湖南省长沙市2024届九年级下学期中考一模数学试卷（含答案）

湖南省长沙市2024届九年级下学期中考一模数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一,单选题

1.如图，数轴上有MN,P,Q四点，则这四点中所表示的数最接近-耳的是（）

MNPQ

-54-3-2-10I2

A.点MB.点NC.点PD.点Q

2.按下图方式摆放餐桌和椅子：则把6张桌子摆放在一起，可坐（）

OOOOOO

OOOOOO

A.36人B.26人C.24AD.16人

3.由于国家出台对房屋的限购令,我市某地的房屋价格原价为8400元/米2,通过连续两

次降价「％后，售价变为6000元/米2,下列方程中正确的是（）

A.8400（1-2a%）=6000B.6000（1+2a%）=8400

C.6000（1+a%）2=8400D.8400（1-«%）2=6000

4.下列关于不等式的命题正确的是（）

A.如果a>/?,/?<c,那么a>cB.如果a>b,那么aobc

C.如果a>b,那么ac?>bc2D.如果ac?>历?,那么。〉万

5.如图所示，在象棋盘上,若“帅”位于点（0,-1）,“象”位于点（2,-1）,则“炮”位于点

C.（l,-2）D.（3,2）

39

6如图，一次函数户不+5的图像与广质十人的图像相交于点玳-2,〃）,则关于X"的

3x—4y+18—0,,,.口

方程组,「c，的解是（）

kx-y+b=0

x=3x=2

CJDJ

轴上，边BC交y轴于点。，点B的横坐标为

1,00=36。，点C在反比例函数y=七的图象上，则上的值为（）

x

A.12B.-12C.15D.-15

8.如图，）。的内接四边形川。。中,/4,/8,/。的度数之比是4:3:5,则/。的度数是

()

A.1OO0B.1100C.1200D.130°

二、填空题

9.如图，在正方形ABCD中,AB=3cm,点P为A5上动点，点Q在的延长线上，且

BP=2BQ,CP,。。相交于点E,当点P从点A运动到点3时,点E运动的路线长度为

cm.

10.某校学生“数学素养”大赛成绩的频数直方图（每一组含前一个边界值,不含后一个边

界值）如图所示，其中成绩为“一般”（80分以下）的学生有人.

11.现有9颗外观和大小都完全相同的小球，已知8颗球的质量相等，另外一颗球的质量

略大一些.小颖想用一架托盘天平称出这颗质量较大的球.她思考后发现最少称〃次就一

定能找出这颗球，则n的值等于.

12.如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端“、N分别落在点A、3处.将木棒在

数轴上水平移动，当的中点移动到点3时，点N所对应的数为17,当的三等分点

移动到点A时，点M所对应的数为6,则木棒的长度为..

MN

।II____________

0AB

13.《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱,

多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？若设人数为x,则可列方程.

14.在平面直角坐标系中，直线丁=履+左+2（左是常数，且左WO）的图象经过定点

15.在平面直角坐标系xOy中,珥/,％）,//，%）是抛物线y=-（%-间2+〃上任意两

点,若对于0(石<2,2<%<4，都有％<%，则m的取值范围为.

16.如图，在ZXABC中，点。是AC边上一点，将AABD沿BD翻折得到AEBD,BE与

AC交于点r设AE=x,Eb=y.

⑴当5石，47,x=9,〉=3时,4。的长是；

(2)当应>=5尸,2x=7y时,ADEF与aABD的面积之比是.

三、解答题

17.计算：J--cos45°+cos245°-A/2COS60°+2COS30°H----------------------.

V42tan45°+tan60°

18.在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的

人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万

人,7月份接待游客增加到14.4万人.

(1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率.

(2)如果能保持这个月平均增长率，第三季度(7月~9月)该馆接待游客总量能否达到50万

人？

19.西安某校计划购买A石两种树木共100棵，进行校园绿化,经市场调查：购买A种树

木3棵,5种树木4棵，共需470元，购买A种树木5棵石种树木2棵，共需410元.

(1)求A,B两种树木每棵各多少元？

(2)布局需要,决定再次购进A,3两种树木共50棵，恰逢该供应商对两种树木的售价进行

调价,A种树木售价比第一次购买时提高了8%乃种树木按第一次购买时售价的9折出

售.如果这所学校此次购买A,3两种树木的总费用不超过3260元,那么该校最多可购买

多少3种树木？

20.某校第二课堂准备设置球类课程，随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从

“羽毛球”“篮球”“足球”“排球”“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项.根据调查结果绘制了

不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：

(1)此次共调查了名学生；

(2)将条形统计图补充完整；

(3)该校把最受欢迎的“羽毛球”“篮球”“足球”设置为选修内容.小明和小亮分别从三个项

目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择同一项目的概率.

