2024年新高考数学一轮复习高考数学押题卷一（含详解）

高考数学押题卷（一）（难度：一般）

用时：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若集合/={印082》＜1},2=次卜怛1},则/U48=（）

{x|0<x<l)B.{x\-l<x<2]

x|-1<x<0或0<x<2}

2.复数Z满足i5.z=l+i，贝”在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、

最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩

台上底面边长约为32m,下底面边长约为34.5m,高约为9m,则该墩台的斜高约为（参考数据：71321«3635）（）

A.9.1mB.10.9mC.11.2mD.12.1m

4.已知抛物线E：-=8'的焦点为歹，点尸为百上一点，。为尸尸靠近点尸的三等分点，若|母1=1。，则。点的纵

坐标为（）

已知角。＜0,2兀），。终边上有一点（cos2-sin2,-cos2-sin2）,则夕=

6.以下四个命题：

①从匀速传递的产品生产流水线上，每30分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样;

②某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市30000高中男生的身高4（单位：c加）服从正态分

布N（172Q2）,且P（172<JV18O）=O.4,那么该市身高高于180c加的高中男生人数大约为3000；

③随机交量X服从二项分布2（100,0.4）,若随机变量y=2X+l,则y的数学期望为E（y）=81,方差为。（y）=48；

④分类变量x与丫，它们的随机变量K2的观测值为左，当左越小，“x与y有关系的把握程度越大其中正确的个数

是（）

A.1B.2C.3D.4

7.设函数/（x）=（ox-%e）（ax-lnx）（其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得/（尤）<0恒成立，则实数加

的取值范围是（）

B.—,+co

C.(e2,+oo)D.

8.在三棱锥NBC中，“3C为正三角形，点。在底面4BC投影为点反，点77在“BC内（不含边界），设二

面角。一/8-C、D-BC-A,。一NC—8的大小分别为二、〃、Y,DH=AB,则+—）+上的值为（）

tanatanptan/

n

A.1B.—C.V3D.无法确定

2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

2

9.曲线C的方程为V-匕一4=0,则（）

A.当4>0时，曲线。是焦距为44方的双曲线

B.当;1<-1时，曲线C是焦距为4二7的双曲线

C.曲线C不可能为圆

D.当-1<2<0时，曲线C是焦距为4疝元的椭圆

10.将函数g（x）=sin@x（0>O）的图象向右平移;个单位长度得到函数了=/（尤）的图象，了=/（尤）的图象与x轴交

069

点的横坐标构成一个公差为W的等差数列，则下列结论中正确的是（）

2

A.y=皆为奇函数

B.函数/（x）在，上单调递减

C.函数/'(X)在,5上的值域为［0,2］

D.若/(x)=；在xe(O,兀)上的解为贝!］cos(xi-%)=；

11.设数列｛“〃｝前〃项和为S〃，满足0-1)2=4(100-S〃)，〃£N*且％>0,。2〉0，则下列选项正确的是()

A.an=-2w+21

B.数列，为等差数列

C.当〃=11时与有最大值

D.设“=44+4+2，则当"=8或〃=10时数列｛，｝的前〃项和取最大值

12.已知函数/'⑺和/(x+1)都是偶函数，当xe［0,l］时，/(X)=-(X-1)2+2,则下列正确的结论是()

A.当尤«-2,0］时，/(x)=-(x+l)2+2

B.若函数8(力=〃力-2--1在区间(0,2)上有两个零点4、入2,则有玉+乙<2

C.函数〃3=竽在［4,6］上的最小值为、

D./(log34)</flog4^

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.绵阳中学食堂，以其花样繁多的饭菜种类和令人难忘的色香味使大批学子醉倒在它的餐盘之下，学子们不约而

同地将其命名为“远航大酒楼”.“远航大酒楼”共二层楼，5名高一新同学相约到食堂就餐，为看尽食堂所有美食种

类，他们打算分为三组去往不同的楼层.其中甲同学不去二楼，则一共有种不同的分配方式.

14.已知向量a=(Gsin姐,1庚=(cos3,cos24c)0>0,记函数/(x)=£%,若/(x)在-3*上单调递增.则

。的取值范围为.

15.若〃x)=；x3_g#+2x_i在(1,2)内存在极值，则实数”的取值范围是.

16.已知抛物线C:j/=4x,直线/过点且与C相交于A,B两点,若的平分线过点£0,1),则直线

I的斜率为.

