河南省2024年中考数学模拟试题二（含解析）

2024年河南省中考数学模拟试卷（二）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，下列各小题具有四个答案，其中只

有一个是正确的。）

1.-2的确定值是（）

A.2B.—C.-2D.--

22

2.将一根圆柱形的空心钢管随意放置,它的主视图不行能是（

3.下列各式变形中，正确的是（）

A.x2,x3=x6B.=|x|

C.（x2--）4-x=x-ID.x2-x+l=（x--）2+—

X24

4.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若/1=48°,则/2的度数为

A.48°B.42°C.40°D.45°

5.函数y={2x-4中自变量x的取值范围是（）

A.x》2B.x>2C.xW2D.xW2

6.在某校“我的中国梦”演讲竞赛中，有7名学生参与决赛，他们决赛的最终成果各不相

同，其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，他不仅要了解自己的成果，还要了解这7

名学生成果的（）

A.众数B.方差C.平均数D.中位数

7.已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2,则另一个根为（）

A.5B.-1C.2D.-5

9

8.如图，在口ABCD中，E为AD的三等分点，AE=yAD,连接BE交AC于点F,AC=12,则AF

为)

9.星期天，小明从家动身，以15千米/小时的速度骑车去郊游，到达目的地休息一段时间

后原路返回，已知小明行驶的路程s（千米）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示，

则小明返程的速度为（）

A.15千米/小时B.10千米/小时C.6千米/小时D.无法确定

10.如图，AB是半圆。的直径，C是半圆。上一点，CD是。。的切线，OD/7BC,0D与半圆0

交于点E,则下列结论中不确定正确的是（）

A.AC±BCB.BE平分NABCC.BE〃CDD.ZD=ZA

二、填空题（本小题共5小题，每小题3分，共15分）

11.计算：2*-需=.

12.写出一个二次函数解析式，使它的图象的顶点在y轴上：.

13.课外活动中，九（1）班打算把全班男生随机分成两个小组进行拔河竞赛，则甲、乙、

丙三位同学恰好被分在同一小组的概率为.

14.如图，在RtZ^ABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,以点A为圆心，AC的长为半径作々交

AB于点E,以点B为圆心，BC的长为半径作而交AB于点D,则阴影部分的面积为.

15.如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=15,点E是AD边上一点，连接BE,把4ABE沿BE折叠,

使点A落在点N处，点F是CD边上一点，连接EF,把ADEF沿EF折叠，使点D落在直线

EA'上的点D'处，当点D，落在BC边上时，AE的长为.

三、解答题（本题共8小题，共75分.）

16.先化简，再求值：（士J_).——__-其中实数a,b满意（a-2）2+|b-

a+ba-ba2-2ab+b2

2a|=0.

17.每年的3月22日为联合国确定的“世界水日”，某社区为了宣扬节约用水，从本社区

1000户家庭中随机抽取部分家庭，调查他们每月的用水量，并将调查的结果绘制成如下两

幅尚不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你依据统计图解答下列问

题：

（1）此次抽样调查的样本容量是;

（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“6吨--9吨”部分的圆心角的度数；

（3）假如自来水公司将基本月用水量定为每户每月12吨，不超过基本月用水量的部共享受

基本价格，超出基本月用水量的部分实行加价收费，那么该社会用户中约有多少户家庭能够

全部享受基本价格？

用户用水量频数分布直方图用户用水量扇形统计图

18.如图，AABC是半径为2的。。的内接三角形，连接OA、0B,点D、E、F、G分别是CA、

OA、OB、CB的中点.

(1)试推断四边形DEFG的形态，并说明理由；

(2)填空：

①若AB=3,当CA=CB时，四边形DEFG的面积是；

②若AB=2,当NCAB的度数为时，四边形DEFG是正方形.

