数列的概念（6题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题26数列的概念6题型分类

彩题如工总

彩先渡宝库

i.数列的有关概念

概念含义

数列按照确定的顺序排列的一列数

数列的项数列中的每一个数

如果数列｛斯｝的第n项斯与它的序号〃之间的对应关系可以用

通项公式

一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来

递推公式

表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式

数列｛斯｝的把数列｛斯｝从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列｛斯｝

前W项和的前〃项和，记作Sn,即*=〃1+。2~1-----H斯

2.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列

项与项间的递减数列其中

大小关系常数列斯+1-。鹿

摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，

有些项小于它的前一项的数列

3.数列与函数的关系

数列｛斯｝是从正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,…，〃｝)到实数集R的函数，其自变量是序号”,对应的函

数值是数列的第〃项斯,记为斯=角?).

(Si,n—1,

4.已知数列｛诙｝的前”项和贝！］斯=｝。

(Sn~Sn-l>n^2.

1，.一1,

5.在数列｛斯｝中，右斯取大，贝珞(〃22,“GN)；右呢取小，则j(心2,"GN).

彩他题海籍

(―)

sn与斯的关系问题的求解思路

(1)利用斯=S,—ST(〃、2)转化为只含s“S“-1的关系式,再求解.

(2)利用&-&-1=斯(鼠》2)转化为只含斯,诙-1的关系式,再求解.

题型1：由融与Sn的关系求通项公式

1-1.(2024•浙江)设数歹！j｛a〃｝的前“项和为S".若$2=4,an+i=2Sn+l,〃回N*,则。/=,Ss=.

【答案】1121

【详解】试题分析：4+〃2=4,%=2q+lnq=1，°2=3,

再由an+l=2Sn+l,an=2s,-+l(n22)nan+l-an=2annan+i=3«n(n>2),又4=34，

所以见+i=3a„(n>l),S5=i-^-=121.

【考点】等比数列的定义，等比数列的前〃项和.

【易错点睛】由。用=2S“+1转化为。用=3°”的过程中，一定要检验当”=1时是否满足qM=3a“，否则很容易

出现错误.

12(2024•北京)若数列｛《,｝的前〃项和S,=〃2一10"("=1,2,3,■),则此数列的通项公式为；数

歹！］｛也“｝中数值最小的项是第项.

【答案】2〃-11；3

【详解】数列｛4｝的前〃项和5“=〃2-10〃5=1,2,3,),数列为等差数列，数列的通项公式为%=5,-5“—=

2/1-11,数列｛㈣,｝的通项公式为叫,=21-11”，其中数值最小的项应是最靠近对称轴〃寸的项，即n=3,

第3项是数列｛〃4｝中数值最小的项.

1-3.(2024高三•全国•专题练习)已知数列｛%｝的前w项和为S“，若％=1,a2=3,且

S向+=2"+2s”(让2,〃eN*),则数列％｝的通项公式为—.

【答案】％=2"-1

【分析】根据5“,%之间的关系，结合累和法、等比数列的前〃项和公式进行求解即可.

【详解】当"22/wN*时，Sn+l+Sn_t=2"+25„^5„+1-S„-(5„-^)=2"^a„+1-an=T,

因为6=1,2=3,所以。2-6=2,

因此当〃eN*时，。〃+1-。〃=2〃，

于是当〃22,〃EN*时，

_1-2〃

=q+(%—q)+(%—%)+,，+(%—)=1+2+22+…+2"1=------=2”—1,

1—2

显然4=1适合，

故见=2"-1,

故答案为：2n-l.

1一4.(2024•黑龙江哈尔滨•一模)数列｛4｝满足％=1,«„(2S„-1)=2S；(n>2,”eN*),则%=.

1,n=l

【答案】4=2

(2〃—1)(2〃—3)

［解析】利用项和转换，得至U2=］-一一，故｛1｝是以］=1为首项，2为公差的等差数列，可得s”=,

再借助a“=S“-S,i，即得解.

【详解】由于4(2S.T)=2S3——

•••(S„-S„-1)(2S„-1)=2S：2S“¥“=

即2=^--y-

故｛1｝是以!=1为首项，2为公差的等差数列

—=l+2(n-l)=2n-l.-.S„=」一

S,2n-l

由于4=S“-S,T(〃22)

1,

2

(2〃-1)(2〃-3)

1,

2

故答案为：an

(2〃-1)(2〃-3)

【点睛】本题考查了数列递推关系，考查了学生分析问题的能力，数学运算的能力，属于中档题.

