全国名校高考数学试题分类汇编 G单元 立体几何（含解析）

G单元立体几何目录G单元立体几何 1G1空间几何体的结构 2G2空间几何体的三视图和直观图 2G3平面的基本性质、空间两条直线 2G4空间中的平行关系 2G5空间中的垂直关系 2G6三垂线定理 2G7棱柱与棱锥 2G8多面体与球 2G9空间向量及运算 2G10空间向量解决线面位置关系 2G11空间角与距离的求法 2G12单元综合 2G1空间几何体的结构G2空间几何体的三视图和直观图【浙江宁波高一期末·】13.将棱长为2的正方体切割后得一几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为___________.正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图视图（第13题图）【答案解析】解析：解：由三视图知几何体为四棱锥，其直观图如图所示，

四棱锥的底面为ABCD，其中AB=2，AD=，

四棱锥的高为PN=．

∴几何体的体积为（cm3）．【思路点拨】几何体是四棱锥，结合直观图，判断四棱锥的底面矩形的边长及四棱锥高，把数据代入棱锥的体积公式计算．【文·重庆一中高二期末·】8.（原创）六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如下图所示，则其左视图不可能为正视图俯视图正视图俯视图A.B.C.D.【知识点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．【答案解析】D解析：解：结合主视图和俯视图，从左面看，几何体的最底层必有正方行，而D选项没有．

故选D．【思路点拨】根据给出的几何体，通过动手操作，观察可得答案选择D，也可以根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，结合主视图和俯视图，从左面看，几何体的最底层必有正方行，而D选项没有．【文·浙江绍兴一中高二期末`】12．一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的体积为；【知识点】由三视图求面积;根据三视图判断几何体的形状【答案解析】解析：解：由已知中该几何体是一个四分之三球，其表面积包括个球面积和两个与球半径相等的半圆面积∵R=1,故S=•4•π+2••π=4π

故答案为：4π【思路点拨】根据已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的形状是四分之三个球，利用球的表面积公式及圆的面积公式，即可得到该几何体的表面积．【文·浙江宁波高二期末·】13.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为[]211221121正视图侧视图俯视图(第13题图)【知识点】三视图求几何体的体积.【答案解析】解析：解：由三视图知几何体是正方体削去一个角，如图：

∴几何体的体积

故答案为：．【思路点拨】根据三视图知几何体是正方体削去一个角，画出其直观图，把数据代入正方体与棱锥的体积公式计算．【文·四川成都高三摸底·】13．如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是。【知识点】由三视图求几何体的表面积.【答案解析】解析：解：由几何体的三视图可知该几何体为一个倒放的直三棱柱，则其侧面积为，又两个底面面积为×2×2×2=4，所以该几何体的表面积为【思路点拨】由三视图求几何体的表面积问题，可先结合三视图还原原几何体，再结合几何体的特征计算.【文·广东惠州一中高三一调·】13．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于【知识点】由三视图求体积．43233正视图侧视图俯视图【答案解析】43233正视图侧视图俯视图33243第13题图【思路点拨】先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可．【文·广东惠州一中高三一调·】13．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于【知识点】由三视图求体积．43233正视图侧视图俯视图【答案解析】2443233正视图侧视图俯视图33243第13题图【思路点拨】先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可．【理·重庆一中高二期末·】6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A、2B、4C、4D、12【知识点】由三视图求体积．【答案解析】C解析：解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为2，底面为等腰直角三角形，如图：

∵△ABC为等腰直角三角形，D为AC的中点，平面PAC⊥平面ABC，

在平面SAC中，过D作DH⊥AC，

∴外接球的球心在DH上，设球心为O，则OA=OB=OC=OS，

设OD=x，则

外接球的半径R=，∴外接球的体积

故选：C．【思路点拨】几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图可证球心在平面SAC，AC的垂直平分线上，设出球心，利用勾股定理求出球的半径，代入球的体积公式计算．【理·浙江绍兴一中高二期末·】【七句话告诉你人生】【理·浙江宁波高二期末`】12.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为21121正视图21121正视图侧视图俯视图(第(第12题图)【知识点】三视图求几何体的体积.【答案解析】解析：解：由三视图知几何体是正方体削去一个角，如图：

∴几何体的体积

故答案为：．【思路点拨】根据三视图知几何体是正方体削去一个角，画出其直观图，把数据代入正方体与棱锥的体积公式计算．【理·四川成都高三摸底·】13．如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是。【知识点】由三视图求几何体的表面积.【答案解析】解析：解：由几何体的三视图可知该几何体为一个倒放的直三棱柱，则其侧面积为，又两个底面面积为×2×2×2=4，所以该几何体的表面积为【思路点拨】由三视图求几何体的表面积问题，可先结合三视图还原原几何体，再结合几何体的特征计算.【理·吉林长春十一中高二期末·】3.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱【知识点】简单几何体的结构特征;简单几何体的三视图.【答案解析】D解析：解：解：A、球的三视图均为圆，且大小均等；

