燕尾模型（解析版）-2025年初中数学几何模型

“燕尾”型

模型展现

A

图示

BAC

特点凹四边形AB。。

1.ABDC=ZA+ZB+ZC;

结论

2.AB+AOBD+CD

。怎么用

1、找模型

遇到凹四边形的角度问题,考虑用“燕尾”型基础模型1

2、用模型

“燕尾”型通常是把凹四边形的角转换在两个三角形内，根据三角形内外角关系解决角度问题

结论乙4+ZB+NC

证法1：如图①，连接AD并延长，

则N1=/8+N3,N2=/C+/4,

A

/.ABDC=Z1+Z2=ZB+Z3+ZC+Z4,

/.ABDC=ZA+ZB+ZC.

图①

证法2：如图②,延长交/。于点区

•/ABEC是4ABE的外角，

/.NBEC=ZA+Z.B.

又•：4BDC是ACDE的外角，

ZBDC=ZBEC+/C=//+ZB+ZC.

结论2MB+40ED+CD

证明：如图②，延长8。交AC于点E,则在△ABE中,AB+即AB+4E

>BD+DE,在ACDE中,DE+CEACD.

AC=AE+CE,

：.AB+AC=AB+AE+CE>BD+DE+CE>BD+CD.

思考延伸：同学们可尝试连接进行结论的证明.提示：使用三角形内角和定理来证明!

。怎么用

1、找模型

遇到类似“共边”的两个三角形的面积或线段比值相关问题,考虑用“燕尾”型基础模型2

2、用模型

一般依据三角形面积公式,建立面积与线段之间的关系

结论V.S/\AOB-.S^AOC=BD-.CD

证明：如图，分别过点作8区CG垂直于AD交于点",G,在中，：SAOB=^AO-BH,

SAOC=-CGfSAOB：SAOC=(yAO-BJf):^AO-CG)=BH:CG,在丛BHD和丛CGD中,

/BHD=ACGD=9U°,NBDH=4CDG,

:ABHD〜/\CGD,

.BH=BD

'CG-GD,

^AOB'-^AOC=BD'.CD.

满分技法:燕尾相邻的两个三角形同底不等高，常根据三角形的面积公式“2x底X高”可推导“同底不

_____________眇

等高”的三角形的面积比即为对应高的比

模型典例

1.将一副直角三角板按如图所示放置，使两直角顶点重合，则直角为公共角/I的度数为

()

'30°

例1题图

A.75,B.105°C.135°D.165°

思路点拨:两个三角板斜边相交构成凹四边形,且已知对应角度数，结合三角

形内外角关系即可求解。

【答案】。

【解析】如解图，=Z1=ZCOB=ZC+ZB+ZZ)

=30°+45°+90°=165°.

2.如图，在△ABC中,。㈤尸分别是48,BC,AC上的点,45,班交于点O,且等=3,髭=高,

BC4'AC3

例2题图

通过''燕尾"模型基础模型2将线段之比转化为对应面积之比，再由面积之比转化为对应线段之比即可。

【答案】B

【解析】根据“燕尾”型结论,SA4OB：SA℃=BE;CE,•：%=与，：.BE：CE=3:1：.SA℃=AOB，同

理可得:S4AOB：S4BOC=AF-.CF--差=|■，,AF：CF=2:1,：.SBoC=ySAOB-vSAOC-.SBOC=

AD:BD=~^SAOB：?SAOB=2:3,・\

针对训练

2.模型构造如图是一块不规则的纸片，已知AABC=ZDEF=80°,则ZA+ZC+NO+N尸的度数为

第1题图

A.80,B.1601C.240°D.360°

【答案】B

【解析】如解图，连接AD,结合“燕尾”型得/斤+ADAF+AADE=ADEF,ZBAD+ZADC+ZC=

AABC,/.ZF+ADAF+AADE+ABAD+ZADC+Z.C=ADEF+ZABC=80°+80°=160°,,

即ZBAF+Z.C+ZCDE+Z.F=160°.

