2024-2025学年高中数学第三章变化率与导数测评含解析北师大版选修1-1

PAGEPAGE6第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知函数f(x)=2x2-1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则等于()A.4 B.4ΔxC.4+2Δx D.4+2(Δx)2答案C解析=4+2Δx.2.若f'(x0)=-3,则=()A.-3 B.-12 C.-9 D.-6答案B解析法一(注意导数概念的应用的解法):因为f'(x0)==-3,所以===+3=f'(x0)+3f'(x0)=4f'(x0)=-12,故选B.法二(注意导数定义中各变量的联系的解法):因为f'(x0)==-3,所以=4=4f'(x0)=-12,故选B.3.数列{cn}为等比数列,其中c1=2,c8=4,f(x)=x(x-c1)(x-c2)…(x-c8),f'(x)为函数f(x)的导函数,则f'(0)=()A.0 B.26 C.29 D.212答案D解析∵c1=2,c8=4,∴c1c2…c8=84=212,f'(x)=(x-c1)(x-c2)…(x-c8)+x[(x-c1)(x-c2)…(x-c8)]',则f'(0)=c1c2…c8=212.4.已知函数f(x)的导函数f'(x),且满意f(x)=2xf'(1)+lnx,则f'(1)=()A.-e B.-1 C.1 D.e答案B解析∵f(x)=2xf'(1)+lnx,∴f'(x)=[2xf'(1)]'+(lnx)'=2f'(1)+,∴f'(1)=2f'(1)+1,即f'(1)=-1.5.函数f(x)=excosx的图像在点(3,f(3))处的切线的倾斜角为()A. B.0 C.钝角 D.锐角答案C解析∵f'(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx)=excos,∴f'(3)=e3cos,又∵cos<0,∴f'(3)<0,∴切线的倾斜角为钝角.6.曲线y=在点(1,-1)处的切线方程为()A.2x+y-1=0 B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0 D.2x+y-3=0答案A解析因为y'=,所以切线斜率k==-2,于是切线方程为y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.7.若函数f(x)满意f(x)=x3-f'(1)·x2-x,则f'(1)的值为()A.0 B.2 C.1 D.-1答案A解析f'(x)=x2-2f'(1)x-1,所以f'(1)=1-2f'(1)-1,则f'(1)=0.8.函数y=lnx在x=e2处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2 B.e2 C.2e2 D.e2答案B解析y'=,∴在x=e2处的切线斜率为k=,∴切线方程为y-2=(x-e2).令x=0,得y=1.令y=0,得x=-e2,∴所求三角形的面积为×1×e2=e2.9.已知函数f(x)=x-x2,若该函数图像在点(x0,y0)处的切线的倾斜角是图像在点的切线的倾斜角的两倍,则x0的值等于()A.3 B.-3 C.0 D.答案A解析f'(x)=x,所以图像在点的切线的斜率k=,因此倾斜角为60°,从而图像在点(x0,y0)处的切线的倾斜角应为120°,斜率为-,于是x0=-,解得x0=3.10.函数y=(3x2+x+1)(2x+3)的导数是()A.(6x+1)(2x+3) B.2(6x+1)C.2(3x2+x+1) D.18x2+22x+5答案D解析∵y=(3x2+x+1)(2x+3)=6x3+11x2+5x+3,∴y'=18x2+22x+5.11.函数f(x)=x3+4x+5的图像在x=1处的切线与圆x2+y2=50的位置关系为()A.相切B.相交但不过圆心C.过圆心D.相离答案B解析∵f(x)=x3+4x+5,∴f'(x)=3x2+4,∴f'(1)=7.当x=1时,f(1)=10,∴切线方程为y-10=7(x-1),即7x-y+3=0,∴圆心到切线的距离为d=,∴切线与圆相交但不过圆心.12.已知f'(x0)=,f(3)=2,f'(3)=-2,则的值是()A.4 B.6C.8 D.不存在答案C解析==-3=-3f'(3)+=-3f'(3)+2=8.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.

