2025年高考数学复习大题题型归纳：数列中的知识交汇和创新型问题（原卷）

专题08数列中的知识交汇和创新型问题

一、数列中的知识交汇问题

1.王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷,

分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等

数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括

本金和利息).

(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试

计算王先生该笔贷款的总利息；

(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3%,.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一

半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.(不考虑其他因素)参考数据

1.003119=1.428,1.OO3180«1.433,1.003121«1.437

2.佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与

佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一

个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，

交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往

上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.

(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列｛an｝的通项公式，该数列以33.6为

首项，并使得24和19.2也是该数列的项；

(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前加(m£N*)项

的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为2%、

3。2、4a3、...、(m+l)am((m+Da.表示高度为(2加的方体连续堆叠m+1层的总高度)，请问新堆叠坊

塔的高度是否超过310米？并说明理由.

3.在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格。与其实际价值6之间存在着相

当大的差距.对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”,

常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一半;消费者

第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得表1：

表1

次数消费者还价商家讨价

11

第一次bi==hi+-(a-/?i)

1

第二次c_

b?=i2一0)1

=与+](C1—b2)

口

1

第三次

匕3=-区©一%)1

=63+](。2-伍)

金

1

c

bn=n-l1

第〃次

=bn+-(cn_i

一^n-1)

-bn)

消费者每次的还价6nsek)组成一个数列{6n}.

(1)写出此数列的前三项，并猜测通项明的表达式并求出limbn；

(2)若实际价格b与定出a的价格之比为b:a=0.618:1,利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之

几的利润？

4.近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动

资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达40%,每年年底把除运营成本a

万元，再将剩余资金继续投入直播平合.

(1)若a=100,在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？

(2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底切除运营成本后资金达到3000万

元？(结果精确到0.1万元)

5.甲、乙两人同时分别入职4B两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：力公司第一年月基础工资数为

3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B公司第一年月基础工资数为4000元，以

后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的L05倍.

⑴分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量(精确到1元)

(2)设甲、乙两人入职第n年的月基础工资分别为期、%元,记0=册-%，讨论数列｛4｝的单调性，指出哪

年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由.

6.治理垃圾是S市改善环境的重要举措.去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等

一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年

的垃圾排放量为上一年的75%.

(1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数以nGN*)的表达式；

(2)设人为从今年开始〃年内的年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的

治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由.

7.为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用加

毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%,设第〃次服药后(滤除之前)这种药物在人

体内的含量是诙毫克，(即的=小).

(1)已知771=12,求42、43；

(2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求加的最大值.

8.保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署.2021年7月，国务院

办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政

策或征求意见稿.为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保

障性租赁住房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%,另外，每年新建住

房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米.

(1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万

平方米？

(2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?

9.某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，为了节能减排

和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5

万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的

水平不变.

(1)记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列｛an｝,每年发放电动型汽车牌照数为构成

数列｛勾｝，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；

a4=

=_

二10=9.5

bib4=

b=3

2b3=_.

=2

(2)从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？

10.市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式:

①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；

②等额本息：每月的还款额均相同.

银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(如2020年7月7日贷款到账，则2020年8月7日首

次还款).已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%.

(1)若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试

计算该笔贷款的总利息.

(2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半.已知小张

家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素).

参考数据：1,004240«2.61.

(3)对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式.

11.流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年n月份曾发生流感，据统计，11月1日该

市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，

使该种病毒的传播得到控制，从11月k+1(9Wk<29,k6N*)日起每天的新感染者比前一天的新感染者减

少20人.

(1)若k=9,求11月1日至11月10日新感染者总人数；

(2)若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人

数最多？并求这一天的新感染者人数.