21.如图,长方形Q4BC在平面直角坐标系中，其中4(6,0),。(0,4),点石是8。的中点,动

点尸从。点出发,以每秒1cm的速度沿0-A-8-E运动，最终到达点E,若点P运动的时

间为x秒.

⑴当x=2秒时，求△OPE的面积；

(2)当△OPE的面积等于5cm2时，求P点坐标.

(3)当AOPE为等腰三角形时，求x的值.

22.某兴趣小组用一套尺子进行如下探究活动：如图1所示，将一把直尺/水平摆放，将

含45°的三角尺ABC的直角顶点B固定在直尺I上，将含30°,60°的三角尺DEF的较短

边。歹靠在直尺I上(两个三角尺都在直尺I的同侧)，三角尺。EF沿直尺I从左向右平移

的过程中边EF与边A3,边所形成的夹角分别记为

«,13(0。＜々＜90。,0。＜，＜90。),探究«,(3满足的数量关系.

图1图2图3

⑴①如图2,当三角尺ABC的边落在直尺/上时=,/3=.；

①如图3,当三角尺ABC的边ACHI时,a=,/3=；

根据以上两种特殊情况中a,/3的大小，猜想a,B满足的数量关系：；

(2)三角尺ABC的位置发生改变时(点B仍固定在直尺/上,两个三角尺都在直尺/的同

侧)，判断(1)中的猜想是否仍然成立？并说明理由.

23.在平面直角坐标系中，对于半径为厂(厂＞。)的。和点P,给出如下定义：若

rWPOK—r,则称P为「。的“近外点”.

2

了八

5-5-

4-4-

3-3

2-2

11

-5-4-3-2-1O-12345^-5-4-3-2-1(712345^

-1--1•

-2--2-

-3--3-

-4--4-

-5-—5■

备用图

⑴当。的半径为2时，点4(4,0),3),0。,-1)中，。的“近外点”是

(2)若点网3,4)是。。的“近外点”，求0的半径r的取值范围；

⑶当0的半径为2时，直线y=W0)与x轴交于点与y轴交于点N,若线段

肱V上存在0的“近外点”，直接写出b的取值范围.

24.如图，直线y=-x+4与x轴交于点3,与y轴交于点C,抛物线y=-x*2345+6x+c经过

两点，与x轴另一交点为A点P以每秒0个单位长度的速度在线段上由点B向

点C运动(点P不与点3和点C重合)，设运动时间为/秒，过点P作x轴垂线交x轴于点

E,交抛物线于点M.

(2)如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N,连接MN交BC于点、Q,当呼=g时，求/的

值；

⑶如图②，连接40交于点。，当八PDM是等腰三角形时，求出t的值.

参考答案

1.答案：B

解析：—y/16<—A/10<—A/9,

-4<-A/10<-3,

•••最接近-M的是点N

故选：B.

2.答案：D

解析：1张桌子坐：4+2义1=6人；

2张桌子坐：4+2义2=8人；

3张桌子坐：4+2x3=10人；

“张桌子坐：4+2x〃=（4+2〃）人；

当〃=6时,4+2x6=16人，

故选：D

3.答案：D

解析：设连续两次降价。％,

8400（1-o%）2=6000.

故选：D.

4.答案：D

解析：A、如果a>b,b<c,那么a,c的大小关系不确定，该选项是错误的;

B、如果a>6,且c>0,那么ac>Z?c,故该选项是错误的；

C、如果a>/?,且cwO,那么ac2>灰2,故该选项是错误的；

D、如果ac?>/7c2,那么>乩故该选项是正确的；

故选：D

5.答案：D

解析：如图所示：“炮”位于点（3,2）.

6.答案：B

f39

&x-r?-rp/rtr3X—4j+18=0,_,,dV=—XH

解析：美于的万程组《可r化为：\42

kx-y+b=0jj

i'[y=kx+b

39

故一次函数y=的图像与丁=履+人的图像的交点坐标即为方程组的解,

42

3Q3Q

将P(—2,“)代入y=—尤-1*—得：“=—x(—2)H*—=3,

-424'/2

•••P(-2,3)

,,j,,_,,j-,f3x—4y+18=0,p,fx=-2,

故关于x,y的万程Q组的解是1

kx-y+b=0[y=3

故选：B.

