人教A版（2019）必修第二册8.4空间点、直线、平面之间的位置关系(学案)(原卷版+解析)

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系（学案）知识自测知识自测一．平面1.平面的概念几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的.2.平面的画法我们常用矩形的直观图，即表示平面，它的锐角通常画成，且横边长等于其邻边长的倍，如图①.如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②.3.平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.4.平面的几个特点(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的二．点、线、面之间的位置关系1.直线在平面内的概念如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2.一些文字语言与符号语言的对应关系文字语言表达符号语言表示文字语言表达符号语言表示点A在直线l上点A在直线l外点A在平面α内点A在平面α外直线l在平面α内直线l在平面α外直线l，m相交于点A平面α，β相交于直线l平面的基本性质及作用1.三个基本事实内容基本事实内容图形符号作用事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：推论1推论2推论3四．空间两直线的位置关系1.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.(3)判断两直线为异面直线的方法①定义法；②两直线既不平行也不相交.2.空间两条直线的三种位置关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点,平行直线：在同一平面内，没有公共点)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))五．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点只有1个公共点没有公共点符合表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示六．平面与平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β＝l图形表示知识简用知识简用题型一空间几何三种语言的相互转化【例1-1】（2022·全国·高一专题练习）将下列符号语言转化为图形语言：(1)A∉α，a⊂α.(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β.(3)aα，a∩α＝A(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O.【例1-2】（2021·高一课时练习）画图表示下列语句（其中P，M表示点l，m表示直线，，表示平面）：(1)，，；(2)，，；(3)；；(4)，，．题型二点、线共面【例2-1】（2022·全国·高一假期作业）如图所示，在正方体中，E，F分别是AB和的中点．求证：E，C，，F四点共面．题型三点共线【例3-1】（2022广东）如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．【例3-2】已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P，Q，R三点共线．题型四线共点【例4】（2022·高一课时练习）如图，在三棱柱中，，．求证：直线，BP，CQ相交于一点．题型五两条直线的位置关系【例5-1】（2022·高一课时练习）如图，在直三棱柱中，棱与直线异面有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【例5-2】（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）在长方体中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的大小是（）A． B． C． D．题型六直线与平面的位置关系【例6-1】（2022春·广东广州·高一校联考期中）（多选）若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为（

）A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．相切题型七平面与平面的位置关系【例7-1】（2022云南）如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能确定【例7-2】（2022黑龙江）若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．【例7-3】（2022湖北）如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F分别为B′C′，A′D′的中点，求证：平面ABB′A′与平面CDFE相交．8.4空间点、直线、平面之间的位置关系（学案）知识自测知识自测一．平面1.平面的概念几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的.2.平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②.3.平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.4.平面的几个特点(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的二．点、线、面之间的位置关系1.直线在平面内的概念如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2.一些文字语言与符号语言的对应关系文字语言表达符号语言表示文字语言表达符号语言表示点A在直线l上A∈l点A在直线l外A∉l点A在平面α内A∈α点A在平面α外A∉α直线l在平面α内l⊂α直线l在平面α外l⊄α直线l，m相交于点Al∩m＝A平面α，β相交于直线lα∩β＝l平面的基本性质及作用1.三个基本事实内容基本事实内容图形符号作用事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.四．空间两直线的位置关系1.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.(3)判断两直线为异面直线的方法①定义法；②两直线既不平行也不相交.2.空间两条直线的三种位置关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点,平行直线：在同一平面内，没有公共点)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点))五．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点只有1个公共点没有公共点符合表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示六．平面与平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β＝l图形表示知识简用知识简用题型一空间几何三种语言的相互转化【例1-1】（2022·全国·高一专题练习）将下列符号语言转化为图形语言：(1)A∉α，a⊂α.(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β.(3)aα，a∩α＝A(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O.【答案】答案见解析【解析】(1)如图(1)所示．(2)如图(2)所示．(3)如图(3)所示．(4)如图(4)所示．【例1-2】（2021·高一课时练习）画图表示下列语句（其中P，M表示点l，m表示直线，，表示平面）：(1)，，；(2)，，；(3)；；(4)，，．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)如图所示，(2)如图所示，(3)如图所示，(4)如图所示，题型二点、线共面【例2-1】（2022·全国·高一假期作业）如图所示，在正方体中，E，F分别是AB和的中点．求证：E，C，，F四点共面．【答案】证明见解析【解析】证明：连接EF，，．由E，F分别是AB，的中点，可得．又，所以，故E，C，，F四点共面．题型三点共线【例3-1】（2022广东）如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．【答案】见解析【解析】证明：若EF，GH交于一点P，则E，F，G，H四点共面，又因为EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，由基本事实3可得P∈BD.【例3-2】已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P，Q，R三点共线．【答案】见解析【解析】证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC⊂面APR.又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．题型四线共点【例4】（2022·高一课时练习）如图，在三棱柱中，，．求证：直线，BP，CQ相交于一点．【答案】证明见解析【解析】如图，连接PQ．由，，得，且．又，∴，且，∴四边形BCQP为梯形，∴直线BP，CQ相交．设交点为R，则，．又平面，且平面，∴平面，且平面，∴R在平面与平面的交线上，即，∴直线，BP，CQ相交于一点．题型五两条直线的位置关系【例5-1】（2022·高一课时练习）如图，在直三棱柱中，棱与直线异面有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【解析】在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线有，共3条.故选:C.【例5-2】（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）在长方体中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的大小是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中点，连接、、、，如下图所示：因为且，、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，所以，且，因为且，且，故四边形为平行四边形，所以，，所以，异面直线与所成角为或其补角，由勾股定理可得，，，，则，所以，，因为，故.因此，异面直线与所成角的大小是.故选：B.题型六直线与平面的位置关系【例6-1】（2022春·广东广州·高一校联考期中）（多选）若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为（

）A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．相切【答案】AC【解析】如图1所示，与平行，，而直线在平面内，如图2所示，与平行，，而.综上：若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系为平行或直线在平面内.故选：AC题型七平面与平面的位置关系【例7-1】（2022云南）如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能确定【答案】C【解析】如图所示，a⊂α，b⊂β，a∥b.由图形可知，这两个平面可能相交，也可能平行．【例7-2】（2022黑龙江）若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是