2024-2025学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质章末综合测评含解析新人教A版必修第一册

PAGE9章末综合测评(三)函数的概念与性质(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f(x)＝eq\r(1＋x)＋eq\f(1,x)的定义域是()A．[－1，＋∞)B．(－∞，0)∪(0，＋∞)C．[－1,0)∪(0，＋∞)D．RC[要使函数有意义，需满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x≥0，,x≠0，))即x≥－1且x≠0.]2．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1，x≤1，,x2＋3，x>1，))则f(3)＝()A．7 B．2C．10 D．12D[∵3>1，∴f(3)＝32＋3＝12.]3．已知函数f(x)＝x2－4x，x∈[1,5]，则函数f(x)的值域是()A．[－4，＋∞) B．[－3,5]C．[－4,5] D．(－4,5]C[由f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，当x＝2时，f(x)取到最小值－4，当x＝5时，f(x)取得最大值5，故值域为[－4,5]．]4．函数f(x)＝ax3＋bx＋4(a，b不为零)，且f(5)＝10，则f(－5)等于()A．－10 B．－2C．－6 D．14B[∵f(5)＝125a＋5b∴125a＋5b∴f(－5)＝－125a－5b＝－(125a＋5b＝－6＋4＝－2.]5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x≥0，,4x－x2，x<0，))若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C[∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x≥0，,4x－x2，x<0，))由函数图象(图略)知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴由f(2－a2)>f(a)，得a2＋a－2<0，解得－2<a<1.]6．函数y＝3x＋eq\r(2x－1)(x≥2)的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) B．[6＋eq\r(3)，＋∞)C．[6，＋∞) D．[eq\r(3)，＋∞)B[∵y＝3x＋eq\r(2x－1)在[2，＋∞)上是增函数，∴y最小值＝3×2＋eq\r(2×2－1)＝6＋eq\r(3).∴y＝3x＋eq\r(2x－1)(x≥2)的值域为[6＋eq\r(3)，＋∞)．]7．已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是()A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3C．a≤－3或a≥－2 D．－3≤a≤－2A[y＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2，由已知得，a≤2或a≥3.]8．假如函数f(x)＝x2＋bx＋c对于随意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么()A．f(2)<f(1)<f(4) B．f(1)<f(2)<f(4)C．f(4)<f(2)<f(1) D．f(2)<f(4)<f(1)A[由f(2＋t)＝f(2－t)，可知抛物线的对称轴是直线x＝2，再由二次函数的单调性，可得f(2)<f(1)<f(4)．]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为()A．y＝x B．y＝x3C．y＝－eq\f(1,x) D．y＝x4AB[对于A，y＝x为其定义域上的增函数，是奇函数，A正确；对于C，y＝－eq\f(1,x)为奇函数，但只在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别为增函数，不是整个定义域上的增函数，解除C；对于D，y＝x4为偶函数，解除D，选AB.]10．函数y＝xeq\s\up12(eq\f(3,5))在[－1,1]上是()A．增函数 B．减函数C．奇函数 D．偶函数AC[由幂函数的性质知，当α＞0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝xeq\s\up12(eq\f(3,5))在(0,1]上是增函数．令y＝f(x)＝xeq\s\up12(eq\f(3,5))，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x)eq\s\up12(eq\f(3,5))＝－xeq\s\up12(eq\f(3,5))＝－f(x)，所以f(x)＝xeq\s\up12(eq\f(3,5))是奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以当x∈[－1,0)时，y＝xeq\s\up12(eq\f(3,5))也是增函数．当x＝0时，y＝0，又当x＜0时，y＝xeq\s\up12(eq\f(3,5))＜0，当x＞0时，y＝xeq\s\up12(eq\f(3,5))＞0，所以y＝xeq\s\up12(eq\f(3,5))在[－1,1]上是增函数．故y＝xeq\s\up12(eq\f(3,5))在[－1,1]上是增函数且是奇函数．]11．函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是()A．f(0)＝0B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1C．若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数D．若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2xABD[f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，A正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以B正确，C不正确；对于D，x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x，即D正确．]12．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a的值为()A．3 B.eq\f(1,3)C．5 D．－5BD[f(x)＝ax2＋2ax＋1＝a(x＋1)2＋1－a，对称轴x＝－1，当a>0时，图象开口向上，在[－2,3]上的最大值为f(3)＝9a＋6a＋1＝6，所以a＝eq\f(1,3)；当a<0时，图象开口向下，在[－2,3]上的最大值为f(－1)＝a－2a＋1＝6，所以a综上，a的值为eq\f(1,3)或－5.]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥0，,fx＋2，x<0，))则f(－3)＝________.3[∵－3<0，∴f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，∵1>0，∴f(1)＝2×1＋1＝3，∴f(－3)＝3.]14．已知f(x)为R上的减函数，则满意feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))>f(1)的实数x的取值范围为________．