湖南省常德市2024年九年级中考一模数学试卷（含详解）

湖南省常德市2024届九年级中考一模数学试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列各数中，是无理数的是（）

A.——B.V2C.0.24D.2024

5

2.下列图形中，是中心对称图形的是（）

3.下列计算正确的是（）

A.x5x2=x3B.^x2^4=x6

C.x（x+1）=x2+1D.（2a-1）2=2/—4a+l

4.长沙市2023年1月至9月地区生产总值约为10674亿元，同比增长4.6%.其中数据

10674亿用科学记数法表示为（）

A.1.0674xl012B.0.10674xl013C.1.0674xl013D.10.674X1011

5.已知三角形的两边长分别为5,8,另一边长可能是（）

A.-B.14C.2D.5

2

6.如图,4B//D£,BC//EF,若NE=110。,则N5的度数为（）

A.60°B.70°C.1OO0D.11O0

7.若二次根式月口有意义，则x的取值范围为（）

A.xN—B.xW—C.x2—D.x<--

3333

8.下列一次函数中）随x的增大而减小的函数是（）

A.y=5x+3B.y=x-2C.y=xD.y=—8x—5

9.如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意

图如图2所示，它是以点0为圆心，分别以。4,08的长为半径,圆心角N0=120°的扇面.

若。4=6m,O8=4m,则阴影部分的面积为（）

A.127tm~B.—兀m~C.8m2D.—tn2

33

10.刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀,直接将面削到开水锅

里.如图，面刚被削离时与开水锅的高度差〃=0.45m,与锅的水平距离£=0.3m,锅的半径

R=0.5m,若将削出的小面圈的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚

度忽略不计），则其水平初速度必不可能为（提示：〃=：g/,g=10m/s2,水平移动距离

A.2.5m/sB.3m/sC.3.5m/sD.5m/s

二、填空题

11.分解因式：2必-8=.

12.睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容.某老师

了解到班上某位学生的7天睡眠时间（单位：小时）如下：10,9,9,8,8,10,9,则该学生这7

天的平均睡眠时间是小时.

13.关于x的一元二次方程自2_（2左-l）x+左=0有实数根，则上的取值范围为.

14.如图，已知乙4。8=40。,以点。为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交。2,08于点

MN,再分别以点必N为圆心，大于LTW的长为半径画弧，两弧交于点尸,作射线。尸，过点

2

P作PQHOB交。4于点。，则NOPQ的度数是度

15.已知a力为一元二次方程V—2024x+l=0的两实根，则1+▲=____.

ab

16.如图,在平面直角坐标系中，点Z在反比例函数歹=人（左为常数，左>0,x>0）的图像

上，过点Z作X轴的垂线，垂足为民连接CM.若/\OAB的面积为5,则k=.

17.如图，点4民。在半径为R的e0上,ZACB=60°,0D1AB，垂足为E,交e0于点

连接。4,已知。£=2,则A=.

18.如图,已知点Z是第一象限内的一个定点,若点尸是以点。为圆心,4为半径的圆上

的一个动点，连接AP，过点/作48，4P,且48=』4P.当点尸在e。上运动一周时，点

2

三、解答题

19.先化简，再求值：卜-']

F77淇中”2024.

Ix+2J

20.2023年5月30日9点31分,“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火

发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入中国空间站.如图，在发射的过程

中，飞船从地面。处发射,当飞船到达/处时，从位于地面C处的雷达站测得仰角为

30°；5s后飞船到达B处,此时从C处测得仰角为45。.已知飞船从A处到B处的平均速

度为300m/s,求雷达站C到飞船发射点0的距离0c.(结果精确到0.1km,73«1.73)

21.2023年11月7日，世界互联网大会“互联网之光”博览会在浙江乌镇开幕，大会主题

为“建设包容、普惠、有韧性的数字世界—携手构建网络空间命运共同体”.为增强学

生网络常识及安全意识,某校举行了一次全校6000名学生参加的安全知识竞赛.从中随

机抽取〃名学生的竞赛成绩进行了分析,把成绩(满分100分，所有竞赛成绩均不低于60

分)分成四个等级(。：60<x<70；C：70<x<80；B-.80<x<90；A：90<x<100),

并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图.

D:60Wx(70

C:70WxV80

B:80Wx<90

A:904W100

请根据以上信息，解答下列问题:

⑴填空：n=,m=

(2)请补全频数分布直方图;

(3)扇形统计图中8等级所在扇形的圆心角度数为；

(4)若把N等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的6000名学生中达至U“优秀”等

级的学生人数.

