第2章　特殊三角形（A卷）　培优单元练习　2024-2025学年浙教版数学八年级上册

浙教版数学八年级上册培优单元练习第2章特殊三角形（A卷）一、选择题1．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为()A．13 B．17C．13或17 D．13或102．下列各组数据中不能作为直角三角形的三边长的是()A．3，4，5 B．1.5，2，2.5C．15，8，17 D．12，13，73．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，点D在边AB上，且BD＝BC，连结CD，则∠ACD的大小为()A．30° B．25°C．15° D．10°第3题图4．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是()A．12米 B．13米C．15米 D．24米第4题图5．命题“直角三角形的两锐角互余”的逆命题是()A．如果两个锐角互余，那么这两个角是同一个直角三角形中的角B．如果两个三角形的锐角互余，则这两个三角形是直角三角形C．如果两个锐角是直角三角形中的角，那么这两个角互余D．如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形6．定义：若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“优美三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”，下列四个三角形中，BD平分∠ABC，其中BD是“优美线”的是()A．B．C．D．7．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，点M是AB的中点，连结MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积为()A．12 B．12.5C．15 D．24第7题图8．如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率π取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为()A．6eq\r(2)cm B．8cmC．12cm D．10cm第8题图9．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC＝2，则DE＋DF的值为()A．2 B．eq\r(3)C．1 D．eq\f(\r(3),2)第9题图10．如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线与BD交于点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为()A．BF－DF＝CD B．BF＋DF＝CDC．BF2＋DF2＝CD2 D．无法确定第10题图二、填空题11．“直角三角形的两个锐角互余”这个命题的逆命题是：_________________________．12．如图，在等边三角形网格中，每个等边三角形的边长都为1，图中已经涂黑了3个三角形，从①、②、③号位置选择一个三角形涂黑，其中不能与图中涂黑部分构成轴对称图形是_________号位置的三角形．第12题图13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的大小为_________．第13题图14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BP＝CE，BD＝CP，则∠DPE＝_________．第14题图15．如图，AE＝BD，CE＝CD，∠E＝∠D，∠DCE＝60°.若BD＝eq\f(5,2)，CD＝eq\f(3,2)，且AB长为奇数，则AB的长为_________．第15题图16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，按图中方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边上的点C′处，那么△ADC′的面积是_________cm2.第16题图17．如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为_________．第17题图18．如图，A，B两个村庄在河边所在直线的同侧，它们到直线l的距离分别为2km和7km，且AB＝13km.现要在直线l上建一自来水厂P，分别向A村和B村送水，已知铺设水管的预算费用为每千米9000元，则铺设水管所需的最低预算为_________元．第18题图19．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，三条角平分线相交于点P，则点P到AB的距离为_________．第19题图20．如图，以△ABC(∠ABC＞120°)三边为边向外作等边三角形，分别记△ABC，△ABD，△BCE，△ACF面积为S，S1，S2，S3，作△ABD关于AB对称的△ABM，连结MF，BF，若△ABC≌△BMF，则∠ABC＝_________，S3＝_________________(用含S，S1，S2的式子表示)．第20题图三、解答题21．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DF⊥AB于点F，DE⊥AC于点E，且BF＝CE．求证：点D在∠BAC的平分线上．第21题图22．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若三角形的各顶点都在方格的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的三角形称为格点三角形．(1)请在图甲中作一个格点三角形，使△ABC是一个等腰直角三角形，并求出△ABC的面积．(2)请在图乙中仅用无刻度的直尺，作出∠ABC的平分线(保留作图痕迹)．23．如图，在等边三角形ABC中，点D为BC上一点，∠DAE＝60°，AE交∠ACB的外角平分线于点E．求证：△ADE是等边三角形．第23题图24．我们定义：三角形的边长和面积都是整数的三角形叫做海伦三角形，如三边长分别为5，5，6的三角形，边长为整数，且面积为12，则这个三角形为海伦三角形．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝4，AC＝13.求证：△ABC是海伦三角形．第24题图25．如图，已知点D为等腰直角三角形ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，点E为AD延长线上的一点，且CE＝CA.第25题图(1)求证：DE平分∠BDC；(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD.26．【基础巩固】(1)如图1，点E在线段BC上，AE＝DE，∠AED＝∠ABE＝∠DCE＝90°.求证：△ABE≌△ECD.图1【尝试应用】(2)如图2，∠AED＝∠ABE＝∠DCE＝90°，点E是BC的中点，AB＝4，CD＝6，求AD的长．图2【拓展提高】(3)如图3，∠AED＝∠ABC＝90°，∠DCE＝120°，E是BC的中点，AB＝4，CD＝2eq\r(3)，求AD的长．图3第26题图【答案解析】一、选择题1．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为(B)A．13 B．17C．13或17 D．13或102．下列各组数据中不能作为直角三角形的三边长的是(D)A．3，4，5 B．1.5，2，2.5C．15，8，17 D．12，13，73．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，点D在边AB上，且BD＝BC，连结CD，则∠ACD的大小为(C)A．30° B．25°C．15° D．10°第3题图4．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是(A)A．12米 B．13米C．15米 D．24米第4题图5．命题“直角三角形的两锐角互余”的逆命题是(D)A．如果两个锐角互余，那么这两个角是同一个直角三角形中的角B．如果两个三角形的锐角互余，则这两个三角形是直角三角形C．如果两个锐角是直角三角形中的角，那么这两个角互余D．