由数列的递推关系求通项公式

(1)形如斯+1—的数列，利用累加法.

(2)形如血力■=/(〃)的数列，利用斯=。1•生・强•…即可求数列｛斯｝的通项公式.

Cln。2〃〃一1

题型2:累加法

2-1.(2024・安徽安庆・一模)数列｛%｝满足应—=“(〃十°("22,J=LnGN*),%=2,对于任意“eN*有

%>见恒成立，则九的取值范围是.

【答案】：，+»]

【分析】利用累加法求出为，然后可得4,<g,然后可得答案.

111

-2^3-2-3

1_11

3^4-3-4

111

4^5-4-5

111

CI—6Z,=---------=---------

—nx(n+1)n〃+1

从而可得一一二

2n+1

即。”=-----7，因为。”<彳，所以％2彳.

2n+122

故答案为：（，+«]

2-2.（2024高三•全国•专题练习）已知数列｛%｝满足4=18,an+1-an=3n,则子的最小值为

【答案】9

【分析】由已知可得“22时，为=41+35-1）.累加法可推得《=网上2+18,进而得出&=,+”

构造小）=?三-4根据对勾函数的性质，得出函数的单调性，进而根据"3）="4）=9,即可得出

答案.

【详解】由已知可得，a,1+1=an+3n,

所以当"22时，有4“=%T+3（7L1）.

则有

%—18,

%=4+3x1,

〃3=。2+3X2,

卬=4T+3（，T），

两边分别相加可得，ax+a2+a3++/=4+%++an_1+18+3x1+3x2++3（n-l）

（〃一1）（3+3〃-3）3n（n-l]

=4+%+•++18H----------------=al+电+…+〃〃_]--------F18,

所以“当雪⑶

当〃=1时，％=18满足条件.

所以，J小.1）+18,

2

雨243（1）183H183

n2n2n2

、几/x3x183

设"『

根据对勾函数的性质可知，当0<x<26时，〃尤）单调递减；当x>2g时，单调递增.

十小、3x3183“八3x4183c

X/（3）=—+y-=9,〃4）=——+-----=9,

'）242

所以，当〃=3或”=4时，”有最小值为9.

n

故答案为：9.

题型3：累乘法

3-1.（2024高三•全国,专题练习）若刍=1,an+1=2〃为，则通项公式%=,

n(n-l)

【答案】2k

【分析】由已知可得凡包=2〃，然后利用累乘法可求得结果.

册

【详解】由%=2工，得手=2〃,

Un

所以生=2，"=2:且=23,…，汪=2-(〃22),

42/°1

所以£1.2.幺.….-^=21X22X23X--X2-1,

-1

用p以—21+2+3+…+(〃-1)

%

因为。=1,

n(n—l)

所以〃=21+2+3+,"+(n-1)=22，

n(n-l)

因为满足上式，所以，

q=1aun=42~^~

n(n-l)

故答案为:2k

3-2.（2024高三・全国•专题练习）在数列｛or?｝中，4==----〃"几之2）,则数列｛℃｝的通项公式an=.

n

【答案】-

n

an—1

【解析】依题意可得广=丁，再利用累乘法求数列的通项公式；

an-\〃

n—\an-1

【详解】解：由%得广=下，

nan-ln

团。〃=——X—XXX—

an-\an-2an-3

n—1n—211I

二----x-------xx—xI=一

nn—l2n

当〃=l时，q=l适合上式.

故见=--

n

故答案为：—

n

【点睛】本题考查累乘法求数列的通项公式，属于基础题.

33(2024高三上•辽宁葫芦岛•期末)在数列｛g｝中，q=4,加/=5+2)4，则数列｛g｝的通项公式为

(〃eN*)

【答案】2〃(〃+1)

〃“口n+2

【分析】由题意可得‘包=—,然后利用累乘法可求得结果.

ann

【详解】因为加%4=(〃+2)4,

所以%n+2

n

。2_3〃3_±4=5*"a«+1

所以n=

1〃22〃33*"2'an_xM-1

a345nn+\

所以幺%一1——二—x—x—x…・x---x---

dy^^2^^3an-2an—1,123n-2n-11

an(n+1)an(n+1)

所以nn

ax2ax2

因为4=4,所以%=2"("+l),q=4符号该式,

故答案为：2附(〃+1)

彩得甄淞籍(二)

数列的性质

(1)解决数列的单调性问题的方法

用作差比较法，根据诙+i—a〃的符号判断数列｛为｝是递增数列、递减数列还是常数列.