B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同，；

C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；

D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形

故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱,故选D【思路点拨】利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等.【理·广东惠州一中高三一调·】6．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（）3243第6题图 3243第6题图【知识点】由三视图求面积、体积．【答案解析】C解析：解：由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图，故选.【思路点拨】先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可．【典型总结】本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成空间几何体的直观图是解决此题的关键，要求熟练掌握空间几何体的体积公式．【文·浙江温州十校期末联考·】15.如果一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为____▲____．【知识点】由三视图求几何体的面积、体积.【答案解析】解析：解：此几何体为一个正六棱锥，其顶点在底面的投影是底面的中心,由于正视图中△ABC是边长为2的正三角形，其高为，

即侧视图中三角形的高为，又中心到边为的距离为，

故侧视图中三角形的底边长为，故侧视图的面积，

故答案为：【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个正六棱锥，其标点在底面的投影是底面的中心，底面是一个正六边形，欲求侧视图的面积，由于其是一个等腰三角形，其高为棱锥的高，底面边长是六边形相对边长的距离，求出此两量的长度，即可求其面积．【典型总结】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是正六棱锥的侧视图的面积，由三角形面积公式直接求即可．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．【文·江西鹰潭一中高一期末·】5．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个()．主视图左视图俯视图A．棱台 B．棱锥 C．棱柱 D．正八面体【知识点】简单空间图形的三视图．【答案解析】A解析：解：由俯视图可以看出这个图形的底面是四边形，且上面还有一个四边形的底面，主视图和侧视图都是等腰梯形，得到这个图形是一个棱台

故选A．．【思路点拨】由俯视图可以看出这个图形的底面是四边形，主视图和侧视图都是等腰梯形，得到这个图形是一个棱台．【典型总结】本题考查由三视图还原几何体，在这个题目中注意观察俯视图，从俯视图可以看出底面是一个几边形，为给几何体命名确定条件．【理·浙江温州十校期末联考·】13．如果一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为____▲____．【知识点】由三视图求几何体的面积、体积.【答案解析】解析：解：此几何体为一个正六棱锥，其顶点在底面的投影是底面的中心,由于正视图中△ABC是边长为2的正三角形，其高为，

即侧视图中三角形的高为，又中心到边为的距离为，

故侧视图中三角形的底边长为，故侧视图的面积，

故答案为：【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个正六棱锥，其标点在底面的投影是底面的中心，底面是一个正六边形，欲求侧视图的面积，由于其是一个等腰三角形，其高为棱锥的高，底面边长是六边形相对边长的距离，求出此两量的长度，即可求其面积．【典型总结】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是正六棱锥的侧视图的面积，由三角形面积公式直接求即可．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．【江西鹰潭一中高一期末·】6．如下图：左边图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是右边图()．【知识点】由三视图还原实物图．【答案解析】D解析：解：正视图和左视图相同，说明组合体上面是锥体，下面是正四棱柱或圆柱，俯视图可知下面是圆柱．故选D【思路点拨】正视图和左视图可以得到A，俯视图可以得到B和D，结合三视图的定义和作法解答本题正确答案D．G3平面的基本性质、空间两条直线【理·浙江宁波高二期末`】5.将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),所得图象关于直线对称,则的最小值为（）A．B． C． D．【知识点】三角函数图象的变换规律;三角函数的图象与性质．【答案解析】C解析：解：将函数的图象向右平移φ个单位所得图象的解析式再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍所得图象的解析式因为所得图象关于直线对称，所以当时函数取得最值，所以整理得出当k=0时，φ取得最小正值为．

故选：C．【思路点拨】根据三角函数图象的变换规律得出图象的解析式，再根据三角函数的性质，当时函数取得最值，列出关于φ的不等式，讨论求解即可．G4空间中的平行关系【理·四川成都高三摸底·】6．已知a，b是两条不同直线，a是一个平面，则下列说法正确的是（A）若a∥b．b，则a// （B）若a//，b，则a∥b（C）若a⊥，b⊥，则a∥b （D）若a⊥b，b⊥，则a∥【知识点】线面平行的判定、线面垂直的性质【答案解析】C解析：解：A选项中直线a还可能在平面α内，所以错误，B选项直线a与b可能平行还可能异面，所以错误，C选项由直线与平面垂直的性质可知正确，因为正确的选项只有一个，所以选C【思路点拨】在判断直线与平面平行时要正确的理解直线与平面平行的判定定理，应特别注意定理中的“平面外一条直线与平面内的一条直线平行”，在判断位置关系时能用定理判断的可直接用定理判断，不能直接用定理判断的可考虑用反例排除.【理·吉林长春十一中高二期末·】18．（满分12分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且，,，点分别为、、的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求二面角的余弦值.【知识点】直线与平面平行的证明；异面直线垂直的证明；二面角的求法.【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）解析：解：（Ⅰ）证明：连接，是的中点，过点，为的中点，，又面，面，平面；（Ⅱ）在直角中，，，，棱柱的侧棱与底面垂直，且，以点为原点，以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系如图示，则，，，，，，，，；（Ⅲ）依题意得，，，，，，，设面的一个法向量为，由，得，令，得，同理可得面的一个法向量为，故二面角的平面角的余弦值为，【思路点拨】（Ⅰ）连结，由已知条件推导出，由此能证明∥平面．