12.某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有4B,C,D这4个选项，4个选项中仅有两个

或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过

程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为g,

并且规定若第g=1,2,-,n-1)题正确选项为两个，则第i+1题正确选项为两个的概率为/第由=

1,2,-,n-1)题正确选项为三个，则第i+1题正确选项为三个的概率为去

(1)若第二题只选了一个选项，求第二题得分的分布列及期望；

(2)求第n题正确选项为两个的概率；

(3)若第"题只选择3、C两个选项，设y表示第〃题得分，求证：E(y)<

Io

13.甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局,

双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲

胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2.

(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为X,求X的分布列和期望；

(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；

(3)若P(i=0,1,…,6)表示“在甲所得筹码为i枚时,最终甲获胜的概率”,则20=0〃6=1.证明：｛Pi+i-

2J。=0,1,2,15)为等比数列.

二、数列中的创新型问题

14.已知数列｛an｝的前几项和为S”=2,对任意的正整数n,点(cin+i，Sn)均在函数/。)=X图象上.

(1)证明：数列｛sj是等比数列；

(2)问｛an｝中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.

15.如果数列｛时｝对任意的neN*,an+2-an+1>an+1-an,则称｛%｝为“速增数列

(1)请写出一个速增数列｛an｝的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；

⑵若数列小｝为“速增数列”,且任意项即ez,%=1,a2=3,ak=2023,求正整数k的最大值.

16.设数列｛册｝的前几项和为S“，若;W如i<2(7i€N*),则称｛册｝是“紧密数列”.

2an

(1)若%=手，判断｛册｝是否是“紧密数列”，并说明理由；

(2)若数列｛册｝前几项和为5„=：52+3力，判断｛册｝是否是“紧密数列”，并说明理由；

⑶设数列｛册｝是公比为q的等比数列.若数列｛册｝与&｝都是“紧密数列”，求q的取值范围.

17.已知｛%J和仍“｝是各项均为正整数的无穷数列，若｛册｝和协小都是递增数列，且｛册｝中任意两个不同的项

的和不是也｝中的项，则称5｝被也｝屏蔽.已知数列&｝满足工+三+…+生二=n(nGN*).

Cc

12Cn

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若｛心｝为首项与公比均为ci+1的等比数列，求数列｛0•dn｝的前n项和Sn，并判断｛SJ能否被｛%｝屏蔽，

请说明理由.

18.设y=f(=是定义域为R的函数,如果对任意的心、久2eR3.于％2)//(町)一/(%2)1<山一切均成立，

则称y=-%)是“平缓函数”.

(1)若/'1Q)=舟;'，力。)=sinx,试判断y=/i(x)和y=%是否为"平缓函数”？并说明理由；(参考公

式:x>0时，sin无<x恒成立)

(2)若函数y=/Q)是“平缓函数"，且y=/(x)是以1为周期的周期函数，证明:对任意的打、冷eR,均

有ifoj—n>2)i</

(3)设y=g(x)为定义在R上函数，且存在正常数A>1使得函数y=A-。(久)为“平缓函数”.现定义数列

{比J满足：*i=0>xn=g(久n-i)(n=2,3,4,…)，试证明:对任意的正整数<当字.

19.若项数为N(N>3)的数列心:国,。?，…,即满足：的=1,%eN*(i=2,3,…,N),且存在M6{2,3,「N—1},

使得%-an6[则称数列须具有性质P.

一L—乙j,MS：n.S/V—1

(1)①若N=3,写出所有具有性质尸的数列&；

②若N=4,ci4=3,写出一•个具有性质尸的数列44；

(2)若N=2024,数列&024具有性质尸，求在2024的最大项的最小值；

⑶已知数列须：国,42,…,阳，以也也，…,而均具有性质产，且对任意ije{1,2,…,N},当iHj时，都有a肝

aj,bt手bj.记集合7\={%,a2,…,a/y},T2-{b1,b2,---,bN),求和C0中元素个数的最小值.

20.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的

一次“和扩充”.如数列1,2第1次“和扩充”后得到数列1,3,2,第2次“和扩充”后得到数列1,4,3,5,

2.设数列a,b,c经过第"次“和扩充”后所得数列的项数记为乙，所有项的和记为Sn.