(2)解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.

题型4:数列的单调性

4-L(2024•北京•二模)设数列｛%｝的前〃项和为S“，且V〃eN*，32Sf.请写出一个满足条件的

数列｛q｝的通项公式%=.

【答案】〃-6（答案不唯一）

【分析】由题意确定数列的特征，然后结合数列的特征给出满足题意的数列的通项公式即可.

【详解】因为V"eN*,%+i>q,则数列]“｝是递增的,

XVneN*,S„>S6,

所以$6最小，数列｛q｝从第7项开始为正，而4W0，

因此不妨设数列为等差数列，公差为1,«6=0,

所以，满足条件的数列｛%｝的一个通项公式a„=n-6.

故答案为："-6（答案不唯一）.

42（2024高一下•上海闵行•期末）已知数列｛凡｝的前〃项和为兀S“=f2+2"+M"eN*）,若｛。“｝为递

减数列，则实数几的取值范围是.

【答案】（-2,+8）

+=1

【分析】根据S“求出%=c、c，再由数列是减数列，得到%>出，进而可求出结果.

[-2n+3,n>2

【详解】因为数列｛4｝的前〃项和为S“，S〃=—/+2〃+4（〃£N*）,

所以，〃==（-+2〃+4）-[-（〃-1）+2（〃-1）+，]=-2〃+3（〃>2）,

又^%=S[=—l+2+X=/l+l,

+=1

则4=—

\—2n+3,n>2

因为〃22时，数列｛%｝显然是减数列，

为使“eN*时，｛%｝为递减数列，只需4>外,即2+1>-1,所以彳>一2.

故答案为：（-2,也）

【点睛】本题主要考查由数列的增减性求参数，考查由数列的前〃项和求通项公式，属于常考题型.

4-3.（2024高二下•北京顺义•阶段练习）已知数列｛叫的通项公式为%=|2〃-4"N*）.写出一个能使数

列｛%｝是递增数列的实数b的值_________.（写出一个满足条件的即可）

【答案】答案不唯一，只要填的值在（一*3）均可

【分析】结合"x）=|2x-6|分析即可得出能使数列｛%｝是递增数列的充要条件为/（2）>/⑴

设/（元）=,2x-b\，结合图像可知，数列｛4｝是递增数列等价于/（2）>/（I）

即|4-6|>|2-6|,即16-86+炉>4-46+片,解得3<3

故答案为：答案不唯一，只要填的值在（-甩3）均可

44（2024高二上•河北衡水•期中）数列｛%｝满足：4=1+加〃€乂\若｛%｝是递增数列，则实数2的取

值范围是.

【答案】（T+8）

【分析】由已知条件推导出。用-“"=2"+1+力>0恒成立，由此能求出实数4的取值范围.

【详解】解：•数列｛凡｝的通项公式为%=/+而，〃eN*,数列｛凡｝是递增数列，

。”+1—%=（w+1）2+4（〃+1）—（"+A72）=2zz+1+2>0T旦成乂

2n+l+A的最〃、值是2xl+l+/l=3+/l>0

A.>-3

即实数4的取值范围是（-3,+8）.

故答案为：（-3,+8）.

题型5:数列的周期性

5-1.（2024高三・全国•专题练习）在数列｛q｝中，q=7,4=24,对所有的正整数"都有"用=。“+。-2，则

02024=（）

A.-7B.24C.-13D.25

【答案】B

【分析】由%M=%+%+2得〃"+6=-?+3=”,得到数列的周期，进而解决问题.

（详解1由4+1=an+4+2得4+2,=%+%+3，

两式相加得。〃+3=~an，

•，-an+6=~an+3=Un，

・・・｛4｝是以6为周期的数列，

而2024=337x6+2,

“2024=%=24.

故选：B.