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在“BC中，内角4,B,C所对边分别为a,b,c,a+6=l且满足.

⑴求/C;

⑵求边c的最小值.

请从下列条件：①cos2c=l+3cos(/+B)；②s=1年③/tan/tanB-tan/-tan8=C中选一个条

件补充在上面的横线上并解答问题.

18.如图，在多面体N8CDE尸中，四边形48CD与N8E尸均为直角梯形，AD〃BC,AF〃BE,DA上平面ABEF,

AB1AF,AD=AB=2BC=2BE=2.

D

(1)已知点G为/尸上一点，且/G=2,求证：2G与平面DCE不平行；

(2)已知直线3尸与平面DCE所成角的正弦值为g,求/尸的长及四棱锥D-ABEF的体积.

19.设公比为正数的等比数列｛%｝的前〃项和为S”，满足U=%=2.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵设4为数列｛叫在区间(0,〃"(皿eN*)中的项的个数，求数列也｝前100项的和.

22

20.已知椭圆C:\+£=l(a>b>0)的左、右焦点为耳，F2,离心率为十.点尸是椭圆C上不同于顶点的任意一

点，射线尸耳、尸与分别与椭圆C交于点/、3,△尸片8的周长为8.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵若西=4冗无［=%砧，求证：4+4为定值.

21.某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有4民C,。四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生

的号码对应的疫苗，号码机有4民四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三

个号码中随机产生，张医生先接种与号码机产生的号码对应的A种疫苗后，再为居民们接种，记第"位居民（不包

含张医生）接种四种疫苗的概率分别为£（N）,£（3）£（C）£0）.

（1）第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；

⑵张医生认为，一段时间后接种43,C,D四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种4氏C,D

四种的概率，解释张医生观点的合理性.

参考数据：'J~5.1X10-5,Q^71.7X10-5,（；[*2.0X10-3,（£|^9.8X10-4.

22.已知函数/（%）=%2（d+加），冽ER.

（1）当相=T时，求/（、）在点2（1,e-1）处的切线方程.

⑵若g（x）=[^7nxT的图象恒在x轴上方，求实数机的取值范围.

高考数学押题卷（一）（难度：一般）

题号一二三四总分

得分

用时：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若集合/={印。82》<1},2=次卜怛1},则/U48=（）

A.{x|0<x<l}B,{x|-l<x<2}

C.{x|-1<x<0或0<x<2}D.{尤|x<2}

【答案】B

【分析】利用对数不等式与补集的定义解出两个集合中的不等式，从而利用并集的运算即可得解.

【详解】不等式log/vl解得0<x<2,则/={x|0<x<2},

B=fx||x|>1},-{x||x|<1）={JC|-1<x<1},

：.A^\B={x\-\<x<i],

故选：B

2.复数Z满足i5.z=l+i，贝Ijz在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据虚数单位的性质，结合复数的除法运算可求出z,根据复数的几何意义即可得答案.

【详解】由i5.z=l+i得i-z=l+i,，z=^,

1

则Z=l+』=l-i,即Z在复平面内对应的点为位于第四象限，

1

故选：D

3.光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、

最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩

台上底面边长约为32m,下底面边长约为34.5m,高约为9m,则该墩台的斜高约为（参考数据：71321«36,35）（）

A.9.1mB.10.9mC.11.2mD.12.1m

【答案】A

【分析】根据题意画出正四棱台，结合正四棱台相关性质直接计算即可.

【详解】如图所示，设该正四棱台为NBCD-44G2,上下底面中心分别为q,o,

分别取8C,国G的中点及尸，连接,a尸。及EF,

在平面内，作FH工OE交0E于H,

则OQ=9,0E=；AB=17.25,。尸=；/£=16,

显然四边形。。尸耳是矩形，则切=。口=9,OH=O/=16,

所以EH=0E-OH=1.25=3,

4

在直角AWE中，EFZFH^+EH?=9.1,

即该墩台的斜高约为9.1m.

故选：A

4.已知抛物线E：一二8歹的焦点为尸，点。为百上一点，。为P尸靠近点尸的三等分点，若附1=1。，则。点的纵

坐标为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】过点尸,O分别作准线的垂线，根据题意得到愣二=愕］:=g，求得\QQ'\=8，进而求得点Q的纵坐标・

【详解】过点尸，。分别作准线的垂线，垂足分别为弓。，如图所示,

设准线了=-2与夕轴的交点为片,

因为。为群靠近点P的三等分点，可得七=七=:

又因为附=1。，可得为0|=8,

又由抛物线的准线方程为y=-2,可得点。的纵坐标为8-2=6,

即点点。的纵坐标为6.