7.答案：B

解析：过点3作5ELQ4于点瓦

•.•四边形Q钻。是菱形，

OA=AB,BC//OA,

•••点B的横坐标为1,OD=3BD,

：.BD=1,

OD=3,

：.BE=OD=3,

设菱形的边长为则OA=AB^a,

'：BE2+AE2=AB\

：.32+(«-1)2=«2,

解得a=5,

：.BC=5,

：.CD=5-1=4,

...点C的坐标为(T,3),

k=-4x3=-12.

故选：B.

8.答案：C

解析：设NA为4x,则/B为3x,NC为5x,

,/四边形ABCD为圆内接四边形，

・•.ZA+ZC=180°,ZB+Z£>=180°,

4x+5x=180°,

解得：X=20。，

Zfl=3x=60°,

ZD=180°-60°=120°,

故选：C.

9.答案：

解析：当点尸在点A处时,如图，

BP=2BQ,BP=3cm,

/.BQ=1.5cm,

当点P运动到点3时,如图,

D

所以点E运动的路线EE',如图,

过E作所，AQ,交AQ于点£即ZAFE=ZEFQ=90°,

•.•四边形ABCD为正方形，

BC=AD=3cm,

在RtAABC中,AC=y/AB2+BC2=3缶m,

ZAFE=ZABC=90°,ZCAB^ZEAF,

:./\EAF^/\CAB,

EFAF

AB=BC,

:.EF=AF,

设EF=xcm,则BF=（3-x）cm,QF=（4.5-x）cm,

■ZEQF=ZDQA,ZEFQ=ZDAQ=90°,

:./\EQF^Z\DQA,

,E^=QF_（4.5-x）

"DAQA14.5'

9

解得：x=；

96

/.EF=—cm,ErF=BF=—cm,

55

在RtZiEFE'中，

EE'=y/EF2+E'F2==^y^（cm）.

故答案为：浮.

10.答案：60

解析：由直方图可得，

成绩为“一般”（80分以下）的学生有：10+15+35=60（人），

故答案为：60.

11.答案：2

解析：把9颗小球任意分成三份，每份3颗.先把其中任意两份分别放在天平的两边.

如果平衡，就把剩下的一份中的任意两颗分别放在天平的两边,若平衡，说明剩下的小球

即为质量较大的，若不平衡朋B边重哪边就是那颗质量较大的；

如果不平衡朋B边重哪边那份就有质量较大的小球，从这一份中任取2颗分别放在天平的

两边,若平衡，没往天平上放的那一颗质量较大，若不平衡，哪边重哪边就是那颗质量较大

的.

•••至少要称2次，才能保证找出那颗质量较大的小球.

故答案为：2.

12.答案：6或生

13

解析：设肱V=AB=6x,

由题意可知,MM'=MN=MV'=3x,

①当MN的左三等分点移动到点A时，此时W=2x,

M"MM'N"NN'

,二i；；「一「》

06AB17

点N'对应的数为17,点AT对应的数为6,

:.M"N'=MMn+MN+NN'=2x+6x+3x=17-6,

解得：x=l,

:.MN-6x—6\

①当MN的右三等分点移动到点A时,此时也T=4关,

M'"NN'

,iITI]>

06/B17

点M对应的数为17,点AT对应的数为6,

:.MnN'=AdMm+MN+NN'=4x+6x+3x=11-6,

解得：%=-,

13

：.MN=6x=--,

13

综上可知，木棒MN的长度为6或生，

13

故答案为：6或竺.

13

13.答案：8x-3=7x+4

解析：设人数为％根据题意得：

8x-3=7x+4,

故答案为：8x—3=7x+4.

14.答案：（一1,2）

解析：y=履+左+2=左（％+1）+2,

贝I」当x=-1时，不论k取何值，总有y=2,

・\直线y=履+4+2必经过点

故答案为：（-1,2）.

15.答案：m>3/3<m

解析：•.•抛物线y=-（无-加1+n,

二.对称轴为直线x=m,

*/0<%!<2,2<x2<4,

・1%+九2o

..1<2<3,玉<%，

:X<%，。<0，

・•.5（%,%）离对称轴更近，

...%)](/,%)的中点在对称轴左侧,

・

・・—M-----<m,

2

m>3,

故答案为：771»3.

