2025年高考数学一轮复习：对数的概念 专项训练【原卷版】

2025年高考数学一轮复习-431-对数的概念-专项训练【原卷版】

[A级基础达标]

1.若函数y=/(%)是函数y=ax(a>0,且aH1)的反函数，且/(2)=1,则

/(%)=()

-1

A.logxB.—C.logixD.2X~2

222

2.若(g)—3，贝(Ja—log遍誉=()

A.-1B.1C.|D.3

3.已知函数/1(%)=loga%(a>0,aH1),贝!Jy=f(l%l-1)的图象可能是()

D.

02

4.已知偶函数/(%)在［0,+8)上单调递减，若a=/(log32),b=/(2-),c=

/(-Ine)，则()

A.c>a>bB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c

5.(多选)已知函数/(%)的图象与g(%)=2久的图象关于直线y=%对称，令

九(无)=/(I-|%|)，则关于函数九(%),下列说法正确的是()

A.九(%)的图象关于原点对称B.九(%)的图象关于y轴对称

C.h(x)的最大值为0D.九(%)在区间(-1,1)上单调递增

6.已知函数/(%)满足：①定义域为(一8,0)U(0,+8);②值域为R；③/(-%)=

/(%)，则一个满足上述条件的函数/(%)=.

7.已知函数/(%)=logm(x-1)+l(m>O,znH1)的图象恒过定点P,且点P在直

线ax+by-l(a>0,b>0)上，则ab的最大值为.

8.设函数/(%)是定义在R上的偶函数，当为20时，/(%)=lg(3x+1)-1，则不

等式/(%)>0的解集为.

9.已知/(久)=loga%+loga(4-％)(a>o，且aA1)，且/(2)=2.

(1)求a的值及/(%)的定义域；

(2)求/(%)在［1彳］上的值域.

［B级综合运用］

10.已知定义在R上的奇函数/(%)在(-8,0］上单调递增，且/(-2)=-2，则不等

式/Qgx)-/(1g；)>4的解集为()

A.(0喘)B.岛,+8)C.(0,100)D.(100,+8)

11.若函数/(久)=loga(久2+枭)(a>0，且aH1)在区间G，+8)内恒有

/(%)>0，则/(%)的单调递增区间为()

A.(0,+oo)B.(2,4-00)C.(1,+oo)D.&+8)

12.定义:区间%<%2)的长度等于%2-久1.函数y=|10gax|(a>1)的定义

域为［科词(>1〈元)，值域为［0,1］.若区间|m,n］的长度的最小值为J，则实数a的

4

值为.

13.已知函数/(久)=loga(8-ax)(a>0,且aHl),若/(%)>1在区间［1,2］

上恒成立,则实数a的取值范围是.

14.已知函数/(久)=log2e+a).

(1)若函数/(%)是R上的奇函数,求a的值；

(2)若函数/(无)在区间［0,1］上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值

范围.

［C级素养提升1

15.(多选)若2。+1=3,2〃=g，则下列结论正确的是()

A.a+b=3B.b—a<lC.—1I1—>2D.R一<ctb<1

ab4

16.设函数g(%)=log3x,且函数y=/(%)的图象与y=g(%)的图象关于y=%对

称.

(1)求函数y=/(%)的解析式；

(2)是否存在实数TH>0，使得对VKGR,不等式27n-3<zn/(%)恒成立？若

存在，求出m；若不存在，说明理由.

2025年高考数学一轮复习43.1-对数的概念-专项训练【解析版】

［A级基础达标］

1.若函数y=/(%)是函数y=dx(a>0,且a丰1)的反函数，且/(2)=1,则

/(%)=(A)

X2

A.log2xB.白C.logi%D.2~

22

［解析］选A.由题意知/(%)=logax(x>0).因为/(2)=1,所以loga2=1.所以a=

2.所以/(久)=log2x.

2.若=3，贝(Ja—log7g^=(B)

1

A.-1B.1C.iD.3

5

［解析］选B.因为=3，所以—a=log53,

所以a-log石膏-a-----2葭：i)=a+(-a)+1=1.故选B.

3.已知函数/(%)=logax(a>0,aW1),则y=/(|x|-1)的图象可能是(B)

B.

［解析］选B.令y=g(x)=/(|%|-1)=loga(|x|-1),因为g(r)=loga(|-x|-

1)=9(久)，所以。(久)为偶函数,排除A,D;当％=3时，y=g(3)=

loga(|3|-1)=loga2，当％=|时，y=9(I)=loga(III-1)=-loga2，所以%=3

与X=|对应的函数值异号，排除

C.故选B.

02

4.已知偶函数/(无)在［0,+8)上单调递减，若a=/(log32),b=/(2-),c=

/(-Ine)，贝U(C)

A.c>a>bB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c

02

［解析］选c.因为0<log32<log33=1=Ine=2°<2，偶函数/(%)在［0,+oo)上

单调递减,所以/Qog32)>/(Ine)>/(202).又/(一Ine)=/(Ine),即/(logs?)>

/(-Ine)>/(2°,2),所以a>c>b.故选C.

5.(多选)已知函数/(%)的图象与以久)=2、的图象关于直线y=%对称，令

九(%)=，则关于函数九(%),下列说法正确的是(BC)

A.九(久)的图象关于原点对称B.九(%)的图象关于y轴对称

C.九(久)的最大值为0D.九(%)在区间(—1,1)上单调递增

［解析］选BC.由题意得/(%)=log2%，则九(%)=log2(l-|%|)，为偶函数，故A错

误,B正确；

根据偶函数性质可知D错误；

因为1一|%|W1,所以九(%)Wlog2l=0，故C正确.