（Ⅱ）以点为原点，以所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明．

（Ⅲ）分别求出面的一个法向量和平面的一个法向量利用向量法能求出二面角的余弦值．G5空间中的垂直关系【浙江宁波高一期末·】3.设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题不正确的是若，，则若，∥，则若，，则∥若∥,∥,则∥【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【答案解析】D解析：解：由线面垂直的定义判断，知若，，则，故A正确.由线面垂直的性质判定定理，知若，∥，则，故B正确.由根据垂直同一平面的两直线平行判断，知若，，则∥,故C正确.由线面平行的性质判断，知若∥,∥,则与的关系是平行、相交或异面，故D错误.故答案选：D.【思路点拨】由线面垂直的性质、线面垂直的性质判定定理、线面平行的性质依次判断即可.【文·重庆一中高二期末·】18.(原创)（本小题12分（1）小问6分，（2）小问7分）所有棱长均为1的四棱柱如下图所示，.（1）证明：平面平面；（2）当为多大时，四棱锥的体积最大，并求出该最大值.【知识点】面面垂直的性质定理；立体几何中的最值问题.【答案解析】（1）见解析（2）解析：解：(1)由题知，棱柱的上下底面为菱形，则①， …………2分由棱柱性质可知，又，故② …………4分由①②得平面， 又平面，故平面平面 ………… 6分（2）设，由（1）可知平面，故………8分菱形中，因为，，则，且则在中，………10分易知四边形为边长为1的菱形，则当时（），最大，且其值为1.…………12分故所求体积最大值为 …………13分【思路点拨】（1）由题知,由棱柱性质可知,结合线面垂直的性质定理可得结论；（2）先找到四棱锥的体积的表示，知当时（），最大，且其值为1，可求体积最大值.【文·浙江绍兴一中高二期末`】19．（本题满分10分）如图，平面平面，第19题图四边形为矩形，．为的中点，．第19题图（1）求证：；（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．【知识点】线面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；二面角的平面角的做法.【答案解析】（1）见解析（2）解析：解：（1）证明：连结OC,因AC=BC,O是AB的中点，故.又因平面ABC平面ABEF,故平面，…………2分于是．又，所以平面，所以，…………4分又因，故平面，所以．…………6分（2）解法一：由（1），得．不妨设，．…………7分因为直线FC与平面ABC所成的角，故=，所以FC=EC=2，为等边三角形，…………9分设则O,B分别为PF,PE的中点，也是等边三角形.取EC的中点M,连结FM,MP,则所以为二面角的平面角.…………12分在中，…………13分故cos即二面角的余弦值为．…………14分解法二：取的中点，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．不妨设，，则，，，，…………8分从而，.设平面的法向量为，由，得，可取．…………10分同理，可取平面的一个法向量为．………12分于是，……13分易见二面角的平面角与互补，所以二面角的余弦值为．…………14分【思路点拨】(1)连结OC再利用面面垂直的性质得到平面，再利用线面垂直的判定得到平面，最后再次利用线面垂直的判定得到结论；（2）解法一：结合已知条件找出为二面角的平面角，然后利用公式即可.解法二：取的中点，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．不妨设，，然后找出相关点的坐标，然后分别求出两个半平面的法向量代入公式即可.【文·浙江绍兴一中高二期末`】14．沿对角线AC将正方形ABCD折成直二面角后，AB与CD所在的直线所成的角等于；【知识点】异面直线及其所成的角，【答案解析】60°解析：解：如图所示，分别取AC、AB、BD边的中点O、E、F，连接DO、BO、EO、FO、EF，则有EF∥AD，OE∥BC∴∠FEO就是直线AB与CD所成的角．

设正方形边长为2a，则DO=BO=AC＝a，且DO⊥AC，BO⊥AC

即∠DOB为二面角D-AC-B所成的角，由于DB=2a可得DO⊥BO，

∴OF=DB=a=EF=EO，即得∠FEO=60°，即得直线AB与CD所成的角的大小为60°．

故答案为：60°．【思路点拨】分别取AC、AB、BD边的中点O、E、F，连接DO、BO、EO、FO、EF，根据三角形中位线定理，易得∠FEO就是直线AB与CD所成的角，解三角形FEO，即可求出直线AB与CD所成的角的大小．【文·浙江绍兴一中高二期末`】6．设m，n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题，正确的（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则[来【知识点】线面平行的性质定理；线面垂直的第二判定定理；面面垂直的判定定理．【答案解析】B解析：解：若，，则m与的关系不确定，故A错误；

若，则存在直线n⊂，使m∥n，又由，可得n⊥β，进而由面面垂直的判定定理得到，故B正确；

若，，则与关系不确定，故C错误；

若，，，则与可能平行，也可能相交（此时交线与m，n均平行），故D错误；

故选：B【思路点拨】根据线面平行的性质定理，线面垂直的第二判定定理，面面垂直的判定定理，可判断B中结论正确，而由空间点线面关系的几何特征，可判断其它结论均不一定成立．【文·浙江宁波高二期末·】4.已知直线，平面，且，给出下列命题，其中正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【知识点】线面、面面位置关系的判断.【答案解析】A解析：解：对于A∵，∴，又∵，∴，∴A正确．对于B∵,则与的位置关系是平行、相交、异面，故B错误.对于C∵，则的位置关系是平行或相交，故C错误.对于D∵，则.故D错误.故选：A.【思路点拨】利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断，成立的证明，不成立的可举出反例．【理·重庆一中高二期末·】4、在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BCA、B、C、 D、【知识点】点到平面的距离.【答案解析】B解析：解：设点A到平面A1BC的距离为h，则三棱锥的体积为即∴∴h=．

