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教师资格认定考试初级中学数学模拟题13一、单项选择题1.
设常数α>0,β>0,则级数的收敛性______A.与α,β的值有关B.仅与α的值有关C.仅与β的值有关D.与α,β的值都无关正确答案:A[解析],根据正项级数的比式判别法可知,当0<β<1时,级数收敛,当β>1时,级数发散,当β=1且α>1时,级数收敛,当β=1且α≤1时,级数发散,故级数的收敛性与α,β的值都有关。
2.
极限
A.0
B.
C.1
D.正确答案:C[解析]当x→0时,ex-1~x,则。
3.
函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则______A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函数正确答案:D[解析]f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1),
∴函数f(x)关于点(1,0)及点(-1,0)对称,函数f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函数。
∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4),f(-x+3)=-f(x+3),即f(x+3)是奇函数。故选D。
4.
设三阶矩阵,若伴随矩阵的秩为1,则必有______A.a=b或a+2b=0B.a=b或a+2b≠0C.a≠b且a+2b=0D.a≠b且a+2b≠0正确答案:C[解析]根据矩阵A与其伴随矩阵A*的关系,知r(A)=2,矩阵A的秩小于它的行数或列数,故有,可得a+2b=0或a=b。
当a=b时,,此时r(A)=1≠2,故必有a≠b且a+2b=0。
5.
已知a=i+2j+3k,b=2i+mj+4k,c=ni+2j+k是空间中的三个向量,则“m=0且n=0”是“a,b,c三向量共面”的______A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件正确答案:A[解析]三向量共面的充要条件为(a×b)·c=0,即,行列式展开得m+8n-3mn=0。当m=0且n=0时,等式成立,可推出三向量共面;当三向量共面时,无法推出m=0且n=0。故选A。
6.
对某目标进行100次独立射击,假设每次射击击中目标的概率是0.2,记X为100次独立射击中击中目标的总次数,则E(X2)=______A.20B.200C.400D.416正确答案:C[解析]由题意知,X~B(100,0.2),所以E(X)=100×0.2=20,因为每次射击都是独立的,所以X和X相互独立,E(X2)=E(X·X)=[E(X)]2=400。
7.
在等腰二角形、平行四边形、椭圆和抛物线四个图形中,是中心对称图形的有______A.1个B.2个C.3个D.4个正确答案:B[解析]四个图形中,椭圆既是轴对称图形也是中心对称图形,平行四边形是中心对称图形,等腰三角形和抛物线是轴对称图形,所以这四个图形中有2个是中心对称图形。
8.
我国古代关于求解一次同余式组的方法被西方称作“中国剩余定理”,这一方法的首创者是______A.贾宪B.刘徽C.朱世杰D.秦九韶正确答案:D[解析]秦九韶(约1202-1261),所著《数书九章》是一部划时代的巨著,它完整保存了中国算筹记数法及其演算式,论述了自然数、分数、小数、复数,还第一次用小数表示无理根。《数书九章》还对“大衍求一术”(一次同余组解法)和“正负开方术”(高次方程的数值解法)等进行了十分深入的研究。
二、简答题(本大题共5小题,每小题7分,共35分)1.
利用拉格朗日中值定理证明下列不等式:,其中0<m<n。正确答案:解:设f(x)=lnx,则,
因为f(x)在[m,n]上满足拉格朗日中值定理,则在(m,n)内存在一点ξ,使得。
由0<m<n得,即,可得,结论得证。
2.
抛物线y2=2x把圆x2+y2=8分成两部分,求这两部分面积之比。正确答案:解:抛物线y2=2x与圆x2+y2=8的交点分别为(2,2)与(2,-2),如图所示,抛物线将圆分成两个部分A1,A2,记它们的面积分别为S1,S2,
则有。
3.
设η为AX=b(b≠0)的一个解,ξ1,ξ2,…,ξn-r为对应齐次线性方程组AX=0的基础解系,证明ξ1,ξ2,…,ξn-r,η线性无关。正确答案:证:用反证法进行证明。由ξ1,ξ2,…,ξn-r为对应齐次线性方程组AX=0的基础解系,
知ξ1,ξ2,…,ξn-r线性无关。
设ξ1,ξ2,…,ξn-r,η线性相关,
则η可由ξ1,ξ2,…,ξn-r线性表示,即η=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r。
因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组的解,
故η必是AX=0的解,
这与已知条件η为AX=b(b≠0)的一个解相矛盾。
由上可知,ξ1,ξ2,…,ξn-r,η线性无关。
4.
什么是几何直观?在教学中如何培养学生的几何直观观念?正确答案:几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。在教学中培养学生的几何直观观念可以从以下两方面考虑:(1)注重直观,强调学生的动手实验能力的培养。学生掌握知识一般有一个从感性到理性的认知过程,在教学中,恰当地运用直观手段可以使知识具体化、形象化,为学生感知、理解和记忆知识创造条件;同时还能引起学生的注意,激发他们的学习兴趣,提高课堂教学的有效性。因此.在教学中要注重直观性教学,重点可以采取以下三步:①运用直观教具,提供感性认识。②重视实验,提高学生的动手能力。③利用形象语言,帮助理解和识记。(2)注重思想方法,培养学生数形结合的思想。义务教育阶段几何直观教学的关键点是能够运用形象的几何图形解决复杂的数学问题,这里就蕴含了一个重要的数学思想即数形结合思想。数形结合能培养和发展学生的空间观念和几何直观能力,培养学生形象思维与抽象思维的交叉运用,从而有助于培养学生灵活运用知识的能力。
5.