第1题解图

3.如图，已知点D,E分别在△ABC的边AB,力。上,将乙4沿DE折叠，使点A落在点尸的位置，已

知/力=50°,4=130°,则N2的度数为（）

第2题图

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】。

【解析】由折叠的性质得:/人=/斤=50°（折叠的性质，这一步是解题的关键哦），:NAEF=180°-Z1=

180°-130°=50°,AZ2=ZA+AF+ZAEF=50°+50°+50°=150°

4.如图，乙4=45°,NBDC=135°,乙=《NABD,NACE=《NACD,则Z.BEC的度数是

OO

第3题图

A.30°B.45°C.75°D.90°

【答案】。

【解析】；ZA=45°,ZHDC=135°,ZBOC=ZA+ZABD+ZACD,：.AABD+NACD=4BDC—

ZA=135°-45°=90°.ZABE=^-ZABD,AACE=^-AACD,：.AABE+AACE=^-ZABD+

ooo

^-AACD=^-^ABD+AACD)=x90°=30°,:"BEC=NA+NABE+NACE=45°+30°=

ooo

75°

5.如图,在矩形ABC©中，点E,F分别是边AB,BC的中点,连接交于点G,若矩形ABCD的面

积为3,则四边形AGCD的面积为

第4题图

【答案】2

【解析】如解图，连接BG,AC,・・・E,F分别是的中点，・・・4&8E=1：1,CF:BF=1:1,.・.S/\AGC:

SABGC=AE：BE—1:1,S4AGC:S24so—CF:BF=1:1,SAGC—SBGC—S245G,SABC—/s棱锥—

1QQ1111

-5"x3=7，•e•S=S=S.G=~5-x定=7，S四边形4GC®=S^BC+SBGC="5-+=••S四边

//AGCBGCZD///

形AGCD=S矩形ABCD—S四边形AGCB=3—1=2.

第4题解图

6.如图，在△43。中，点。,E分别在8C,AC边上,AD与BE交于点F,若CD=3BD,EC=4AE,四

边形CDFE的面积是10,则△ABC的面积为

A

【答案】*

【解析】如解图，连接C尸，：CD=3BD,EC=4AE,；.BD-.CD=1:3,AE：EC=1:4,：.SABF:SACF=

BD：CD=1:3,S/\ABF：S/XBCF=AE:EC=1:4,A1:4:3,设S4CEF=a,则S的

=~a,设S=b,则SAB。尸=~b,'：S-.S=3-A,：.(a+^a):(b+^-b)=3:4,A导=§.又：a

4CDF3AFCBCFv47v37b5

，嘤.

+b=10,a=10XESACF=a+*=*,;.sABC=^-x^=

第5题解图

6.（分创新题型-阅读理解试题）模型规律定义:在四边形中，仅有一个角大

于180°,但小于360°,这样的四边形叫做凹四边形（如图①）.因为凹四边形ABOC形似燕尾，其四角具

有“NBOC=乙4+乙8+NC”这个规律,所以我们把这个模型叫做“燕尾”模型.

模型应用

（1）如图②，求乙4+/8+/。+/。+/右+/斤的度数；（用含a的代数式表示）

拓展应用

（2）如图③，在四边形ABCD中,BC=CD,4BCD=2NBAD.（O是四边形ABCD内一点，且04=

OB=OD.求证:四边形OBCD是菱形.

【解析】(1)解:在凹四边形ABOC中，乙4+ZB+ZC=ABOC=NDOE=a,

在凹四边形DOEF中，/O+/E+N尸=NDOE=a,

月

AA+ZB+AC+ZD+AE+AF=2a-,八、

(2)证明：如解图，连接OC,OA=OB=O。，B<^^D

：.NOAB=AOBA,AOAD=AODA,

第6题解图

________________F

/.ABOD=ABAD+AABO+AADO=2ABAD.

/BCD=2/BAD,

：.ABCD=/BOD.

•：BC=CD,OA=OB=OD,OC是公共边，

AOBC^△ODC(SSS),

/.ZBOC=NDOCZBCO=NDCO.

