人教A版（2019）必修第二册8.6.2空间角与空间距离(精讲)(原卷版+解析)

8.6.2空间角与空间距离（精讲）思维导图思维导图典例精讲典例精讲考点一线线角【例1】（2022·高一课前预习）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，（1）AC和DD1所成的角是________；（2）AC和D1C1所成的角是________；（3）AC和B1D1所成的角是________；（4）AC和A1B所成的角是________.【一隅三反】1．（2022·高一课前预习）在正方体中，则直线与直线所成角大小为（

）A． B． C． D．2．（2022春·全国·高一期末）如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（

）A．90° B．45° C．60° D．30°3（2022春·四川雅安·高一统考期末）已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．考点二线面角【例2】（2022·全国·高一假期作业）如图，在三棱柱中，在底面的射影为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为___________.【一隅三反】1．（2022春·河北沧州·高一统考期末）如图，在直三棱柱中，，且是棱的中点，是棱上靠近的四等分点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.2．（2022春·贵州六盘水·高一统考期末）如图，在三棱锥中，平面ABC，D是PB上一点，且平面PBC.(1)求证：；(2)若，M是PC的中点，求直线BM与平面ABC所成角的大小.3．（2022·高一单元测试）如图，在直角梯形ABCD中，，AB⊥AD，且，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2.(1)求证：平面BEC；(2)求证：BC⊥平面BDE；(3)求直线BC与平面ADEF所成角的正弦值.考点三二面角【例3】（2022春·江西宜春·高一江西省万载中学校考阶段练习）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的大小．【一隅三反】1．（2022·高一课时练习）如图，已知正方体．(1)求二面角的正切值的大小；(2)求二面角的正切值的大小．2．（2022春·广东肇庆·高一统考期末）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，且，．(1)证明：平面ABC⊥平面；(2)若，求二面角的余弦值．3．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）如图，在直角梯形ABCD中，，，，点E是BC的中点.将沿BD折起，使，连接AE、AC、DE，得到三棱锥.(1)求证：平面ABD；(2)若，求二面角的大小.考点七空间距离【例7】（2022·高一课时练习）如图，已知正方体的棱长为1．（1）点到平面的距离为______；（2）直线和平面的距离为______；（3）直线和平面的距离为______．【一隅三反】1．（2021春·山西太原·高一统考期末）如图，在长方体中，..则直线与平面的距离为（

）A． B． C． D．2．（2022·高一课时练习）在长方体中，有一过且与平面平行的平面，棱，，则平面与平面的距离是_________．3．（2022·高一课时练习）如图，在长方体中，，，．(1)求点和点C的距离；(2)求点到棱BC的距离；(3)棱和平面ABCD的距离．8.6.2空间角与空间距离（精讲）思维导图思维导图典例精讲典例精讲考点一线线角【例1】（2022·高一课前预习）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，（1）AC和DD1所成的角是________；（2）AC和D1C1所成的角是________；（3）AC和B1D1所成的角是________；（4）AC和A1B所成的角是________.【答案】（1）90°或

（2）45°或

（3）90°或

（4）60°或【解析】（1）根据正方体的性质可得平面，所以AC和DD1所成的角是90°.（2）∵D1C1DC，所以∠ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得∠ACD＝45°.（3）∵BDB1D1，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°.（4）∵A1BD1C，△ACD1是等边三角形，所以AC和A1B所成的角是60°.故答案为：90°或；45°或；90°或；60°或.【一隅三反】1．（2022·高一课前预习）在正方体中，则直线与直线所成角大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设正方体的棱长为，连接，因为且，所以四边形是平行四边形，可得，所以或其补角即为直线与直线所成角，在中，，所以，所以直线与直线所成角大小为，故选：C.2．（2022春·全国·高一期末）如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（