6.已知函数/(%)满足：①定义域为(—8,0)U(0,+8);②值域为R；③/(—%)=

/(%),则一个满足上述条件的函数/(%)=帅］(答案不唯一).

［解析］/(久)=ln|x|的定义域为(一8,0)U(0,4-00)，值域为R,且/(一x)=ln|-x|=

ln|x|=,因此/(%)=ln|x|符合题意.

7.已知函数/(无)=logm(x-1)+l(m>0,mH1)的图象恒过定点P,且点P在直

线a%+by-l(a>0,b>0)上，贝［Jab的最大值为:.

［解析］由题意，得/(%)恒过点P(2,l),又点P在直线a%+by=l(a〉0,b>0)

上，

所以2a+b-1>2/2ab,则ab<g,当且仅当2a-b-时等号成立，所以ab的

oZ

最大值为2.

o

8.设函数/(%)是定义在R上的偶函数，当久20时，/(无)=lg(3x+1)-1，则不

等式/(%)>0的解集为(—8,—3)U(3,+8).

［解析］当久20时，由/(久)=lg(3x+1)-1>0，得久〉3.又因为函数/(%)为偶

函数,所以不等式/(久)>0的解集为(―%一3)U(3,+8).

9.已知/(%)=logax+loga(4-x)(a>0,且aAl),且/(2)=2.

(1)求a的值及/(%)的定义域；

［答案］解：由/(2)=2得，loga2+loga(4-2)=2,解得a=2,所以/(%)=

log2x+log2(4-x).

由F>°,解得0<x<4,故/(%)的定义域为(0,4).

14—%>0,

(2)求/(%)在［1彳］上的值域.

［答案］由(1)及条件知/(%)=log2x+log2(4-x)=log2［x(4-x)］=

2

log2［-(x-2)+4］,

设t(K)=一(％-2)2+4,%E［1,1］，则当％=2时，t(%)max=4；

当％=1时，t(x)=3;当％=3时，t(x)=7,

所以当％G［1,1］时，t(x)e8,4］,

Z4

所以/(%)max=10g24=2,/(%)min=1。82；=log27-2,

所以/(%)在［1,3上的值域为［log27—2,2］.

［B级综合运用1

10.已知定义在R上的奇函数/(光)在(-8,0］上单调递增，且/(-2)=-2，则不等

式/(Igx)>4的解集为(D)

A.(0,京)B.(总+8)C.(0,100)D.(100,+8)

［解析］选D.因为函数/(%)为奇函数,所以/(-%)=-/(%),又/(-2)=-2,所以

/(2)=2，所以不等式/(1g%)—/(g)>4，可化为2/(lg%)>4=2/(2)，即

/(Igx)>/(2),

又因为/(%)在(-8,0］上单调递增,所以/(%)在R上单调递增,所以恒%>2,解

得%>100.故选D.

11.若函数/(%)=log。8+|久)(a>0，且aA1)在区间G，+8)内恒有

/(%)>0，则/(%)的单调递增区间为(A)

A.(0,+oo)B.(2,+oo)C.(1,+oo)D-(As)

［解析］选A.令M=x2+|x，当％e《,+8)时，Me(l,+oo)，恒有/(%)>0,所以

a〉1,所以函数y=10gaM为增函数，又M=(%+3—高，因为M的单调递增区

\4/16

间为(一［,+8).又%2+|%>0,所以％>0或无<—|,所以函数/(%)的单调递增

区间为(0,+8).

12.定义:区间<%2)的长度等于X2-久1.函数y=|10gax|(a>1)的定义

域为［风词01<n)，值域为［0,1］.若区间|m,n］的长度的最小值为：，则实数a的

4

值为4.

［解析］由题意可作出函数y=Hogax|(a>1)的大致图象，如图所示，在区间和

区间［1,a］上函数y=|loga%l(a>1)的值域都是［0,1］.因为a—1—(1—5)=a+:—

2>0(a>1)，所以区间的长度相对于区间［La］来说较小，故1-［=3，解得

13.已知函数/(%)=loga(8-ax)(a>0,且aHl),若/(%)>1在区间［1,2］

上恒成立，则实数a的取值范围是3.

［解析］当a>1时，/(%)=loga(8-ax)在［1,2］上是减函数,由/(%)>1在区间

［1,2］上恒成立，得/(%)min=loga(8一2a)〉1,解得1<a<|；当0<。<1时,

/(%)在［1,2］上是增函数,由/(%)>1在区间［1,2］上恒成立，得/(x)min=

loga(8-a)>1,解得a>4,故a不存在.综上可知，实数a的取值范围是(1,£).

14.已知函数/(%)=log2R+a

(1)若函数/(久)是R上的奇函数，求a的值；

［答案］解：若函数/(%)是R上的奇函数,则/(0)=o,

所以log2(l+a)=0,所以a=0.

经检验，当a=0时，/(%)=-%是R上的奇函数.

所以a=0.

(2)若函数/(K)在区间［0,1］上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值

范围.

［答案］由已知得函数/(%)是减函数,故/(%)在区间［0,1］上的最大值是/(0)=

log2(l+a),最小值是/(I)=log2G+a)-

由题意得log2(l+a)—log2G+a)22,

Mog2(l+a)>log2(4a+2).

r-r-|\Ifl+Cl4。+2,

所以14a+2>0,

解得-1<a<-I-

故实数a的取值范围是(-表一寸.

［C级素养提升］

15.(多选)若2。+1=3,2〃=?,则下列结论正确的是(BCD)

113

A.a+b=3B.b—a<lC.—I—>2D.—<ctb<1