作业04复数（7大题型巩固提升练能力培优练拓展突破练仿真考场练）

完成时间：月日天气：作业04复数（7大题型巩固提升练+能力培优练+拓展突破练+仿真考场练）一、复数的概念1．复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数等．有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答．2.处理复数概念问题的两个注意点(1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部．(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根．二、复数的四则运算1．复数运算是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主．2.进行复数代数运算的策略(1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用实数运算法则进行计算．①复数的加、减运算类似于实数中的多项式的加、减运算(合并同类项)．②复数的乘、除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)(a－b)＝a2－b2.(2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式．(3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化．三、复数的几何意义1．复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型，解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题．2.在复平面内确定复数对应的点的步骤(1)由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b)．(2)由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b)．一．虚数单位i、复数（共2小题）1．（2023春•淮安期中）下列选项中哪些是正确的A． B．，的最大值为1 C． D．复数，可能为纯虚数【分析】利用平面向量的加法运算判断；求出三角函数的最大值判断；利用二倍角公式求解判断；由纯虚数的定义判断．【解答】解：对于，，故正确；对于，，其最大值为，故错误；对于，，故正确；对于，满足的实数不存在，则复数，不可能为纯虚数，故错误．故选：．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查运算求解能力，是基础题．2．（2023春•秦淮区校级期中）在复平面内，下列说法正确的是A．若复数为虚数单位），则 B．若复数满足，则 C．若复数，则为纯虚数的充要条件是 D．若复数满足，则复数对应点的集合是以原点为圆心，以1为半径的圆【分析】利用复数的运算法则、复数为实数或纯虚数的充要条件、几何意义即可判断出正误．【解答】解：．，因此正确；．令，由，，或，不正确；．复数，则为纯虚数的充要条件是，，因此不正确；．复数满足，则复数对应点的集合是以原点为圆心，以1为半径的圆，正确．故选：．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数或纯虚数的充要条件、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二．复数的代数表示法及其几何意义（共4小题）3．（2024春•东海县期中）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为A． B． C． D．【分析】直接由已知的复数得到其在复平面内对应向量的坐标可得答案．【解答】解：复数与分别表示向量与，，，，表示向量的复数为，故选：．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．（2024春•高邮市校级期中）若复数满足，则在复平面内复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】先利用复数除法运算化简，然后根据复数的几何意义求解即可．【解答】解：由题意得，，则在复平面内复数对应的点是，位于第三象限．故选：．【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数几何意义的应用，属于基础题．5．（2024春•海安市校级期中）已知复数在复平面内对应的点为，且满足，为原点，，求的取值范围，．【分析】设，则，由复数的几何意义可知，点在以点为圆心，2为半径的圆周上或圆内，再结合平面向量数量积的几何意义求解．【解答】解：设，则，设复平面内一点，则有，即点在以点为圆心，2为半径的圆周上或圆内，设直线与圆交于，两点，则，，而，表示在上的投影，由图可知，，，，则，，，又因为，，，所以，即，所以的取值范围为，．故答案为：，．