22.如图,5E是e。的直径，点Z和点。是e0上的两点，延长8E到点C,连接

NC,且NE4C=/D.

⑴求证：ZC为e。的切线；

(2)若80=C£=4,求阴影部分的面积.

23.党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”.某校为响应二十

大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体

育”活动，该校计划从体育用品商场购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学

生社团活动.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多30元，且用1000元购买乒乓球拍的数

量和用2000元购买羽毛球拍的数量一样.

⑴求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；

(2)学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共计100副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数

量的2倍，求最多购买乒乓球拍多少副.

24.如图,四边形Z8CD是正方形，点G为边上一点，连接ZG并延长，交8C的延长线

于点尸，连接BD交/厂于点E,连接EC.

(1)求证：AADE咨ACDE；

(2)求证：AEGCS^ECF；

,2MDG14EG

(3)已知---=一，求.

GC2AE

25.如图,48为eO的直径，点尸为半径。4上异于点。和点幺的一个点,过点尸作与直

径AB垂直的弦CD,连接2。,作BE±AB，连接4E,DE,AE交CD于点£且DE与e0

相切于点D

(1)求证：OEHAD；

(2)若e。的半径为5/211/尸幺。=3,求。£)的长；

(3)已知尸尸=x,PQ=y,求y与x之间的函数关系.

26.中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行噩噩，欣欣家国”为主题,引领全

球华人迈向生机盎然、充满希望的甲辰龙年.若抛物线了="2+区+。与x轴交于48两

点,与了轴交于点C,且△4BC恰好是直角三角形,并满足DC?=o2.08(。为坐标原点)，

则称抛物线y=ax2+bx+c是“矗益欣欣抛物线”，其中较短直角边所在直线为“疆矗线”，

较长直角边所在直线为“欣欣线”.

⑴若“醯疆欣欣抛物线"y=ax2+bx+c的“矗疆线”为直线y=-3x-l，求抛物线解析式；

⑵已知“矗矗欣欣抛物线"y=3+为+。与x轴的一个交点为(—2,0)淇“欣欣线”与反

比例函数歹=月的图象仅有一个交点，求反比例函数解析式;

X

⑶已知海噩欣欣抛物线"y=岸/+bx—辰(b>0)的“矗矗线”“欣欣线”及x轴围成的

3729

三角形面积S的取值范围是4543而,令尸=一62+2分+/2,且尸有最大值/,求/的

2

值.

参考答案

1.答案：B

2

解析：A.-；是有理数，故不符合题意；

B.血是无理数,故符合题意；

C.0.24是有理数，故不符合题意；

D.2024是有理数，故不符合题意；

故选：B.

2.答案：C

解析：根据中心对称图形的定义可知：

A,一不是中心对称图形，不合题意；

9.

B,昨、不是中心对称图形，不合题意；

C,是中心对称图形,符合题意；.

不是中心对称图形，不合题意；

故选C.

3.答案：A

解析：入/72=产2=好,结论正确,故符合题意；

B.(x2)4=犬,结论错误，故不符合题意；

C.x(x+l)=x2+x,结论错误，故不符合题意；

D.(2a-_4a+1，结论错误,故不符合题意；

故选：A.

4.答案：A

解析：10674亿=1067400000000=1.0674xl012

故选：A

5.答案：D

解析：设另一边长为羽则有

8—5<x<8+5,

3<x<13,

故选：D.

6.答案：B

解析：如图，

AB〃DE,NE=IU)°,

：.Zl=180°-Z£=180o-110o=70°,

BC//EF,

：.Z5=Zl=70°,

..•/3的度数为70。.

故选：B.

解析：•.,二次根式J3x+1有意义,

3x+1>0,

解得：x>.

3

故选：C.

8.答案：D

解析：A.y=5x+3,-.-k=5>Q,：.y随x的增大而增大，故不符合题意；

B.y^x-2,-.-k=l>0,.'.y随x的增大而增大，故不符合题意；

C.y=x,-.-k=l>0,：.y随x的增大而增大，故不符合题意；

D.y=-8x-5,=-8<0,：.y随x的增大而减小，故符合题意；

故选：D.

9.答案：B

解析：：如图是以点。为圆心，分别以。4,。8的长为半径,圆心角Z0=120°的扇面，且

OA=6m,OB=4m,

••5阴=S扇形-S扇形BOC

120TIx6212071x42

360360

=12兀一丝兀

3

20

—71

••・阴影部分的面积为二兀n?.

3

故选：B.

