辽宁省锦州市某校2024年中考数学考试模拟冲刺卷（含解析）

辽宁省锦州市新海新区实验校2024年中考数学考试模拟冲刺卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.下列图标中，是中心对称图形的是（）

3.明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼•明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）.明明从A

地出发，同时亮亮从B地出发•图中的折线段表示从开始到第二次相遇止,两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的

函数关系的图象，贝！K

A.明明的速度是80米/分B.第二次相遇时距离B地800米

C.出发25分时两人第一次相遇D.出发35分时两人相距2000米

4.如图，数轴上的A在c三点所表示的数分别为a、b、c,其中43=5。，如果|a|>|c|>l四那么该数轴的原点。

的位置应该在（）

BC

A.点A的左边B.点A与点3之间C.点3与点C之间D.点C的右边

5.如图，在ABCD中，E为边CD上一点，将沿AE折叠至处，ACT与CE交于点F,若N5=52。,

小场=20。，则NEED的大小为（）

A.20°B.30°C.36°D.40°

6.在2016年泉州市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158,160,154,158,170,

则由这组数据得到的结论塔族的是（）

A.平均数为160B.中位数为158C.众数为158D.方差为20.3

7.九年级（2）班同学根据兴趣分成五个小组，各小组人数分布如图所示，则在扇形图中第一小组对应的圆心角度数

8.已知。。的半径为5,若OP=6,则点P与。O的位置关系是（）

A.点P在。O内B.点P在。。外C.点P在。O上D.无法判断

9.若等式（-5）口5=-1成立，贝！I口内的运算符号为（）

A.+B.—C.xD.4-

10.某班为奖励在学校运动会上取得好成绩的同学，计划购买甲、乙两种奖品共20件.其中甲种奖品每件40元，乙

种奖品每件30元.如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件.设购买甲种奖品x

件，乙种奖品y件.依题意，可列方程组为（）

x+y=20[x+y=20

A.<B,《

40x+30y=650[40%+20y=650

x+y=20jx+y=70

C.<D・40x+30y=650

30x+40y=650

11.下列各数是不等式组

1-2%--3

B.-1

12.如图，AB为。。的直径，C、D为。O上的点，若AC=CD=DB,则cosNCAD=()

D,

2

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.如图，在平面直角坐标系中，已知A(-2,1),B(1,0),将线段AB绕着点B顺时针旋转90。得到线段BA，,

则A，的坐标为_____.

O\Bx

14.如图，反比例函数(x<0)的图象经过点A(-2,2),过点A作轴，垂足为8,在y轴的正半轴上

取一点尸(0,力，过点尸作直线04的垂线/,以直线/为对称轴，点5经轴对称变换得到的点用在此反比例函数的

图象上，则t的值是()

A.1+75B.4+0C.4-^/2D.-1+75

15.已知关于x的方程x2+kx-3=0的一个根是x=-1,则另一根为.

16.等腰AABC中，AD是BC边上的高，且=则等腰AABC底角的度数为.

17.计算：a3-?(-a)2=.

18.为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的

鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼____条.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，点A,B,C都在抛物线y=ax?-2amx+am2+2m-5（其中-—<a<0）_E,AB〃x轴，ZABC=135°,

4

且AB=1.

（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；

（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；

（3）若△ABC的面积为2,当2m-5WxS2m-2时，y的最大值为2,求m的值.

20.（6分）如图所示，△ABC和AADE是有公共顶点的等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,EC的延长线交BD

于点P.

（1）把AABC绕点A旋转到图1,BD,CE的关系是（选填“相等”或“不相等”）；简要说明理由；

（2）若AB=3,AD=5,把△ABC绕点A旋转，当NEAC=90"时，在图2中作出旋转后的图形，PD=,简要

说明计算过程；

（3）在（2）的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为，最大值为.

21.（6分）已知：如图，在AABC中，NACB=90。，以BC为直径的。。交AB于点D,E为台。的中点.

求证：ZACD=ZDEC；（2）延长DE、CB交于点P,若PB=BO,DE=2,求PE的长

22.（8分）如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a^O）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3,0）,与y轴交于点C（0,

4）,以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.

