浙江2025届高考数学一轮复习 平面解析几何 单元检测（含解析）

单元检测九平面解析几何

（时间：120分钟满分：150分）

第I卷（选择题共40分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.直线/经过点（艰，一2）和（0,1）,则它的倾斜角是（）

A.30°B.60°C.150°D.120°

答案D

解析由斜率公式仁上二^=1一（"^）=—皆，再由倾斜角的范围[0。,180°）知，tanl20°

也一荀Q-y]3v

=一小,故选D.

2.直线而一y—3A+3=0过定点（）

A.(3,0)B.(3,3)C.(1,3)D.(0,3)

答案B

解析Ax—y—3A+3=0可化为y—3="（x—3）,所以过定点⑶3）.故选B.

3.由直线y=x+l上的一点向圆（x—3尸+/=1引切线，则切线长的最小值为（）

A.y/7B.2y[2C.ID.3

答案A

%吐=2也，所以

解析圆的圆心为⑶0）,r=l,圆心到直线x~y+l=0的距离为d=

由勾股定理可知切线长的最小值为\（2邸）2—1?=小.

4.一束光线从点火一1,1）发出，并经过x轴反射，到达圆（x—2）2+5—3尸=1上一点的最

短路程是（）

A.4B.5C.3^2-1D.2耶

答案A

解析依题意可得，点/关于x轴的对称点4（—1,-1）,圆心C（2,3）,4c的距离为

、（2+iy+（3+l）2=5,所以到圆上的最短距离为5—1=4,故选A.

5.已知直线x+y=a与圆V+/=4交于46两点，且|应+应|=|应一应|,其中。为原

点，则实数a的值为（）

A.2B.-2C.2或一2D.乖或一乖

答案C

解析由I而+丽=|应一物得I应+应『=|游一面2,化简得应•应=0,即应，血三角

形/必为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为镜，即&=/，a=+2.

6.已知双曲线£的中心为原点，尸（3,0）是£的焦点，过户的直线，与£相交于48两点，

且4?的中点为M—12,-15）,则£的方程为（）

2222

XVXV

x2y2x2y2

c-?-7=1D.『-『1

答案B

解析由已知条件得直线1的斜率为k=Q\,

Y2V2

设双曲线方程为-?一力=1（a>0,8>0）,

ab

22

矛1711

「一苕=1,

ab

Z(xi,%),6(x2,乃)，则有<

1,

两式相减并结合为+济=-24,yi+刃=-30

得，口=*，从而誓=i,

即4Z>2=5a2,

xi-X25a5a

又旨+4=9,解得—=4,炉=5,故选B.

7.（2024•绍兴市、诸暨市模拟）如图，已知点尸是抛物线G/=4x上一点，以户为圆心,

r为半径的圆与抛物线的准线相切，且与x轴的两个交点的横坐标之积为5,则此圆的半径r

为（）

A.2-\/3B.5

C.4小D.4

答案D

解析设圆与x轴的两个交点分别为48,由抛物线的定义知x.=r—1,则尸（r—1,2耳口），

又由中垂线定理，知|以|+|如|=2（r—1）,且|十加|=5,故由圆的切割线定理，得

（2寸=）2=（1+|勿|）（1+|阳），绽开整理得r=4,故选D.

22

8.（2024•绍兴市、诸暨市模拟）己知双曲线的标准方程为FY—£V=1,R,兄为其左、右焦点，

ab

若卢是双曲线右支上的一点，且tan/阳tanN在4=2,则此双曲线的离心率为（）

A.洞.叁.芈D.y[3

答案A

解析由tan/阳Ktan/阳月=2知，

PRLPFz,作轴于点0,

8

则由△阳—△用户0,得|£@=4出0|=三0,

故谬.

代入双曲线的方程，有《I/—J•"=*,

又a+l）=c,则（9/—5/）（d—5才）=0,

解得5=/或?=乎（舍），即离心率6=/，故选A.

9.（2024•宁波模拟）设抛物线/=4x的焦点为F,过点一（5,0）的直线与抛物线相交于A,B

两点，与抛物线的准线相交于点C,若|町=5,则A&F与的面积之比浮等于（）

〉XACF

5201520

A•尹获H）•药

答案D

解析由题意知直线相的斜率存在，

则由抛物线的对称性不妨设其方程为y=Wx—5）,k>0,

与抛物线的准线x=T联立，得点。的坐标为（T,—64）,

与抛物线的方程y=4x联立，消去y得

KX—(lOA?+4)x+25A=0,

n.,lOA"

则XA\XB~?,Aj&=25,

又因为I跖I=.+1=5,所以&=4,

95

代入解得XA=—,4=4,

则%=5,为=-4,H=-24,

则T%一”|=58,

S^ABF=^\PF\\yA-ys\=18,

4S&ABF20

则^—=1——=右，故选D.