10.答案：D

解析：由题意得

1,

-xlO?2=0.45,

2

解得：.=0.3m=-0.3（舍去）,

•••要使其落入锅中，

：.L<s<L+2R,

0.3<5<1.3,

O.3<voxO.3<1.3,

5m/s不可能；

故选：D.

11.答案：2（x+2）（x-2）

解析：2X2-8=2（X2-4）=2（X+2）（X-2）,

故答案为：2（x+2）（x-2）.

12.答案：9

解析：由题意得

1(10+9+9+8+8+10+9)

=9（小时）,

故答案：9.

13.答案：k<-S.k^O

4

解析：由题意得

△=[-（2左-1）丁-4左2

=-4k+l,

:一元二次方程日2—（2左—1）X+左=0有实数根,

A>0,k^0,

即：-4左+120

解得：k<\,

.,.左且女工o.

4

故答案为：左〈工且左70.

4

14.答案：20

解析：由作法得：

0P平分NZ08,

:.ZBOP=-ZAOB=2Q°,

2

PQHOB,

AOPQ=ABOP=20°,

故答案：20.

15.答案：2024

An-ur11Cl+b

解析：—+：=-^,

abab

•：a,b为一元二次方程必—2024x+l=0的两实根,

a+6=2024

ab=l

原式=2节0214=2024；

故答案：2024.

16.答案：10

解析：•.•点N在反比例函数片勺的图像上,ZB_Lx轴于8,

X

阳=2s△恻,

Z\OAB的面积为5,

.,.网=10,

,：k>0,

：.k=lQ.

故答案为：10.

17.答案：4

解析：如图，连接。8,

•/28=15,

:.ZAOB=2ZACB=120°,

ODLAB,

OA=OB,

:.ZAOE=-ZOAB=60°,

2

NOAE=30°,

OA=20E=4,

..R=4；

故答案：4.

18.答案：4兀

解析：如图，连接0Z,过点幺作NC，CM,且ZC=工CM,连接。尸,8C,以点C为圆心,C8

2

ACLOA,ABLAP,

NPAB=NOAC=90°,

ZPAB-NOAB=AOAC-NOAB，即NPAO=ABAC,

又AB=-AP,AC=-OA,

22

,ABAC_1

"AP~AO~2,

/\PAO^/\BAC,

BC_1

,,J

PO2

BC=-OP=-x4=2,

22

，以点C为圆心,C8长为半径的圆即为点5运动的轨迹,

.,.点5运动的路径长为：2兀-8C=2兀义2=4兀,

故答案为：47r.

21

19.答案:

X-251011

X产―4

解析：1-

x+2x2+4%+4

x+2-x(x+2)~

x+2(x+2)(x-2)

2(x+2，

x+2(x+2)(x-2)

2

~x-2,

当x=2024时，

原式=2=/7=_21_

八2024-22022101T

20.答案：3.5km

解析：由题意得

BOLCO,

AB=300x5

=1500(m)

=1.5(km),

ZOCA=30°,

ZOCB=45°,

:.OB=OC,

设OC=x,

在RtZiZOC中，

OA=OC-tanZOCA

-TX,

OB=OA+AB

A/3

=——x+1.5,

3

V3

——x+1.5=x,

3

解得：x-3.5；

故雷达站C到飞船发射点。的距离OC3.5km.

21.答案：(1)150,36

(2)图见解析

(3)144°

(4)估计960人

解析：(1)由频数分布直方图和扇形统计图得

Z等级有24人占16%,

24

:.n=——=150,

16%

54

m%=—x100%=36%,

150

m=36；

故答案：150,36；

(2)由题意得

。等级的人数为：

150—54—60—24=12(人);

补全图，如下:

(3)由题意得

40%x360°=144°,

故答案：144。；

(4)由题意得

16%x6000=960(人)，

答：估计该校参加竞赛的6000名学生中达到“优秀”等级的学生人数为960人.