求抛物线的解析式；抛物线的对称轴1在边OA（不包括O、A两点）上平行移动,

分别交x轴于点E,交CD于点F,交AC于点M,交抛物线于点P,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示

PM的长；在（2）的条件下，连结PC,则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的

三角形和AAEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由.

23.（8分）如下表所示，有A、B两组数：

第1个数第2个数第3个数第4个数...第9个数...第n个数

A组-6-5-2...58...n2-2n-5

B组14710...25...

（1）A组第4个数是；用含n的代数式表示B组第n个数是，并简述理由；在这两组数中，是否存

在同一列上的两个数相等，请说明.

24.（10分）计算:-22-712+|1-4sin60°|

25.（10分）先化简，再求值：——二）十——~7,其中a是方程a?+a-6=0的解.

a--4a-2a+4a+4

2Q

26.（12分）如图，已知矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的正半轴上与y轴的负半轴上，二次函数y=1必一《％—2

的图像经过点B和点C.

(1)求点A的坐标；

(2)结合函数的图象，求当y<0时，x的取值范围.

1k

27.(12分)如图，直线y=—X+2与双曲线丫=—相交于点A(m,3),与x轴交于点C求双曲线的解析式；点P在

2x

x轴上，如果AACP的面积为3,求点P的坐标.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、B

【解析】

根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；

B、是中心对称图形，故本选项正确；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、不是中心对称图形，故本选项错误.

故选B.

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

2、D

【解析】

根据负整数指数幕与正整数指数嘉互为倒数，可得答案.

【详解】

解:[-,

2

故选D.

【点睛】

本题考查了负整数指数幕，负整数指数塞与正整数指数幕互为倒数.

3,B

【解析】

C、由二者第二次相遇的时间结合两次相遇分别走过的路程，即可得出第一次相遇的时间，进而得出C选项错误；

A、当x=35时，出现拐点，显然此时亮亮到达A地，利用速度=路程+时间可求出亮亮的速度及两人的速度和，二

者做差后可得出明明的速度，进而得出A选项错误；

B、根据第二次相遇时距离B地的距离=明明的速度x第二次相遇的时间—A、B两地间的距离，即可求出第二次相遇

时距离B地800米，B选项正确；

D、观察函数图象，可知：出发35分钟时亮亮到达A地，根据出发35分钟时两人间的距离=明明的速度x出发时间，

即可求出出发35分钟时两人间的距离为2100米，D选项错误.

【详解】

解：第一次相遇两人共走了2800米，第二次相遇两人共走了3义2800米，且二者速度不变，

c=60-j-3=20,

，出发20分时两人第一次相遇，C选项错误；

亮亮的速度为2800+35=80（米/分），

两人的速度和为2800+20=140（米/分），

明明的速度为14。-80=60（米/分），A选项错误;

第二次相遇时距离B地距离为60x60-2800=800（米），B选项正确;

出发35分钟时两人间的距离为60x35=2100（米），D选项错误.

故选:B.

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键.

4、C

【解析】

根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A、B、C到原点的距离的大小，从而得到原点的位置,

即可得解.

【详解】

V|a|>|c|>|b|,

...点A到原点的距离最大，点C其次，点B最小，

XVAB=BC,

原点O的位置是在点B、C之间且靠近点B的地方.

故选：C.

【点睛】

此题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键.

5、C

【解析】

由平行四边形的性质得出ND=NB=52。，由折叠的性质得：ND，=ND=52。，ZEAD,=ZDAE=20°,由三角形的外角性

质求出NAEF=72。，由三角形内角和定理求出NAED，=108。，即可得出NFED，的大小.

【详解】

•.•四边形ABCD是平行四边形，

.♦.4=4=52。，

由折叠的性质得：ND'=ND=52。，READ'=/DAE=20。，

/./AEF="+^DAE=520+20°=72°，NAED'=180°—4AD'—^D'=108°，

^FED'=1080-72°=36°；

故选C.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质

和折叠的性质，求出NAEF和NAED，是解决问题的关键.

