2023-2024学年北京市东城区九年级上学期期末数学模拟试卷（含详解）

2023--2024学年第一学期北京市东城区九年级数学期末模拟训练试卷

一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）

1.垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

B△X/

Ac-At\D./、

其他垃圾有害垃圾

厨余垃圾可回收物Ofwwaste

HazardousWcw/c

FoodHasteRecyclable

2.抛物线y=2（x+1）2+3的顶点坐标在（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.如图，下列条件不能判定△AOBs△人与。的是

A.ZABD=ZACBB.ZADB=ZABC

ADAB

C.AB2=AD>ACI).-

ABBC

4.如图，每个小正方形的边长为1,点A、B、C均在格点上，则sinB的值是（)

334

A.1B.-C.一D.

455

5.如图，在等腰VA3C中，ZA=120°,将VA3C绕点C逆时针旋转1（0。<[<90。）得到CDE,当点A的

对应点D落在BC上时，连接鹿，则ABED的度数是（

A.30°B.45°C.55°D.75°

6.如图，在。。中，AB是直径，CD是弦，ABLCD,垂足为点E,连接CO,AD,则下列说法中不一定成立是

)

B.ZBOC=2ZBADC.弧AC=MADD.AD=2CE

ab

7.已知二次函数y=-(x-a)2-b的图象如图所示，则反比例函数y二一与一次函数y=ax+b的图象可能是

x

8.如图，矩形ABCD的顶点A、8分别在反比例函数y=±(x>0)与y

Xx

上，AB,3。分别交y轴于点E、F,则阴影部分的面积等于()

115

A.B.2C.—D.-

363

二、填空题(每小题2分，共16分)

9.已知4a—76=0,则巴的值为

b

10.在一个不透明袋中装有2个黑色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外都相同，每次摇匀后随机摸出一

个小球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.8,则可估计这个

袋中红色小球的个数约为.

11.扇形的圆心角为120。，半径为3,则弧长是.

2

12.如图，在中，ZC=90，如果cosA=—,AB=6,那么AC的长为—.

3-

B

C

13.如图，RtZkABC中，ABAC=90°,AD13C于。，BD=1,CD=4,则AD的长为.

14.中国画门类中，历代书画家喜欢在扇面上绘画或书写，以抒情达意或为他人收藏，或赠友人以诗留念，此类画

作称之为扇面画.折扇的扇面，一般是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角裁剪而成，如图所示，已知

折扇扇面的圆心角是120。，大扇形的半径为18c",小扇形的半径为6cm,则这个扇形的面积是.

15.已知二次函数丁=奴2+法+。的图象如图所示，对称轴为直线I=—1,经过点（0,1）有以下结论：①

a+b+c>0；®b2-4ac>0;®abc<0；@4a-2b+c>0；⑤c—a>l.其中所有正确结论的序号是

16.如图，在矩形纸片ABC。中，AD=10,43=8,将A2沿AE翻折，使点B落在8'处，AE为折痕；再将EC沿

EF翻折，使点C恰好落在线段上的点C处，EF为折痕，连接AC'.若CF=3,贝hanNB'AC'=.

三、解答题解答题（本大题共11个题，总分68分）

17.解下列方程：

(I)》2—2x—4=0

(2)3x(x-4)=5(x-4)

18.已知：如图，在VA3C中，。为AB边的中点，连接CD,ZACD=ZB,A3=4,求AC的长.

19.已知关于x的方程f+2x+左—4=0.

(1)如果方程有两个不相等的实数根，求左的取值范围;

(2)若左=1,求该方程的根.

(2)求该二次函数图象与无轴、y轴的交点坐标；

(3)在平面直角坐标系中，画出二次函数y=f—2x-3的图象；

(4)结合函数图象，直接写出当—时，y的取值范围.

21如图，已知劣弧A3,如何等分A3?下面给出两种作图方法，选择其中一种方法，利用直尺和圆规完成作

图，并补全证明过程.

方法一：①作射线。4、OB；

②作ZAOB的平分线OD,与A3交于点C；

点C即为所求作.

证明：平分NAO3,

:.ZAOC=ZBOC

/.—()(填推理的依据).