如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形6．定义：若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“优美三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”，下列四个三角形中，BD平分∠ABC，其中BD是“优美线”的是(D)A．B．C．D．7．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，点M是AB的中点，连结MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积为(A)A．12 B．12.5C．15 D．24第7题图8．如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率π取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为(D)A．6eq\r(2)cm B．8cmC．12cm D．10cm第8题图9．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC＝2，则DE＋DF的值为(B)A．2 B．eq\r(3)C．1 D．eq\f(\r(3),2)第9题图10．如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线与BD交于点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为(C)A．BF－DF＝CD B．BF＋DF＝CDC．BF2＋DF2＝CD2 D．无法确定第10题图二、填空题11．“直角三角形的两个锐角互余”这个命题的逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形．12．如图，在等边三角形网格中，每个等边三角形的边长都为1，图中已经涂黑了3个三角形，从①、②、③号位置选择一个三角形涂黑，其中不能与图中涂黑部分构成轴对称图形是③号位置的三角形．第12题图13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的大小为30°．第13题图14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BP＝CE，BD＝CP，则∠DPE＝70°．第14题图15．如图，AE＝BD，CE＝CD，∠E＝∠D，∠DCE＝60°.若BD＝eq\f(5,2)，CD＝eq\f(3,2)，且AB长为奇数，则AB的长为3．第15题图16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，按图中方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边上的点C′处，那么△ADC′的面积是6cm2.第16题图17．如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为2．第17题图18．如图，A，B两个村庄在河边所在直线的同侧，它们到直线l的距离分别为2km和7km，且AB＝13km.现要在直线l上建一自来水厂P，分别向A村和B村送水，已知铺设水管的预算费用为每千米9000元，则铺设水管所需的最低预算为135000元．第18题图19．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，三条角平分线相交于点P，则点P到AB的距离为2．第19题图20．如图，以△ABC(∠ABC＞120°)三边为边向外作等边三角形，分别记△ABC，△ABD，△BCE，△ACF面积为S，S1，S2，S3，作△ABD关于AB对称的△ABM，连结MF，BF，若△ABC≌△BMF，则∠ABC＝150°，S3＝3S＋S1＋S2(用含S，S1，S2的式子表示)．第20题图三、解答题21．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DF⊥AB于点F，DE⊥AC于点E，且BF＝CE．求证：点D在∠BAC的平分线上．第21题图证明：∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠DFB＝∠DEC＝90°．∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.在Rt△DFB和Rt△DEC中，BD＝CD，BF＝CE，∴Rt△DFB≌Rt△DEC(HL)．∴DF＝DE．∴点D在∠BAC的平分线上．22．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若三角形的各顶点都在方格的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的三角形称为格点三角形．(1)请在图甲中作一个格点三角形，使△ABC是一个等腰直角三角形，并求出△ABC的面积．解：(1)如答图1，△ABC即为所求(任一种即可)；根据题意，得AB＝AC＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\r(5)＝eq\f(5,2).答图1(2)请在图乙中仅用无刻度的直尺，作出∠ABC的平分线(保留作图痕迹)．(2)如答图2，射线BP即为所求．答图223．如图，在等边三角形ABC中，点D为BC上一点，∠DAE＝60°，AE交∠ACB的外角平分线于点E．求证：△ADE是等边三角形．第23题图证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°.∵∠DAE＝60°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.∵CE是∠ACB的外角平分线，∴∠ACE＝60°.∴∠ACE＝∠B．∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴AD＝AE．又∵∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形．24．我们定义：三角形的边长和面积都是整数的三角形叫做海伦三角形，如三边长分别为5，5，6的三角形，边长为整数，且面积为12，则这个三角形为海伦三角形．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝4，AC＝13.求证：△ABC是海伦三角形．第24题图证明：如答图，过点A作BC边上的高AD，∴AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－(4＋CD)2＝132－CD2，解得CD＝5，AD＝12，∴S△ABC＝eq\f(1,2)·AD·BC＝24，∴三角形的边长和面积都是整数，∴△ABC是海伦三角形．答图25．如图，已知点D为等腰直角三角形ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，点E为AD延长线上的一点，且CE＝CA.第25题图(1)求证：DE平分∠BDC；证明：(1)在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°.∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD＝AD.又∵CD＝CD，∴△BDC≌△ADC(SSS)．∴∠DCA＝∠DCB＝45°.∵∠BDM＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°，∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°，∴∠BDM＝∠EDC．∴DE平分∠BDC．(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD.(2)如图，连结MC.∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，∴△MDC是等边三角形．∴CM＝CD．又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC＝∠ADC．又∵CE＝CA，∴∠CEM＝∠DAC＝15°.∴△ADC≌△EMC(AAS)．∴ME＝AD＝DB．26．【基础巩固】(