6、D

【解析】

解：A.平均数为(158+160+154+158+170)4-5=160,正确，故本选项不符合题意；

B.按照从小到大的顺序排列为154,158,158,160,170,位于中间位置的数为158,故中位数为158,正确，故本

选项不符合题意；

C.数据158出现了2次，次数最多，故众数为158,正确，故本选项不符合题意；

D.这组数据的方差是S2=g[(154-160)2+2x(158-160)2+(160-160)2+(170-160)2]=28.8,错误，故本选项

符合题意.

故选D.

点睛：本题考查了众数、平均数、中位数及方差，解题的关键是掌握它们的定义，难度不大.

7、C

【解析】

试题分析：由题意可得，

第一小组对应的圆心角度数是：--------.........x360°=72°,

12+20+13+5+10

故选c.

考点：1.扇形统计图；2.条形统计图.

8、B

【解析】

比较OP与半径的大小即可判断.

【详解】

r=5,d=OP=6,

/.d>r,

二点P在〉O外，

故选B.

【点睛】

本题考查点与圆的位置关系，记住：点与圆的位置关系有3种•设。的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:

①点P在圆外od>r；②点P在圆上od=r；①点P在圆内od<r.

9、D

【解析】

根据有理数的除法可以解答本题.

【详解】

解：(-5)4-5=-1,

等式(-5)口5=-1成立，贝(I口内的运算符号为十,

故选D.

【点睛】

考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数的混合运算的计算方法.

10、A

【解析】

根据题意设未知数，找到等量关系即可解题，见详解.

【详解】

解：设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件.依题意，甲、乙两种奖品共20件，即x+y=20,购买甲、乙两种奖品共花费

T650元，即40x+30y=650,

x+y=20

综上方程组为<

40x+30y=650

故选A.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的列式，属于简单题，找到等量关系是解题关键.

11、D

【解析】

求出不等式组的解集，判断即可.

【详解】

'x+3>2①

[1-2x<-3②’

由①得：x>-l,

由②得：x>2,

则不等式组的解集为x>2,即3是不等式组的解，

故选D.

【点睛】

此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

12、D

【解析】

根据圆心角，弧，弦的关系定理可以得出4。=。。=5。=3*180°=60°,根据圆心角和圆周角的关键即可求出/。山

的度数，进而求出它的余弦值.

【详解】

解：AC=CD=DB

AC=CD=BD=|><180=60，

ZCAD=-x60°=30°

2

cosZCAD=cos30°=

2

故选D.

【点睛】

本题考查圆心角，弧，弦，圆周角的关系，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、(2,3)

【解析】

作AC±x轴于C,作A，C，_Lx轴，垂足分别为C、CS证明△ABC四△BA，C,可得OU=OB+BC，=1+1=2,A,C,=BC=3,

可得结果.

【详解】

如图，作ACLx轴于C,作A'Cx轴，垂足分别为C、C,

•.•点A、B的坐标分别为(-2,1)、(1,0),

.\AC=2,BC=2+1=3,

■:NABA，=90。，

.,.ABC+NA'BC'=90°,

,.,ZBAC+ZABC=90°,

ZBAC=ZA,BC\

VBA=BA%ZACB=ZBC,A,,

.,.△ABCdBA'C',

.\OC,=OB+BC,=1+1=2,AC=BC=3,

.•.点A，的坐标为(2,3).

故答案为（2,3）.

【点睛】

此题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，点的坐标的确定.解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形.

14、A

【解析】

4

根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（-2,2）得到k=-4,即反比例函数解析式为丫=一，且OB=AB=2,

x

则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以NAOB=45。，再利用PQLOA可得到NOPQ=45。，然后轴对称的性质得

一4

PB=PBSBBUPQ,所以NBPQ=NB，PQ=45。，于是得到B，P，y轴，则点B的坐标可表示为（―,t）,于是利用

t

44

PB=PB，得t-2=|—|=-,然后解方程可得到满足条件的t的值.

tt

【详解】

如图，

•••点A坐标为(-2,2),

:.k=-2x2=-4,

4

••・反比例函数解析式为y=—,

；OB=AB=2,

/.△OAB为等腰直角三角形，

ZAOB=45°,

VPQ±OA,

•,.ZOPQ=45°,

V点B和点B，关于直线1对称，

.\PB=PB,,BBUPQ,

.,.ZBTQ=ZOPQ=45°,ZBTB=90°,

.•.BT，y轴，

4

...点B，的坐标为(--,t),

；PB=PB',

整理得t2-2t-4=0,解得tl=l+石,t2M-V5（不符合题意，舍去），

，t的值为1+石.