5-2.(2024•北京通州・三模)数列｛%｝中，％=2,%=4，/_陷向=。"("22),则为023=()

11

A.-B.-C.2D.4

42

【答案】C

【分析】根据题意，分别求得见,%，。5，即可得到数列｛%｝的周期，从而得到结果.

【详解】因为岬=2,a2=4,an_xan^=an(n>2),令〃=2,则q生二出，求得名=2,

令〃=3,则。2。4=。3，求得。4=g，令〃=4,则。3。5=。4，求得。5=:，

令〃=5,则。4。6=。5，求得。6=:，令〃=6,则。5。7=。6，求得%=2,

令〃=7,则。6。8=%，求得4=4,,

所以数列｛%｝的周期为6,则%)23=%=2.

故选：C

5-3.(2024高三•全国•对口高考)设函数/定义如下，数列｛%｝满足％=5,且对任意自然数均有x,!+1=/(%„),

则々005的值为()

12345

41352

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

【分析】根据题意得到数列｛七｝是4项为周期的周期数列，结合ZOBMXSOMMM%，即可求解.

【详解】由对任意自然数均有乙+1=/(%)，且无。=5,

可得玉=/（%o）=/（5）=2,9=/（玉）=/（2）=1,毛=/（%2）=/。）=4,

/=/（七）=/（4）=5,毛=/（%4）=/（5）=2,

所以数列｛斗｝是4项为周期的周期数列，且前四项分别为2,1,4,5,

所以%2005=X501x4+l=玉=2.

故选:B.

1

5-4.（2024IWJ二•全国•专题练习）在数列｛4｝中，已知“〃>。，=1,4+2,1，且为00="96’则”2022+03

十，

51+际

A.-B.c.fD.

222

【答案】C

1得到总+。96T=。，求得的6=与1从而求得

【分析】根据%+2白，结合即100

1亚-11后-1

々98~-7Goo=,结合周期性，即可求解.

佝6+12%8+12

11

1,可得弓°°=.+1=]11,

【详解】由6'〃+2

氏+1

阳+1

1

因为4。。=46,所以111="%，整理得晨+。96T=。，

。96+1

A/5-I1世-11A/5—1

由于4>0，解得。96，从而为8=-T=一—'qoo

2%+12。98+12

75-1

可知为6=〃98=。100='=〃2022

2

11

因为。3=%+]2’所以电022+〃3=

2

故选：C.

题型6：数列的最值

9"（〃+1）

6-1.（2024高三・全国・专题练习）已知数列｛即｝的通项公式为an=,则数列中的最大项为.

10"

99

【答案】

10^

【分析】设数列｛01｝中的第〃项最大,建立不等式组求解即可得出结果.

【详解】设数列｛。〃｝中的第"项最大，

9"(a+l)>9f

则!即一^一年，

[%>an+l,9"(〃+1)>9向(〃+2)

,io"-ioK+1-'

解得8</1<9.

又〃EIN",贝lj"=8或"=9.

O9

故数列｛。而中的最大项为第8项和第9项，且圆=/=

108

9

故答案为：言O

62(2024高二・全国•课后作业)已知数列｛q｝的通项公式为q,=〃-Jz?+2,则%的最小值为.

【答案】1-A/3/-A/3+1

2,、

【分析】由册=-"+而+2，得到数列｛%｝为递增数列求解.

2

【详解】因为

n+y/n2+2

易知数列｛%｝为递增数歹

所以数列｛%｝的最小项为的,即最小值为1-5

故答案为：1-世

6-3.(2024局二•全国•课后作业)已知-优+2022(〃eN+，teR),若数列｛。“｝中最小项为第3项，则

t&.

【答案】(5,7)

【分析】结合二次函数的图像和性质即可知从而可求出r的取值范围.

222

【详解】因为y(x)=/-枕+2020开口向上，对称轴为尤=5，

则由题意知:<?<:，

222

所以re(5,7).

故答案为：(5,7).

2〃一1n<4

6-4.(2024•河北•高考模拟)数列｛为｝的通项公式为%=_“2+'(411泣〃>5若为是｛%｝中的最大项，则。

的取值范围是.

【答案】[9,12]

【分析】根据分段函数的单调性结合。5是｛4｝中的最大项列出不等式即可求解.