19.某社会实践活动小组实地测量两岸相互平行的一段河的宽度，在河的北岸边点A处，测

得河的南岸边点B在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达C点，测得点B在点C的南

偏东33°方向，求出这段河的宽度(结果精确到1米，参考数据sin33°^0.54,cos33°

^0.84,tan33°心0.65,亚-1.41)

20.如图，直线y=-x+b与反比例函数y=K的图形交于A(a,4)和B(4,1)两点.

X

(1)求b,k的值;

(2)在第一象限内，当一次函数y=-x+b的值大于反比例函数y=K的值时，干脆写出自变

x

量X的取值范围；

(3)将直线y=-x+b向下平移m个单位，当直线与双曲线只有一个交点时，求m的值.

21.某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，物价部门规定其销售单价不低于进价,

不高于60元/千克，经市场调查发觉：销售单价定为60元/千克时，每日销售20千克；如

调整价格，每降价1元/千克，每日可多销售2千克.

(1)已知某天售出该化工原料40千克，则当天的销售单价为元/千克；

(2)该公司现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天90元，每天应支付其他费用

108元，当某天的销售价为46元/千克时，收支恰好平衡.

①求这种化工原料的进价；

②若公司每天的纯利润(收入-支出)全部用来偿还一笔10000元的借款，则至少需多少天

才能还清借款？

22.如图1,四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG,连接

(1)发觉

①线段DE、BG之间的数量关系是；

②直线DE、BG之间的位置关系是.

(2)探究

如图2,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，(1)中的结论是否仍旧成立？若成立，请给出

证明；若不成立，请说明理由.

(3)应用

如图3,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P,若AB=4,请

干脆写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值.

23.如图，以x=l为对称轴的抛物线y=ax，bx+c的图象与x轴交于点A,点B(-1,0),

与y轴交于点C(0,4),作直线AC.

(1)求抛物线解析式；

(2)点P在抛物线的对称轴上，且到直线AC和x轴的距离相等，设点P的纵坐标为m,求

m的值；

(3)点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线AC上，点Q为第一象限内抛物线上一点，

若以点C、M、N、Q为顶点的四边形是菱形，请干脆写出点Q的坐标.

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，下列各小题具有四个答案，其中只

有一个是正确的。）

1.-2的确定值是（）

A.2B.—C.-2D.--

22

【考点】17：确定值.

【分析】依据倒数定义求解即可.

【解答】解：-2的确定值是2.

故选:A.

2.将一根圆柱形的空心钢管随意放置，它的主视图不行能是（）

A.八B.jjC.D.[.........

【考点】U1：简洁几何体的三视图.

【分析】依据三视图的确定方法，推断出钢管无论如何放置,三视图始终是下图中的其中一

个，即可.

【解答】解：：一根圆柱形的空心钢管随意放置，

不管钢管怎么放置，它的三视图始终是:[J

,主视图是它们中

一个，

，主视图不行能是

故选A,

3.下列各式变形中，正确的是（）

A.x2,x3=x6B.5^2=x

C.（X"--）-rx=x-ID.X--x+l=（X--—）2+—

X24

【考点】73：二次根式的性质与化简；46：同底数幕的乘法;4B：多项式乘多项式；6C：分

式的混合运算.

【分析】干脆利用二次根式的性质以及同底数基的乘法运算法则和分式的混合运算法则分别

化简求出答案.

【解答】解：A、x2-x3=x5,故此选项错误；

B、J£=|x1,正确；

C、(x2-l)+x=x-吃，故此选项错误；

xX

D、x2-x+l=(x-1)2+旦，故此选项错误;

24

故选：B.

4.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若Nl=48°，则N2的度数为

()

A.48°B.42°C.40°D.45°

【考点】JA：平行线的性质.

【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得/3的度数，然后求得N2的度数.

【解答】解：如图，I/1=48。，

.•.Z3=Z1=48°,

.•.Z2=90°-48°=42°.

故选：B.

