人教版初中八年级数学上册同步讲义-因式分解-提公因式法（原卷版）

第04讲提公因式法分解因式

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握因式分解的概念，并能够判断运算属于因式分

①分解因式的概念

解。

②公因式的概念与求法

2.能求出一个式子的公因式与剩余部分。

③提公因式分解因式

3.能够熟练的运用提公因式的方法分解因式。

思维导图

知识点01分解因式的概念

i.分解因式的概念:

把,一个多项式写成几个整式的积的形式,这样的式子变形叫做这个多项式的，也叫

做把这个多项式O与整式的乘法互为逆运算。

m(a+b+c)—(整式的乘法)>ma+mb+me-(因式分解)>m(a+b+c)

左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，即右边的加减号必须在括号内。且左右两边必须相

等。

题型考点：①判断式子的运算属于因式分解。

【即学即练1】

1.下列等式从左到右的变形不是因式分解的是()

A.X2-y2—(x+y)(x-y)B.a2+4ab+4b2—(a+2b)2

C.。2-2。+1=。(6Z-2)+1D.ma+mb-mc=m(q+b-c)

【即学即练2】

2.下列各式从左到右，是因式分解的是()

A.(>-1)(y+1)=y2-1

B.x\+xy2-1=xy(.x+y)-1

C.(x-2)(x-3)=(3-x)(2-x)

D.x2-4x+4=(x-2)2

知识点02公因式

1.公因式的概念：

多项式中各项都有的叫做这个多项式的公因式。如多项式加。+加6+加c,各项都有一个

公因式，则它就是这个多项式的公因式。

2.公因式的求法：

公因式=系数的X相同字母（式子）的o若多项式首项为负号，则公因

式为=

3.多项式提取公因式后的另一个因式的求法：

多项式提取公因式后，另一个因式=多项式的每一项+O

题型考点：①判断多项式的公因式。②求多项式提取公因式的另一个因式。

【即学即练1】

3.多项式3a2b2-15a3b3-12a2b2c的公因式是（）

A.3a2必B.-15a3Z>3C.342b2cD.-124262c

【即学即练2】

4.多项式-8x2y3z+12xy2z3-24x3yz2的公因式是()

A.-xyzB.-4x3y3z3C.-4xyzD.-x3y3z3

【即学即练3】

5.把2(%-3)+x（3-x）提取公因式（.x-3)后,另一个因式是（)

A.x-2B.x+2C.2-xD.~2~x

【即学即练3】

6.若(x-Hv)3-xy(x+y)=(x+y)9A,则4为（)

A.x2+y2B.x2-xy+y2C.x2-3xy+y2D.x2+xy+y2

知识点03提公因式分解因式

1.提公因式分解因式:

一般地，如果多项式的各项都有，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成与

另一个因式的的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

题型考点：①提公因式分解因式。

【即学即练11

7.分解因式抉(x-2)+b(2-x）正确的结果是（）

A.(x-2)(b2+b)B.bCx-2)(6+1)

C.(x-2)(Z?2-b)D.b(x-2)(b-1)

【即学即练2】

8.分解因式：

(1)6m2n-15n2m+30m2n2(2)x(x-y)2~y(x-y)

【即学即练3】

9.因式分解：

(1)3x2-6xy+x；(2)-4m3+16m2-28m；

(3)18(a-b)2-12(b-。)3

题型精讲

题型01判断因式分解

【典例1】

下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是()

A.a(冽+〃)=am+anB.x2-1=(x-1)2

C.-Q2+3Q=-a(Q+3)D./-4=(x+2)(x-2)

【典例2】

下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是()

A.(x+2)=/+4x+l

B.3a(b+c)=3ab+3ac

C.x2-4y2=(%+2y)(x-2y)

D.(x-1)(y-1)=xy-x-y+\

【典例3】

下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是()