【详解】当"V4时，q=2"-1单调递增，

因此〃=4时，取得最大值为%=15,

2

当〃25时，an=-n+(a-l)n=-(n-+(°41)，

因为。5是｛七｝中的最大项，

5

所以《2一解得9VaW12,

一25+5("1)215

故答案为：[9,12].

65(2024高三•全国•专题练习)记S“为数列｛%｝的前〃项和，若a"=2"\贝U/“"og2(S“+1)的最小

值为.

【答案】T

【分析】利用等比数列前"项和公式求出S,，再判断数列单调性作答.

【详解】依题意，数列｛%｝是首项为1,公比为2的等比数列，则S“=E=2"T，

于是("一3")•log2(S“+1)=/-3",令勿=/一3/,

则有么+|-2=("+一3(〃+-(1-3/)=3/-3〃-2,

显然当“22时，3"2_3〃-2>0,即切包>切，因此当”22时，数列他」是递增的，

又乙=-2也=-4,所以G-3"”og2(S“+1)的最小值为T.

故答案为：—4

66(2024•湖南邵阳•模拟预测)数列｛2〃-1｝和数列｛3〃-2｝的公共项从小到大构成一个新数列｛4｝,数列

也｝满足：4啜，则数列｛2｝的最大项等于.

7

【答案】-/1.75

4

【分析】由条件求数列｛%｝的通项公式，再研究数列｛2｝的单调性，由此确定其最大项.

【详解】数列｛2〃-1｝和数列｛3〃-2｝的公共项从小到大构成一个新数列为：

1,7,13,…，该数列为首项为1,公差为6的等差数列，

所以=67”5,

所以"=岁

16〃+16n-511-6n

因为%----歹=亍1

所以当〃之2时，&+1-bn<0,即d>4>%>

又4，

7

所以数列｛2｝的最大项为第二项，其值为

7

故答案为：—.

4

媒习与梭升

一、单选题

1.（2024高三上•江西赣州•阶段练习）斐波那契数列｛风｝可以用如下方法定义：%+2=an+l+an，且％=%=1,

若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列也｝,则数列出｝的第100项为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】由题意有。“+2=。用+。“，且4=%=1，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列｛2｝,可

得｛2｝是以6为周期的周期数列，然后求解即可.

【详解】由题意有。“+2=。“+1+。,，且q=%=l，

若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列出」,

则4=1,刈=1，&=2,b4=3,b5=1,b6=0,b7=1,bs=1,bg=2...,

则数列｛2｝是以6为周期的周期数歹U,

贝!I4oo=篇,6+4=2=3,

则数列｛2｝的第100项为3,

故选：D.

2.(2024高三•全国•对口高考)已知数列｛%｝中，=!-—(«^2),则%)“=()

,an

A.JB.-1C.2D.1

【答案】A

【分析】先根据递推公式代入计算出前几项的值，即可判别出数列｛4｝是以3为最小正周期的周期数列，

根据周期数列的性质特点即可计算出电84的值，得到正确选项.

【详解】数列｛4｝中，%=；，4+1=1---(n>2),

a

Ln

A111c111

可知％=1=-l,“3=1=2,“4=1=—=aif

Q]a?6^3，

故数列｛4｝是以3为最小正周期的周期数列，

所以«2014="671x3+1=q=g.

故选：A

3.(2024・安徽合肥・模拟预测)在数列｛。“｝中，已知q=2,g=3,当〃22时，。“+1是%•an_1的个位数，则a2O23=

()

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】由题意，列出数列的前若干项，分析出数列变化规律，进而得出答案.

【详解】因为4=2-3,当“22时,。用是的个位数,

以。3=6,“4=8,%=8,〃6=4,a7=2,4=8,—6,〃]0—8,〃]]=8,q2=4,

可知数列｛%｝中，从第3项开始有an+6=a„,

即当“23时，。”的值以6为周期呈周期性变化，

又2023+6=337...1,

故的023=%=2.

故选：C.

4.（2024,浙江宁波•一模）设数列｛叫的前〃项和为S“，则"对任意〃eN*，4,>。"是"数列｛S,｝为递增数列"

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不是充分也不是必要条件

【答案】A

【分析】根据题意，分别判断充分性和必要性是否成立即可.

