高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第11讲拓展四：导数中的隐零点问题(高频精讲)(原卷版+解析)

第11讲拓展四：导数中的隐零点问题(精讲）第一部分：知识点必背1、不含参函数的隐零点问题已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围.2、含参函数的隐零点问题已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.3、函数零点的存在性（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.①若，则的零点不一定只有一个，可以有多个②若，那么在不一定有零点③若在有零点，则不一定必须异号(2)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.第二部分：高频考点一遍过典型例题例题1．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.例题2．（2023·江西南昌·统考一模）已知函数．(1)若时，函数有2个极值点，求的取值范围；(2)若，，方程有几个解？例题3．（2023·青海西宁·统考一模）已知函数.(1)若，证明：存在唯一的极值点.(2)若，求的取值范围.例题4．（2023·上海·高三专题练习）已知函数．(1)设，求在上的最大值；(2)当时，求证：．例题5．（2023秋·山东青岛·高二青岛二中校考期末）已知函数，．(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)设，若，，都有，求实数的取值范围．练透核心考点1．（2023秋·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知函数（k为常数，且）．(1)当时，求在处的切线方程；(2)若函数在区间上存在极值，求实数k的取值范围．2．（2023·贵州·校联考二模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)讨论在上的单调性．3．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知函数(1)若，求的极小值；(2)讨论函数的单调性；(3)当时，恒成立，求的最大整数值．4．（2023秋·天津·高三统考期末）设函数，，，已知曲线在点处的切线与直线垂直．(1)求a的值；(2)求的单调区间；(3)若对成立，求b的取值范围．5．（2023春·宁夏·高三六盘山高级中学校考开学考试）已知函数．(1)若，求的极小值．(2)讨论函数的单调性；(3)当时，证明：有且只有个零点．第11讲拓展四：导数中的隐零点问题(精讲）第一部分：知识点必背1、不含参函数的隐零点问题已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围.2、含参函数的隐零点问题已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.3、函数零点的存在性（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.①若，则的零点不一定只有一个，可以有多个②若，那么在不一定有零点③若在有零点，则不一定必须异号(2)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.第二部分：高频考点一遍过典型例题例题1．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)当时，函数在单调递增，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减；(2).【详解】（1）因为函数，所以，当时，，所以函数在单调递增，当时，另，得，当时，，所以函数单调递增，当时，，所以函数单调递减，综上所述，当时，函数在单调递增，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减；（2）若不等式恒成立，则有，即，化简得，设函数，，，令得，即，所以存在，使得成立，所以，①，且，即，②，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，代入①②，可得，要使得恒成立，则即可，所以.例题2．（2023·江西南昌·统考一模）已知函数．(1)若时，函数有2个极值点，求的取值范围；(2)若，，方程有几个解？【答案】(1)(2)两个【详解】（1）时，，，则方程有两实根，即有两实根．设，，则时，，单调递减；时，，单调递增，所以，且，时，，所以当有两个实根时，；（2）当，时，设，则，，因为在上单调递增，且，．所以恰有一根，且，．当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，且，．所以有且仅有两个实根，即方程有且仅有两个实根．例题3．（2023·青海西宁·统考一模）已知函数.(1)若，证明：存在唯一的极值点.(2)若，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）当时，，，因为函数，在上单调递减，所以在上单调递减，，，所以在上存在唯一一个零点，且当时，，时，，所以在上单调递增，上单调递减，存在唯一的极值点.（2），可以转化为，，在上单调递减，当，即或时，在上大于零，在上单调递增，所以，解得，所以或；当时，，时，，所以在上存在一个零点，，所以在上单调递增，上单调递减，，因为，所以，，，则，所以成立；综上可得，的取值范围为.例题4．（2023·上海·高三专题练习）已知函数．(1)设，求在上的最大值；(2)当时，求证：．【答案】(1)0；(2)证明见解析.（1）解：因为，则，其中，令，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，所以，对任意的恒成立，且不恒为零，所以，函数在上单调递增，所以，当时，.（2）证明：因为，则，令，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，因为，，，，由零点存在定理可知，函数在区间上必有一个零点，且.所以.所以，当时，，当时，，所以，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，，.对称轴为，所以当时，，所以，，综上所述，当时，.例题5．（2023秋·山东青岛·高二青岛二中校考期末）已知函数，．(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)设，若，，都有，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，，∵，∴切点为，∵，∴切线斜率，∴切线方程为（2），．当时，，单调递增，∴，．，，令，，∴在上单调递增，且，，∴，使得，即，也即．令，，，显然时，，单调递增，∴，即．∵当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，∴．∵，，都有，∴，得，故实数的取值范围为．练透核心考点1．（2023秋·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知函数（k为常数，且）．(1)当时，求在处的切线方程；(2)若函数在区间上存在极值，求实数k的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，，所以，所以，所以在处的切线的斜率为，所以在处的切线方程为，即.（2）因为，，所以，因为函数在区间上存在极值，所以，使得，两侧的导数异号，所以，即，，令，，由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上，所以在上单调递增，所以，即,所以实数k的取值范围为.2．（2023·贵州·校联考二模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)讨论在上的单调性．【答案】(1)(2)在上是减函数．【详解】（1），∴，又，∴曲线在点处的切线方程是，即；（2）令，则在上递减，且，，∴，使，即，当时，，当时，，∴在上递增，在上递减，∴，当且仅当，即时，等号成立，显然，等号不成立，故，∴在上是减函数．3．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知函数(1)若，求的极小值；(2)讨论函数的单调性；(3)当时，恒成立，求的最大整数值．【答案】(1)(2)答案见解析(3)【详解】（1）当时，，的定义域为，，所以在区间，，递减；在区间，，递增．所以当时，取得极小值．（2）的定义域为，．令，，当时，恒成立，所以即在上递增．当时，在区间，，即递减；在区间，，即递增．（3）当时，，，由（2）知，在上递增，，，所以存在使得，即．在区间，，递减；在区间，，递增．所以当时，取得极小值也即是最小值为，∵，∴，所以．由恒成立，得，故的最大整数值为．4．（2023秋·天津·高三统考期末）设函数，，，已知曲线在点处的切线与直线垂直．(1)求a的值；(2)求的单调区间；(3)若对成立，求b的取值范围．【答案】(1)2(2)答案见解析(3)【详解】（1）的定义域为，

，

由于直线的斜率为，.（2），，

①当时，，在R上单调递增；②当时，令有，当时，，单调递减，当时，，单调递增.综上所述：，的单调递增区间为R，，的单调减区间为，的单调增区间为.（3）由恒成立，等价于，令（），，

①若时，，所以在上单调递增，，即，满足，②若时，则，所以在上单调递增，当趋近于0时，趋近于，不成立，故不满足题意.

③若时，令，，，，，单调递减，，单调递增，只需即可，，，令，，在上单调递增，，时，，，，所以在上单调递增，，即，

综上：.5．（2023春·宁夏·高三六盘山高级中学校考开学考试）已知函数．(1)若，求的极小值．(2)讨论函数的单调性；(3)当时，证明：有且只有个零点．【答案】(1