ZBOD=ABOC+ZDOC,/BCD=ABCO+ADCO,

：.ABOC=-ABOD,ZBCO=1/BCD.

又,：4BOD=LBCD,

：.^BOC=ABCO,

:.BO=BC.

叉，：OB=OD,BC=CD,

：.OB=BC=CD=DO,

：.四边形OBCD是菱形

7.如图，将含30°角的直角三角板ABC的直角乙4放入△DEF的内部，点瓦厂恰好为ABAC的中点,

若ND=45°,ADFE=56°,则NDEA的度数为()

A.11°B.15°C.19°D.26°

【答案】。

【解析】找模型：是否存在凹四边形：四边形DEAF1.抽离模型：如解图，：E,F分别是教辅资料

的中点，.•.EF为/\ABC的中位线,EFV/8C（三角形的中位线平行于第三边），NAVE=ZC=30°.

ADFE=ZDFA+ZAFE=56°,/.ADFA=ZDFE一一ZAFE=56°-30=26°..用模型：根据“燕

尾，，模型可得:/A=ZDEA+ND+ADFA,：.ADEA=ZA-ZB-ADFA=90°-45°-26°=19°

8.如图，乙4B。,乙4CD的10等分线分别相交于点GiG,……,G%若NB£）C=125°,乙4=6等则NBG

6c的度数为

【答案】99°

【解析】•.•/8。。=/48。+/人00+/人（“燕尾”模型），同理可得./BDC=NBGeC+★NABD+

-^AACD,：.NBG$C=ABDC--^-（ZABL>+ZACD）,/.ZBG6C=ABDC-^（ZBDC-ZBAC）=

125°-A*（125。-60。）=125°-26°=99°.

9.如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C,且乙4,/8,/E保持不变.为了舒适，需调

25°\F

reo/V60°

度.一eXg—

整ZD的大小，使AEFD=110°,则乙D应（填“调大”或“调小”）

【答案】调小,10

【解析】在△ABC中，/ACB=180°—55°—60°=65°,/.2ECD=AACB=65°.vZDFE=ZD+ZE

+/ECD（“燕尾”模型），ZD=ADFE-（/E+NECD）=110°-（30°+65°）=15°./.25°-15°=10°.

10.模型介绍定义:在四边形中，仅有一个角大于180°,但小于360。,这样的四边形叫做凹四边形（如图①）.

因为凹四边形ABOC形似燕尾，其四角具有“/8OC=/A+/B+/C”这个规律，所以我们把这个模

型叫做“燕尾”模型.

模型应用

（1）如图②，求/4+/B+/C+/O+/E+NF的度数；（用含a的代数式表示）

（2）如图③,若ABAC的平分线与NBOC的平分线交于点求证：2/。=/C—ZB.

力

图②

A

图③

【解析】（1）解:在凹四边形ABOC中，乙4+/8+NC=NBOC=ADOE=a,

在凹四边形DOEF中，/O+/E+/斤=ZDOE=a,

：.ZA+ZB+ZC+ZL>+Z£；+ZF=2«;

（2）证明：由题意可知,OD平分/8OG4D平分/历1C,

ABOD=g/BOCZBAD=yZBAC.

在凹四边形ABOD中,NBOD=NB+NO+/历LD（“燕尾''模型），

J/BOC=ZB+ZD+-ABAC,

・・.ABOC=2ZB+2Zn+ABAC.

又・・•在凹四边形ABOC中,NBOC=ZB+ZC+NA4C（“燕尾”模型），

・・.ZB+ZC+ABAC=2ZB+2ZZ?+ABAC,

・・.2/。=/。一/8.

_______________________课后练习_________________________

11.凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题:

酶酸

（1）用图①证明：ZBDC=ZA+AABD+ZACD；

⑵在图①中，若BE平分乙4BD,CE平分ZACD,BE与CE交于E点，运用⑴的结论写出乙BDC、

ABEC和ABAC之间的关系,并说明理由；

⑶如图②，若=/2=g/ACD,试探索ABDC,"EC和/A4c三个角之间的关系为

OO

（直接写出结果即可）.