答案y=x+1解析设y=f(x),则f'(x)=2x-,所以f'(1)=2-1=1.所以曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为y-2=1×(x-1),即y=x+1.14.已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图像在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.

答案1解析∵f(x)=ax-lnx,∴f'(x)=a-,f'(1)=a-1,f(1)=a,则切线l方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1,则l在y轴上的截距为1.15.已知函数f(x)=(2x+1)ex,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(0)的值为.

答案3解析∵f'(x)=(2x+3)ex,∴f'(0)=3.16.若曲线f(x)=x-2在点(a,a-2)(a>0)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为3,则loa=.

答案2解析求导得f'(x)=-2x-3,所以在点(a,a-2)处的切线方程为y-a-2=-2a-3(x-a).令x=0,得y=3a-2;令y=0,得x=.所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积S=×3a-2×a=3,解得a=,∴loa=2.三、解答题(本大题共6小题,需写出演算过程与文字说明,共70分)17.(本小题满分10分)设t≠0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图像的一个公共点,两函数的图像在点P处有相同的切线.试用t表示a,b,c.解因为函数f(x),g(x)的图像都过点(t,0),所以f(t)=0,即t3+at=0.因为t≠0,所以a=-t2.g(t)=0,即bt2+c=0,所以c=ab.又因为f(x),g(x)在点(t,0)处有相同的切线,所以f'(t)=g'(t).而f'(x)=3x2+a,g'(x)=2bx,所以3t2+a=2bt.将a=-t2代入上式得b=t.因此c=ab=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3.18.(本小题满分12分)设函数f(x)=xm+ax的导函数为f'(x)=2x+1,求数列(n∈N+)的前n项和Sn.解∵f'(x)=mxm-1+a=2x+1,∴m=2,a=1,∴f(x)=x2+x,∴,∴Sn=1-+…+=1-.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5的图像在x=1处的切线方程为y=-12x,求f(x)的解析式.解f'(x)=12x2+2ax+b,∵y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-12x,∴f'(1)=-12,f(1)=-12,∴解得a=-3,b=-18,∴f(x)=4x3-3x2-18x+5.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax3-x2+cx+d(a,c,d∈R)满意f(0)=0,f'(1)=0,且f'(x)≥0在R上恒成立.(1)求a,c,d的值.(2)若h(x)=x2-bx+,解不等式f'(x)+h(x)<0.解(1)f'(x)=ax2-x+c,∵f(0)=0,f'(1)=0,∴从而f'(x)=ax2-x+-a.∵f'(x)≥0在R上恒成立,∴∴解得a=,c=,d=0.(2)由(1)知,f'(x)=x2-x+,∵h(x)=x2-bx+,∴不等式f'(x)+h(x)<0化为x2-x+x2-bx+<0,即x2-x+<0,∴(x-b)<0,①若b>,则所求不等式的解集为;②若b=,则所求不等式的解集为⌀;③若b<,则所求不等式的解集为.综上所述,当b>时,所求不等式的解集为;当b=时,所求不等式的解集为⌀;当b<时,所求不等式的解集为.21.(本小题满分12分)函数f(x)=-a,x∈(0,+∞),a>0.设0<x1<,曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l.(1)求l的方程.(2)设l与x轴交点是(x2,0),求证:①0<x2≤;②若x1<,则x1<x2≤.(1)解∵f(x)=-a,x∈(0,+∞),∴f'(x)=-.∵切线l过点M(x1,f(x1)),其中0<x1<,∴切线l的方程为y=-(x-x1)+-a,即y=--a.(2)证明①∵(x2,0)是l与x轴的交点,∴--a=0,∴x2=x1(2-ax1).∵0<x1<,∴2>2-ax1>0,∴0<x1(2-ax1)=a-a,当且仅当x1=时取等号,∴0<x2≤.②∵0<x1<,∴1<2-ax1<2.由①知x2≤,且x2=x1(2-ax1),∴x1<x2≤.22.(本小题满分12分)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式.(2)求证:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.解(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.当x=2时,y=.又f'(x)=a+,于是解得a=1,b=3,故f(x)=x-.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点.∵f'(x0