方法二：①连接AB；

②作线段AB的垂直平分线所，直线E尸与A3交于点C；

点C即为所求作.

证明：；Eb垂直平分弦AB，

，直线所经过圆心。，

—(一)(填推理的依据).

22.一种竹制躺椅如图①所示，其侧面示意图如图②③所示，这种躺椅可以通过改变支撑杆。的位置来调节躺椅

舒适度，假设所在的直线为地面，已知AE=120cm,当把图②中的支撑杆CD调节至图③中的CD'的位置

时，NE4B由20。变为25°.

①②

(1)你能求出调节后该躺椅的枕部E到地面的高度增加了多少吗？(参考数据：sin20°«0.34,

sin25°«0.42)

(2)已知点。为AE一个三等分点，根据人体工程学，当点。到地面的距离为26cm时，人体感觉最舒适.请

你求出此时枕部E到地面的高度.

23.已知一次函数丁=丘+匕的图象与反比例函数丁='的图象交于点4(-4,附)，8(2,-4)两点，连接

X

OA,OB,直线与x轴相交于点C

(1)求反比例函数和一次函数的解析式.

(2)求点C的坐标和△OAB的面积.

(3)直接写出不等式6+b〉一的解集.

x

24.如图，为。。的直径，。。过AC的中点。，DELBC,垂足为点E.

(1)求证：DE与。。相切;

3

(2)若tanA=—,BC=5.求的长.

4

25.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=«%2+/?x(aw0),设抛物线的对称轴为％=/.

(1)当抛物线过点(—2,0)时，求f的值;

⑵若点(―2,租)和(1,可在抛物线上，若相>〃，且劭7">0,求r取值范围.

26.在平面直角坐标系中，已知OA=10cm,O8=5cm,点P从点。开始沿0A边向点A以2cm/s的速度移动；点

。从点8开始沿2。边向点。以lcm/s的速度移动.如果尸、。同时出发，用t(s)表示移动的时间(0W/W5),

cm；OQ=cm.

(2)当/为何值时△POQ的面积为6cm2?

(3)当△P。。与△A08相似时，求出f的值.

27.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=f-以经过点(5,5),顶点为A,连结Q4.

(2)求A的坐标.

(3)尸为x轴上的动点，当tanNOPA=!时，请直接写出OP的长.

2

2023--2024学年第一学期北京市东城区九年级数学期末模拟训练试卷

一、选择题(以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分)

1.垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是()

X/

△0D/、

-TLhUrMn其他垃圾有害垃圾

可回收物Otwa

厨余垃圾Hazardousllaslr

FoodHasteRecyclable

【答案】D

【解析】

【分析】根据轴对称图形的概念，中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可

重合.中心对称图形的关键是确定对称中心，绕对称中心旋转180。能与自身重合，掌握以上知识是解题的关键.

2.抛物线y=2(x+1)2+3的顶点坐标在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】先求出顶点坐标，然后再判断其所在象限即可.

【详解】解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为(-1,3),

其顶点坐标在第二象限，

故选：B.

【点睛】本题考查抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k,其顶点坐标为(h,k).

3.如图，下列条件不能判定△的是()

A.ZABD=ZACBB.ZADB=ZABC

ADAB

C.AB2=AD»ACD.-----=------

ABBC

【答案】D

【解析】

【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判

断得出即可.

【详解】解：A、ZABD=ZACB,ZA=ZA,

：.AABC^AADB,故此选项不合题意;

B、ZADB=ZABC,ZA=ZA,

：.AABC^^ADB,故此选项不合题意;

C、"：AB2=AD'AC,

AT4R

:.——=——，ZA=ZA,AABCsAADB,故此选项不合题意;

ABAD

ADAB

D、---=不能判定AADB△ABC,故此选项符合题意.

ABBC

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键.

4.如图，每个小正方形的边长为1,点A、B、C均在格点上，则sinB的值是（）

334

A.1B.-C.一D.-

455

【答案】C

【解析】

【分析】过点A作AO13C于点。，根据勾股定理求出A3的长度，再根据正弦的定义即可求解.