【点评】本题主要考查了复数的几何意义，考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．6．（2024春•泗阳县校级月考）设复数，其中为虚数单位，．（1）若是纯虚数，求实数的值；（2）在复平面内表示复数的点位于第四象限，求实数的取值范围．【分析】（1）根据实部为0，虚部不等于0列式求解可得；（2）根据实部大于0，虚部小于0，列不等式组求解可得．【解答】解：（1）若是纯虚数，则，解得．（2）由题意知，解得，所以实数的取值范围为．【点评】本题考查复数的几何意义，属于基础题．三．纯虚数（共7小题）7．（2024春•江都区期中）若复数是纯虚数，则．【分析】根据纯虚数的定义求解．【解答】解：复数是纯虚数，则．故答案为：．【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．8．（2023春•广陵区校级期中）若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数．【分析】先化简复数，再利用纯虚数的定义，即可得到结论．【解答】解：由题意，，要使复数是纯虚数，则有且，解得．故答案为：【点评】本题考查复数的化简，考查纯虚数的定义，属于基础题．9．（2024春•广陵区校级期中）复数，其中．（1）若复数为实数，求的值；（2）若复数为纯虚数，求的值．【分析】（1）复数为实数，则，求解即可；（2）复数为纯虚数，则，求解即可．【解答】解：（1）复数为实数，则，即或；（2）若复数为纯虚数，则，解得．【点评】本题考查了复数的概念，属基础题．10．（2023春•无锡期中）根据要求完成下列问题：（1）已知复数名在复平面内对应的点在第四象限，，求；（2）复数为纯虚数，求实数的值．【分析】（1）根据题意，得到且，求得，即可求解；（2）因为复数为纯虚数，列出方程组，即可求得实数的值．【解答】解：（1）由复数在复平面内对应的点在第四象限，可得，又由，可得，解得，所以，所以复数．（2）因为复数为纯虚数，则，解得，即求实数的值为．【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及纯虚数的定义，属于基础题．11．（2023春•灌云县期中）已知复数，其中．（1）若为纯虚数，求的值；（2）若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围．【分析】（1）由题知，解方程组即可得答案；（2）由题知，解不等式组即可得答案．【解答】解：（1）因为复数，为纯虚数，所以，解得或，所以，当为纯虚数时，或．（2）复数，在复平面内对应的点在第一象限，所以，解得或．故的取值范围是，，．【点评】本题考查了纯虚数的定义以及复数的几何意义，是基础题．12．（2023春•锡山区校级期末）已知复数，其中是正实数，是虚数单位．（1）如果为纯虚数，求实数的值；（2）如果，是关于的方程的一个复根，求的值．【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解；（2）根据已知条件，先求出，再结合韦达定理，即可求解．【解答】解：（1），则为纯虚数，故，解得；（2），则，故也是关于的方程的一个复根，故，解得，，故．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．13．（2023春•新吴区校级期末）已知复数，，其中是虚数单位，．（1）若为纯虚数，求的值；（2）若，求的虚部．【分析】（1）由复数，，求出，且为纯虚数，得到实部为0，虚部不为0，即可求出的值．（2）由，将代入，求出，，然后化简即可求出复数的虚部．【解答】解：（1）由复数，，则．为纯虚数，且．则；（2）由，得，，解得，即，此时，，复数，复数的虚部为1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数模的求法，是基础题．四．复数的运算（共9小题）14．（2024春•阜宁县期中）下列复数中，满足方程的是A． B． C． D．【分析】直接解方程即可得到答案．【解答】解：，即，即，解得．故选：．【点评】本题考查复数的运算，是基础题．15．（2024春•常州期中）在复平面内，复数，对应的两个点关于虚轴对称，已知，则A． B．2 C． D．【分析】根据复数的乘法运算求解．【解答】解：由题意，，则．故选：．【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．16．（2024春•启东市校级月考）已知，则集合，中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据复数的乘方运算，化简，即可得到答案．【解答】解：，，，，集合，中元素的个数为2个．故选：．【点评】本题考查复数的乘方运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．（2024春•鼓楼区校级期中）设为复数为虚数单位），下列命题正确的有A．若，则 B．若的共轭复数，则 C． D．在复平面内，集合所构成区域的面积为【分析】求解复数的模判断；利用复数代数形式的乘除运算判断；由虚数单位的运算性质判断；由复数模的几何意义判断．