一

5.函数丫=亚。中自变量x的取值范围是()

A.x》2B.x>2C.xW2D.xW2

【考点】E4：函数自变量的取值范围.

【分析】依据被开方数大于等于0列不等式求解即可.

【解答】解：由题意得，2x-420,

解得x\2.

故选A.

【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式

时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）

当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

6.在某校“我的中国梦”演讲竞赛中，有7名学生参与决赛，他们决赛的最终成果各不相

同，其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，他不仅要了解自己的成果，还要了解这7

名学生成果的（）

A.众数B.方差C.平均数D.中位数

【考点】W4：中位数.

【分析】由于其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，共有7名选手参与，故应依据中

位数的意义分析.

【解答】解：因为7名学生进入前3名确定是7名学生中最高成果的3名，

而且7个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后的共有3个数，

故只要知道自己的成果和中位数就可以知道是否进入前3名.

故选：D.

7.已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2,则另一个根为（）

A.5B.-1C.2D.-5

【考点】AB：根与系数的关系.

【分析】依据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2,可以设出另一个根，然后依据根与

系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决.

【解答】解：二•关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2,设另一个根为m,

3

-2+m=-y,

解得，m=-1,

故选B.

9

8.如图，在口ABCD中，E为AD的三等分点，AE=yAD,连接BE交AC于点F,AC=12,则AF

为（)

A.4B.4.8C.5.2D.6

【考点】S4：平行线分线段成比例；L5：平行四边形的性质.

【分析】依据平行四边形的对边相等可得AD=BC,然后求出AE=3AD=^BC,再依据平行线分

33

线段成比例定理求出AF、FC的比，然后求解即可.

【解答】解：在口ABCD中，AD=BC,AD/7BC,

TE为AD的三等分点,

22

.\AE=—AD=—BC,

33

：AD〃BC,

.AF_AE_2

VAC=12,

9

；.AF==-X12=4.8.

2+3

故选B.

9.星期天，小明从家动身，以15千米/小时的速度骑车去郊游，到达目的地休息一段时间

后原路返回，已知小明行驶的路程s（千米）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示，

则小明返程的速度为（）

A.15千米/小时B.10千米/小时C.6千米/小时D.无法确定

【考点】E6：函数的图象.

【分析】由来回路程相同结合速度=路程+时间，即可求出小明返程的速度，此题得解.

【解答】W：15X14-（3.5-2）=10（千米/小时），

.,•小明返程的速度为10千米/小时.

故选B.

10.如图，AB是半圆0的直径，C是半圆。上一点，CD是。。的切线，OD/7BC,0D与半圆0

交于点E,则下列结论中不确定正确的是（）

A.AC±BCB.BE平分/ABCC.BE〃CDD.ZD=ZA

【考点】MC：切线的性质.

【分析】连接OC.依据圆的直径的性质、切线的性质、平行线的性质可以判定A、B、D正

确.

【解答】解：连接OC.

：AB是直径，

AZACB=90",

AACXBC,故A正确，

V0D/7BC,

.•.ZEBC=ZBE0,

V0E=0B,

.•.Z0EB=Z0BE,

.•.ZEBO=ZEBC,

；.BE平分NABC,故B正确,

VDC是切线,

/.DC1CO,

.•.ZDC0=90",

.•.ZD+ZD0C=90°,

VBCXAC,0D/7BC,

AOD±AC,

VOA=OC,

・•・NAOD=NDOC,

AZA+ZA0D=90°,

.\ZA=ZD,故D正确.

无法推断C正确，

故选c.

二、填空题（本小题共5小题，每小题3分，共15分）

11.计算：2--需

【考点】2C：实数的运算.

【分析】原式利用负整数指数塞法则，以及立方根定义计算即可得到结果.

【解答】解：原式=二-告=-±，

故答案为：-士

4

12.写出一个二次函数解析式，使它的图象的顶点在y轴上：y=x?（答案不唯一）.