【详解】数列｛%｝中，对任意"eN*,«„>0,

所以数列｛S“｝为递增数列，充分性成立；

当数列同,｝为递增数列时，S">Ei，">2,

即S,i+a“>S,T，所以。，>。，"22,

如数列-1,2,2,2,，不满足题意，必要性不成立；

所以"对任意〃cN*,为>。"是"数列｛5.｝为递增数列"的充分不必要条件.

故选:A

5.（2024•浙江,二模）已知数列｛凡｝满足q=">0,q,+]=-a；+%ReN*）,若存在实数乙使｛g｝单调递增，

则。的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】A

【分析】解法一：由｛%｝单调递增可得%+1>。"恒成立，贝H>%+l（weN*）,分析14+1和"的+1应用

排除法确定正确选项；

解法二：借助函数的知识，将数列单调性转化为函数单调性，结合函数图象即可得解.

【详解】解法一：由也｝单调递增，得«n+1=Y+tan>an,

由4=。>0,得凡>0,

回/>a〃+l（neN*）.

〃=1时，得/>。+1（1）,

〃=2时，得/>—/+勿+1,即（〃一1），+②，

若a=l,②式不成立，不合题意;

若a>l,②式等价为，va+1,与①式矛盾，不合题意.

综上，排除B,C,D.

解法二：设/函数对称轴为％=；,则4+1=/（%）,

联立=f,可得两函数的交点为

若要%+i>a”,则0</-1<二0<a<t-l,所以l<r<2,

2

又只要求存在实数3所以0<。<1.

故选：A.

6.（2024・全国•模拟预测）已知数列｛%｝满足.+段++$M〃eN*）也一（““-I）"+4,7,若数歹！]也｝

为单调递增数列，则2的取值范围是（）

A.曰+[B.C.]|,+]D.1

—,+oo

2

【答案】A

【分析】根据给定条件求出数列｛%｝通项，再由数列也｝为单调递增数列列出不等式并分离参数即可推理计

算作答

【详解】由g+今++M=M"N*）可得g+今+―+黑=〃一1（心2）,

22217222

两式相减可得墨=1,则4=2",〃22,

当〃=1时，？=1可得4=2满足上式，故%=2"（〃eN*）,

所以么=4（2"-1）一“2+4”，

因数列｛2｝为单调递增数列，即V"wN*,bn+rbn>0,

则；1（2〃+1_1）_（"+1）2+4（〃+1）_,（2〃_1）_〃2+4臼=；1.2〃_2〃+3>0.

整理得丸>丝口,

2〃一3耳12rl—12rl—3

2丁，贝合〃+1-。〃=5^F2"+1

当“W2时,c„+1>c„,当“23时,c„+1<cn,

于是得。3=]是数列｛c“｝的最大项，即当〃=3时，空?取得最大值|,从而得彳

o2o8

3

所以2的取值范围为｛刈丸＞?.

故选：A

7.（2024高一上•北京•期末）数列｛%｝的通项公式为%=加+〃+1,则"＞一；”是"｛%｝为递增数列，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

【答案】B

【分析】根据。用-%＞。以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可

【详解】由题意得数列｛为｝为递增数列等价于对任意

nGN*,an+i-an-［左++〃+2］一（如2+〃+］）=2加+左+1＞0恒成立，

即左〉一二二对任意nGN*恒成立，

2n+l

因为一不二＜0,且可以无限接近于0,所以％20,

2n+l

所以”＞一;，，是"｛%｝为递增数列，，的必要不充分条件，

故选：B

8.（2024高三上•广东深圳•阶段练习）已知数列｛%｝的通项公式为巴=1-3九〃，则"彳＜1"是"数列｛%｝为

递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断

【详解】若数列｛%｝为递增数列，

则an+1-an=［（〃+1）2-32（〃+1）］-（“2-3加）

=［12+2〃+1—3MA—3/1］一（"2—34”）

—2M+1—3A〉0f

即34＜2〃+1

由"wN*,所以有3X<2x1+1=3,

反之，当彳<1时，an+l-an>0,则数列｛%｝为递增数列，

所以"X<1"是"数列｛4｝为递增数列"的充要条件，

故选：C.

f（3——8,H<6

9.（2024高三上•江苏南通•期末）已知数列｛4｝是递增数列，且4=J，则实数/的取值范

[t,n>6

围是（）

A.（2,3）B.[2,3）C.15,3）D.（1,3）

【答案】C

【分析】根据分段函数的单调性及数列为递增数列，列出不等式组求解即可.