【解答】解：由，得，则，故错误；由，得，故正确；，故正确；集合表示以为圆心，半径为2的圆，故，故错误．故选：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．18．（2024春•阜宁县期中）已知为虚数单位，则．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．19．（2024春•宿迁期中）设复数，．（1）若是实数，求；（2）若是实数，求．【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得．（2）利用复数除法及复数的分类求出即得．【解答】解：（1）由，，得，而是实数，于是，解得，所以．（2）依题意，是实数，则，解得，故，．【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．20．（2024春•连云港期中）在复平面内，复数对应的点的坐标为，，且为纯虚数是的共轭复数）．（1）求的值；（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围．【分析】（1）结合复数的几何意义，再利用复数的乘法化简复数，由已知条件可求得实数的值；（2）利用复数的除法求，再结合复数的几何意义求解．【解答】解：（1）由题意，复数，，则，为纯虚数，，解得；的值为3；（2）复数，复数在复平面对应的点在第一象限，，解得．实数的取值范围为．【点评】本题考查了复数的运算，考查了复数的基本概念，是基础题．21．（2024春•阜宁县期中）已知复数和它的共轭复数满足．（1）求；（2）若是关于的方程的一个根，求复数的模．【分析】（1）根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数相等的条件，即可求解．（2）根据已知条件，结合韦达定理，求出，，再结合复数的四则运算，即可求解．【解答】解：（1）设，则，，所以，解得，，故．（2）是关于的方程的一个根，是关于的方程的另一个根，，解得，，复数的模为．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数相等的条件，属于基础题．22．（2024春•徐州期中）已知复数，其中是实数，是虚数单位．（1）如果为纯虚数，求实数的值；（2）如果，，求的值．【分析】（1）利用复数运算法则和纯虚数的定义求解；（2）利用复数运算法则求解．【解答】解：（1）复数，其中是实数，是虚数单位．，为纯虚数，，解得实数；（2），，，，，，，，．【点评】本题考查复数运算法则、纯虚数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．五．共轭复数（共4小题）23．（2024春•鼓楼区校级期中）设为虚数单位），则的共轭复数A． B． C． D．【分析】先利用复数的四则运算求出，再结合共轭复数的概念求解．【解答】解：，所以．故选：．【点评】本题主要考查了复数的运算，考查了共轭复数的定义，属于基础题．24．（2023春•锡山区校级期中）已知复数满足且，则的值为A． B． C． D．【分析】设，则，由题意得，则，分别计算其立方值，代入后即可求解．【解答】解：设，则，根据，得，根据，得，由，解得，故，，由于，同理得，因此得．故选：．【点评】本题考查了复数的运算，属于中档题．25．（2023春•新吴区校级月考）已知复数是方程的根是虚数单位，．（1）求；（2）设复数，是的共复数），且复数所对应的点在第三象限，求实数的取值范围．【分析】（1）将复数根代入方程中，根据复数相等即可求解，根据已知条件，结合复数的四则运算，对化简，再结合复数的结合意义即可列不等式求解．【解答】解：（1）复数是方程的根，则，即，故，解得，，则；（2），则数，复数所对应的点在第三象限，，解得，故的取值范围为，．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于中档题．26．（2023春•如东县期中）已知复数，，其中为虚数单位．（1）若复数为纯虚数，求的值；（2）若，求的值．【分析】（1）根据纯虚数的定义，列出方程组即可求解．（2）根据共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．【解答】解：（1）复数为纯虚数，，解得或．（2）设，则，将其代入，可得，化简得，，则，解得，或，或，或，解得．【点评】本题主要考查复数的运算法则，纯虚数，共轭复数的定义，复数的性质，属于中档题．六．复数的模（共5小题）27．（2024春•广陵区校级月考）复数满足，则A． B． C． D．【分析】化简复数，可求的模长．【解答】解：由题意，，则．故选：．【点评】本题考查复数的模长，属于基础题．28．（2024春•海门区校级期中）下列说法正确的是A．， B． C．若，，则的最小值为1 D．若是关于的方程的根，则【分析】结合复数模公式，复数的几何意义，共轭复数的定义，以及韦达定理，即可求解．【解答】解：设，则，，故正确；，则，故错误；，，表示以为圆心，1为半径的圆，表示该圆上的点到点的距离，故的最小值为1，故正确；是关于的方程的根，则也是关于的方程的根，故，解得，故正确．