16.答案:(1)5

⑵：

解析：(1)当6石，4S,尤=9,丁=3时；

得NEFD=90°,AF=9,EF=3；

设AD=a,则DF=9—a；

由题意可得DE—AD=a；

・•.在RIZXEFD中，由勾股定理可得；

DF2+EF2=DE\

即(9一。)2+32=4；

解得：a-5

故AD=5；

(2)当5尸,2x=7y时；

,?BD=BF；

：.NBDF=NBFD；

又ZADB=180°-ZBDF；

NEFD=180O—/BFD；

：.ZADB=ZEFD-,

由题意可得NA=NE;

/\EDF^Z\ABD；

.ADAB_BD

"'~EF~~ED~~DF

'：2x=7y；

.x7

・・———;

y2

.AF7

••——;

EF2

二.设EF-2n,DF-mn,AF=Qn；

则AD=ED=(7_m)〃

(7m-m2m

・•・BF=BD=------------；

2

(4+7m—m2}n

：.AB=BE=\-----------------

2

2n

4+7m—m2n(J-m)n

2

整理得：2苏-21祖+45=0；

解得：网二万（不符合题意，舍去）;

m2=3；

ED—4〃,AB-8〃；

故与△ABD的面积之比是：

4

3

17.答案：-

2

上也+（也]

解析：原式T

2x1+6

(341抗、巧2-V3

(2+础2—@

2-6

4-3

="—也+用2一百

22

_3

~2'

18.答案：（1）20%

（2）能达到50万人

解析：（1）设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x,依题意，得：

10（1+%）2=14.4,

解得：苞=0.2=20%,々=-2.2（舍去）；

答：这两个月接待游客人数的月平均增长率为20%.

（2）8月份接待游客人数：14.4x（1+20%）=17.28（万人）

9月份接待游客人数：14.4X（1+20%）2=20.736（万人）

・••第三季度接待游客总人数为：14.4+17.28+20.736=52.416（万人）

52.416>50

答：第三季度（7月〜9月）该馆接待游客总量能达到50万人.

19.答案：（1）4种树木每棵50元,3两种树木每棵80元

（2）31棵

解析：（1）设A种树木每棵需要x元石种树木每棵需要y元,由题意可得:

3x+4y=470①

[5x+2y=410②‘

由②x2-①可得：7%=350,

解得：x=50,

将尤=50代入①，得：150+4y=470,

解得：y=80,

答：A种树木每棵需要50元,3种树木每棵需要80元；

（2）设购进3种树木机棵，则A种树木为（50-棵,由题意可得：

50x（1+8%）x（50一m）+80x0.9m<3260,

副汨/280

解传：mG9,

・••该校最多可以购进5种树木31棵.

答：该校最多可以购进3种树木31棵.

20.答案：（1）200

（2）图见解析

（3）图见解析，概率为:

解析：（1）此次共调查的学生有：40+落=200（名）;

（2）足球的人数有：200—40—60—20—30=50（名），补全统计图如图:

B、C,根据题意画树状图如图:

共有9种等可能的情况,其中他俩选择相同项目的有3种,

31

则P（他俩选择相同项目）=1=;

21.答案：(l)4cm2

11

Q）1中白2

(3)6或5或&25

6

解析：（I）：A（6,0）,C（0,4）,

I.AO=6,CO=4,

•.•四边形。RC是长方形，

BC=O4=6,AB=(9C=4,

当尤=2秒时,O尸=2x1=2cm,

/XOPE的面积为工x2x4=4cm2；

2

(2)分三种情况讨论，

①如图，

当P在Q4上时,0〈尤W6,

,?/\OPE的面积等于5cm2,

：.-x-4=5,

2

解得x=j

2

.•.p点坐标为go}

①当P在AB上时,6<xW10,如图,

•点E是中点，

/.CE=BE=3

'：△OPE的面积等于5cm2,

**S矩形0ABe—^Z^AOP—S^OCE—S八EBP=?

/.4x6—；x6(%—6)-；x3x4一；x3x(6+4—x)=5,

解得不=?32（不符合题意，舍去）.

21

解得人下

CP=6+4+6-—=—

22

点尸的坐标为4

综上可知，当△0P£的面积等于5cm2,点坐标为go］或仁11,“；

2

(3)由勾股定理，得OE=A/(9C2+CE2=5,

①当PE=OE=5时,

连接AE,

则AE=VAB2+BE2=5,

.•.P和A重合，

••x=6=1=6；

①当OP=OE=5时,此时点P在A5上,

••x=5+1=5,

③当OP=?E=x时，

过E作石HLQ4于"

则OH=CE=3,£H=OC=4,

/.HP=x-3,

x2=(%-3)一+42,

解得x=§25,

6

25

综上，当△OPE为等腰三角形时,x的值为6或5或上.