故选：B．【思路点拨】要求点A到平面A1BC的距离，可以求三棱锥

底面A1BC上的高，由三棱锥的体积相等，容易求得高，即是点到平面的距离．【理·浙江绍兴一中高二期末·】5．设m，n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，，则[来【知识点】线面平行的性质定理；线面垂直的第二判定定理；面面垂直的判定定理．【答案解析】B解析：解：若，，则m与的关系不确定，故A错误；

若，则存在直线n⊂，使m∥n，又由，可得n⊥β，进而由面面垂直的判定定理得到，故B正确；

若，，则与关系不确定，故C错误；

若，，，则与可能平行，也可能相交（此时交线与m，n均平行），故D错误；

故选：B【思路点拨】根据线面平行的性质定理，线面垂直的第二判定定理，面面垂直的判定定理，可判断B中结论正确，而由空间点线面关系的几何特征，可判断其它结论均不一定成立．【理·浙江宁波高二期末`】19.(本题满分14分)在如图所示的空间几何体中,平面平面,与均是边长为的等边三角形,,直线和平面所成的角为,且点在平面上的射影落在的平分线上．（I）求证:平面；（II）求二面角的余弦值．【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）解析：解：（Ⅰ）由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，，又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，那么，根据题意，点落在上，……………3分∴，易求得，∴四边形是平行四边形，∴，∴平面……………7分（Ⅱ）解法一：作，垂足为，连接，∵⊥平面，∴，又，∴平面，∴，∴就是二面角的平面角…………10分中，，，．∴．即二面角的余弦值为．…………14分解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，可知平面的一个法向量为设平面的一个法向量为则，可求得．……10分所以，所以二面角的余弦值为．…………14分【思路点拨】（Ⅰ）取AC中点O，连接BO，DO，由题设条件推导出DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，由已知条件推导出∠EBF=60°，由此能证明DE∥平面ABC．

（Ⅱ）法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，能推导出∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角，由此能求出二面角E-BC-A的余弦值．

法二：以OA为x轴，以OB为y轴，以OD为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角E-BC-A的余弦值．【理·浙江宁波高二期末`】4.已知是空间中两条不同直线,是两个不同平面,且,给出下列命题：①若，则；②若，则;③若，则；④若，则其中正确命题的个数是（）A.1 B.2 C．3 D．4【知识点】线面、面面位置关系的判断.【答案解析】B解析：解：对于A∵，∴，又∵，∴，∴A正确．对于B∵,则与的位置关系是平行、相交、异面，故B错误.对于C∵，则的位置关系是平行或相交，故C错误.对于D∵，则.故D正确故选.：B.【思路点拨】利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断，成立的证明，不成立的可举出反例．【理·四川成都高三摸底·】19．（本小题满分12分） 如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点。（I）求证：BC⊥平面VAC；（Ⅱ）若AC=l，求二面角M－VA－C的余弦值。【知识点】直线与平面垂直的判定、二面角的求法【答案解析】（I）略；（Ⅱ）解析：解：（I）证明：因为VC⊥平面ABC，，所以VC⊥BC，又因为点C为圆O上一点，且AB为直径，所以AC⊥BC，又因为VC，AC平面VAC，VC∩AC=C，所以BC⊥平面VAC.（Ⅱ）由（I）得BC⊥VC，VC⊥AC，AC⊥BC，分别以AC，BC，VC，所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C—xyz如图则A(1，0，0)，V(0，0，2)，B(0，，0)，设平面VAC的法向量，设平面VAM的法向量，由令y=，得，所以，即所求二面角的余弦值为【思路点拨】在证明直线与平面垂直时，一般结合直线与平面垂直的判定定理，只需证明直线与平面内两条相交直线垂直；对于求二面角可考虑直接求其平面角的大小和用向量求解，当直接寻求其平面角不方便时要注意建立适当空间直角坐标系，借助于平面的法向量解答.【理·四川成都高三摸底·】6．已知a，b是两条不同直线，a是一个平面，则下列说法正确的是（A）若a∥b．b，则a// （B）若a//，b，则a∥b（C）若a⊥，b⊥，则a∥b （D）若a⊥b，b⊥，则a∥【知识点】线面平行的判定、线面垂直的性质【答案解析】C解析：解：A选项中直线a还可能在平面α内，所以错误，B选项直线a与b可能平行还可能异面，所以错误，C选项由直线与平面垂直的性质可知正确，因为正确的选项只有一个，所以选C【思路点拨】在判断直线与平面平行时要正确的理解直线与平面平行的判定定理，应特别注意定理中的“平面外一条直线与平面内的一条直线平行”，在判断位置关系时能用定理判断的可直接用定理判断，不能直接用定理判断的可考虑用反例排除.【江苏盐城中学高二期末·】17．（本小题满分14分）ABCA1B1C1ED第17题（理科学生做）ABCA1B1C1ED第17题（1）求直线与所成角的大小；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【知识点】异面直线所成的角；直线与平面所成的角.【答案解析】（1）（2）解析：解：分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系.则由题意可得：,,,,,,又分别是的中点，,.…………3分（1）因为，，所以，…………7分直线与所成角的大小为.…………8分（2）设平面的一个法向量为,由,得,可取，…………10分又，所以，……13分直线与平面所成角的正弦值为.…………14分【思路点拨】（1）分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系.则由题意可得，，然后利用向量的夹角公式计算可得结果；（2）找出两个半平面的法向量后利用向量的夹角公式计算即可.【文·浙江温州十校期末联考·】6．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题不正确的是(▲)A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系.【答案解析】B解析：解：A选项正确，因为两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条必垂直于这个平面；B选项不正确，因为由线面平行的性质定理知，线平行于面，过线的面与已知面相交，则交线与已知线平行，由于m与β的位置关系不确定，故不能得出线线平行；