(1)若a=1,b=2,c=3,求P2，52；

⑵设满足乙22023的〃的最小值为％求劭及S郦其中因是指不超过x的最大整数,如口刀=1,[-2.6]=

—3)；

21.已知Q-.%,a2,…,利为有穷整数数列.给定正整数见若对任意的nG{1,2,…，旬,在。中存在

ai,ai+1,ai+2,...,ai+j(J>0),使得七+ai+1+ai+24---Fai+j=电则称Q为，力一连续可表数列.

(1)判断Q：2,1,4,2是否为7—连续可表数列？是否为8—连续可表数列？说明理由；

⑵若。：口1,。2,…,1为8—连续可表数列,求证：左的最小值为4.

22.已知有限数列｛%｝，从数列｛时｝中选取第J项、第7项、…、第，项5<：<•••<〃)，顺次排列构成

数列｛勿｝,其中瓦=心/l<k<m,则称新数列｛瓦｝为｛册｝的长度为加的子列.规定：数列｛an｝的任意一

项都是｛%J的长度为1的子列，若数列｛册｝的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列｛册｝为完全数列.设

数列｛an｝满足册=ri,1<n<25,n6JV*.

(1)判断下面数列｛an｝的两个子列是否为完全数列，并说明由；

数列①：3,5,7,9,11；数列②：2,4,8,16.

(2)数列｛an｝的子列｛%｝长度为加，且｛瓦｝为完全数列，证明：加的最大值为6；

(3)数列｛an｝的子列｛玩｝长度爪=5,且｛法｝为完全数列，求2+9+2+!+；的最大值.

02。3。4b5

23.有穷数列｛斯｝共加项(m23).其各项均为整数，任意两项均不相等.仇=阿—七+1|。=1,2,…,6-1),

bi<bj+i(i=2).

(1)若｛an｝：0,1,a3.求。3的取值范围；

(2)若m=5,当£久@|取最小值时，求£北九的最大值；

(3)若1W四W^=1bk-m+1,求加的所有可能取值.

24.如图为一个各项均为正数的数表，记数表中第i行第j列的数为a(ij),已知各行从左至右成等差数列,

各列从上至下成公比相同的等比数列.

1

6

20

(1)若a(ij)=100,求实数对(ij)；

⑵证明：所有正整数恰在数表中出现一次.

25.若数列｛%J满足E+i-ak\=l(fc=1,2,3,…，八一l(n>2)),则称数列｛a九｝为"数列.记%=%+与+

+…+

(1)写出一个满足%-a5=1,且S5=5的?y数列；

(2)若的=24,n=2000,证明："数列｛%｝是递增数列的充要条件是册=2023；

(3)对任意给定的整数几523),是否存在首项为1的77数列｛册｝,使得Sn=l?如果存在，写出一个满足条

件的？7数列｛%｝；如果不存在，说明理由.

26.定义矩阵运巢(")(；)=(著:'.已知数列a｝，也｝满足1,且(；；)©)=(&；))

(1)证明：｛%｝,｛%｝分别为等差数列，等比数列.

(2)求数列｛a2n+3b27+1｝的前n项和Sn.

27.将数列｛an｝按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为数列｛%｝的一个分群数

列，｛演｝称为这个分群数列的原数列.如…,*)，(—『+2,…,吟，(%+1，4+2,…,as)，

(am+1,am+2,-,a;l),…是数列｛册｝的一个分群数列，其中第k个括号称为第k群.己知数列｛册｝的通项公式为

an—2n.

(1)若数列｛册｝的一个分群数列每个群都含有3项，该分群数列第々群的最后一项为瓦，求数列｛勾｝的通项公

式.

(2)若数列｛册｝的一个分群数列满足第k群含有々项，4为｛册｝的该分群数列第々群所有项构成的数集，设时=

｛m\amGAk,am+664+2卜求集合M中所有元素的和.

28.已知数歹U像｝是以，为首项的常数列，S“为数列｛册｝的前〃项和.