【答案】（1）见解析

⑵NBDC+ZBAC=2NBEC,理由见解析

⑶2NBDC+ABAC=3NBEC

【分析】本题考查三角形的内南和定理及角平分线的定义，解答的关键是熟知三角形的内角和等于180°

是解答此题的关键.

⑴根据三角形内角和定理得AABC+AACB+乙4=180°,ADBC+/DCB+180°,即AABD+

ADBC+ZDCB+AACD+ZA=180°,即可求得/A+ZABD+ZACD=180°-（180°一/BDC）=

/80C,则容易得到ABDC=//+AABD+AACD;

⑵用题中给出的结论表示出2BDC与NBEC,再把两式相减即可得出结论；

（3）利用题中给出的结论解答即可.

【详解】（1）证明：如图，连接BC,

在ADBC中，：NDBC+NDCB+ZL>=180°,

/.ADBC+ADCB=180°-ABDC-,

在4ABC中，

•••NABC+AACB+ZA=180°,

即ZABD+ADBC+ADCB+AACD+ZA=180°,

而ADBC+2008=180°-ABDC,

/.//+AABD+AACD=180°-(180°一/BDC)=4BDC,

_______0

即ZBDC=ZA+NABD+ZACD.

（2）NBDC+NBAC=2/BEC,理由如下：

由题意得，ABDC=/.BEC+Z1+Z2@,

ABEC=ABAC+NABE+AACE②，

•；BE平分NABD,CE平分4ACD,

：.AABE=Z1,Z.ACE=Z2,

①一②得，ABDC-ABEC=ZBEC-ABAC,

：.ABDC+ABAC=24BEC;

（3）2/BDC+Za4C=3/BEC,理由：

•••Z1=^-AABD,Z2=-ZACD,

oo

AABE=^-AABD,4ACE=*ACD,

oo

•••NBEC=ZBAC+NABE+NACE=ABAC+--AABD+^AACD®,

oo

ABDC=ABAC+/ABD+AACD②,

②+①得，

ABDC+ABEC=2ABAC+AABD+AACD,

oo

3ABDC+3ABEC=6ABAC+5AABD+5AACD,

：.3ABDC+3NBEC=ABAC+5{ABAC+AABD+ZACD）,

：.3ABDC+3ABEC=ABAC+5ABDC,

：.2ZBDC+/.BAC=3/BEC.

故答案为：2/BDC+ABAC=3NBEC.

12.（2023・重庆•八年级专题练习）请阅读下列材料,并完成相应的任务：

有趣的“飞镖图”

如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”.当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹

四边形.那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就

是一个角“凹”进去的四边形，其性质有:凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和.

/_________

（即如图1,ZAr）B=ZA+ZB+ZC）理由如下：

方法一:如图2,连接AB,则在△ABC中，/。+/。48+/（3©4=180°,即/1+/2+/3+/4+/。

=180°,又•.•在△AB。中，Nl+N2+/ADB=180°,NADB=/3+/4+NC,BPAADB=ACAD

+ZCBD+AC.

方法二:如图3,连接CD并延长至F,vZ1和/3分别是△ACD和ABCD的一个外角，........

大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论,你有自己的方法吗？

任务：

⑴填空:“方法一”主要依据的一个数学定理是；

（2）探索:根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；

⑶应用：如图4,AE是ACAD的平分线，是ACBD的平分线，AE与BF交于G,若ZADB=

150°,乙4GB=110°,请你直接写出ZC的大小.

【答案】（1）三南形内角和定理（或三角形的内角和等于180°）;（2）见解析；（3）70°

【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可求解；

（2）根据三角形外南的性质可得Nl=N2+乙4,N3=N4+乙8,从而得到Zl+Z3=Z2+ZA+Z4+

即可求证；（3）由（2）可得：乙ADB=4CAD+4CBD+4C,NAGB=NCAE+NCBF+乙C,从R

得到NCAE+NCB尸=110°—/。，NCAD+NCBD=150°—NC,再由AE是NCAD的平分线，BF

是NCBD的平分线，可得150°—NC=2（110°—/C）,即可求解.