【考点】H3：二次函数的性质.

【分析】依据二次函数的图象的顶点在y轴上，则b=0,进而得出答案.

【解答】解：由题意可得：y=x2（答案不唯一）.

故答案为：y=x2（答案不唯一）.

13.课外活动中，九（1）班打算把全班男生随机分成两个小组进行拔河竞赛，则甲、乙、

丙三位同学恰好被分在同一小组的概率为

【考点】X6：列表法与树状图法.

【分析】依据题意画出树状图然后依据树状图分析全部等可能的出现结果，依据概率公式即

可求出该事务的概率.

【解答】解：设两个小组分别为A,B,

如图所示，共有8种等可能的结果:AAA,AAB,ABA,ABB,BAA,BAB,BBA,BBB；

..•甲、乙、丙三位同学被分在同一小组的有6种状况，

•.•21，

84

故答案为：

4

开始

14.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,以点A为圆心，AC的长为半径作翁交

AB于点E,以点B为圆心,BC的长为半径作而交AB于点D,则阴影部分的面积为口-2.

【考点】M0：扇形面积的计算；KW：等腰直角三角形.

【分析】空白处的面积等于AABC的面积减去扇形BCD的面积的2倍，阴影部分的面积等于

△ABC的面积减去空白处的面积即可得出答案.

【解答】解：•••/ACB=90°,AC=BC=2,

=

SAABC="^X2X22,

2

2

>Q扇形BCD_--4-5-7-T--•-2--一_二17”，

3602

S空白=2X（2——兀）=4-兀,

S阴影=SZXABC-S空白=2-4+兀=兀-2,

故答案为兀-2.

15.如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=15,点E是AD边上一点，连接BE,把4ABE沿BE折叠,

使点A落在点i处，点F是CD边上一点，连接EF,把ADEF沿EF折叠，使点D落在直线

EA'上的点D，处，当点D，落在BC边上时，AE的长为1‘十巡或］W人.

【考点】PB：翻折变换(折叠问题)；LB：矩形的性质.

【分析】设AE=A'E=x,则DE=ED'=15-x,只要证明BD'=ED'=15-x,在RtZ^BA'D'中,

依据BD'2=BA''A，W2,列出方程即可解决问题.

【解答】解：；把4ABE沿BE折叠，使点A落在点A'处，

.\AE=AE,,AB=BE,=8,ZA=ZBE,E=90°,

:把ADEF沿EF折叠，使点D落在直线EA，上的点D，处，

.\DE=D,E,DF=D/F,NED'F=ZD=90°,

设AE=A，E=x,则DE=ED'=15-x,

VAD/7BC,

.•.Z1=ZEBC,

VZ1=Z2,

.•.Z2=ZEBDZ,

.\BD,=ED'=15-x,

：.A'D'=15-2x,

在RtzXBA'D'中，

VBD,2=BK'2+AZW2,

.\82+(15-2x)J(15-x)2,

解得x=竺王返■,

3

...AE=1I兔羽或竺二叵.

三、解答题（本题共8小题，共75分.）

16.先化简，再求值：（士2

-----)・-9其中实数a,b满意（a-2）+|b-

a+ba~ba一2ab+b

2a|=0.

【考点】6D：分式的化简求值；16：非负数的性质：确定值；1F：非负数的性质：偶次方.

【分析】依据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，依据（a-2）2+|b-2a|=0可以求

得a、b的值，然后代入化简后的式子即可解答本题.

【解答】解：（义-_±_)+————

a+ba-ba2-2ab+b2

:a-b-(a+b)(a-b).