数形结合思想是一种重要的数学思想,它的实质就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决问题。用数形结合思想解题能简化推理和运算,具有直观、快捷的优点。请简要谈谈数形结合思想在解哪些类型的问题时可以发挥作用,使问题得到更好的解决。正确答案:(1)利用数轴将代数问题化为几何问题;(2)利用函数图象和性质将代数问题化为几何问题;(3)利用几何模型将代数问题化为几何问题;(4)利用方程或不等式将代数问题化为几何问题;(5)利用三角知识解决几何问题;(6)利用几何图形特征将几何计算化为代数运算;(7)最值问题。
三、解答题(本大题共1小题,10分)已知函数f(x)=ln(1+x)-x。1.
求函数f(x)的单调区间及最大值;正确答案:解:令,解得x=0,当x>0时,f'(x)<0,故[0,+∞)为函书f(x)的单调减区间;
当-1<x<0时,f'(x)>0,故(-1,0)为函数f(x)的单调增区间。
当x=0时,函数f(x)取得最大值0。
2.
设a>0,b>0,若b≥a,
①求证:,e为自然对数底数。
②若g(x)=xlnx,求证:g(a)+(a+b)ln2≥g((a+b)-g(b)。正确答案:①由上小题知函数f(x)在x=0处取得最大值,所以f(x)≤0,即ln(1+x)-x≤0,
假设,则有,即。
②g(x)=xlnx,g'(x)=lnx+1,,
当x>0时,g"(x)>0,g(x)在(0,+∞)上的图象是凹的,
又b≥a>0,于是有,从而,
整理得,
也就是g(a)+(a+b)ln2≥g(a+b)-g(b)。
四、论述题(本大题共1小题,15分)《义务教育数学课程标准》(2011年版)指出“要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”,数学课程的内容“应当是现实的、有意义的、富有挑战性的,这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流”。1.
这里的“过程”大体上要包括哪些方面?正确答案:这里的“过程”大体上要包括两个方面:①发现实际问题中的数学成分,并对这些成分做符号化处理,把一个实际问题转化为数学问题。②在数学范畴之内对已经符号化了的问题做进一步抽象化处理,从符号一直到尝试建立和使用不同的数学模型,发展成为完善、合理的数学概念框架为止。
2.
结合具体的数学内容,谈谈数学新课程的教学应采用什么样的模式展开?正确答案:数学新课程的教学,应结合具体的数学内容采用“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开,让学生经历知识的形成与应用的过程,从而更好地理解数学知识的意义,掌握必要的基础知识与基本技能,发展应用数学知识的意识与能力,增强学好数学的愿望和信心。
3.
课程标准的这一理念从内容上强调了过程,这对教师提出了新的要求,谈谈你对此方面的理解。正确答案:课程标准的这一理念从内容上强调了过程,不仅与创新意识和实践能力的培养紧密结合,而且使学生的探索经历和得出新发现的体验成为数学学习的重要途径。在教学中,教师首先应考虑的是要充分调动学生的主动性与积极性,引导学生开展观察、操作、比较、概括、猜想、推理、交流等多种形式的活动,使学生通过各种数学活动,掌握基本的数学知识和技能,初步学会从数学的角度去观察事物和思考问题,产生学习数学的愿望和兴趣。例如,抽象数学概念的教学,要关注概念的实际背景与形成过程,帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。
五、案例分析题(本大题共1小题,20分)某教师关于“实际问题与二元一次方程组”的教学过程各环节设计的习题如下:
(1)提出问题,导入新课
问题1:母亲26岁结婚,第二年生个儿子,若干年后母亲的年龄是儿子年龄的3倍,此时母亲的年龄为几多?
解法一:设经过x年后,母亲的年龄是儿子年龄的3倍。
由题意得26+x=3x。
解法二:设母亲的年龄为x岁。
由题意得x=3(x-26)。
(2)精选讲例,探求新知
问题2:某班有45位学生,共有班费2400元,现准备给每位学生订一份报纸。已知《作文报》的订费为60元/年,《科学报》的订费为50元/年,则订阅两种报纸各多少份?
巩固练习:小明和小李两人进行投篮比赛,规则:小明投3分球,小李投2分球,两人共投中20次,经计算两人得分相等,问小李和小明各投中几个球?
(3)变式训练,激活学生思维
问题3:小明和小李两人进行投篮比赛,小明投3分球,小李投2分球,两人共投中100次,小明投中率为40%,小李投中率为40%,经计算两人得分相等,问小李和小明各投中几个球?