故选：．【点评】本题主要考查复数模公式，复数的几何意义，共轭复数的定义，以及韦达定理，属于基础题．29．（2023春•天宁区校级期末）已知复数满足，则的最大值是5．【分析】由复数模的几何意义可知复数在以为圆心，以1为半径的圆周上，所以的最大值是到的距离加上半径1．【解答】解：由，可知复数在以为圆心，以1为半径的圆周上，所以的最大值是到的距离加上半径1，等于．故答案为5．【点评】本题考查了复数模的几何意义，考查了复数模的求法，体现了数形结合的解题思想，是基础题．30．（2023春•常熟市期中）若是虚数单位，，则．【分析】根据复数的运算性质与复数的模长公式计算即可．【解答】解：化简原式，可得，所以，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查了复数的运算，考查了复数的模长公式，属于基础题．31．（2023春•苏州期中）下面给出的几个关于复数的命题，①若是纯虚数，则实数；②复数是纯虚数；③复数在复平面内对应的点位于第三象限；④如果复数满足，则的最小值是2．以上命题中，正确命题的序号是②③．【分析】根据纯虚数的概念和复数的几何意义逐个检验可得．【解答】解：因为为纯虚数，所以且，解得，故①错误；因为，所以，所以是纯虚数，故②正确；因为，，所以在复平面内对应的点在第三象限，故③正确；由复数的几何意义知，表示复数对应的点到点和到点的距离之和，又因为，所以复数对应的点在线段上，而表示点到点的距离，所以其最小值为，故④错误．故答案为：②③．【点评】本题考查复数的概念及其运算，考查运算求解能力，属于基础题．七．复数的三角表示（共3小题）32．（2023春•秦淮区校级期中）任何一个复数（其中，，为虚数单位）都可以表示成（其中，的形式，通常称之为复数的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，若复数为纯虚数，则正整数的最小值为A．2 B．4 C．6 D．8【分析】由题意，根据棣莫弗定理，纯虚数的定义，求得的最小值．【解答】解：复数为纯虚数，，，，，根据，可得正整数的最小值为4，此时，，故选：．【点评】本题主要考查棣莫弗定理，纯虚数的定义，属于基础题．33．（2023春•盐城期中）在二维直角坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出．如：将向量绕坐标原点逆时针方向旋转得到向量，由，以为终边的角为，则点，进而求得点，．借助复数、三角及向量的知识，可以研究平面上点及图像的旋转问题．请尝试解答下列问题：（1）在直角坐标系中，已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针方向旋转至．求点的坐标；（2）设向量，把向量按顺时针方向旋转角得到向量，求向量对应的复数．【分析】（1）由已知点的坐标为，，，利用定义可得的坐标为，，化简得答案；（2）设向量对应的复数为，可得，再由复数代数形式的除法运算求解．【解答】解：（1）点的坐标为，，，，将绕坐标原点逆时针方向旋转至，则的坐标为，，，，点的坐标为；（2）设向量对应的复数为，则，．【点评】本题考查复数的三角形式，考查运算求解能力，是基础题．34．（2024春•赣榆区期中）设为虚数，为实数．（1）求；（2）设在复平面内对应的点为，以轴的非负半轴为始边，射线为终边的角记为，求证：；（3）若，，求的最小值．【分析】设，化简复数，（1）通过为实数，推出或，然后求解复数的模．（2）依题意，结合（1）知，．证明．（3）由（1）知，，化简复数，求解复数的模，利用基本不等式转化求解即可．【解答】解：设，则．（1）因为为实数，所以，所以或，又为虚数，故，从而，所以．（2）证明：依题意，结合（1）知，．则．（3）由（1）知，，，则，因为，所以，所以，所以（当且仅当，即时，等号成立），所以的最小值为1．【点评】本题考查复数的计算，复数的模以及三角形式的应用，是中档题．一．多选题（共7小题）1．（2024春•江苏月考）设，为复数，则下列结论中正确的是A．若为虚数，则也为虚数 B．若，则的最大值为 C． D．【分析】对于，由为虚数，得为虚数，从而可判断，对于，由进行判断，对于，设，，，，，然后分别求解进行判断，对于，根据复数的向量表示及向量的不等式分析判断．【解答】解：对于，因为为虚数，为实数，所以为虚数，所以也为虚数，所以正确，对于，当时，满足，此时，所以错误，对于，设，，，，，则，，所以，，所以，所以正确，对于，设，确定的向量分别为，则由向量不等式得，所以恒成立，所以正确，故选：．【点评】本题考查复数的运算，属于中档题．2．（2024春•扬州月考）已知复数，，，下列说法正确的有A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则【分析】直接根据复数的四则运算及模的性质即可判断各项的正误．【解答】解：对于选项，设，，则，，所以由可得：，所以，故正确；对于选项，令，，则，故不正确；对于选项，因为，所以，所以或，故正确；对于选项，令，，则，故不正确．故选：．【点评】本题考查复数的模的性质及四则运算，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．