⑴求工；

(2)设正整数租=无义30+玩x3]+…+曲*3攵其中de{0,1,2},i,keN.例如：3=0x30+1x3】，

1

则bo=0,hi=1；4=lx3°+lx3,则瓦=1,br=1.若f(m)=b0+br+…+bk,求数列{S“■/(Sn)}

的前〃项和7\.

29.已知｛aj是公比为4的等比数列.对于给定的k(k=l,2,3“-n),设T㈤是首项为以，公差为2恁-1的等

差数列&｝，记T⑻的第，项为6产).若欧。+说为=碍)，且欧)=公叱

(1)求｛册｝的通项公式；

n

30.已知数列｛an｝的前几项和为%,且％=2+l.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)保持｛3J中各项先后顺序不变，在纵与恁+1之间插入k个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列｛%｝，

记｛%｝的前〃项和为7\，求Tioo的值(用数字作答).

31.若项数为k(keN*,kN3)的有穷数列｛%｝满足：0<的<。2<613<“・<耿，且对任意的i，j(lwiW

i<k),%+四或%-四是数列｛an｝中的项，则称数列｛册｝具有性质P.

(1)判断数列0,1,2是否具有性质P,并说明理由；

(2)设数列｛%｝具有性质P,a；(i=1,2,…，k)是｛期｝中的任意一项，证明:念一出一定是｛a/中的项；

(3)若数列｛%｝具有性质P,证明：当kN5时，数列｛册｝是等差数列.

32.已知有穷数列4%,。2，…，an(九之3)中的每一项都是不大于71的正整数.对于满足1<TH<九的整数

m,令集合ZQn)=｛川%=血，k=1,2,…，九｝.记集合ZQn)中元素的个数为sQn)(约定空集的元素个

数为0).

(1)若46,3,2,5,3,7,5,5,求4(5)及s(5)；

⑵若念y+念+.“+念=心求证:的,的，…互不相同;

(3)已知%=的=心若对任意的正整数i,/(iHj,i+j4九)都有i+/€或i+jC4(%),求心+

。2+…+册的值•

33.已知无穷数列｛&J满足斯=max｛an+1,an+2)-min｛an+1/an+2](n=1,2,3,…)，其中max｛%,y｝表示x,y

中最大的数，min｛%,y｝表示x,y中最小的数.

(1)当的=1,牝=2时，写出心的所有可能值；

(2)若数列｛册｝中的项存在最大值，证明：0为数列｛册｝中的项；

(3)若册>0(九=1,2,3,…)，是否存在正实数使得对任意的正整数〃，都有册WM?如果存在，写出一

个满足条件的如果不存在，说明理由.

34.设2为整数.有穷数列｛册｝的各项均为正整数，其项数为冽(血之2).若｛an｝满足如下两个性质，则称｛册｝

|4册+1|,时为奇数,

为尸入数列：①。久=1,且%。1。=1,2,…，租一1)；②册+i=a(n=1,2,…,?n—1)

n与为偶数

.2'

(1)若｛an｝为Pi数列,且由=5,求加;

⑵若｛斯｝为尸_1数列，求的的所有可能值；

(3)若对任意的Pi数列｛册｝,均有m<210g2al+d,求d的最小值.

35.若数列%｝满足4n+i=碌则称数列｛4J为“平方递推数列”.已知数列｛%｝中，的=9,点(册,％+1)

在函数/(%)=必+2%的图象上，其中〃为正整数，

⑴证明：数列｛斯+1｝是“平方递推数列”，且数列｛lg5+l)｝为等比数列；

(2)设%=lg(a„+1),cn=2n+4,定义a*6=°寿时,且记dn-bn*cn,求数列｛%｝的前n项和Sn.

36.如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都大于2,则称这个数列为“G型数列”.

(1)若数列｛%｝满足的=1，诙+网=32f求证：数列｛册｝是“G型数列”.

(2)若数列｛册