故选：C.

5.已知角夕«0,2兀),。终边上有一点(cos2-sin2,-cos2-sin2),则6=()

C371c71〜

A.2B.----F2D.-+2

42

【答案】C

【分析】根据弦切互化，结合正切和差角公式，即可得。丁-2+加，结合角的范围即可求解.

-cos2—sin2

【详解】tan6=故

cos2-sin2

3兀

0------2+ku,左£Z.

4

Xcos2-sin2<0,-cos2—sin2=一万sin2<0,

7兀

故9在第三象限'故％=L。=彳-2.

故选:C.

6.以下四个命题:

①从匀速传递的产品生产流水线上，每30分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样;

②某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市30000高中男生的身高4(单位：cm)服从正态分

布N(172,吟,且尸(172<^<180)=0.4,那么该市身高高于180cm的高中男生人数大约为3000；

③随机交量X服从二项分布8(100。4),若随机变量y=2X+l,则F的数学期望为E(Y)=81,方差为。(丫)=48；

④分类变量x与Y,它们的随机变量K2的观测值为左，当左越小，“x与y有关系的把握程度越大其中正确的个数

是()

A.IB.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根据抽样方式的特征，可判断①；根据正态分布的性质，可判断②；根据二项分布的期望与方差特点，可

判断③；根据独立性检验的方法和步骤，可判断④.

【详解】解：①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；

②某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市30000高中男生的身高4(单位：c加)服从正态分

布N(172Q2),MP(172<^<180)=0.4,所以>180)=；-尸(172<&V180)=0.1,所以该市身高高于180c%的

高中男生人数大约为30000x0.1=3000人，故②为真命题；

③随机交量X服从二项分布3(100,04),贝IJ£(X)=100x0.4=40,£>(X)=100x0.4x(1-0.4)=24,若随机变量

Y=2X+1,则y的数学期望为£")=2£(用+1=81,方差为。⑺=26(X)=96；故③为假命题；

④对分类变量x与y的随机变量K?的观测值上来说，左越小，“x与丫有关系”的把握程度越小，故④为假命题.

故选：A.

【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法，正态分布，二项分布及独立性检验等知识点，属于中档题.

7.设函数〃x)=(ax7”e，)(ax-ln尤)(其中e为自然对数的底数)，若存在实数°使得/卜)<0恒成立，则实数,力

的取值范围是()

A.B.

C.(e2,+oo)D.1

【答案】A

【分析】由题意可得("吗(a-皿)<0,令83=巫,/仆)=型，函数了=g(x)和函数y="x)的图象，一个

XXXX

在直线>=。上方，一个在直线>=。下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案.

【详解】函数/(x)的定义域为(0,+8),

由/(无)<0,得(ax-me*)(办-lnx)<0,所以"匣)<0,

令g(x)=—,〃(x)=—，

XX

由题意知，函数y=g(x)和函数y="x)的图象，一个在直线>=“上方，一个在直夕=。下方，等价于一个函数的

最小值大于另一个函数的最大值，

,/、In%/八、/口，/、1-lnx

由g(x)=(X>0),得g(x)=——,

XX

所以当xe(0,e)时，g")>0,g(x)单调递增,

当xe(e,+oo)时，g'(x)<0,g(无)单调递减，

所以g(x)max=g(e)=如£=；,g(x)没有最小值，

由〃(x)=Q(x>0),得”口)=型二==厘二D

XXX

当加<0时，在X£(0,1)上”(%)>o,/z(x)单调递增,

在x£(l,+oo)上h\x)<o,/z(x)单调递减，

所以MH有最大值，无最小值，不合题意，

当力>0时,在X£(O,1)上”(x)<0,〃(x)单调递减，

在%£(1,+8)上〃(%)>0,7z(x)单调递增,

所以〃(x)min=久1)=加e，

所以〃(l)〉g(e)即me>-,

e

所以加>二，即加的取值范围为(!，+s).

ee

故选：A.