【详解】解：如图：过点A作AO13C于点

在RtZVLB。中，AB=yjAD1+BDr=732+42=5'

sinT=3

AB5

故选：C.

【点睛】本题主要考查了勾股定理和正切的定义，解题的关键是构建直角三角形，根据勾股定理求出的长

度.

5.如图，在等腰VABC中，ZA=120°,将VABC绕点C逆时针旋转。(0°<1<90。)得到.CDE,当点A的

对应点D落在BC上时，连接BE，则ZBED的度数是()

A.30°B.45°C.55°D.75°

【答案】B

【解析】

【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理,得ZABC=ZACB=30°，根据旋转的性质，得BC=CE,

ZDCE=ZDEC=ZABC=ZACB=30°,再由等腰三角形和三角形内角和定理得

ZCBE=ZCEB=1(180°-30°)=75°,即可求得ZBED=ZBEC-ACED.

【详解】解：，AB=AC,ZA=120°,

ZABCZACB^30°,

由旋转得，BC=CE,ZDCE=ZDEC=ZABC=ZACB=30°,

ZCBE=ZCEB=1(180°-30°)=75°,

ZBED=ZBEC-ZCED=75°-30°=45°,

故选：B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

6.如图，在。。中，42是直径，CD是弦,AB±CD,垂足为点E,连接CO,AD,则下列说法中不一定成立的是

()

A.CE=DEB.ZBOC=2ZBADC.弧AC=MADD.AD=2CE

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆周角定理即可判断.

【详解】解：：在。。中，AB是直径，是弦，AB1CD,

：.CE=DE,故A成立；

.,.弧BC=MBD,

...弧AC=MAD,故C成立；

：.ZCAB^ZBAD,

：.ZBOC=2ZCAB=2ZBAD,故8成立；

故选。.

【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆周角定理的运用.

ab

7.已知二次函数y=-（x-a）2-b的图象如图所示，则反比例函数y=一与一次函数y=ax+b的图象可能是

【解析】

【详解】解：观察二次函数图象可知，图象与y轴交于负半轴，-b<0,b>0;抛物线的对称轴a>0.

nh

在反比例函数y二一中可得ab>0,所以反比例函数图象在第一、三象限；

x

在一次函数y=ax+b中，a>0,b>0,所以一次函数y=ax+b的图象过第一、二、三象限.

故答案选B.

考点：函数图像与系数的关系.

49

8.如图，矩形ABCD的顶点A、2分别在反比例函数丁=二（尤>0）与丁=一一（尤<。）的图像上，点C、D在x轴

xX

上，AB,分别交y轴于点E、F,则阴影部分的面积等于（）

10115

A.—B.2D.

3~63

【答案】D

【解析】

4

【分析】设A（”,一）、。〉0,根据题意：利用函数关系式表示出线段。。、OE、OC、OF、EF,然后利用三角

a

形的面积公式计算即可.

44

【详解】解：设点A的坐标为A（a,—）,aX）.则8=a,OE=-.

aa

—4

••.点B的纵坐标为一.

a

点B的横坐标为—-.

2

•：AB//CD,

ABEF_DOF,

.EFBE_1

••而一而一3,

1A28

EF=-OE=—,OF=-OE=—.

33a33a

1……14a1

,,QADPP=—EFxBE二—x——x—二

lADtLr223a2-3

118_4

S^ODF~-xODOF=—XQX-

223a3,

14_5

•*,s阴影二■-uVBEF_TLuVODF——I—

33-3

故选：D.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图像上点的坐标的特征、矩形的性质

等知识点，灵活利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键.

二、填空题（每小题2分，共16分）

9.已知4a—7b=0,则巴的值为

b

7

【答案】-

4

【解析】

【分析】根据等式性质，可得答案.

【详解】解：：4a—7人=0,

4a=7Z?,

...等式两边都除以4万，得巴=2,

b4

7

故答案为：一.

4

【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键.

10.在一个不透明的袋中装有2个黑色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外都相同，每次摇匀后随机摸出一

个小球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.8,则可估计这个

袋中红色小球的个数约为.

【答案】8

【解析】

【分析】根据频率估计摸到红球的概率，可以得到摸到黑球概率，从而可以求得总的球数，可以得到红球的个

数.