「XACFO/\ACF/丫

22

XV

10.已知直线/：Ax—y—2A+l=0与椭圆G：F+R=1（2>6>0）交于46两点，与圆G：

ab

（x—2）（p—l）2=1交于乙〃两点.若存在—2,-1],使得4。=勿,则椭圆G的离

心率的取值范围是（）

答案

解析直线，过圆G的圆心，'：AC=DB,

二I花|=|森I，；.C的圆心为线段"的中点.

-22

当+芸=1,

ab

设/（xi,7i）,6（x2,现），贝心22

%4=i,

lab

两式相减得，

（不+用）（矛—1X2）（%+度）（%—度）

1=1;

片

化简可得一2•—=k,

a

第n卷（非选择题共no分）

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题

中横线上）

11.（2024•台州质检）已知直线/i：mx-\-3y=2—m,72：x+（zzz+2）y=L若卜"卜,则实数

m=；若Z-LA,则实数必=.

答案一3--

\nim-\-2）=3,

解析，〃/2等价于解得勿=—3.

\JTI-7-2—m,

3

11_1/2等价于切+3（必+2）=0,解得〃=—/.

12.（2024•浙江十校联盟考试）抛物线尸41的焦点坐标是,焦点到准线的距离是

1

制案O

68-

解析由y=4/,得可得20=；,所以夕即焦点的坐标为（0,T7）,焦点到准线

44o\10/

的距离为"

O

13.（2024•衢州模拟）己知圆C与x轴相切于点7（1,0）,与y轴正半轴交于两点A,B（B在A

的上方），恒8=2,圆。的半径为；圆C在点方处的切线在x轴上的截距为.

答案4-1-72

解析设圆心。（1,0,则半径7=6.

由垂径定理得，1+昌）=况

即b=®且80,1+4）.

又由/4?C=45°,切线与8c垂直，

知切线的倾斜角为45°,

故切线在x轴上的截距为一1一，！

226

14.若双曲线当一看=l（a>0,6>0）的右焦点到渐近线的距离等于焦距的4倍，则双曲线的离

ab4

心率为，假如双曲线上存在一点?到双曲线的左右焦点的距离之差为4,则双曲线

的虚轴长为.

答案2473

解析由于右焦点到渐近线的距离等于焦距的于倍，

bJI

可知双曲线渐近线尸-x的倾斜角为方，

a3

即(=/，所以e=f=加不^=2，

因为a=2,从而6=^16—4=2

所以虚轴长为4m.

15.已知点4(0,1),抛物线C：/=ax(a>0)的焦点为凡线段物与抛物线C相交于点必FA

的延长线与抛物线的准线相交于点儿若|掰：M=1：3,则实数a的值为.

答案@

解析依题意得焦点尸的坐标为，，0),

设点〃在抛物线的准线上的射影为4,连接阳(图略)，

由抛物线的定义知|如|=|胸1,

因为|阳：|M=1：3,

所以|腑：|砌=2班：1,

b,0-1-4\KN\厂

又kFN=h—=?’扇=一西=-2事’

厂。

所以q=2镜，解得a=4.

X2V2

16.已知双曲线£：/一行=1@0,6〉0)的左、右焦点分别为£,%2(2,1),6是£上不同

2JT

的两点，且四边形跖是平行四边形，若/AF2B=F，SABF=小，则双曲线£的标准方

3A叫V

程为.

2

答案f-y=l

解析如图,

因为四边形/£陇是平行四边形,

所以SABfF2=SArpp»

JI

ZEAFi=­f

O

兀

所以］£「=|/周：+|阳「-2］力固L|cosk，

即4c2=|Z用?+|力创2一上网|力知,①

又4a2=(|4£|一|/笈|)2,

所以4/=|/£」+|/知2一2|/川|/川，②

由①②可得|必11Ml=4方,

］［3

X4/?-><,

又SABF2=22=事

y

所以炉=1,将点4(2,1)代入f—/=1,可得旨=2,

a

故双曲线£的标准方程为万一丁=1.

I/d

17.在平面直角坐标系x勿中，4(3,0),尸(3,t),t£R,若存在C,〃两点满意爆=

=2,且历=2瓦；则力的取值范围是

答案［―24，2洞

IAC\

解析设以X,力，因为4(3,0),3=2,

所以m君t〃=2

"十必

整理得(x+l)?+/=4,

即点C在圆胭(x+l)2+/=4上.

同理由卷=2可得点。也在圆〃上.

因为92的所以C是阳的中点，

过点〃作腑L",垂足为"连接酸PM.

设1M=d,\PC\=\CD\=2k,分别在RtzXCmRtZk/W中，由勾股定理，得

优+d—4,

c,2-消去发得，d=20—8/

〔9发+d=)+16,

因为0Wd<4,所以dW20,解得一2乖乖,

所以t的取值范围是［―2m，2m］.

三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

18.(14分)已知过点/(0,1),且斜率为次的直线，与圆C：

(x—2>+(y—3尸=1相交于弘C两点.