8.在三棱锥D-中，为正三角形，点。在底面/3C投影为点“，点〃在内(不含边界)，设二

面角。—45—C、D-BC-A,。—/C—5的大小分别为a、B、/，DH=AB,则1匚+1】+J—的值为()

tanatanptan/

A.1B.—C.V3D.无法确定

2

【答案】B

【分析】过H点分别作HE1HF工BC,HG1CN,利用线面垂直的判定与性质证明垂直关系，由定义得到各二

面角的平面角，再在各直角三角形内分别表示tana,tan民tan7,最后转化条件，利用等面积法建立关系整体求解即

可.

【详解】过〃点分别作垂足为£,F,G,连接DE,DF,DG.

由。〃，平面/3C,得DH1.4B,

又HEu平面DHE,DHu平面DHE,DH^HE=H,

故481平面贝ljN8J_Z)£,

同理，BC工DF,AC上DG,

则口=//加。，/3=ZHFD,y=ZHGD,

HDHDHD

在Rt中，tancc-,同理，tanp-------,tany-....,

HEHFHG

111HEHFHGHE+HF+HG

贝Ur-----+-------+------=——+——H------=-------------------,

tanatan,tan/HDHDHDHD

由zUBC为正三角形，

2

则SAABC=-(HE+HF+HG)=今AB,

^DH=AB,则HE+HF+HG=HE+HF+HG=^

ABHD2

1116

所以----+—----.

tanatanptan/2

故选：B.

D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

2

9.曲线C的方程为f-匕-4=0,贝iJ()

A

A.当2>0时，曲线C是焦距为4”方的双曲线

B.当4<-1时，曲线C是焦距为4足元的双曲线

C.曲线。不可能为圆

D.当-1<%<0时，曲线。是焦距为的椭圆

【答案】AD

【分析】变形给定的方程，利用各选项的条件，结合圆、椭圆、双曲线的特征判断作答.

222__________

【详解】对于A,当4>0时，方程f—匕—4=0化为土-匕=1,曲线。是焦距为2万万的双曲线，

2442

A正确；

222

对于B,当2<-1时，方程/一匕一4=0化为=+

A44(-2)

曲线C是焦点在y轴上，焦距为2,4(-1)一4=4尸元的椭圆,B错误；

对于C,当4=-1时，曲线C表示圆/+/=4,c错误；

222

对于D,当-1<4<0时，方程f一21-4=0化为一+/^=1,

A44(-2)

曲线C是焦点在x轴上，焦距为2J4-4(-2)=4^/^7I的椭圆,D正确.

故选：AD

10.将函数g(x)=sin@x(0>O)的图象向右平移三个单位长度得到函数y=/(x)的图象，y=f(x)的图象与x轴交

点的横坐标构成一个公差为17T的等差数列，则下列结论中正确的是()

A.了=(+聿］为奇函数

B.函数/(x)在］；,言］上单调递减

C.函数/'(x)在(0胃上的值域为［0,2］

D.若/(x)=g在尤e(0,兀)上的解为和马，贝ljcos(xi-X2)=；

【答案】BCD

【分析】求出新函数＞=/(力，且结合三角函数性质，即可得出对应的选项.

【详解】由题意，

函数g(x)=sinox的图象向右平移三个单位长度得，y=sin(0x-M的图象.

6a)I6J

・・・V=/(x)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为］的等差数列，

T=^X2=TI,CD=^=2,/(x)=sin^2x-^.

对于A,＞=/1+£)=5亩［2%+：］为非奇非偶函数，故A错误；

对于B,因为%=,且歹=sin/在但,上单调递减，故B正确:

12J6123J\23J

对于C,f(^)=2cosf2x—,则xejo,；,则2x—,

ko)\36162

Ar(x)e[0,2],故C正确;

TTJiAll

对于D,^2x--=kit+-,keZ,解得x="+'#eZ,

6223

即函数＞=/(x)的对称轴为x=g+;左eZ,

因为/(》)=:在工©(0，兀)上的解为％户2,可知和三关于直线X=S对称,

故选：BCD.