C选项正确，两个平面垂直于同一条直线，则此两平面必平行；

D选项正确，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

综上，B选项不正确

故选B.【思路点拨】A选项由线面垂直的条件判断；B选项由线线平行的条件判断；C选项由面面平行的条件判断；D选项由面面垂直的条件判断．【文·江西鹰潭一中高一期末·】21．（本题14分）已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）解析：解：证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．（3分）又∵，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF⊂平面BEF，∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC．（9分）∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴，（11分）∴，由AB2=AE•AC得，∴，（13分）故当时，平面BEF⊥平面ACD．（14分）【思路点拨】（Ⅰ）由AB⊥平面BCD⇒AB⊥CD，又CD⊥BC⇒CD⊥平面ABC，再利用条件可得不论λ为何值，恒有EF∥CD⇒EF⊂平面BEF，就可得不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD⇒BE⊥平面ACD⇒BE⊥AC．故只须让所求λ的值能证明BE⊥AC即可．在△ABC中求出λ的值．【文·江西鹰潭一中高一期末·】19．（本题12分）（本题13分）已知正方体，是底对角线的交点.求证：（１）∥面；（2）面。【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系．【答案解析】（1）见解析；（2）见解析.解析：解：（1）连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO∵ABCD﹣A1B1C1D1∴A1ACC1是平行四边形，∴A1C1∥AC且A1C又O1，O分别是A1C1，AC的中点，∴O1C1∥AO且O1∴AOC1O1是平行四边形，∴C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，∴C1O∥面AB1D1；（2）∵CC1⊥面A1B1C1D1∴CC1⊥B1D!，又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥面A1C1C，即A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，∴A【思路点拨】（1）欲证C1O∥面AB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证C1O与面AB1D1内一直线平行，连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，易得C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D（2）欲证A1C⊥面AB1D1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A1C与面AB1D1内两相交直线垂直根据线面垂直的性质可知A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，又D1B1∩AB【文·江西鹰潭一中高一期末·】14．已知为两条不同的直线，为三个不同的平面，有下列命题：（1），则；（2），则；（3），则；（4），则；其中正确命题是【知识点】线面平行、线面垂直的性质.【答案解析】（2）解析：解：对于（1），则或相交或异面；故（1）不正确；对于（2），则，正确；对于（3），则或，故（3）不正确；对于（4），则或，故（4）不正确；故答案为（2）【思路点拨】利用线面间的位置关系以此判断即可.【文·江西鹰潭一中高一期末·】2．若直线∥平面，直线，则与的位置关系是（）A．∥B．与异面C．与相交D．与没有公共点【知识点】线面的位置关系.【答案解析】D解析：解：因为∥平面，则与平面没有公共点，又因为直线，故与没有公共点，故选D【思路点拨】利用线面平行的定义知与平面没有公共点，再结合直线，可得结论.【理·浙江温州十校期末联考·】5．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题不正确的是(▲)A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系.【答案解析】B解析：解：A选项正确，因为两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条必垂直于这个平面；B选项不正确，因为由线面平行的性质定理知，线平行于面，过线的面与已知面相交，则交线与已知线平行，由于m与β的位置关系不确定，故不能得出线线平行；