3．（2024春•如皋市月考）在复平面内，，对应的复数分别为，，且，则可能是A． B． C． D．【分析】根据复数的几何意义得出，结合同角三角函数的基本关系即可得出所求的答案．【解答】解：因为，，且，所以，即，即，又因为，所以且或且，所以或．故选：．【点评】本题考查复数的概念及几何意义，考查学生的数学运算能力，属中档题．4．（2024春•海陵区校级期中）已知复数，，以下四个说法中错误的是A．复数，不能比较大小 B．若，则 C． D．【分析】利用复数的定义，复数的四则运算，复数模的公式，验证各选项是否正确．【解答】解：设，，对于，当时，复数，都是实数时，可以比较大小，选项错误；对于，，只需且，如，，不能得到，选项错误；对于，，，当时，不成立，选项错误；对于，而，选项正确．故选：．【点评】本题主要考查复数的运算，复数的模，考查运算求解能力，属于中档题．5．（2024春•徐州期中）已知复数，均不为0，则下列结论正确的是A． B． C．若，，则在复平面内对应的点在第二象限 D．【分析】分别赋值和根据复数的几何意义求出结果．【解答】解：与不一定相等，当时，，，故错误；共轭复数只有虚数部分正负号变化，所以相等，故正确；，在第二象限，故正确；，，则，故正确．故选：．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（2024春•邗江区校级期中）已知复数，，下列说法正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若复数，不相等且，则在复平面内对应的点在一条直线上【分析】直接利用复数的运算，复数的共轭，复数的几何意义判断、、、的结论．【解答】解：设复数，，，，，对于：若，故，故，，故，故正确；对于：若，所以，整理得，故，整理得，与不等价，故错误；对于：当，故，，即，；故，故成立，当，故，不一定，，所以当，不成立，故错误；对于：复数，不相等且，根据复数的几何意义，在复数，的垂直平分线上，故正确．故选：．【点评】本题考查的知识点：复数的运算，复数的共轭，复数的几何意义，主要考查学生的运算能力，属于中档题．7．（2024春•启东市校级月考）复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，下列说法正确的是A．若，则 B．若，则 C．若是关于的方程的一个根，则 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为【分析】根据复数的运算法则结合选项进行分析计算即可．【解答】解：对于，若，，满足，但，，两者不能用大、小于号连接，错误；对于，设，，则，正确；对于，由得，所以，，所以，正确；对于，点的集合所构成的图形为半径为1和的同心圆所形成的圆环，面积为，正确．故选：．【点评】本题主要考查复数的相关性质，属中档题．二．填空题（共1小题）8．（2024春•玄武区校级月考）在复平面中，已知点、，复数、对应的点分别为、，且满足，，则的最大值为．【分析】由题意设，，，，由，得，求得，再由数量积的坐标运算结合三角函数求最值．【解答】解：由题意设，，，，由，得，整理得，，，，可得，，，则，的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数的恒等变换应用，考查运算求解能力，是中档题．三．解答题（共3小题）9．（2024春•海安市校级期中）求值：（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由虚数单位的性质计算可得答案；（2）由复数的乘法公式计算可得答案；（3）由复数的除法公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，；（2）；（3）．【点评】本题考查复数的计算，注意复数的四则运算法则，属于基础题．10．（2024春•海安市校级月考）已知是复数，和均为实数，其中是虚数单位．（1）求复数的共轭复数；（2）记，若复数对应的点在第三象限，求实数的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数、实数的定义，即可求解；（2）根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．【解答】解：（1）设，则，为实数，，解得，为实数，，解得，，；（2）由（1）可知，，复数对应的点在第三象限，则，解得，故实数的取值范围为，．【点评】本题主要考查复数的四则运算，考查转化思想，属于中档题．11．（2024春•邗江区校级期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．③方程为正整数）有个不同的复数根．（1）设，求；（2）试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合；（3）复数，求．【分析】（1）利用欧拉公式及可求得；（2）设，依题意，可求得，，对赋值可求得复数的值所组成的集合；（3）依题意，可得的根为1，，，，分析可得，再令可求得答案．【解答】解：（1）由，则，则；（2）设，则，故，，，则当，1，2，3，4，5