6

22.答案：(1)①台=30。,£=60。

①£=15°,〃=75。；(/+,=90。

(2)当三角尺ABC的位置发生改变时，仍有a+/3=9Q°，理由见解析

解析：(1)①由题意可知：ZE=30°,ZEFB=/?=60°,ED//AB,

'：EDHAB,

：.a=ZE=3Q°

故答案为：&=30。,，=60。；

①如图：延长Eb,CB相较于G

由题意可得：ZA=ZC=45°,ZABC=90°,ZEED=60°,

AC//1

：.ZAB£>=ZA=45°,

：.a+ZABD^ZEFD,^a=ZEFD-ZABD=15°；

ZFBG=180°-ZABC-ZABD=45°,ZBFG=ZEFD=60°.

；.〃=180°-ZBFG-ZFBG=75°；

猜测：a,(3满足的数量关系：。+，=90。.

故答案为：。=15。,，=75。；a+j3=90°.

图3

(2)当三角尺ABC的位置发生改变时，仍有。+，=90。,理由如下：

①当NAB£)<60。时，

如图，设边EF与边AB交于点G,平移三角尺OEF沿直尺I从左向右平移得到三角尺

DM，边E£交边BC于点G「

由图可知，边EF与边AB所形成的夹角a=ZBGF,边EF与边BC所形成的夹角即为边

耳耳与边所形成的夹角，Q=/6。耳.

在三角尺DEF沿直尺/从左向右平移的过程中，

ZDEF=NREFi,

EFHE\F「

过点B作EF的平行线BP,

EF//BP,

：.ZBGF=ZABP,BPa=ZABP.

"：EFIIER

：.BPHEE,

NBGFi=ZCBP，即分=ZCBP,

'：ZABP+ZCBP=ZABC=90°,

...a+尸=ZBGF+NBGE=ZABP+ZCBP=ZABC=90°.

①当60。<ZABD<90°时,由①知a=ZBGF,(3=ZBG.G,

过点3作ER的平行线PQ,

EF//PQ,

：.ZBGF=NABQ,NBG〔G=NCBP

,：ZABC=90°,

ZABQ+ZCBP^90°,

**•aB=90°.

综上,当三角尺ABC的位置发生改变时，仍有。+，=90。.

23.答案：(1)B,C

⑶2<Z><3a或-3应2

解析：⑴：。的半径为2时，“近外点”的线段长机满足2<加<3,

•••点4(4,0),*o],C(0,3),。(1,—1)

OA=4>3,OB=|-|L|,(9C=3,OD=A/2<2

)0的“近外点”是B,C.

故答案为：B,C.

⑵,点E(3,4)是c。的“近外点”，

r<5

.,.OE=V32+42=5J3,

5<—r

I2

解得竺

3

⑶当M在x轴的负半轴时，

,直线y=x+A仅wO）与x轴交于点M与y轴交于点N,

：.OM=ON=\b\,

：.NNMO=45°,

•.•。的半径为2时，

的“近外点”的线段长机满足2<相<3,

当。W=2时，点M是；-O的“近外点”，

此时6=2；

过点。作。于点G,

当0G=3时，点G是；。的“近外点”，

ZNMO=45°,

:.MG=0G=3,

：.OM=y/2MG=3y/2,

此时b=30；

故6的取值范围2<bK30；

当/在x轴的正半轴时，

,直线y=x+〃（8。0）与x轴交于点M与y轴交于点N,

OM=ON=\b\,

：.ZNMO=45°,

Voo的半径为2时，

0的“近外点”的线段长机满足2WmW3,

当。W=2时，点M是：_0的“近外点”，

此时/?=-2；

过点。作。于点G,

当0G=3时，点G是「。的“近外点”，

ZNMO=45°,

：.MG=OG=3,

：.0M=6MG=372,

止匕时b=—3后；

故b的取值范围-372<b<-2-,

故6的范围是2或2Kb<3后.

24.答案：(l)y=-x2+3x+4

(2»的值为g

(3)当APDM是等腰三角形时,/=1或/=血-1

解析：⑴直线y=-x+4中，当x=0时,y=4