C选项正确，两个平面垂直于同一条直线，则此两平面必平行；

D选项正确，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

综上，B选项不正确

故选B.【思路点拨】A选项由线面垂直的条件判断；B选项由线线平行的条件判断；C选项由面面平行的条件判断；D选项由面面垂直的条件判断．【江西鹰潭一中高一期末·】21．（本题14分）已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）解析：解：证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．（3分）又∵，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF⊂平面BEF，∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC．（9分）∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴，（11分）∴，由AB2=AE•AC得，∴，（13分）故当时，平面BEF⊥平面ACD．（14分）【思路点拨】（Ⅰ）由AB⊥平面BCD⇒AB⊥CD，又CD⊥BC⇒CD⊥平面ABC，再利用条件可得不论λ为何值，恒有EF∥CD⇒EF⊂平面BEF，就可得不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD⇒BE⊥平面ACD⇒BE⊥AC．故只须让所求λ的值能证明BE⊥AC即可．在△ABC中求出λ的值．【江西鹰潭一中高一期末·】19．（本题12分）已知正方体，是底面对角线的交点.求证：（１）∥面；（2）面．【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系．【答案解析】（1）见解析；（2）见解析.解析：解：（1）连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO∵ABCD﹣A1B1C1D1∴A1ACC1是平行四边形，∴A1C1∥AC且A1C又O1，O分别是A1C1，AC的中点，∴O1C1∥AO且O1∴AOC1O1是平行四边形，∴C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，∴C1O∥面AB1D1；（2）∵CC1⊥面A1B1C1D1∴CC1⊥B1D!，又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥面A1C1C，即A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，∴A【思路点拨】（1）欲证C1O∥面AB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证C1O与面AB1D1内一直线平行，连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，易得C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D（2）欲证A1C⊥面AB1D1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A1C与面AB1D1内两相交直线垂直根据线面垂直的性质可知A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，又D1B1∩AB【江西鹰潭一中高一期末·】14.已知为两条不同的直线，为三个不同的平面，有下列命题：（1），则；（2），则；（3），则；（4），则；其中正确命题是【知识点】线面平行、线面垂直的性质.【答案解析】（2）解析：解：对于（1），则或相交或异面；故（1）不正确；对于（2），则，正确；对于（3），则或，故（3）不正确；对于（4），则或，故（4）不正确；故答案为（2）【思路点拨】利用线面间的位置关系以此判断即可.【江西鹰潭一中高一期末·】2．若直线∥平面，直线，则与的位置关系是（）A．∥B．与异面C．与相交D．与没有公共点【知识点】线面的位置关系.【答案解析】D解析：解：因为∥平面，则与平面没有公共点，又因为直线，故与没有公共点，故选D【思路点拨】利用线面平行的定义知与平面没有公共点，再结合直线，可得结论.G6三垂线定理【文·浙江绍兴一中高二期末`】10．我们把底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形中心的三棱锥称为正三棱锥。现有一正三棱锥放置在平面上，已知它的底面边长为2，高为，在平面上，现让它绕转动，并使它在某一时刻在平面上的射影是等腰直角三角形，则的取值范围是（）A．B．C．.D．【知识点】三垂线定理.【答案解析】C解析：解：图(1)图(2)图(3)如图（1）当绕BC旋转至P点在底面的射影正好在BC中点D时,假如正三棱锥在平面上的射影正好是等腰直角,连接DA.,设P点在底面ABC上的射影点为H,其在DA上，连接PH，PH=h为正三棱锥的高，其中=1，,,,，而当时满足题意，PH值再大就会使锥在底面的射影是四边形了.当继续旋转至如图（2）时，假如正好是三棱锥在底面的射影是等腰直角三角形且面垂直于底面，设点P在面的射影点为,取BC的中点为E，连接AE..,设P点在底面中的射影为O,连接PO,设PO=h，在中，，=所以，如果PO值再大，三棱锥在面内的射影就又是四边形了，再小可继续旋转直到侧面PBC为等腰直角三角形时就成了图（3）状态，也合题意，此时如图E为BC中点，O仍为P在底面三角形ABC射影，连接AE.PE.PO,,PE=1,则，所以综上，的取值范围是.故选：C．【思路点拨】由题意可知变化过程中，图形为三种情况，依次考虑即可.G7棱柱与棱锥【文·广东惠州一中高三一调·】18．（本小题满分14分）如图所示的多面体中，是菱形，是矩形，面,．求证:.若【知识点】棱锥的体积；平面与平面平行的性质．【答案解析】（2）解析：解：1）由是菱形……3分由是矩形………6分（2）连接，由是菱形，由面,，………10分则为四棱锥的高由是菱形，，则为等边三角形，由；则，，………14分【思路点拨】证明FB∥平面AED，BC∥平面AED，利用面面平行的判定定理可得结论；（2）找出棱锥的高以及底面积，然后利用棱锥的体积公式计算即可.【文·江西鹰潭一中高一期末·】8．四面体中，若，则点在平面内的射影点是的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心【知识点】棱锥的结构特征.【答案解析】B解析：解：设点P作平面ABC的射影O，由题意：PA=PB=PC，因为PO⊥底面ABC，所以△PAO≌△POB≌△POC

即：OA=OB=OC所以O为三角形的外心．

故选B.【思路点拨】点P在平面ABC上的射为O，利用已知条件，证明OA=OB=OC，推出结论．【文·江西鹰潭一中高一期末·】6．棱长都是的三棱锥的体积为()．A． B． C． D．【知识点】棱锥的体积．【答案解析】A解析：解：如图：∵三棱锥的棱长都为1，底面三角形为正三角形∴三棱锥的底面三角形的高

O为中心，三棱锥的高，

∴三棱锥的体积

故选A．【思路点拨】先求正三棱锥的底面三角形的高，然后求出三棱锥的高，即可求出体积.【江西鹰潭一中高一期末·】8．四面体中，若，则点在平面内的射影点是三角形ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心【知识点】棱锥的结构特征.【答案解析】B解析：解：设点P作平面ABC的射影O，由题意：PA=PB=PC，因为PO⊥底面ABC，所以△PAO≌△POB≌△POC