(a+b)(a-b)b

2

:a-b-a-b(a-b)

(a+b)(a-b)b

:-2b.(a~~b)2

(a+b)(a-b)b

_~2a+2b

a+b

(a-2)2+|b-2a|=0,

0得信

-2X2+2X4

原式:£2

2+4

17.每年的3月22日为联合国确定的“世界水日”，某社区为了宣扬节约用水，从本社区

1000户家庭中随机抽取部分家庭，调查他们每月的用水量，并将调查的结果绘制成如下两

幅尚不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你依据统计图解答下列问

题：

（1）此次抽样调查的样本容量是100

(2)补全频数分布直方图，求扇形图中“6吨--9吨”部分的圆心角的度数；

(3)假如自来水公司将基本月用水量定为每户每月12吨，不超过基本月用水量的部共享受

基本价格，超出基本月用水量的部分实行加价收费，那么该社会用户中约有多少户家庭能够

全部享受基本价格？

用户用水量辍t分布直方图用户用水量扇形统计圉

【考点】V8：频数(率)分布直方图；V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计

总体；VB：扇形统计图.

【分析】(1)由3〜6吨的户数及其百分比可得样本容量；

(2)总户数减去其他分组的户数之和求得6〜9吨的户数，即可补全直方图，用6〜9吨的

户数所占比例乘以360度可得圆心角度数；

(3)总户数乘以样本中3〜12吨的户数所占比例即可得.

【解答】解：(1)此次抽样调查的样本容量是10・10%=100,

故答案为：100;

(2)6〜9吨的户数为100-(10+38+24+8)=20(户),

补全频数分布直方图如下：

用户用水量愚分布直方图

扇形图中“6吨--9吨”部分的圆心角的度数为360°X筌=72°；

100

(3)1000XWV20=680,

100

答：该社区约有680户家庭的用水全部享受基本价格.

18.如图，AABC是半径为2的。。的内接三角形，连接OA、OB,点D、E、F、G分别是CA、

OA、OB、CB的中点.

(1)试推断四边形DEFG的形态，并说明理由；

(2)填空：

①若AB=3,当CA=CB时，四边形DEFG的面积是，；

②若AB=2,当/CAB的度数为75°或15°时,四边形DEFG是正方形.

【考点】MA：三角形的外接圆与外心；LF：正方形的判定；LN：中点四边形.

【分析】(1)只要证明DG=EF,DG〃EF即可解决问题；

(2)①只要证明四边形DEFG是矩形即可解决问题；

②分点C在优弧AB或劣弧AB上两种切线探讨即可；

【解答】解：(1)四边形DEFG是平行四边形.

:点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点，

；.DG〃AB,DG=—AB,EF〃AB,EF=—AB,

22

；.DG〃EF,DG=EF,

四边形DEFG是平行四边形；

(2)①连接OC.

VCA=CB,

•——

••AC=BO

ADG10C,

VAD=DC,AE=EO,

113

，DE〃OC,DE=—OC=1,同理EF=±AB=±,

222

ADEXDG,

四边形DEFG是矩形，

四边形DEFG的面积=4

2

故答案为日；

②当C是优弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时NCAB=75°,

当C是劣弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时/CAB=15°,

故答案为75°或15°.

19.某社会实践活动小组实地测量两岸相互平行的一段河的宽度，在河的北岸边点A处，测

得河的南岸边点B在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达C点，测得点B在点C的南

偏东33°方向，求出这段河的宽度(结果精确到1米，参考数据sin33°^0.54,cos33°

心0.84,tan33°心0.65,亚Q1.41)

【考点】TB：解直角三角形的应用-方向角问题.

【分析】记河南岸为BE,延长CA交BE于点D,则CD±BE,设AD=x米，则BD=x米，CD=(20+x)

米，在Rt^CDB中利用三角函数即可列方程求解.

【解答】解：如图，记河南岸为BE,延长CA交BE于点D,则CDLBE.

由题意知，ZDAB=45°，ZDCB=33°,

设AD=x米，则BD=x米，CD=(20+x)米,

在RSCDB中，—=tanZDCB,

CD

仁0.65,

20+x

解得x心37.

答：这段河的宽约为37米.