故选A.

【点睛】

本题是反比例函数的综合题，解决本题要掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性

质及会用求根公式法解一元二次方程.

15、1

【解析】

设另一根为X2,根据一元二次方程根与系数的关系得出“邙=-1,即可求出答案.

【详解】

设方程的另一个根为X2,

则-1XX2=-1,

解得：X2=l,

故答案为L

【点睛】

_b

本题考查了一兀二次方程根与系数的关系：如果Xi,X2是一兀二次方程ax2+bx+c=0（a#））的两根，那么xi+xz=-—,

a

c

X1X2=—.

a

16、75°,45°,15°

【解析】

分三种情况：①点A是顶角顶点时，②点A是底角顶点，且AD在^ABC外部时，③点A是底角顶点，且AD在4ABC

内部时，再结合直角三角形中，30。的角所对的直角边等于斜边的一半即可求解.

【详解】

①如图，若点A是顶角顶点时，

A

VAB=AC,AD_LBC,

:.BD=CD,'：AD^^BC,

.,.AD=BD=CD,

在RtAABD中，NB=NBAD=

g（180。-90。）=45。；

②如图，若点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时,

VAD=-BCAC=BC,

29

：.AD=-AC,

2

AZACD=30°,

:.ZBAC=ZABC=-x30o=15°；

2

③如图，若点A是底角顶点，且AD在△ABC内部时,

AD=-AC,

2

,•.ZC=30°,

,\ZBAC=ZABC=-(180°-30°)=75°；

2

综上所述，△ABC底角的度数为45。或15。或75。；

故答案为75。，45°,15°.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形中30。的角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是要分情况

讨论.

17、a

【解析】

利用整式的除法运算即可得出答案.

【详解】

原式「-_

_口.

【点睛】

本题考查的知识点是整式的除法，解题关键是先将一二一变成二-，再进行运算.

18、20000

【解析】

试题分析：1000+1=20000(条).

200

考点：用样本估计总体.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)(m,2m-2)；(2)SAABC=-包土工；(3)m的值为1或10+2国.

a2

【解析】

分析：(1)利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，此题得解；

(2)过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D,由AB〃x轴且AB=L可得出点B的坐标为(m+2,

la+2m-2),设BD=t,则点C的坐标为(m+2+t,la+2m-2-t),利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t

的一元二次方程，解之取其正值即可得出t值，再利用三角形的面积公式即可得出SAABC的值；

(3)由(2)的结论结合SAABC=2可求出a值，分三种情况考虑：①当m>2m-2,即m<2时，x=2m-2时y取最

大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之可求出m的值；②当2m-2WmW2m-2,

即2WmW2时，x=m时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m

的值；③当mV2m-2,即m>2时，x=2m-2时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一

元一次方程，解之可求出m的值.综上即可得出结论.

详解：(1)Vy=ax2-2amx+am2+2m-2=a(x-m)2+2m-2,

・•・抛物线的顶点坐标为(m,2m-2),

故答案为(m,2m-2)；

(2)过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D,如图所示，

，点B的坐标为(m+2,la+2m-2),

VZABC=132°,

，设BD=t,贝!|CD=t,

・••点C的坐标为(m+2+t,la+2m-2-t),

点C在抛物线y=a(x-m)2+2m-2.t,

2

/.la+2m-2-t=a(2+t)+2m-2f

整理，得：at2+(la+1)t=0,

/人,、4〃+1

解得：ti=O(舍去)，tz=-----------，

a

18。+2

•••SAABC=—AB*CD=-----------；

2a

(3);△ABC的面积为2,

8a+2

J-----------=2,

a

解得：a=-g,

.,•抛物线的解析式为丫=-((x-m)2+2m-2.