【详解】解：由题意可得摸到红球的概率为0.8

摸到黑球的概率为1-0.8=0.2

，总的球数为2+0.2=10（个）

.•.红球有：10-2=8（个）

故答案为：8.

【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是根

据红球的频率得到相应的等量关系.

11.扇形的圆心角为120。，半径为3,则弧长是.

【答案】2兀

【解析】

【分析】本题考查了弧长公式，利用弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键.

1207rx3

【详解】解：弧长=-------=271,

180

故答案为：2兀.

2

12.如图，在中，ZC=90，如果cosA=—,AB=6,那么AC的长为—.

3-

【答案】4

【解析】

Ar2

【分析】根据cosA=——二—,再代入数据解答即可.

AB3

【详解】解：在Rt^ABC中

VZC=90°,cosA=-

3

,AC2

cosA=----=—,

AB3

又AB=6,

--J2

，9~6~~3

AC=4.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查利用锐角三角函数求解直角三角形的边长，熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关

键.

13.如图，RtZiABC中，ZBAC=9Q°,AD/BC于。，BD=1,CD=4,则AD的长为—.

【答案】2

【解析】

【分析】证明VBEMSVADC,得到殷=42,代入已知数据，即可求解.

ADCD

【详解】解：：Na4C=90°,

：.ZB+ZC=90°,

•：ADIBC,

ZDAC+ZC=90°,

：.ZB=ZDAC,

J.NBDA^NADC,

BDAD1AD

----=----,即m----=----

ADCDAD4

AAD=2（负值舍去）,

故答案为：2.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

14.中国画门类中，历代书画家喜欢在扇面上绘画或书写，以抒情达意或为他人收藏，或赠友人以诗留念，此类画

作称之为扇面画.折扇的扇面，一般是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角裁剪而成，如图所示，已知

折扇扇面的圆心角是120。，大扇形的半径为18cm，小扇形的半径为6cm,则这个扇形的面积是

【答案】96mm2.

【解析】

【分析】根据扇形的面积公式即可得到结论.

【详解1扇面的面积=S大扇形-5小扇形=_120乃6=96加层.

360360

故答案为：967icm2.

【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式s=竺二是解题的关键.

360

15.已知二次函数丁=取2+"+。的图象如图所示，对称轴为直线％=—1,经过点（0,1）有以下结论：①

a+b+c>0；®b2-4ac>0;®abc<0；®4a-2b+c>0；⑤c—a>l.其中所有正确结论的序号是

【答案】②④⑤

【解析】

【分析】①根据x=l对应的函数值即可判断①的正误；②根据抛物线与X轴交点情况可判断②的正误；③由对称轴

的位置可判断的正负，由抛物线与y轴的交点判断。的正负，从而可判断③的正误；④根据无=-2对应的函数

值即可判断④的正误；⑤根据c的值及a的正负即可判断⑤的正误.

【详解】解：①x=l时，y=a+b+c<0,①错误，不符合题意；

②抛物线与x轴有2个交点，故廿-4ac>0,②正确，符合题意；

③对称轴在y轴左侧，则而>0,而抛物线与y轴的交点为（0，1）,所以c>0,故aZ?c>0,③错误，不符合题意；

④由函数的对称性知，*=-2和％=0对称，故％=-2时，y=4a-2b+c=l>0,④正确，符合题意；

⑤抛物线与y轴的交点为（0，1）,所以c=l,抛物线开口向下，所以a<0,故c—。>1,⑤正确，符合题意.

故答案：②④⑤.

【点睛】本题主要考查二次函数图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

16.如图，在矩形纸片ABC。中，AD^IO,AB=8,将A3沿AE翻折，使点8落在8'处，AE为折痕；再将EC沿

EP翻折，使点C恰好落在线段上的点C处，EF为折痕，连接AC'.若CF=3,贝hanZB'AC'=.

【答案】J

4

【解析】

【分析】连接AE,设CE=x,用x表示AE、EF,再证明/AEP=90。，由勾股定理得通过A尸进行等量代换列出

方程便可求得无，再进一步求出8'C,便可求得结果.