20.如图，直线y=-x+b与反比例函数y』■的图形交于A(a,4)和B(4,1)两点.

x

(1)求b,k的值；

(2)在第一象限内，当一次函数y=-x+b的值大于反比例函数y=K的值时，干脆写出自变

x

量X的取值范围；

(3)将直线y=-x+b向下平移m个单位，当直线与双曲线只有一个交点时，求m的值.

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；A3：一元二次方程的解；F9：一次函数图

象与几何变换.

【分析】(1)依据直线丫=-x+b与反比例函数y=k的图形交于A(a,4)和B(4,1)两点,

X

即可得到b,k的值;

(2)运用数形结合思想，依据图象中，直线与双曲线的上下位置关系，即可得到自变量x

的取值范围；

(3)将直线y=-x+5向下平移m个单位后解析式为y=-x+5-m,依据-x+5-m__4可得

△=(m-5)2-16,当直线与双曲线只有一个交点时，依据△=(),可得m的值.

【解答】解：(1):直线y=-x+b过点B(4,1),

：.l=-4+b,

解得b=5；

•.•反比例函数y=K的图象过点B(4,1),

X

k=4；

(2)由图可得，在第一象限内，当一次函数y=-x+b的值大于反比例函数y=K的值时，1

X

<x<4；

(3)将直线y=-x+5向下平移m个单位后解析式为y=-x+5-m,

:直线y=-x+5-m与双曲线y=W•只有一个交点，

X

令-x+5-m=—,整理得x2+(m-5)x+4=0,

△=(m-5)2-16=0,

解得m=9或1.

21.某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，物价部门规定其销售单价不低于进价,

不高于60元/千克，经市场调查发觉：销售单价定为60元/千克时，每日销售20千克；如

调整价格，每降价1元/千克，每日可多销售2千克.

(1)已知某天售出该化工原料40千克，则当天的销售单价为50元/千克;

(2)该公司现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天90元，每天应支付其他费用

108元，当某天的销售价为46元/千克时，收支恰好平衡.

①求这种化工原料的进价；

②若公司每天的纯利润(收入-支出)全部用来偿还一笔10000元的借款，则至少需多少天

才能还清借款？

【考点】HE：二次函数的应用.

【分析】(1)依据销售单价定为60元/千克时，每日销售20千克；如调整价格，每降价1

元/千克，每日可多销售2千克，可以求得某天售出该化工原料40千克，当天的销售单价；

(2)①依据该公司现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天90元，每天应支付其他

费用108元，当某天的销售价为46元/千克时，收支恰好平衡，可以列出相应的方程，从而

可以求得原料的进价；

②依据题意可以求得每天的最大利润，从而可以求得少需多少天才能还清借款.

【解答】解：(1)设某天售出该化工原料40千克时的销售单价为x元/千克，

(60-x)X2+20=40,

解得，x=50,

故答案为：50；

(2)①设这种化工原料的进价为a元/千克，

当销售价为46元/千克时，当天的销量为：20+(60-46)X2=48(千克)，

则(46-a)X48=108+90X2,

解得,a=40,

即这种化工原料的进价为40元/千克；

②设公司某天的销售单价为x元/千克，每天的收入为y元，

贝Uy=(x-40)[20+2(60-x)]=-2(x-55)2+450,

.,.当x=55时，公司每天的收入最多，最多收入450元，

设公司须要t天还清借款，

则t>10000,

解得，61-11;

81

・「t为整数，

t=62.

即公司至少需62天才能还清借款.

22.如图1,四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG,连接

(1)发觉

①线段DE、BG之间的数量关系是DE=BG；

②直线DE、BG之间的位置关系是DELBG.

(2)探究

如图2,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，(1)中的结论是否仍旧成立？若成立，请给出

证明；若不成立，请说明理由.

(3)应用

如图3,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P,若AB=4,请

干脆写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值.

【考点】L0：四边形综合题.