【详解】因为4=伫1，&，«，｛%｝是递增数歹u.

口,n>6

3—£>0

所以，>1,解得

（3—£）x6—8</

所以实数f的取值范围为[与，3）,

故选：C

10.（2024高二上•陕西咸阳•阶段练习）已知数列包,｝满足a"+i=log2（%+l）,若仇｝是递增数列，则外的取

值范围是（）

A.（0,1）B.（0,72）C.（-1,0）D.（l,+oo）

【答案】A

【分析】作出函数y=x和y=bg2（x+i）的图象，结合图象分析求解.

【详解】因为｛叫是递增数列，所以凡即4<log2（a“+l）.

如图所示，作出函数y=x和y=log2（x+l）的图象，

由图可知，当xe（O,l）时,x<log2（x+l）,且log2（x+l）e（0,l）.

故当qe（O,l）时，<log2（o1+l）=（z2,且/e（0,l）,

依止匕类推可得4<%<?<

满足｛4｝是递增数列，即为的取值范围是（0,1）.

11.（2024•甘肃张掖•模拟预测）已知数列｛%｝为递减数列，其前"项和S“=-"2+2〃+〃2,则实数的取值

范围是（）.

A.（-2,+co）B.（-＜»,-2）C,（2,+oo）D.

【答案】A

【分析】根据通项与前〃项和的关系可得当“22时，％=-2〃+3,再求解出＜弓的解即可.

【详解】因为。向-为＜0,所以数列｛%｝为递减数列，

当“22时，。“=S"_S“_]+2〃+机_〔—（〃-1）+2（n—1）+7?7J=—2n+3,

故可知当”22时，｛%｝单调递减，

故｛%｝为递减数列，只需满足出＜%，即-1＜1+机=机＞-2.

故选：A

12.（2024高二上•重庆•期末）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普

遍存在于自然界中，因此又被称为"大自然的几何学按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个

树形图.若记图2中第〃行黑圈的个数为%,则%=()

/\-第1行

。二…A小…-第2行

-第3行

图1图2

A.110B.128C.144D.89

【答案】C

【分析】。“表示第〃行中的黑圈个数，设或表示第〃行中的白圈个数，由题意可得。用=24+bn,bn+1=an+bn,

根据初始值，由此递推即可求得结果.

【详解】已知％表示第"行中的黑圈个数，设么表示第"行中的白圈个数，

则由于每个白圈产生下一行的一个白圈和一个黑圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈和2个黑圈,

所以an+l=2an+bn,bn+1=an+bn,

又因为4=0,4=1,

所以。2=1,=1；

a3=2xl+l=3,bi=1+1=2；

“4=2X3+2=8,方4=3+2=5；

%=2x8+5=21,b5=8+5=13；

a6=2x21+13=55,b6=21+13=34；

%=2x55+34=144.

故选：c.

13.（2024•云南保山•二模）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的

表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做是二项式系数在三角形中的一种几何

排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,则此数列的

第56项为（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【分析】由题意可知，去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数构成一个首项为1,公差为1的等差数列，

求解即可.

【详解】由题意可知：若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4,

可以看成构成一个首项为1,公差为1的等差数列，则北=山土D,

可得当力=10,所有项的个数和为55,第56项为12,

故选：B.

14.(2024高三下•河南新乡•开学考试)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,

3,6,10,第"个三角形数为吟辿=记第〃个左边形数为N(〃,Z)/N3),以下列出了部分左边

形数中第w个数的表达式：三角形数：N(〃,3)=g/+g〃；正方形数：N(〃,4)=/；五边形数：

Q1

N(〃,5)=(2-(；六边形数：N(〃,6)=2/_〃，可以推测N(〃,Z)的表达式，由此计算N(20,23)=()

A.4020B.4010C.4210D.4120

【答案】B

k4-"

【分析】根据题意列举前几项，分析可得N5/)=T〃2+2^〃，即可得结果.

【详解】由题意可得：N5,3)=g〃2+g〃，N5,4)=|/+：〃，

N｛n,5)=—n2-—n,6)=—n2——n.

2222

k—OA—k

由此可归纳N(〃次)=

22

23—74—73

所以N(20,23)=^―x202+x20=4010,

故选：B.

15.(2024•全国•模拟预测)古希腊科学家毕达哥