22.答案：(1)证明见解析

O

(2)873--71

解析：⑴证明：如图，连接04,

OA=OB,

NOBA=ZBAO,

•/%£=%£,

NOBA=ND,

ZBAO=ND,

•；NEAC=ND,

:.ZBAO=ZEAC,

•••BE是直径，

ZBAE=9Q°,

:.ZBAO+ZEAO=90°,

:.ZEAC+ZEAO=90°,

/CMC=90。，

:.OALAC,

.•.zc为e。的切线；

⑵BO=CE=4,

OA=OE=CE=4,

OC=8,

/CMC=90。，

AE=OE=4,AC=SO-OA?=Vs2-42=4百,

OA-OE=AE,

.•.△NOE是等边三角形，

NAOE=60°,

S阴影=S^OAC_S扇形4OE

60Kx42

=-ACOA-

2360

=J-x4x4百一号兀

23

8百-号兀；

3

23.答案：（1）每副乒乓球拍的价格是30元，每副羽毛球拍的价格是60元

（2）最多购买乒乓球拍66副

解析：⑴设每副乒乓球拍的价格是x元，则每副羽毛球拍的价格是（%+30）元,

根据题意得：幽2000

Xx+30

解得：%=30,

经检验,x=30是所列方程的解且符合题意，

x+30=30+30=60（兀）.

答：每副乒乓球拍的价格是30元，每副羽毛球拍的价格是60元;

（2）设购买乒乓球拍m副，贝IJ购买羽毛球拍（100—加）副，

根据题意得：m<2（100-m）,

解得：制〈一,

又机为正整数,

**.m的最大值为66.

答:最多购买乒乓球拍66副.

24.答案：（1）证明见解析

（2）证明见解析

（3）l

解析：（1）证明：••・四边形/BCD是正方形,

AD=CD,

NADE=NCDE,

在△ZOE和△COE中

AD=CD

NADE=ZCDE,

DE=DE

A4DE段ACDE（SAS）；

（2）证明：••・四边形/BCD是正方形,

ADIIBF,

NDAE=NF,

由（1）得：LADE咨LCDE,

ZDAE=ZDCE,

NDCE=NF,

•/NCEG=NFEC,

/\EGC^/\ECF；

（3）证明：••・四边形/BCD是正方形,

ADUBF,

:.AADGsAFCG,

AD_DG

,FC-GC-2!

设。G=x,则有GC=2x,

AD=CD=3x

:.FC=2AD=6x,

•••LEGCS^ECF,

.EG_CG

,£C-FC5

AADE咨ACDE,

AE=CE,

.EG_CG

一花—7E

_2x_1

—晟一3；

+.EG1

AE3

25.答案：（1）证明见解析

⑵6

⑶y=2x

解析：⑴证明：如图，连接00,

A

OA=OB=OD,,

・•・DE与e。相切于点。，

ODIDE,

•••BELAB,

AOBE=ZODE=90°,

在RtzXOBE和RtAODE中

OB=OD

OE=OE'

RgOBEgRSODE（HL）,

NBOE=ZDOE,

•：SD=SD,

ZOAD=-ZBOD=4BOE,

2

OEHAD；

（2）\-ZBCD,tanZPAD=3,

PD

——=3,CD=2PD,

PA

设R4=x，则尸£）=3x,

,PO=OA—PA=5—x,

在RtZ\O尸。中,PCP+P/y=。。2,

.-.（5-X）2+（3X）2=52,

整理得：x2-x=0,

解得：X]=1,》2=0（舍去），

:.PD=3,

：.CD=2PD=6；

(3)；CD工AB,BELAB,

:.CD//BE,

ZAPD=ZOBE=90°,

:./\APF^/\ABE,

PF_AP

AP-BE

PF=

AB

ZOAD=ZBOE,ZAPD=NOBE=90°,

:./\APDs/\OBE,

PD_AP

…版一砺’

AP-BE

PD=

OB

AB=2OB,

“IS

2OB

:.PF=-PD,

2

PD=2PF,

y=2x.

26.答案：(l)j=x2-|x-l

⑵

-

2

解析：(1)Vy=-3x-l,

・•・当x=0时,y=_l,当y=0时,x=_；,

...不妨设1),

/.OA=-,OC=1,

3

OC?=OAOB,

I.05=3,

8(3,0)或8(-3,0)

•••△4BC为直角三角形，

•••8(3,0),

•抛物线经过4民C三点，

•••设抛物线的解析式为：片a\+j(x-3),将C(0,-l)代入，得：

—1=a[o+§](O-3),

解得：a=1,

・\y=[x+g}%_3)=__(1一]；

(2)♦・・y=——+及+。与％轴的一个交点为(—2,0),

9A

2)'-2b+c=0，对称轴为直线x=~,

.••c=4+26,抛物线与x轴的另一个交点为(6+2),

当x=0时,y-c,

：.OC=|c|,

OC-^OAOB,

：.c2=2\b+2\,

I.(4+2b『=2|b+2|,

35

解得：b=-2(不合题意,舍去)或6=或6=,

。=1或c=—1,

・•.抛物线与坐标轴的交点坐标为(-2,