【详解】解：连接AF,设CE=x,则C'E=CE=x,BE=B'E=10-x,

:四边形ABC。是矩形，

：.AB=CD=8,AD=BC=10,ZB=ZC=ZD=90°,

：.AE2=AB2+BE2^S2+(10-x)2=164-20x+x2,

EF1=C£2+C7?2=x2+32=x2+9,

由折叠知，ZAEB=ZAEB',ZCEF^ZC'EF,

•：ZAEB+ZAEB'+ZCEF+ZC'EF=180°,

，ZAEF=ZAEB'+ZC'EF=90°,

.\AF2=A£2+Ef<2=164-201+尤2+/+9=2/-20x+173,

*.•AF2=AD2+DF2=102+(8-3)2=125,

：.2x2-20x+173=125,

解得，x=4或6,

当x=6时，EC=EC=6,BE=B'E=8-6=2,EOB'E,不合题意，应舍去,

：.CE=CE=4,

；.B'C'=B'E-C'E=(10-4)-4=2,

•：ZB'=ZB=90°,AB'=AB=8,

B'C'21

tanZB'AC-----.

A'B'84

故答案为：—.

4

【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键.

三、解答题解答题（本大题共U个题，总分68分）

17.解下列方程：

（1）%2一2%—4=0

（2）3x（x-4）=5（x-4）

【答案】（1）%=1+6，々=1—石

45

（2）勺=4,x2=—

【解析】

【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；

（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解.

小问1详解】

解：7―2x—4=0

方程两边同时加上5,即％2_2%+1=5

即（if=5,

x—1—土■'后

解得：%=1+豆，9=1—6

【小问2详解】

解：3x（x-4）=5（x-4）

/.（x-4）（3x-5）=0,

x—4=0,3x—5—0,

解得：玉=4,x2=—.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

18.已知：如图，在VA5c中，。为AB边的中点，连接CO,ZACD=ZB,AB=4,求AC的长.

A

RN-----------------------4c

【答案】2日

【解析】

【分析】先证明，ABC^,ACD,再根据相似三角形对应边成比例即可求解.

【详解】解：为AB边的中点，AB=4,

AD=^AB=2,

VZACD^ZB,ZBAC=ZCAD,

/._ABC^ACD

.ACAD,

••——=—,B即nAC~=AB-AD=8>

ABAC

解得：AC=272（负值舍去），

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三

角形对应边成比例.

19.己知关于x的方程f+2%+左一4=0.

（1）如果方程有两个不相等的实数根，求左的取值范围；

（2）若左=1,求该方程的根.

【答案】（1）k<5；（2）x,=-3,%2=1

【解析】

【分析】（1）根据根的判别式△>（）,即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；

（2）将k=l代入方程x2+2x+k-4=0,解方程即可求出方程的解；

【详解】（1）A=2?—4x1x（左一4）=20—4左.

•方程有两个不相等的实数根，

/.A>0.

解得上<5；

（2）当左=1时，原方程化为无2+2%—3=0.

解得司=-3,x2=1.

【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a/））的根的判别式△=b?-4ac：当△>0,方程有两个不相等

的实数根；当△=（）,方程有两个相等的实数根；当△<（）,方程没有实数根.

20.已知二次函数y=/—2x—3.

(2)求该二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标；

(3)在平面直角坐标系中，画出二次函数丁=必—2%-3的图象；

(4)结合函数图象，直接写出当—1WXW2时，y的取值范围.

【答案】(1)该二次函数的顶点坐标为(1,-4)

(2)该二次函数图象与x轴的交点坐标为(3,0)或(-1,0),该二次函数图象与y轴的交点坐标为(0,-3)

(3)见解析(4)当—时，-44y«0

【解析】

【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，正确记忆函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表

的意义及函数特征是解题关键.

(1)用配方法即可求解；

(2)当y=0时，即—了2一2%-3=0,解得占=3,x2=-l,当％=0时求得y=-3即可求解；

(3)列表，画二次函数图象即可；

(4)观察函数图象即可求解.