【详解】⑴解:三角形内角和定理（或三角形的内角和等于180°）

⑵证明：连接CD并延长至F,

•：Z1和22分别是△ACD和ABCD的一个外角，/.Z1=Z2+ZA,Z3=Z4+ZB,

Z1+Z3=Z2+ZA+Z4+ZB,即AADB=AA+ZB+Z.ACB;

（3）解：由（2）得：AADB=ACAD+ACBD+ZC,AAGB=NCAE+ZCBF+ZC,

________/

AADB=150°,NAGB=110°,A^CAD+^CBD+AC=150°,ZCAE+ZCBF+ZC=110°,

/.ZCAE+ACBF=110°-ZC,NCAD+NCBO=150°—NC,

•••AE是ACAD的平分线，口尸是ACBD的平分线,：.ACAD=2LCAE,NCBD=2NCBF,

/.ACAD+ACBD=2(ACAE+ACBF),：.150°-ZC=2(110°-ZC),解得：ZC=70°.

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角

形内南和定理，三角形的一个外南等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键.

13.(2023•湖北•八年级专题练习)在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果

ZA=52°,ZB=25°,/C=30°,/。=35°,NE=72°,那么/斤的度数是().

【答案】B

【分析】延长BE交CF的延长线于O,连接40,根据三角形内角和定理求出ABOC,再利用邻补南的性

质求出/DEO,再根据四边形的内角和求出ND斤O,根据邻补角的性质即可求出NDFC的度数.

【详解】延长BE交CF的延长线于O,连接AO,如图，

/CUB+/8+/AO_B=180°,/.Z.AOB=180°-AB-AOAB,

同理得ZAOC=180°-AOAC-ZC,•••AAOB+ZAOC+4BOC=360°,

ZBOC=360°-AAOB-ZAOC=360°-(180°-AB-AOAB)-(180°-ZOAC-ZC)

=ZB+ZC+4BAC=107°,

ABED=72°,/.ZDEO=180°—/BED=108°,

/.NDFO=360°-AD-NDEO-4EOF=360°-35°-108°-107°=110°,

/.ADFC=180°-ZDFO=180°-110°=70°,故选：B.

【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会

添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解.三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的

两个内角的和;邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：180°（n—2）.

14.（2023•江苏南京•七年级校联考期末）互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究.

小亮：已知，如图三角形ABC,点D是三角形ABC内一点,连接BD,CD,试探究ABDC与NA,N1,

N2之间的关系.

小明:可以用三角形内角和定理去解决.小丽:用外角的相关结论也能解决.

⑴请你在横线上补全小明的探究过程：

VZBL>C+ADBC+ZBCE>=180°,（）

/.ABDC=180°-ZDBC-ABCD,（等式性质）

ZA+Z1+Z2+4DBC+乙BCD=180°,

：.ZA+Z1+Z2=180°-Z.DBC-ABCD,

：.ZBOC=ZA+Z1+Z2.（）

（2）请你按照小丽的思路完成探究过程；（3）利用探究的结果，解决下列问题：

①如图①，在凹四边形4BCD中，ZBOC=135°,25°,求NA=；

②如图②，在凹四边形4BCD中，/4BD与乙4CD的角平分线交于点E,NA=60°,/8。。=140°,则

Z.E=；③如图③，AABD,//CD的十等分线相交于点、E、鸟、…、耳，若120°,

NBRC=64°,则乙4的度数为；

④如图④，ABAC,NBOC的角平分线交于点E,则ZB,NC与NE之间的数量关系是；

⑤如图⑤，ZABD,NBAC的角平分线交于点E,ZC=40°,140°,求NAE6的度数.