A./+2l+3=(x+1)2+2B.15x2y=3x95xy

C.2(x-Hv)=2x+2yD.x2-6x+9=(x-3)2

【典例4】

下列各式从左到右不属于因式分解的是()

A.X2-x=x(x-1)B.X2+2X+1=X(X+2)+1

C.x2-6x+9=(x-3)2D.x2-1=(x+1)(x-1)

题型02利用因式分解的概念求值

【典例1】

已知在x2+mx-16=(x+a)(x+6)中，a,6为整数，能使这个因式分解过程成立的加值的个数有()

A.4个B.5个C.8个D.10个

【典例2】

若多项式。W+fer+c可以被分解为(%-3)(x-2),则°=,b=,c=.

【典例3】

当左=时，二次三项式，-履+12分解因式的结果是(x-4)(x-3).

【典例4】

如果二次三项式3a2+7a-k中有一个因式是3a-2,那么k的值为.

【典例5】

若多项式—+办+6分解因式的结果为(x+1)(%-2),则。+6的值为.

题型03确定公因式

【典例1】

多项式Uab3c-8Q2b各项的公因式是()

A.4clpB.4abeC.2ab2D.4ab

【典例2】

多项式-《后店+d次庐_8a362c的公因式是()

A.-4a262cB.-erb1C.-4a2b2D.-4a362c

【典例3】

多项式4x(m-n)+2)(m-n)2的公因式是____

【典例4】

多项式-6ab1c+\^a1b1ci-12Q3/C2的公因式是()

A.-ab1B.-64362cC.-6ab2D.-6ab1c

题型04提公因式法分解因式

【典例1】

把多项式加(q-2)+(Q-2)分解因式等于()

A.mCa-2)B.(6Z-2)(m+1)

C.m(q+2)D.(m-1)(a-2)

【典例2】

因式分解：

(1)12岛3-3彳275；(2)(,X-2)2-x+2.

【典例3】

因式分解：

(1)3x2-6x+12xy；(2)(x-y)-'+4x(x-y)2.

【典例4】

分解因式：(1)(2)y(.2a-b)+xCb-2a).

【典例5】

因式分解：(1)-24X3+12X2-28%(2)6(m-〃)3-12(m-n)2

【典例6】

把下列各式进行因式分解:

(1)/+盯；(2)-4b2+2ab；

(3)3ax-12fcr+3x；(4)6ab3-2a2b2+4a3b.

强化训练

1.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是()

A.6a2b2=3ab*2abB.(x+1)(x-1)=x2-1

C.x2-4x+4=(x-2)2D.x2-x-4=x(x-1)-2

2.下列四个等式从左到右的变形是因式分解的是（）

A.(。+3)(。-3)=q2-9B.aQa-b)=a2-ab

C.x2-x=x(x-1)D.x2-2x+l=x(x-2)+1

3.已知多项式2X2+fcv+c分解因式为2（x-3）（x+1）,则b、c的值为（）

A.b=3,c=-1B.b=-6,c=2C.b=-6,c=-4D.b=-4,c=-6

4.若多项式x1-ax-\可分解为（%-2）（x+b）,则a+b的值为（）

A.2B.1C.-2D.-1

5.下列各组多项式中，没有公因式的是（)

A.ax-byby-axB.3x-9xy和6y2-2y

C.A2-/和1-yD.a+b和a2-2ab+b2

6.多项式-6ab2+24a2b2-Ua3b2c的公因式是（）

A.-6ab1cB.-ab1C.-6ab1D.-643b2c

7.把多项式冽之（q-2）+m（2-Q）分解因式等于（）

A.(«-2)(m2+m)B.(Q-2)(m2-m)

C.m(«-2)(m-1)D.mCa-2)(加+1)

8.已知［6=-3,a+b=2,贝片台+口序的值是（）

A.6B.-6C.1D.-1

9.如图，边长分别为Q,6的长方形，它的周长为15,面积为10,则3。26+3仍2=

10.若多项式/+冽x-12分解因式后含有因式x-2,则