桥问题，对一笔画问题进行了阐述，是最早运用图论和拓扑学的典范。

8.

下列不属于《义务教育数学课程标准》(2011年版)中初中数学课程“基础性”内涵的是______A.初中阶段的数学课程中有大量的内容是未来公民在日常生活中必须用到的B.初中阶段是每一个学生必须经历的基础教育阶段，它将为其后续生存、发展打下必要的基础C.初中数学课程是为即将结束义务教育阶段的初中学生谋求明日的发展D.数学课程内容是学生在初中阶段学习其他课程的必要基础正确答案：C[解析]选项C属于初中数学课程“发展性”的含义。

二、简答题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)1.

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，，试证至少存在一个ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=1。正确答案：证：令F(x)=f(x)-x，显然F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，

又f(0)=f(1)=0，，

故F(1)=f(1)-1=-1＜0，，

由零点存在定理可知，存在一个，使F(η)=0，

又F(0)=f(0)-0=0，F'(x)=f'(x)-1，

对F(x)在[0，η]上用罗尔定理知，至少存在一个，使得F'(ξ)=0，即f'(ξ)=1。

2.

在椭圆(a＞b＞0)内接一个矩形，使其平行于椭圆的轴，且面积最大，求这一矩形的边长及面积。正确答案：解：设x，y分别为椭圆内接矩形两邻边边长的一半，则矩形面积为S=4xy，由题可知(x，y)为椭圆上的点．

因为

所以S=4absintcost=2absin2t，则S'=4abcos2t，S"=-8absin2t．

令S'=0，得，

，

故当时，S最大，，此时，矩形的边长分别为。

甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3道题，每人答对其中2道题就停止作答，即闯关成功。已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是。3.

求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；正确答案：解：先求甲、乙两人都没有闯关成功的概率P1，甲没有成功即甲抽取的3道题里只有1道能答对，则甲没有成功的概率，乙没有成功的概率。

这两个事件为相互独立事件，所以甲、乙两人都没闯关成功的概率，

故甲、乙至少有一人闯关成功的概率。

4.

设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望。正确答案：解：ξ的可能取值为1，2。

ξ=1，即甲答对1题，；

ξ=2，即甲答对2题，。

故ξ的分布列如下：ξ12P

5.

《义务教育数学课程标准》(2011年版)指出：“综合与实践”是教师通过问题引领、学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动。简要回答在“综合与实践”教学中教师如何发挥好组织者、引导者与合作者的作用。正确答案：(1)教师可以研制、开发、生成出更多适合本地学生特点的、有利于实现“综合与实践”课程目标的好问题；(2)引导学生理解问题，一起设计合理地解决问题的方案，引领学生在解决问题的过程中，有更多的投入和收获，使综合与实践活动更有效；(3)启发、帮助、鼓励学生解决学习活动过程中的困难，努力引导他们自己解决困难；(4)设计“综合与实践”的评价，将评价贯穿于整个活动过程；(5)引导学生通过综合与实践活动，体会数学的价值，逐渐从“学会数学”走向“会学数学”。

6.

给出中学几何研究图形的几个主要方法，并试以其中一种为例，说明该种方法的基本特点。正确答案：中学几何研究图形的方法主要有：综合几何的方法、解析几何的方法、向量几何的方法、函数的方法等。

综合几何的方法是利用几何的方法研究图形的性质，即用已知的基本图形的性质去研究组合图形的性质。这种方法的基本特点就是把复杂的图形转化为简单的图形，把空间的图形转化为平面图形。例如，把两条线段相等问题转化为两个三角形全等关系或一个三角形内两边的相等关系，空间两直线的垂直问题转化为平面内两直线垂直(如三垂线定理)，利用三视图研究空间几何体等。在综合几何方法中，平移、旋转、对称等是研究综合图形性质的基本方法。

三、解答题(本大题共1小题，10分)设矩阵，已知线性方程组AX=β有解但不唯一。1.

试求a的值；正确答案：解：对线性方程组AX=β的增广矩阵作行初等变换，有

因为方程组AX=β有解但不唯一，所以，故a=-2。

2.

求正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵。正确答案：解：由上小题知，，对应的特征方程为|λE-A|=λ(λ-3)(λ+3)，

可得特征值为λ1=3，λ2=-3，λ3=0，

对应特征向量分别为α1=(1，0，-1)T，α2=(1，-2，1)T，α3=(1，1，1)T，

将α1，α2，α3单位化得，

则有。

四、论述题(本大题共1小题，15分)《义务教育数学课程标准》(2011年版)中将“数与代数”的内容分为数与式、方程与不等式、函数三大部分，知识之间都存在联系。1.