分三种情况考虑:

2

①当m>2m-2f即m<2时，有一g（2m-2-m）+2m-2=2,

整理，得：m2-llm+39=0,

解得：mi=7-y/lQ（舍去），m2=7+TiO（舍去）；

7

②当2m-2<m<2m-2,BP2<m<2时，有2m-2=2,解得：m=—；

2

③当m<2m-2,即m>2时，有-g（2m-2-m）2+2m-2=2,

整理，得：m2-20m+60=0,

解得：m3=10-2^/10（舍去），mi=10+2V10.

7

综上所述：m的值为5或10+2丽.

点睛：本题考查了二次函数解析式的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、解一元二次方程以

及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式；（2）利用等腰直角三角形的性

质找出点C的坐标；（3）分mV2、2WmW2及m>2三种情况考虑.

20、（1）BD,CE的关系是相等；（2）»庖或也庖；（3）1,1

1717

【解析】

分析：（1）依据△ABC和^ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,即可BA=CA,ZBAD=ZCAE,

DA=EA,进而得至！!△ABD丝AACE,可得出BD=CE；

PDCD

（2）分两种情况：依据NPDA=NAEC,ZPCD=ZACE,可得△PCDs^ACE,即可得到一=——，进而得到

AECE

5I—PBBE

PD=—V34；依据NABD=NPBE,ZBAD=ZBPE=90°,可得△BADsaBPE,即可得到一=——，进而得出

17ABBD

PB=—V34,PD=BD+PB=—V34；

3417

（3）以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在。A下方与。A相切时，PD的值最小；当CE在在。A右上方与。A

相切时，PD的值最大.在RtZkPED中，PD=DE«sinZPED,因此锐角NPED的大小直接决定了PD的大小.分两种

情况进行讨论，即可得到旋转过程中线段PD的最小值以及最大值.

详解：（1）BD,CE的关系是相等.

理由：•..△ABC和AADE是有公共顶点的等腰直角三角形，NBAC=NDAE=90。，

/.BA=CA,ZBAD=ZCAE,DA=EA,

/.△ABD^AACE,

.\BD=CE；

故答案为相等.

（2）作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示:

B

VZEAC=90°,

•**CE=AC2+AE2=V349

VZPDA=ZAEC,ZPCD=ZACE,

AAPCD^AACE,

.PDCD

••一,

AECE

.\PD=—A/34；

17

若点B在AE上，如图2所示：

C

•.•/BAD=90°,

.\RtAABD中，BD=7AD2+AB2=A/§4>BE=AE-AB=2,

VZABD=ZPBE,ZBAD=ZBPE=90°,

/.△BAD^ABPE,

.PBBE口.PB_2

"AB-HD'「3一庖’

解得PB=-734,

34

620

PD=BD+PB=J34+—=一,

3417

故答案为—V34或—A/34；

1717

(3)如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在。A下方与。A相切时，PD的值最小；当CE在在。A

右上方与。A相切时，PD的值最大.

如图3所示，分两种情况讨论:

图3E

在RtAPED中，PD=DE«sinZPED,因此锐角NPED的大小直接决定了PD的大小.

①当小三角形旋转到图中△ACB的位置时，

在RtAACE中，CE=152-32=%

在中，22

RSDAEDE=A/5+5=5A/2»

•.•四边形ACPB是正方形，

，PC=AB=3,

/.PE=3+4=1,

在RtAPDE中，PD=7DE2-PE2=450-49=1，

即旋转过程中线段PD的最小值为1；

②当小三角形旋转到图中△AB，C时，可得DP为最大值，

此时，DP'=4+3=L

即旋转过程中线段PD的最大值为1.

故答案为1,1.

点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三

角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会

利用图形的特殊位置解决最值问题.

21、(1)见解析；(2)PE=4.

【解析】

(1)根据同角的余角相等得到NACD=NB,然后由圆周角定理可得结论；

(2)连结OE,根据圆周角定理和等腰三角形的性质证明OE〃CD,然后由APOEs^pcD列出比例式，求解即可.