【分析】(1)证明△AEDgAAGB可得出两个结论；

(2)①依据正方形的性质得出AE=AG,AD=AB,ZEAG=ZDAB=90°,求出/EAD=/GAB,依

据SAS推出4EADgZ\GAB即可；

②依据全等三角形的性质得出NGBA=NEDA,求出NDHB=90°即可；

(3)先确定点P到CD所在直线距离的最大值和最小值的位置，再依据图形求解.

【解答】解：(1)发觉

①线段DE、BG之间的数量关系是：DE=BG,

理由是：如图1,.四边形ABCD是正方形，

；.AB=AD,ZBDA=90°,

.•.ZBAG=ZBAD=90°,

:四边形AEFG是正方形，

.\AE=AG,

/.△AED^AAGB,

；.DE=BG；

②直线DE、BG之间的位置关系是：DE±BG,

理由是：如图2,延长DE交BG于Q,

由ZkAED0AAGB得：ZABG=ZADE,

VZAED+ZADE=90°,ZAED=ZBEQ,

.•.ZBEQ+ZABG=90°,

.•.ZBQE=90",

.\DEXBG；

故答案为：①DE=BG；②DELBG；

(2)探究

(1)中的结论仍旧成立，理由是：

①如图3,:四边形AEFG和四边形ABCD是正方形，

.\AE=AG,AD=AB,ZEAG=ZDAB=90°,

.•.ZEAD=ZGAB=90°+ZEAB,

在AEAD和AGAB中，

'AE=AG

-NEAD=NGAB，

AD=AB

/.△EAD^AGAB(SAS),

；.ED=GB；

②ED_LGB,

理由是：VAEAD^AGAB,

ZGBA=ZEDA,

VZAMD+ZADM=90o,ZBMH=ZAMD,

.•.ZBMH+ZGBA=90°,

.•.ZDHB=180°-90°=90°,

AEDXGB；

(3)应用

将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，即点E和G在以A为圆心，以2为半径的圆上,

过P作PH_LCD于H,

①当P与F重合时，此时PH最小，如图4,

在RtZkAED中，AD=4,AE=2,

.,.ZADE=30°,DE=匕^2^二2«,

.'.DF=DE-EF=2晶-2,

VAD±CD,PH±CD,

AADPH,

AZDPH=ZADE=30o,

oPHV3

cos3Q0n=——=--,

DF2

.•.PH二号(273-2)=3-遮；

®VDE±BG,ZBAD=90°,

...以BD的中点。为圆心，以BD为直径作圆，P、A在圆上，

当P在第的中点时，如图5,此时PH的值最大，

：AB=AD=4,

由勾股定理得：BD=4后，

则半径0B=0P=20

；.PH=2+2后.

综上所述，点P到CD所在直线距离的最大值是2+2亚，最小值是3-近.

B

23.如图，以x=l为对称轴的抛物线y=ax?+bx+c的图象与x轴交于点A,点B(-1,0),

与y轴交于点C(0,4),作直线AC.

(1)求抛物线解析式；

(2)点P在抛物线的对称轴上，且到直线AC和x轴的距离相等，设点P的纵坐标为m,求

m的值；

(3)点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线AC上，点Q为第一象限内抛物线上一点，

若以点C、M、N、Q为顶点的四边形是菱形，请干脆写出点Q的坐标.

【分析】(1)先利用抛物线的对称性得到A(3,0),则可设交点式y=a(x+1)(x-3),然

后把C点坐标代入求出a即可；

(2)先利用待定系数法其出直线AC的解析式为y=-^x+4；令对称轴与直线AC交于点D,

与X轴交于点E,作PHLAD于H,如图1,易得D(1,§),利用勾股定理计算出AD=1g,

33

设P(1,m),贝i」PD=£-m,PH=PE=|m|,证明△DPHs^DAE,利用相像比得至卜男=卫而

OXU