11.设数列｛%｝前〃项和为S”，满足(。“-1)2=4(1007”)，“eN*且％＞0,出＞0,则下列选项正确的是()

A.an=-2H+21

B.数列为等差数列

c.当〃=11时E,有最大值

D.设“=44+4+2，则当〃=8或〃=10时数列也｝的前〃项和取最大值

【答案】ABD

［S,,n=1,、

【分析】A选项，根据;0、。求出。“｝为等差数列，公差为-2,首项为%=19,得到通项公式；B选

电-S.T，〃22

项，计算出邑=-r+20",得到、=f+20,从而得到2一己旦=一1,得到B正确；C选项，根据S,=-"2+20"及

nnn—\

二次函数的最值得到C错误；D选项，先得到〃目1,8］时，“=。“%+4+2＞0,仇＜0,狐＞0,当"211时，〃＜0,

且刈=-3也=3,得到结论.

【详解】A选项,当〃=1时，(％-I)?=4(100-%),

又%>0,解得q=19,

当时，(a“-l)2=4(100-S“)①，

(%7)2=4(100-%)②，①-②得，

(«„-1)2-(«„­1-1)2=4(100-)-4(100-5,,^),

aa

即„+2ci"-%_]+2anl=0,故(%+(-J(%-n-i+2)=。，

因为％>0,a2>0,所以%+%T=0不能对任意的恒成立，

故。“-*+2=°，

所以%-=-2,

故｛4｝为等差数列，公差为-2,首项为q=19,

所以通项公式为%=19-2(1)=-2"+21,A正确；

…丁=~〃伉+〃)

0n(19+21-2n)29

B选项，Sn=-」----------L=-n+2(h,

"22

qcc

故j=-〃+20,贝IJ当时，--^=-«+20-(-«+21)=-l,

nnn-1

故为等差数列，B正确；

C选项，S”=f2+20〃=-(IO)2+100,

故当〃=10时，S,取得最大值，C错误；

D选项，令%>0得1V〃V1O,令。“<0得"211,

则当"G[1,8]时,bn=anan+lan+2>0,

当〃=9时，b9<0,当”=10时，Z>10>0,

当〃知1时，“<0,

a

又49al0H=3xlx(-l)=-3,Z?l0=al0anal2=lx(-l)x(-3)=3,

则当"=8或〃=10时数列也｝的前〃项和取最大值，D正确.

故选：ABD

12.已知函数/(无)和/(x+1)都是偶函数，当xe[0,l]时，/(X)=-(X-1)2+2,则下列正确的结论是()

A.当xe[-2,0]时，/(x)=-(x+l)2+2

B.若函数g(x)=/(x)-2T-l在区间(0,2)上有两个零点不、/，则有学+&<2

C.函数〃3=竽在［4,6］上的最小值为:

D./(log34)<

【答案】ACD

【分析】推导出函数/(x)是周期为2的周期函数，求出函数/(X)在卜2,0］上的解析式，可判断A选项；利用指数

函数的单调性结合作差法可判断B选项；利用函数的最值与函数单调性的关系可判断C选项；利用函数/'(x)的周

期性和/(无)在［1,2］上的单调性可判断D选项.

【详解】因为函数“X)和/(x+1)都是偶函数，则/(-x)=/(x),/(l-x)=/(l+x),

所以，/(x+l)=/(l-x)=/(x-l),即/(x+2)=/(x),

因此/'(x)是周期为2的周期函数.

对于A,当xe[T,0]时，-xe[0,l],贝!]/⑴=/(-x)=-(-x-lf+2=-(尤+1『+2,

当无«—2,—1]时，贝iJx+2e[0,l],贝!]/("=/(》+2)=—(；1+2—1)2+2=-(》+r+2,

综上所述，当xe[-2,0]时，/(X)=-(X+1)2+2,A对；

对于B选项，当xe(0,2)时，-xe(-2,0),则=-(-x+l)2+2=-(x-l)~+2,

不妨设无i<Z，因为函数/=2-*+1在(0,2)上单调递减，贝！l2f+1>2』+1,

/(^)=2-(^-1)2=2^+1

由g(xJ=g(X2)=0可得<

2

/(x2)=2-(x2-l)=2^+1

所以，2-(X；-2X]+1)>2-(X：-2X2+1),

即(再一》2)(再+%2-2)<0,则%+%-2>0,B错;