简述方程与不等式内容之间的联系；正确答案：在学习和研究方程(组)的基础上，无论是从实际问题中抽象出不等关系，建立不等式(组)的概念，还是学会布列不等式(组)和解不等式(组)的方法与步骤，类比和迁移是主要的思维方式，应贯穿于学习过程的始终。究其原因，就是方程与不等式具有揭示数量关系的共同本质，而区别只在于相等与不等，表现为用“=”连结与用“＞”或“＜”连结。去括号、移项、合并同类项等变形，既是解方程的主要步骤．也是解不等式的主要步骤，而区别只在于两边同除以未知数的系数时有所不同。通过类比和迁移，不仅有助于学好不等式(组)，而且有助于对数学思想方法的领会和运用，养成良好的学习习惯，提升数学能力的水平。二元一次方程是一元一次方程的拓展，二元一次方程又要通过“消元”转化为一元一次方程求解。一元二次方程是一元一次方程的拓展，一元二次方程又可以采用开方和配方等方法，通过“降次”，转化为一元一次方程求解。这样的转化，不仅有助于掌握知识、技能和方法，提高学习的效率，而且加深了对数学中通性和通法的认识，体会学习数学和研究数学的规律，提升数学的思维能力。

2.

如何进行方程与不等式的教学?正确答案：教师在进行教学设计时，要对“方程与不等式”的具体内容进行“四基”分类，明确教学内容的来龙去脉和结构特征，了解该教学内容的学生学习特征，从而设计每个类型知识在学习目标——知识技能、数学思考、问题解决和情感态度方面的教学方案，确定该教学内容的教学方法，确保教学有效开展。在了解“方程与不等式”内容特征和学生学习特征的基础上，需注意以下几方面：第一，设置问题情境，促使学生从算术思维过渡到关系思维，理解方程等价思想和结构思想；第二，结合方程学习，引导学生理解不等式概念，联系数轴体会不等式解集和不等式组的解法；第三，通过解方程(组)降次消元等方法的渗透，理解和掌握方程(组)的解法步骤；第四，引导学生联系实际问题，建立方程(组)或不等式模型，形成问题解决的合理的解；第五，通过没置一些变式练习，促使学生熟练方程(组)或不等式的解法和应用，寻求不同的问题解法；第六，设置有利于学生探究的开放性的问题情境，组织学生合作学习，寻求问题求解的合适模型，培养学生自主学习的习惯，发展学生的代数思想。

五、案例分析题(本大题共1小题，20分)案例：

某教师在进行一元二次方程教学时，给学生出了如下一道练习题：

已知a，b是方程x2+(k-1)x+k+1=0的两个根，且a，b是某直角三角形的两条直角边，其斜边长等于1，求k的值。

某学生的解答过程如下：

解：∵a，b是方程x2+(k-1)x+k+1=0的两个根，

∴a+b=1-k，ab=k+1，

又由已知得：a2+b2=1，

∴(a+b)2-2ab=1，即k2-4k-2=0，解得。

问题：1.

指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因；正确答案：错解分析：该生在解题过程中忽视了题目中的隐含条件，即a，b是某直角三角形的两条直角边，故必有a＞0，b＞0，a+b＞0，当时，，这是不合题意的，故应舍去。

2.

给出你的正确解答；正确答案：正确解答：∵a．b既是方程的两根，又是直角三角形的两直角边，

∴a＞0，b＞0，a+b＞0，ab＞0。

由一元二次方程根与系数的关系得，

a+b=1-k，ab=k+1，①

又由已知得，a2+b2=1，②

将①代入②，得(a+b)2-2ab=1，即k2-4k-2=0，解得。

当时，，不合题意，舍去；

当时，，，故k的值为。

3.

指出你解题所运用的数学思想方法。正确答案：在解题过程中运用了分类讨论的思想。

六、教学设计题(本大题共1小题，30分)“圆周角定理”是初中九年级上册的内容，是在学习了圆心角、圆周角概念后要掌握的内容。1.

请叙述“圆周角定理”；正确答案：圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半。

2.

若要引导学生经历从实际背景抽象概括概念的过程，请设计“圆周角定理”引入的教学片段；正确答案：导入过程：

如图是一个圆柱形的海洋馆的截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗弧AB观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系吗?如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角(∠BDA和∠AEB)和同学乙的视角相同吗?

3.

请给出“圆周角定理”的探索与证明两个教学环节。正确答案：探索环节：

师提问：圆周角的度数与什么有关系?

让学生结合圆周角的概念通过度量思考以下问题：

①一条弧所对的圆周角有多少个?

②同弧所对的圆周角的度数之间有何关系?

③同弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系?

学生猜想得到，一条弧上所对的圆周角有无数个；通过度量，同弧所对的圆周角是没有变化的；同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半。

教师组织引导学生分情况进行自主探究：

①当圆心O在圆周角∠ABC的一边BC上时，如图1所示，吗?

②当圆心O在圆周角∠ABC的内部时，如图2，吗?

③当圆心O在圆周角∠ABC的外部时，如图3，吗?

设计意图：培养学生全面分析问题的能力及发散思维能力，渗透分类讨论的思想方法。

证明环节：

①当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相应的圆心角的关系：(演示图形)观察得知圆心在圆周角的一边上时，圆周角的度数是相应圆心角的一半。

(必须用严格的数学方法证明，教师完成)

②其他情况下，圆周角与相应圆心角的关系：

当圆心在圆周角外