(－∞，0)∪(1，＋∞)[∵f(x)在R上是减函数，∴eq\f(1,x)<1，解得x>1或x<0.]15．已知函数y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，则g(－1)＝________.3[由g(1)＝1，且g(x)＝f(x)＋2，∴f(1)＝g(1)－2＝－1，又y＝f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝1，从而g(－1)＝f(－1)＋2＝3.]16．已知函数f(x－1)＝x2＋(2a－2)x＋3－2(1)若函数f(x)在区间[－5,5]上为单调函数，则实数a的取值范围为________；(2)若f(x)在区间[－5,5]上的最小值为－1，则a的值为________．(本题第一空2分，其次空3分)(1)(－∞，－5]∪[5，＋∞)(2)±eq\r(3)[令x－1＝t，则x＝t＋1，f(t)＝(t＋1)2＋(2a－2)·(t＋1)＋3－2a＝t2＋2at＋2，所以f(x)＝x2＋2ax＋2.(1)因为f(x)图象的对称轴为x＝－a，由题意知－a≤－5或－a≥5，解得a≤－5或a≥5.故实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．(2)当a>5时，f(x)最小值＝f(－5)＝27－10a＝－1，解得a＝eq\f(14,5)(舍去)；当－5≤a≤5时，f(x)最小值＝f(－a)＝－a2＋2＝－1，解得a＝±eq\r(3)；当a<－5时，f(x)最小值＝f(5)＝27＋10a＝－1，解得a＝－eq\f(14,5)(舍去)．综上，a＝±eq\r(3).]四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)若f(x)对x∈R恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，求f(x[解]2f(x)－f(－x)＝3x＋1，将①中的x换为－x，得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，①②联立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2fx－f－x＝3x＋1，,2f－x－fx＝－3x＋1，))把f(x)与f(－x)看成未知数解得f(x)＝x＋1.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)，(1)证明：函数f(x)是偶函数；(2)利用肯定值及分段函数学问，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；(3)写出函数的值域．[解](1)由于函数定义域是R，且f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)．∴f(x)是偶函数．(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x，x<－1，,2，－1≤x≤1，,2x，x>1，))图象如图所示：(3)由函数图象知，函数的值域为[2，＋∞)．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝eq\f(2x＋1,x＋1).(1)推断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．[解](1)f(x)在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x1＋1,x1＋1)－eq\f(2x2＋1,x2＋1)＝eq\f(x1－x2,x1＋1x2＋1).∵x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是增函数．最大值为f(4)＝eq\f(2×4＋1,4＋1)＝eq\f(9,5)，最小值为f(1)＝eq\f(2×1＋1,1＋1)＝eq\f(3,2).20．(本小题满分12分)大气中的温度随着高度的上升而降低，依据实测的结果上升到12km为止温度的降低大体上与上升的距离成正比，在12km以上温度肯定，保持在－55℃(1)当地球表面大气的温度是a℃时，在xkm的上空为y℃，求a、x、y间的函数关系式；(2)问当地表的温度是29℃时，3km[解](1)由题设知，可设y－a＝kx(0≤x≤12，k＜0)，即y＝a＋kx.依题意，当x＝12时，y＝－55，∴－55＝a＋12k，解得k＝－eq\f(55＋a,12).∴当0≤x≤12时，y＝a－eq\f(x,12)(55＋a)(0≤x≤12)．又当x＞12时，y＝－55.∴所求的函数关系式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－\f(x,12)55＋a，0≤x≤12，,－55，x＞12.))(2)当a＝29，x＝3时，y＝29－eq\f(3,12)(55＋29)＝8，即3km上空的温度为8℃21．(本小题满分12分)设函数f(x)的定义域为U＝{x|x∈R且x>0}，且满意条件f(4)＝1.对随意的x1，x2∈U，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x1≠x2时，有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)>0.(1)求f(1)的值；(2)假如f(x＋6)＋f(x)>2，求x的取值范围．[解](1)因为对随意的x1，x2∈U，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，所以f(2)设0<x1<x2，则x2－x1>0.又因为当x1≠x2时，eq\f(fx2－fx1,x2－x1)>0，所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)＞f(x1)，所以f(x)在定义域内为增函数．令x1＝x2＝4，得f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝1＋1＝2，即f(16)＝2.当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋6>0，,x>0，))即x>0时，原不等式可化为f[x(x＋6)]>f(16)．又因为f(x)在定义域上为增函数，所以x(x＋6)>16，解得x>2或x<－8.又因为x>0，所以x>2.所以x的取值范围为(2，＋∞)．22．(本小题满分12分)已知奇函数f(x)＝px＋eq\f(q,x)＋r(p，q，r为常数)，且满意f(1)＝eq\f(5,2)，f(2)＝eq\f(17,4).(1)求函数f(x)的解析式；(2)试推断函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上的单调性，并用函数单调性的定义进行证明；(3)当x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，f(x)≥2－m恒成立，求实数m的取值范围．[解](1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴r＝0.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝\f(5,2)，,f2＝\f(17,4)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＋q＝\f(5,2)，,2p＋\f(q,2)＝\f(17,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2