【答案】（1）三角形内角和180°;等量代换；（2）见解析；（3）①乙4=85°;②/E=100°;③NA=40°;④

/B—NC=2NE;⑤130°

【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可判断，根据等量代换的概念即可判断；

___________F

（2）想要利用外角的性质求解,就需要构造外角，因此延长交AC于E,然后根据外角的性质确定

NBEC=/A+N1,/_BDC=NBE；C+N2,即可判断乙BDC与ZA,Zl,N2之间的关系；

⑶①连接BC,然启根据⑴中结论，代人已知条件即可求解;②连接口。,然后根据⑴中结论，求得

AABD+//CD的和，进而得到ZDBC+NDCB的和，然后根据角平分线求得ZEBD+ZECD的和，

进而求得AEBC+AECB=80°,然后利用三角形内角和定理/E+AEBC+NECB=180°,即可求解；

③连接,首先求得ADBC+ADCB=180°-ABDC=60°,然后根据十等分线和三角形内角和的性质

得到NCB西+ZBCF,=180°-ABF3C=116°,然后得到AABD+ZACD的和，最后根据⑴中结论即可

求解；

④设BD与AE的交点为点O,首先利用根据外角的性质将ABOE用两种形式表示出来，然后得到

ZBAE+NABD=NE+/BDE,然后根据角平分线的性质，移项整理即可判断；

⑤根据（1）问结论，得到/R4C+/ABD的和，然后根据角平分线的性质得到/BAB+/4BE的和，然

后利用三角形内角和性质即可求解.

【详解】⑴：乙BDC+ADBC+NBCD=180°,（三角形内角和180°）

/.ZBDC=180°-ZBBC-/BCD,（等式性质）

ZA+Z1+Z2+ADBC+ABCD=180°,ZA+Z1+Z2=180°-ADBC-々BCD,

/.ZBOC=ZA+Z1+Z2.（等量代换）故答案为：三角形内角和180°;等量代换.

⑵如图，延长交47于E,

由三角形外角性质可知，NBEC=NA+N1,ZBDC=ZBEC+Z2,ZBDC=ZA+Z1+Z2.

⑶①如图①所示，连接BC,根据⑴中结论，得ZBDC=ZA+ZABD+ZACD,

ZA=ABDC-ZABD-ZACE>=135°-25°-25°=85°,二ZA=85°:

②如图②所示，连接BC,

根据⑴中结论，得/皿。=/4+/718。+/46".AABD+ZACD=ABDC-ZA=140°-60°=

80°,

•.•NASD与乙4c©的角平分线交于点E,ZEBD=^ZABD,ZECD=^ZACD,

：.AEBD+4ECD=yZABL>+yZACD=y(ZABL>+ZACE»)=40°,

vABDC=140°,ABDC+ZDBC+ZBCB=180°,

ADBC+ADCB=180°-ABDC=40°,ZEBC+AECB=80°,

AE+ZEBC+ZECB=180°,：.ZE=100°;

③如图③所示，连接8。,

图③，

根据(1)中结论,得ABDC=ZA+ZABD+ZACD,

ABDC=120°,ABDC+ADBC+ZDCB=180°,：.ZDBC+ZZ)CB=180°-ABDC=60°,

ZABD与AACD的十等分线交于点网，ADBFi=4/ABD,/DC网=-^-ZACD,

NDBR+NDCR=1/ARD+木/ACD=4(NAB0+NACO),

：.4CBR+4BC居=ZEBR+4ECR+ADBC+ADCB='(AABD+ZACD)+60°,

ACBFl+ZBCFJ+ABF3C=180°,/./CBR；+ZB尊=180°-ABF3C=116°,

/.ZABD+AACD=80°，,ZA=ABDC-(AABD+ZACD)=120°-80°=40°，,ZA=40°;

④如图④所示，设BD与AE的交点为点O,

•/AE平分/BAC,BD平分ABDC,：./BAE=yZBAC,ABDE=«BDC,

•：/BOE=/BAE+AABD,NBOE=ZE+Z.BDE,：.ABAE+ZABD=ZE+ABDE,

：.^ABAC+ZABD=NE+-^(ZBAC+ZABD+ZACD),

ZE=^-(ZBAC+ZABD+ZACD)--yZBAC-ZABD=J/ABD--yZA