问题4:已知某电脑公司有A型、B型、C型3种型号的电脑,其价格分别为A型6000元/台、B型4000元/台、C型2500元/台,我校计划将100500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号电脑共36台,请你设计出几种不同的购买方案供学校采用。小红的方案:她认为可以购进A型和B型电脑。请你判断小红提出的方案是否合理,并通过计算说明。
(4)课堂练习,巩固新知
练习1:A,B两地相距36千米,甲从A地出发步行到B地,乙从B地出发步行到A地,两人同时出发,4小时后相遇。若6小时后,甲所余路程为乙所余路程的2倍,求甲、乙两人的速度。
练习2:某班借来一批图书,分借给同学阅览,如果每人借6本,那么会有一个同学没书可借,如果每人借5本,那么还剩5本书没人借,问该班有多少人?有多少书?
(5)拓展
练习3:变式训练问题4中,若学校要购买A,B,C三种型号的电脑,又如何安排?
练习4:某中学新建一栋4层的教学大楼,每层楼有8间教室,进出这栋大楼共有4道门,其中两道正门大小相同,两道侧门大小也相同。安全检查中,对4道门进行测试,当同时开启一道正门和两道侧门时,2分钟内可以通过560名学生,当同时开启一道正门和一道侧门时,4分钟内可以通过800名学生。
①问平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?
②检查中发现,紧急情况时因学生拥挤,出门的效率将降低20%,安全检查规定,在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离。假设这栋大楼每间教室最多有45名学生,问建造的这4道门是否符合安全规定?
问题:1.
请对上述该老师习题内容的配置进行评析;正确答案:①本课的习题配置注重从学生亲身经历的活动、学生熟悉的事入手,有开放型题、变式题,有数学思想的渗透,从易到难,由浅入深,应该说习题的设置具有一定的挑战性,能够起到激活学生思维的作用。
②本课的教学容量太大且选题具有一定的难度,对于基础好的学生来说,也很难能在有限的时间内从容地、完整地完成所有的学习任务;对于基础差的学生来说,由于太多的题不会做的情况,课堂的时间等于白白浪费了。
③由于时间紧,不能给学生留有充分的思考空间和时间,学生对于习题所传达的知识、方法很难理解透彻。所以常常出现习题做了很多,但是再遇见题还是不会做,习题的功能没有发挥。
2.
结合新课程理念,针对上述内容给出教学时习题配置的建议。正确答案:建议:①可以结合学生的实际情况,分层次配题。对于基础差的学生,习题的难度再降低一些,使他们会用二元一次方程组解决最基本的实际问题。对于基础好的学生,可以删除部分低难度的题,使他们能有更多的时间去探究问题,去迎接挑战。
②将学生分成不同的学习小组,能力强、弱搭配。在上述习题中选出部分更容易激起学生对数学的兴趣,更适合学生探究的习题,充分发挥习题的功能,使学生在主动学习、探究学习的过程中获得知识,培养能力。
对于“实际问题与二元一次方程组”的教学,不等同于一般例题内容的教学,应该以探究学习的方式完成。教材设置的“数学活动”及“拓广探索”栏目下的习题等都带有一定的探究性,对于这些内容的教学,应注意鼓励学生积极探究,当学生在探究过程中遇到困难时,教师应启发诱导,没计必要的铺垫,适时地追问,让学生在经过自己的努力克服困难的过程中体验如何探究,而不要替代他们思考,不要过早给出答案。应鼓励探究多种不同的分析问题和解决问题的方法,使探究过程活跃起来,在这样的氛围中可以更好地激发学生积极思维,得到更大收获。所以教学中不能盲目地扩大习题量,而是要充分发挥习题的功能,给学生留有充分的思考时间与空间,引导学生更多的参与数学活动和相互交流,在主动学习、探究学习的过程中获得知识,培养能力,使每一位学生都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到不同的发展。
六、教学设计题(本大题共1小题,30分)下面是人教版义务教育数学教科书七年级上册的内容,据此回答下列问题。
两辆汽车从同一处O出发,分别向东、西方向行驶10km,到达A、B两处(如下图)。
它们的行驶路线相同吗?它们的行驶路程相等吗?
一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值(absolutevalue),记作|a|。例如,上图中A,B两点分别表示10和-10,它们与原点的距离都是10个单位长度,所以10和-10的绝对值都是10,即|10|=10,|-10|=10。
显然|0|=0。
由绝对值的定义可知:
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。即:
(1)如果a>0,那么|a|=a;
(2)如果a=0,那么|a|=a;
(3)如果a<0,那么|a|=-a。
问题:1.
分析学生学习绝对值这一节内容的知识背景;正确答案:学生在学习了有理数、数轴,相反数等概念后,能够用数轴上的点表示有理数,知道数轴上的点到原点的距离,并能比较这些距离的大小,已经具备了一定的数形结合的能力。
2.
写出这节课的教学重难点;正确答案:教学重点:①初步理解绝对值的意义;②会求一个有理数的绝对值。
教学难点:①有理数绝对值概念的形成及运用:
②用数形结合的思想理解绝对值的意义。
3.
设计教学过程。正确答案:教学过程:
一、创设情境,导入新课
出示PPT,让学生观察图片中的
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