【小问1详解】

y=%2-2x-3=(x-l)2-4,

该二次函数的顶点坐标为(1,-4)；

【小问2详解】

把y=o代入y=——2x—3得：0=X2-2X-3,

解得：占=3,x2=-1,

•••该二次函数图象与X轴的交点坐标为(3,0)或(TO),

把x=0代入y=x2—2%一3得：y=-3,

二该二次函数图象与y轴的交点坐标为(0,-3)；

【小问3详解】

列表：

X......-10123......

y.…...…..0-33--44-3-30......

21.如图，己知劣弧A3,如何等分A3?下面给出两种作图方法，选择其中一种方法，利用直尺和圆规完成作

图，并补全证明过程.

•O

方法一：①作射线。4、OB；

②作NAOB的平分线OD,与A3交于点C；

点C即为所求作.

证明：平分NAO5,

ZAOC=ZBOC

•，._（）（填推理的依据）.

方法二：①连接AB；

②作线段AB的垂直平分线所，直线斯与A3交于点C；

点C即为所求作.

证明：尸垂直平分弦AB，

，直线所经过圆心。，

—（一）（填推理的依据）.

【答案】方法一：画图见解析，AC，BC，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；方法二：画图见解析,

AC，BC，垂径定理・

【解析】

【分析】方法一：按照作图语句提示作图，再根据圆心角与弧的关系进行证明即可；

方法二：按照作图语句提示作图，再根据垂径定理进行证明即可；

【详解】解：方法一：如图，点C即为所求作.

ZAOC^ZBOC

AC=BC（在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等）.

方法二：如图，点C即为所求作.

证明：尸垂直平分弦AB，

，直线所经过圆心。，

AC=BC(垂径定理).

【点睛】本题考查的是复杂的作图，平分弧的作图，熟练的利用基本作图解决复杂的作图是解本题的关键，同时

考查了角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质.

22.一种竹制躺椅如图①所示，其侧面示意图如图②③所示，这种躺椅可以通过改变支撑杆。的位置来调节躺椅

舒适度，假设所在的直线为地面，已知AE=120cm,当把图②中的支撑杆调节至图③中的CD'的位置

时，NE4B由20。变为25°.

①②③

(1)你能求出调节后该躺椅的枕部E到地面的高度增加了多少吗？(参考数据：sin200-0.34,

sin25°«0.42)

(2)已知点。为AE的一个三等分点，根据人体工程学，当点。到地面的距离为26cm时，人体感觉最舒适.请

你求出此时枕部£到地面的高度.

【答案】(1)调节后该躺椅的枕部E到地面的高度增加了约9.6cm；

(2)枕部E到地面的高度为78cm

【解析】

【分析】(1)过点E作石尸，A5,交A8的延长线于点E利用锐角三角函数，即可求解；

(2)通过解直角三角形可得结论.

【小问1详解】

如图，过点E作石户，A5,交A8的延长线于点凡

FFFF

sin20。=——二——a0.34

AE120

止匕时EFx40.8(cm).

当NE4B=25°时,

EF次。，2

sin25°=~AE

此时EFx50.4(cm).

所以调节后该躺椅的枕部E到地面的高度增加了约50.4-40.8u9.6cm.

【小问2详解】

因为点。为AE的一个三等分点，

所以AO=40cm.

如图，过点。作垂足为P.

设当人体感觉最舒适时，ZEAB=a,

则sina="26_EF

AO40-AE)

所以跖=霁卫=78(而).

所以当人体感觉最舒适时，枕部后到地面的高度为78cm.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程，正确构造直角三角形.

23.已知一次函数丁=依+匕的图象与反比例函数y='的图象交于点4(-4,〃)，8(2,-4)两点，连接

X

OA,OB,直线与x轴相交于点C.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式.

(2)求点C的坐标和△OAB的面积.

rn

(3)直接写出不等式6+6〉一的解集.

Q

【答案】(1)反比例函数解析式：y=一次函数解析式：y=-x—2

x

(2)C(-2,0),6

(3)1<-4或0<%<2

【解析】

【分析】(1)将点8(2,—4)代入y='求出机的值，然后求出点A的坐标，然后将点A和点8的坐标代入一次

函数y=丘+匕利用待定系数法求解即可；

(2)令一次函数＞=0即可求出点C的坐标，利用SAOAB=S^OAC+S^OBC代入数据求解即可；

rn

(3)根据题意得到不等式6+人〉一的解集即为一次函数在反比例函数图象上方部分x的取值范围，根据A,B

x

两点的横坐标求解即可.