）A．90° B．45° C．60° D．30°【答案】D【解析】设G为AD的中点，连接GF，GE则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线.∴，且，，且，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数又EF⊥AB，∴EF⊥GF则△GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°∴在直角△GEF中，∴∠GEF=30°.故选：D.3（2022春·四川雅安·高一统考期末）已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，取的中点，连接，因为点为的中点，可得，所以异面直线与所成角即为直线与所成角，设，在正中，由，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，在中，由余弦定理可得.故选：A.考点二线面角【例2】（2022·全国·高一假期作业）如图，在三棱柱中，在底面的射影为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为___________.【答案】【解析】如图所示：取的中点M，连接，因为，又，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，作，则平面，因为，所以直线与平面所成角的正弦值为.故答案为：【一隅三反】1．（2022春·河北沧州·高一统考期末）如图，在直三棱柱中，，且是棱的中点，是棱上靠近的四等分点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1），，，可理，，，又平面.（2）如图，取的中点，连接..由（1）知平面平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以是直线在平面内的射影，即为直线与平面所成的角.，在中，，所以直线与平面所成角的正弦值为.2．（2022春·贵州六盘水·高一统考期末）如图，在三棱锥中，平面ABC，D是PB上一点，且平面PBC.(1)求证：；(2)若，M是PC的中点，求直线BM与平面ABC所成角的大小.【答案】(1)证明详见解析(2)【解析】（1）由于平面ABC，平面，所以.由于平面PBC，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以.（2）设是的中点，连接，由于是的中点，所以，所以平面，所以是直线与平面所成角，由于，直角三角形中，，所以，所以.3．（2022·高一单元测试）如图，在直角梯形ABCD中，，AB⊥AD，且，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2.(1)求证：平面BEC；(2)求证：BC⊥平面BDE；(3)求直线BC与平面ADEF所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【解析】（1）取EC中点N，连接MN，BN，如图，在△EDC中，M为ED的中点，则，且，而，，即有，因此四边形ABNM为平行四边形，有，因平面BEC，且平面BEC，所以平面BEC.（2）由正方形ADEF知，ED⊥AD，而平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF平面ABCD=AD，平面ADEF，则ED⊥平面ABCD，而平面ABCD，即有，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，，则，，而，有，即，因此，又，平面BDE，所以平面BDE.（3）延长CB与DA交于P点，由（2）知，而，，面ADEF，于是得CD⊥面ADEF，即为直线BC与平面ADEF所成角，而，则，所以直线BC与平面ADEF所成角的正弦值.考点三二面角【例3】（2022春·江西宜春·高一江西省万载中学校考阶段练习）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的大小．【答案】(1)见解析(2)【解析】（1）由平面可得又，所以平面，所以;连交于点，连，则是的中位线，，而平面，平面，平面.（2）取的中点，连，则是的中位线，,又平面，平面；因为平面，故，又，底面为平行四边形，,，而分别为中点，所以；而是的中位线,,而平面，故平面，而平面，故，所以是二面角的平面角.又；，而二面角与二面角互补,故所求二面角的大小为.【一隅三反】1．（2022·高一课时练习）如图，已知正方体．(1)求二面角的正切值的大小；(2)求二面角的正切值的大小．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）连接，交于，因为四边形为正方形，所以，又平面，平面，所以，平面，，所以平面，因为平面，,所以是二面角的平面角，设，在中，,，所以，由，所以，所以二面角的正切值为.（2）连接,其中点为的中点，因为，,所以，，所以为二面角的平面角，在中，，,所以二面角的正切值为.2．（2022春·广东肇庆·高一统考期末）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，且，．(1)证明：平面ABC⊥平面；(2)若，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）连接，如图，由是菱形，所以．又，，所以平面，故,又，，所以AB⊥平面，又平面ABC．所以平面ABC⊥平面．（2）过在平面内引直线垂直于AC，O为垂足，过O在平面ABC内引直线OH垂直于BC，H为垂足，连接．由平面ABC⊥平面，平面平面，所以平面ABC，所以，．又OH⊥BC，，所以BC⊥平面，故为二面角的平面角．设，由，可知O为AC的中点，所以．又，平面，平面，所以AB⊥AC，所以．所以．所以，所以二面角的余弦值为．3．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）如图，在直角梯形ABCD中，，，，点E是BC的中点.将沿BD折起，使，连接AE、AC、DE，得到三棱锥.(1)求证：平面ABD；(2)若，求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2).【解析】（1）由于平面，所以平面.由于平面，所以.由于平面，所以平面.（2）分别取的中点，连接，由于分别是的中点，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以.由于分别是的中点，所以，由于，所以，由于平面，所以平面，所以是二面角的平面角.在中，，所以，则为锐角，且，所以二面角的平面角为.考点七空间距离【例7】（2022·高一课时练习）如图，已知正方体的棱长为1．（1）点到平面的距离为______；（2）直线和平面的距离为______；（3）直线和平面的距离为______．【答案】（1）1

（2）1

（3）【解析】（1）在正方体中，平面，所以点到平面的距离为；（2）在正方体中，连接，如图，，，则四边形是平行四边形，有，而平面，平面，则有平面，于是得直线和平面的距离等于点到平面的距离，因平面，则点到平面的距离为，所以直线和平面的距离为1；（3）在正方体中，连接，，而平面，平面，则平面，因此直线和平面的距离等于点到平面的距离，连，由正方形得，而平面，平面，因此，因，平面，则平面，而，所以直线和平面的距离为.故答案为：1；1；【一隅三反】1．（2021春·山西太原·高一统考期末）如图，在长方体中，..则直线与平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为为长方体，所以面⊥面ABCD，过A作AE⊥BD于E，则AE⊥面，所以直线与平面的距离为AE.在直角三角形ABD中，由等面积法可得：故选：C2．（2022·高一课时练习）在长方体中，有一过且与平面平行的平面，棱，，则平面与平面的距离是_________．【答案】【解析】因为平面平面，平面，所以到平面的距离即为平面与平面间的距离，易知平面，从而点A到平面的距离即为所求的距离．如图，过点A作于点．因为平面，平面所以平面平面，又平面平面=所以平面，则即为所