【详解】

解：(1)证明：；BC是。。的直径，

AZBDC=90°,AZBCD+ZB=90°,

VZACB=90°,

AZBCD+ZACD=90°,

.\ZACD=ZB,

VZDEC=ZB,

AZACD=ZDEC

(2)证明：连结OE

YE为BD弧的中点.

.\ZDCE=ZBCE

VOC=OE

AZBCE=ZOEC

AZDCE=ZOEC

AOE/7CD

/.△POE^APCD,

・PO_PE

**PC-PD

VPB=BO,DE=2

APB=BO=OC

.POPE_2

**PC-PD-3

•PE_2

■*PE+2~3

,*.PE=4

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的相

关知识和相似三角形的性质是解题的关键.

4,84,

22、(1)抛物线的解析式为y=—+§x+4；(2)PM=-jm-+4m(0<m<3)；(3)存在这样的点P使APFC

23

与AAEM相似.此时m的值为7或1,APCM为直角三角形或等腰三角形.

16

【解析】

(1)将A(3,0),C(0,4)代入y=ax2-2ax+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式.

(2)先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，从而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点

P、点M的坐标，即可得到PM的长.

(3)由于NPFC和NAEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况

进行讨论：①△PFCSAAEM,②△CFPSAAEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据

相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判

断出△PCM的形状.

【详解】

解：(1)"抛物线y=ax?-2ax+c(ar0)经过点A(3,0),点C(0,4),

4

_=—

/.，解得｛3.

c=4

48

・・・抛物线的解析式为y=--9x2+-x+4.

(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,

VA(3,0),点C(0,4),

k一

3k+b=0

，解得｛3.

b=4

b=4

4

直线AC的解析式为y=—§x+4.

•••点M的横坐标为m,点M在AC上,

一4

・，・M点的坐标为(m,—m+4).

3

48

:点P的横坐标为m,点P在抛物线y=—§x29+：x+4上，

_4O8

，点P的坐标为(m,m~H—m+4).

33

4,844,

,*.PM=PE—ME=(——n:+—m+4)—(——m+4)=——m~+4m.

3333

4,

，PM=——m2+4m(0<m<3).

3

(3)在(2)的条件下，连接PC,在CD上方的抛物线部分存在这样的点P,使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM

相似.理由如下：

-4428428

由题意，可得AE=3-m,EM=一一m+4,CF=m,PF=一一m2+-m+4-4=——m2+-m,

33333

若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：

①若APFCsaAEM,贝!|PF：AE=FC：EM,即(--m2+-m)：(3-m)=m：(--m+4),

333

口23

m邦且m彳3,..m=—.

16

VAPFC^AAEM,/.ZPCF=ZAME.

,/ZAME=ZCMF,.*.ZPCF=ZCMF.

在直角ACMF中，VZCMF+ZMCF=90°,/.ZPCF+ZMCF=90°,即NPCM=90。.

.,.△PCM为直角三角形.

②若ACFPs/\AEM,贝!|CF：AE=PF：EM,即m：(3-m)=(--m2+-m)：(--m+4),

333

m/0且m彳3,m=1.

,/△CFP^AAEM,.\ZCPF=ZAME.

VZAME=ZCMF,AZCPF=ZCMF./.CP=CM.

.,.△PCM为等腰三角形.

23

综上所述，存在这样的点P使APFC与△AEM相似.此时m的值为一或1,APCM为直角三角形或等腰三角形.

16

23、(1)3；(2)3〃—2,理由见解析；理由见解析(3)不存在，理由见解析

【解析】

(1)将"=4代入n2-2n-5中即可求解；

(2)当"=1,2,3,9,…，时对应的数分别为3x1-2,3x2-2,3x3-2,…，3x9-2...,由此可归纳出第"个数是

3n-2；

(3)“在这两组数中，是否存在同一列上的两个数相等”，将问题转换为"2一2加5=3加2有无正整数解的问题.

【详解】

解:(1))・••A组第"个数为〃2-2加5,

AA组第4个数是42-2x4-5=3,

故答案为3；

(2)第〃个数是3"—2