【小问1详解】

将6(2,-4)代入y=生，得到初=—8,

Q

・•・反比例函数解析式为y=

x

Q

将4,代入y=----,得〃=2,

x

A（M,2）

将A（T,2）,6（2,-4）代入丁=区+匕

^lk+b=2

得《，

2k+b=Y

解得L.k=-10,

b=-2

y=一x-2；

【小问2详解】

在y=—x—2,令y=0,即0=—x—2,

解得x=—2,

・••点c（—2,0）,

,•丁。八OBC

=^xOCxyA+^xOCx\yB\

1cc1」

=—X2X2H——x2x4

22

=6；

【小问3详解】

VH

由图象可得，依+匕＞—的解集为一次函数在反比例函数图象上方部分兀的取值范围,

X

XVY或0<x<2；

【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积问题，图象法解不等式

问题等知识，解题的关键是正确利用数形结合思想解题.

24.如图，为。。的直径，。。过AC的中点。，DELBC,垂足为点E.

（1）求证：与。。相切；

3

（2）若tanA=—,BC=5.求DE的长.

4

【答案】（1）见解析；（2）DE=y

【解析】

【分析】（1）连接由题目已知条件可证明0D是△ABC的中位线，进而可得到根据

DELBC,可以推出NODE=90°,即可得到结论.

（2）连接班），圆周角等于它所对的圆心角的一半可知NADfi=90。,又因为。是AC的中点，根据等腰三角形

三线合一定理可得AB=BC,ZA=ZC，再根据三角函数正切值求出DE的长.

【详解】（1）如图，连接OD,

:。为AB中点，。是AC的中点，

/.OD是△ABC的中位线，

，OD//BC,

：.NODE=NDEC,

•/DE-LBC,

；.NDEC=90°,

：.ZODE=90°,

：.ODLDE，

•••。。过4。的中点。，

•••DE与。。相切.

(2)如图，连接BD,

：AB是。。直径，

BD±AC,

是AC的中点，

AB=BC,

：.ZA=ZC,

tanA=tanC,

在RtZ\B£)C中，

3

'/tanC=tanA=—,BC=5,

4

DB=3,CD=4,

•：-BCxDE=-BDxDC,

22

/.DE=—.

5

【点睛】本题考查了切线的判定，中位线的性质，平行线的性质，圆周角定理，等腰三角形三线合一定理，三角

函数等，综合运用以上知识是解题的关键.

25.在平面直角坐标系尤Oy中，抛物线丁=以2+法(。/0),设抛物线的对称轴为％=/.

(1)当抛物线过点(—2,0)时，求f的值；

⑵若点(一2,和(1,n)在抛物线上，若能>",且劭加>0,求r的取值范围.

【答案】(1)t=~[

(2)当a>0时，—<f<—；当a<0时，t<—1

22

【解析】

【分析】(1)把点(―2,0)代入y=得出。和b的数量关系，即可求解；

(2)根据题意进行分类讨论即可，当。>0时，当。<0时.

【小问1详解】

解：把点（—2,0）代入〉=以2+汝得：0=4。—26,

4a=2b,整理得：2a-b,

b

・・・抛物线的对称轴为1=-=—1,

2a

t=—1.

【小问2详解】

当％=0时，y=0,

...该函数经过（0,0）,

设该函数与X轴的另一个交点坐标为（0,。），

t=-0+-a=—a

22

①当〃>。时，

:点（一2,加）和（1,八）在抛物线上，m>n,amn〉0,

m>n>0,

即点（-2,加）到对称轴距离大于点（1,小到对称轴距离,

2）>1T,解得：t>――>

•.•该函数经过（0,0）、（1,ri）,且〃>0

・••该函数与x轴的另一个交点横坐标a<1,

a1

一〈一,

22

・0・1<—1,

2

・'・当〃>