对于C,因为函数/(x)在［-2,-1］上单调递增，在［7,0］上单调递减,

由于函数/(“是周期为2的周期函数，

故函数/⑺在［4,5］上单调递增，在［5,6］上单调递减，

故当4VxW6时，l=〃0)=〃4)=〃6)V〃x)V〃5),

46

而函数了=2,在［4,6］上单调递增，所以，2<2'<21则品品］

所以，当4V尤W6时，止12坐=上，

2，2664

所以，函数"x)=坐在［4,6］上的最小值为C对；

对于D选项，/［log,5］=/(log45-2)=/(log45),

log34-log45=想-蛭」"lg3」g5J"”,>,

lg3lg4Ig3-lg4lg3.lg4lg3-lg4

2>log34>log45>1,

又函数y(x)在［1,2］上单调递减，；.〃10g45)>/(log34).-./(log34)</^log4^^D对.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.绵阳中学食堂，以其花样繁多的饭菜种类和令人难忘的色香味使大批学子醉倒在它的餐盘之下，学子们不约而

同地将其命名为“远航大酒楼”.“远航大酒楼”共三层楼，5名高一新同学相约到食堂就餐，为看尽食堂所有美食种

类，他们打算分为三组去往不同的楼层.其中甲同学不去二楼，则一共有种不同的分配方式.

【答案】100

【分析】对甲分三种情况讨论，利用分步计数乘法原理结合排列组合知识求解即可.

【详解】若甲1个人一组，其它两组人数为1、3或2、2,不同的分配方式有C；(C：A；+C；)=28种；

若甲和另外1个人两人一组，其它两组人数为1、2,不同的分配方式有C；C：C；A；=48种；

若甲和另外2个人三人一组，其它两组人数为1、1,不同的分配方式有C；C；A；=24种；

共有28+48+24=100种分配方式，

故答案为：100.

14.已知向量Q=(百sin加,1),3=(cos5,cos/)0>0,记函数若/(%)在上单调递增.则

3的取值范围为.

【答案】(0,2］

【分析】由倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用函数在区间内的单调性求&的取值范围.

【详解】向量a=(百sin加,1),3=(cos西,cos)0>0,

f(x)=a'b=VSsinftircos^+cos2^=^sin2颂+”os2侬+^sin6侬+4—,

V7222C6J2

,c、r,「兀兀］「。兀697l-|r|c，兀「。兀,兀。兀,兀

由G>0,当，有2GX£――,--,贝U2Gx+：£-+——，

6123663666

。兀+兀〉兀

依题意有362,解得0<。42.

。兀+兀<兀

~6~6~2

所以。的取值范围为（0,2].

故答案为：（0,2].

15.若/（x）=gx3_；#+2x_]在工2）内存在极值，则实数。的取值范围是.

【答案】（2后,3）

【分析】求出函数的导数，问题转化为了'（X）=--G+2在（1,2）内有变号零点，利用二次函数的性质求出。的取值

范围.

【详解】“X）=gV彳"2+2苫_1在0,2）内存在极值，则/，3=/-ar+2在（1,2）内有变号零点，

/'⑴=3-a,/"'（2）=6-2a=2/'⑴，/'⑴与/'（2）同号，

A=/—8>0

则有3-°>0,解得20<a<3,即实数”的取值范围是（2百,3）.

,a-

1<—<2

[2

故答案为：（2行,3）

16.已知抛物线C:j?=4x,直线/过点G（0,£|且与C相交于A,8两点,若的平分线过点石（1,1）,则直线

/的斜率为.

【答案】|

【分析】分别设出直线/、直线。4和直线05的方程,以及/区,乂），3（%,%）两点坐标，利用角平分线到角两边

距离相等，可得直线CM和直线03的斜率积为左/2=1,从而得到再Z=乂％,联立直线/与抛物线，结合韦达定理

即可求解.

4

【详解】设直线/的方程为>=丘+3940）,即3履-:3〉+4=0,

设直线CM,08的方程分别为夕=左》住户0）,y=k^c（无2工。）,即/1_、=0,k2x-y=Q,

设/（再,必）,B（x2,y2）,

\k-1|、2-U

•.•//。8的平分线过点£（1,1）,，宁x+=+/,

+1我+1

整理得:（"+1）（--炉=（依+1）（左—if,（左-皿—T）=。，

，左左2=1，则""二1，即再工2=%歹2,

国x2

’74

y—kxH—

由彳3,得3®2_i2y+16=0,

y2=4x

A=144一64x3左〉0

4,3

■,•，乂+%=7，；&＜：.

k4

16

丹=就

又：毛%=上（必％）2=乂/，二普=嘉，解得：左=:或左=0（舍去）•

Io5KyK3

故答案为：—.