即：OA=OB=OC所以O为三角形的外心．

故选B.【思路点拨】点P在平面ABC上的射为O，利用已知条件，证明OA=OB=OC，推出结论．【江西鹰潭一中高一期末·】7．棱长都是的三棱锥的体积为()．A． B． C． D．【知识点】棱锥的体积．【答案解析】A解析：解：如图：∵三棱锥的棱长都为1，底面三角形为正三角形∴三棱锥的底面三角形的高

O为中心，三棱锥的高，

∴三棱锥的体积

故选A．【思路点拨】先求正三棱锥的底面三角形的高，然后求出三棱锥的高，即可求出体积.G8多面体与球【浙江宁波高一期末·】12.圆锥的母线长为3，侧面展开图的中心角为，那么它的表面积为___________.【知识点】圆锥的体积公式；圆锥的侧面展开图；扇形的面积公式；圆的面积公式.【答案解析】解析：解：侧面展开图的扇形的弧长，所以底面圆的半径，所以表面积为.故答案为：.【思路点拨】借助于公式求出侧面展开图的扇形的弧长以及底面圆的半径，然后代入公式求出结果.【理·浙江绍兴一中高二期末·】10．球O为边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，P为球O的球面上动点，M为B1C1中点，A．B．C．D．【知识点】截面与圆的位置关系；球面距离及相关计算．【答案解析】D解析：解：由题意，取BB1的中点N，连接CN，则CN⊥BM，

∵正方体ABCD-A1B1C1D1，∴CN为DP在平面B1C1CB中的射影，

∴点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，

∵正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2，∴O到过D，C，N的平面的距离为，

∴截面圆的半径为，∴点P的轨迹周长为．故选：D.【思路点拨】取BB1的中点N，连接CN，确定点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，求出截面圆的半径，即可得出结论．【文·浙江温州十校期末联考·】13．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是__▲__【知识点】构造法;球的表面积计算.【答案解析】解析：解：依题可以构造一个正方体，其体对角线就是外接球的直径.r=；

故答案为：．【思路点拨】由于三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，将三棱锥扩展为正方体，它的对角线是球的直径，求解即可．G9空间向量及运算G10空间向量解决线面位置关系【浙江宁波高一期末·】10.如图，三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为，为锐角，且侧面⊥底面，给出下列四个结论：AA1CAA1CBC1B1（第10题图）②；③直线与平面所成的角为；④.其中正确的结论是①③②④①③④①②③④【知识点】线面角与面面角的求解；空间向量证明线线垂直.【答案解析】C解析：解：如图过A作，H为垂足，连结，如图建立空间直角坐标系，①：∵侧棱与底面所成的角为，为锐角，侧面⊥底面，∴，又由三棱柱各棱长相等，可知四边形为菱形，∴，∴①正确；②：易知，∴，∴②错误；③：由题意得即为与平面所成的角，，

∴，∴③正确；④：由②，，，∴，∴，∴④正确.

故选：C.【思路点拨】过A作，H为垂足，连结，如图建立空间直角坐标系，依次判断每个选项即可.G11空间角与距离的求法【文·浙江宁波高二期末·】20．(本小题满分14分)在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）解析：解：（Ⅰ）由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，，又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，那么，根据题意，点落在上，……………3分∴，易求得，∴四边形是平行四边形，∴，∴平面……………7分（Ⅱ）解法一：作，垂足为，连接，∵⊥平面，∴，又，∴平面，∴，∴就是二面角的平面角…………10分中，，，．∴．即二面角的余弦值为．…………14分解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，可知平面的一个法向量为设平面的一个法向量为则，可求得．……10分所以，所以二面角的余弦值为．…………14分【思路点拨】（Ⅰ）取AC中点O，连接BO，DO，由题设条件推导出DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，由已知条件推导出∠EBF=60°，由此能证明DE∥平面ABC．

（Ⅱ）法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，能推导出∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角，由此能求出二面角E-BC-A的余弦值．

