2024-2025学年新教材高中数学课时检测8平面向量数乘运算的坐标表示含解析新人教A版必修第二册

PAGEPAGE5平面对量数乘运算的坐标表示[A级基础巩固]1．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝()A．(2，6) B．(－2，6)C．(2，－6) D．(－2，－6)解析：选D由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)．2．已知点O(0，0)，A(－1，3)，B(2，－4)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→)).若点P在y轴上，则实数m的值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)解析：选A由题，可得eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－7)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))＝(3m－1，3－7m)．又点P在y轴上，所以3m－1＝0，得m＝eq\f(1,3)，故选A.3．(多选)已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是()A．存在实数x，使a∥bB．存在实数x，使(a＋b)∥aC．存在实数x，m，使(ma＋b)∥aD．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b解析：选ABC只有D正确，可令m＝0，则ma＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b.4．若向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是()A．(eq\r(3)，－1) B．(－1，－eq\r(3))C．(－eq\r(3)，－1) D．(－1，eq\r(3))解析：选D法一：∵a＋2b＝(eq\r(3)，－3)，∴eq\r(3)×eq\r(3)－(－1)×(－3)＝0，∴(－1，eq\r(3))与a＋2b是共线向量．故选D.法二：∵a＋2b＝(eq\r(3)，－3)＝－eq\r(3)(－1，eq\r(3))，∴向量a＋2b与(－1，eq\r(3))是共线向量．故选D.5．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在△AOB内，且∠AOC＝45°，设eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))(λ∈R)，则λ的值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,3)解析：选C如图所示，由题意，设C(x，－x)，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x，－x)．又因为A(－3，0)，B(0，2)，所以λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3λ，2－2λ)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3λ，,－x＝2－2λ，))解得λ＝eq\f(2,5).6．设向量a＝(1，2)，b＝(－3，5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x＝________．解析：由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4λ＝－2，,xλ＝7，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,x＝－14，))所以λ＋x＝－eq\f(29,2).答案：－eq\f(29,2)7．若点A(－2，0)，B(3，4)，C(2，a)共线，则a＝________．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5，4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4，a)，因为A，B，C三点共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，故5a－16＝0，所以a＝eq\f(16,5).答案：eq\f(16,5)8．设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|，则点P的坐标为________．解析：∵A(2，0)，B(4，2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，2)．∵点P在直线AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(AP,\s\up6(→))，故eq\o(AP,\s\up6(→))＝(1，1)或eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，－1)，故点P的坐标为(3，1)或(1，－1)．答案：(3，1)或(1，－1)9．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，求证：eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→)).证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意有eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，－1)．∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1)).∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝(x1＋1，y1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，∴x1＝－eq\f(1,3)，y1＝eq\f(2,3)，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3))).∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝(x2－3，y2＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，∴x2＝eq\f(7,3)，y2＝0，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3)))又∵4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－eq\f(8,3)×(－1)＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→)).10．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1，3)，B(2，－2)，C(4，1)．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，求D点的坐标；(2)设向量a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(BC,\s\up6(→))，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．解：(1)设D(x，y)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－5)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x－4，y－1)．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，∴(1，－5)＝(x－4，y－1)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝x－4，,－5＝y－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－4，))∴D点的坐标为(5，－4)．(2)由题意得a＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－5)，b＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，3)，∴ka－b＝(k－2，－5k－3)，a＋3b＝(7，4)．∵(ka－b)∥(a＋3b)，∴4(k－2)＝7(－5k－3)，解得k＝－eq\f(1,3).[B级综合运用]11．已知三点A(－1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))是相反向量，则D点坐标是()A．(1，0) B．(－1，0)C．(1，－1) D．(－1，1)解析：选C∵eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是相反向量，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→)).又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，1)，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－1，－1)．设D(x，y)，则eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x－2，y)＝(－1，－1)．从而x＝1，y＝－1，即D(1，－1)．故选C.12．(多选)已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，给出下面四个结论，其中正确的有()A.eq\o(OC,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))平行 B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))C.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)) D.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))解析：选ACDeq\o(BA,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－2，1)，又2×1－(－1)×(－2)＝0，所以eq\o(OC,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))平行，A正确.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))≠eq\o(CA,\s\up6(→))，所以B不正确.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(0，2)＝eq\o(OB,\s\up6(→))，所以C正确.eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，0)，eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝(0，2)－(4，2)＝(－4，0)，所以D正确．13．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则eq\f(m,n)＝________．解析：由题意，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由(ma＋nb)∥(a－2b)，得－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，可得eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)14．已知点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x)．(1)求实数x的值，使向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线；(2)当向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？解：(1)∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x，1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(4，x)．由eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，得x2＝4，x＝±2.(2)由已知得eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2－2x，x－1)，当x＝2时，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(BC,\s\up6(→))不平行，此时A，B，C，D不在一条直线上；当x＝－2时，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(6，－3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，此时A，B，C三点共线．又eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，∴A，B，C，D四点在一条直线上．[C级拓展探究]15．已知点A(3，1)，B(－1，3)，O是坐标原点，点C满意eq\o(OC