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在“BC中，内角N,B,C所对边分别为a,b,c,a+b=l且满足.

⑴求NC；

（2）求边c的最小值.

请从下列条件：①cos2c=l+3cos（/+8）；②$=+°2-2）；③百tan/tanB-tan/-tan3=V§中选一个条

件补充在上面的横线上并解答问题.

TT

【答案】（1）条件选择见解析，c=m

【分析】（1）选①，利用二倍角余弦公式及三角形的性质求解cosC=g,再利用余弦值求角；选②，利用余弦定理

及面积公式建立方程求得tanC=VL利用正切值求角；选③，利用两角和正切公式化简得tanC=6,利用正切值

求角；

（2）由余弦定理得c2=l-3必，利用基本不等式求得从而解二次不等式得c的最小值.

4

【详解】（1）选①，由cos2C=l+3cos（4+5）得2cos之C+3cosc-2=0,解得8$。=；或（?05。=一2（舍去），因

为。£（0,兀），所以

77同

选②，由余弦定理得2abeosC=/+/—C?,贝!）S=---2abeosC=——abcosC,

42

所以1〃6cosC=LqbsinC,所以tanC=G，因为。£（0,兀），所以C=g.

223

选③，由Gtan/tanB-tan/-tan8=C得退（tan/tanB-1）=tanA+tan5,

所以tan(/+5)=-6.所以tanC=6，因为Ce(0,7i),所以C=；.

(2)由余弦定理得/=a2+b2-2abcosC=a1+b2-ab=(a+6)之一3ab=1-3ab,

又a+622，石，则而W〈，所以仍V：,当且仅当。=6=g时等号成立，

所以1-3(763!，所以c2»J,所以c»L所以c的最小值为;.

4422

18.如图，在多面体N8CDE尸中，四边形48co与N8E尸均为直角梯形，4D〃BC,AF〃BE,DAL平面4BEF,

AB±AF,AD=AB=2BC=2BE=2.

(1)已知点G为N尸上一点，且/G=2,求证：8G与平面DCE不平行；

(2)已知直线防与平面DCE所成角的正弦值为,，求//的长及四棱锥D-ABEF的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)/尸的长为4；VD_ABEF=^.

【分析】(1)证明出/氏/。,/尸两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面。CE的法向量，计算

出£数70，证明出8G与平面。CE不平行；

(2)由3尸与平面。CE所成角的正弦值计算出/尸的长，从而求出梯形跖的面积，计算出四棱锥的体积.

【详解】(1)证明：因为平面N3ERAB,/尸u平面

所以ZM_L4B,DA1AF,

又4BLAF,

以A为坐标原点，/尸,/瓦/。分别为苍人7轴，建立空间直角坐标系，

则8(0,2,0)、£(1,2,0)、C(0,2,l)、£>(0,0,2),G(2,0,0),

所以正=(-1,0,1),而=(-1,-2,2),数=(2,-2,0),

ii-EC=—x+z=0

设平面DCE的法向量为〃=(x,y,z),则——

n-ED=—x—2y+2z=0

令x=2,贝Ijz=2,y=l,所以3=(2,1,2),

因为£瑟=2、2+以(-2)=2W0,且不存在4使得数与工垂直，

所以BG与平面DCE不平行；

(2)设4F=a(。＞0且3),则尸(a,0,0),所以而=(a,-2,0),

..•直线3歹与平面DCE所成角的正弦值为g,

|ULU'I'|

・•苦加S马J片①.上4=卜1，

51'〃\BF\-\n\Va2+4x74+1+4Va2+4x3

4

化简得11/一404-16=0,解得。=4或"-石(舍去)；故/尸=4.

此时梯形斯的面积S=gx(l+4)x2=5,故%一叱

S73

19.设公比为正数的等比数列仇｝的前〃项和为S“，满足5=万，％=2.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

⑵设想为数列｛%｝在区间(0,同伽eN*)中的项的个数，求数列也｝前100项的和.

【答案】(1)。“=2”

(2)480

【分析】(1)利用等比数列的基本量运算即得;

(2)根据条件确定耙的取值，进而利用分组求和法即得.

S。73S.-S,64

【详解】(1)设公比为t9,由”二不，得喙产=石，

(41+“2+。3)16

即%+/+〃964

得9/—64/—64=0,

$6(4+a?+〃3)(1+口')9