法二：以OA为x轴，以OB为y轴，以OD为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角E-BC-A的余弦值．【文·四川成都高三摸底·】19．（本小题满分12分） 如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点。（I）求证：BC⊥平面VAC；（Ⅱ）若AC=l，求直线AM与平面VAC所成角的大小。【知识点】直线与平面垂直的判定、直线与平面所成的角【答案解析】（I）略；（Ⅱ）解析：解：（I）证明：因为VC⊥平面ABC，，所以VC⊥BC，又因为点C为圆O上一点，且AB为直径，所以AC⊥BC，又因为VC，AC平面VAC，VC∩AC=C，所以BC⊥平面VAC.（Ⅱ）如图，取VC的中点N，连接MN，AN，则MN∥BC，由（I）得BC⊥平面VAC，所以MN⊥平面VAC，则∠MAN为直线AM与平面VAC所成的角.因为MN=，所以tan∠MAN=1，则∠MAN=，所以直线AM与平面VAC所成角的大小为.【思路点拨】在证明直线与平面垂直时，一般结合直线与平面垂直的判定定理，只需证明直线与平面内两条相交直线垂直；对于求二面角可考虑直接求其平面角的大小和用向量求解，当直接寻求其平面角不方便时要注意建立适当空间直角坐标系，借助于平面的法向量解答.【理·重庆一中高二期末·】19、(13分)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.【知识点】线面平行的性质定理；二面角的平面角.【答案解析】（1）见解析(2)解析：解：(Ⅰ)连结和交于，连结，为正方形，为中点，为中点，，平面，平面平面．(Ⅱ)平面，平面，，为正方形，，平面，平面，平面，以为原点，以为轴建立如图所示的坐标系，则，，，平面，平面，，为正方形，，由为正方形可得：，设平面的法向量为，由，令，则设平面的法向量为，，由，令，则，设二面角的平面角的大小为，则二面角的平面角的余弦值为【思路点拨】（1）连结和交于，连结，借助于三角形的中位线得平面，平面，利用线面平行的性质定理可得结论；(2)以为原点，以为轴建立如图所示的坐标系，找出两个半平面的法向量，再利用公式计算即可.【理·浙江绍兴一中高二期末·】19．（本题满分10分）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．（Ⅰ）求证平面；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）解析：解：（法一）（Ⅰ）取CE中点为G，连接DG、FG.BF//CG且BF=CG,四边形BFGC为平行四边形，则BC//FG且BC=FG.四边形为矩形，BC//AD且BC=AD,FG//AD且FG=AD,四边形AFGD为平行四边形，则AF//GD.平面CDE,平面CDE,平面.（Ⅱ）过点E作CB的平行线交BF的延长线于P,连接FP,EP,AP,EP//BC//AD,A,P,E,D四点共面.四边形为直角梯形，四边形为矩形，，，又，平面，，又平面平面，为平面与平面所成锐二面角的平面角．，．即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．（法二）（Ⅰ）四边形为直角梯形，四边形为矩形，，，又平面平面，且平面ABCD平面BCEF=BC,DC平面BCEF.以C为原点，CB所在的直线为x轴，CE所在的直线为y轴，CD所在的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系.根据题意我们可得以下点的坐标：A(2，0，4),B(2，0，0),C(0，0，0),D(0，0，4),E(0，4，0),F(2，2，0),则(0，2，-4),(2，0，0).BCCD,BCCE,为平面CDE的一个法向量.又,AF//平面CDE.（Ⅱ）设平面ADE的一个法向量为＝(x1，y1，z1)，则,，取，得．平面，平面一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角的大小为，则．因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．【思路点拨】证明DC⊥平面BCEF，以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立空间直角坐标系．

（Ⅰ）为平面CDE的一个法向量，证明AF∥平面CDE，只需证明；

（Ⅱ）求出平面ADE的一个法向量、平面BCEF一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值.【理·四川成都高三摸底·】19．（本小题满分12分） 如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点。（I）求证：BC⊥平面VAC；（Ⅱ）若AC=l，求二面角M－VA－C的余弦值。【知识点】直线与平面垂直的判定、二面角的求法【答案解析】（I）略；（Ⅱ）解析：解：（I）证明：因为VC⊥平面ABC，，所以VC⊥BC，又因为点C为圆O上一点，且AB为直径，所以AC⊥BC，又因为VC，AC平面VAC，VC∩AC=C，所以BC⊥平面VAC.（Ⅱ）由（I）得BC⊥VC，VC⊥AC，AC⊥BC，分别以AC，BC，VC，所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C—xyz如图则A(1，0，0)，V(0，0，2)，B(0，，0)，设平面VAC的法向量，设平面VAM的法向量，由令y=，得，所以，即所求二面角的余弦值为【思路点拨】在证明直线与平面垂直时，一般结合直线与平面垂直的判定定理，只需证明直线与平面内两条相交直线垂直；对于求二面角可考虑直接求其平面角的大小和用向量求解，当直接寻求其平面角不方便时要注意建立适当空间直角坐标系，借助于平面的法向量解答.【理·江苏扬州中学高二期末·】23．（本小题满分10分）如图，在三棱柱中，平面，，为棱上的动点，．⑴当为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．【答案解析】⑴⑵解析：解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得，⑴因为为中点，则，设是平面的一个法向量，则，得取，则，设直线与平面的法向量的夹角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；……5分⑵设，设是平面的一个法向量，则，取，则是平面的一个法向量，，得，即，所以当时，二面角的大小是．……10分【思路点拨】（1）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC与平面BFC1所成角的正弦值．（2）求出平面BFC1的一个法向量，利用向量法能求出当时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．【理·广东惠州一中高三一调·】18.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且(1)求证：；(2)若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小。【知识点】面面垂直；线面垂直的性质；线面所成角；二面角.BA1CABA1CAB1C1解析：解：（1）证明：如右图，取的中点，连接，……………1分因，则……………2分由平面侧面，且平面侧面，…………3分BA1CAB1C1BA1CAB1C1DE所以.…4分因为三棱柱是直三棱柱，则，所以.又，从而侧面，又侧面，故.………………7分（2）解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影

∴即为直线与所成的角，则…………8分在等腰直角中，，且点是中点∴，且，∴…9分过点A作于点，连由（1）知，则，且∴即为二面角的一个平面角…10分且直角中：又，∴，且二面角为锐二面角∴，即二面角的大小为…14分解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则，，，，