(1)求实数"的取值范围;

⑵求证：赢•疝为定值.

⑴解由题意过点40,1)且斜率为4的直线的方程为尸布+1,

代入圆C的方程得(1+A?)x2—4(l+A)x+7=0,

因为直线与圆a(X—2)'+3—3)2=1相交于弘“两点，

所以4=[-4(l+A)]2-4X7X(1+^2)>0,

解得子〈-苧，

所以实数A的取值范围是内区,41.

⑵证明设yi),N(X2,㈤，

AM=(xi,yi—1),AN=(X2,刃一1),

4(1+A)7

由(1)得,

X1+苞二1+炉3苞=1+7'

所以71+y2=(Axi+1)+(以+1)=k(xi+x2)+2.

%刃=(4xi+l)(«冬+1)=J^xiX2+k(xi+x2)+1.

所以(矛1,yi—1),(彭，J2—1)

=XiX2~\~(71—1)(刃—1)=XiX2-\~乃乃一(71+72)+1

=汨生+好不用=(1+妙)•]+«2=7,

所以南•就为定值.

19.(15分)(2024•浙江名校高考探讨联盟联考)如图，以P(0,—1)为直角顶点的等腰直角

△7W内接于椭圆F+/=l(a>l),设直线冏/的斜率为k.

a

(1)试用a,A表示弦长|仞V|；

⑵若这样的△阳存在3个，求实数a的取值范围.

解(1)不妨设直线网所在的直线方程为y=a—1(衣0),代入椭圆方程F+y=1,

a

整理得(1+螺)x-2kax=0,

左力,口2km

解得拓=0,押=]+才7,

则|PM\=3+一|矛1一X21——2，_pk,

所以|MN'H|PM\=一对筌号工

v1十ak

（2）因为△曲是等腰直角三角形，

所以直线四所在的直线方程为y=一%—1GKO）,

2a2[1+^

同理可得|加=]

发+甘

l+a》

令|掰|=|",整理得43+才]2+/4+1=0,

J^+l+ak(k+l)=0,

（4+1）（六一k-\-1）ak（k~\~1）=0,

即（A+l）[/+（才-1）A+l]=0.

若这样的等腰直角三角形PMN存在3个，则方程炉+（才一1）4+1=0有两个不等于一1的负

根.左，根

rzl=（a2-l）2-4>0,

左+左=1—才<0,

则《

左左2=1>0,

<1—（a2-1）+17^0,

因为a〉l,所以a>/.

22

XV

20.（15分）已知椭圆GF+?=1（少力0）的长轴长为4,其上顶点到直线3x+4p—1=0的

ab

3

距离等于三

5

kq_J5

（i）求椭圆。的方程；

⑵若直线/与椭圆，交于46两点，交x轴的负半轴于点反交y轴于点尸（点昆尸都不在

椭圆上），且物=几/£,FB=^2BE,41+42=-8,证明：直线/恒过定点，并求出该定点.

解⑴由椭圆。的长轴长为4知2H=4,故H=2,

3

4Z?—1-得

椭圆的上顶点为（0,力，则由5

5

所以椭圆。的方程为了+/=1.

⑵设4（矛1,yi）,£（外0）（加0,/W—2）,F（0,n）,

由£4=儿/£,得（矛1,%—7?）=儿（/一荀，一%）,

所~以，《（1入+i九m'1+nJA

—f（入2m〃）

同理由阳=小跳；得仁工，存了J，

把.《（1+iz九zz'i+n九\）&（+入2n儿l，i+〃九、）分八别代八、入、z三+,y2=i

］（4—in）4；+841+4—4Z?2=0,

得:<

［（4-次）V+842+4—4Z?2=0,

即小，42是关于x的方程（4—肃系+8x+4—4//=0的两个根，J4i+2——8,

4一%

・•.〃=—十,所以直线/恒过定点（一/，0）.

3

21.（15分）已知抛物线G/=2以（夕>1）上的点/到其焦点的距离为亍且点/在曲线x+/

5,

一,=0上.

⑴求抛物线。的方程；

（2）〃（矛,1yi）,N（X2,㈤是抛物线C上异于原点的两点，0（照，内）是线段仞V的中点，点户是

抛物线。在点弘N处切线的交点，若I%—丹|=4夕，证明：4/W的面积为定值.

⑴解设点/（2，力），

3

・・・点A到抛物线焦点的距离为5,

3p2

,，,XA=2~29%=2夕明=2

5

又点/在曲线x+y—­=0上,

-+25

•■-12-—2=0,

51

即夕J7+1=0,解得夕=2或夕=5（舍去）,

・・・抛物线。的方程为/=4x.

⑵证明由（1）知叶，力），《与

外，I%—刑1=8,

设抛物线。在点〃处的切线的斜率为k回0）,

则该切线的方程为y-y1

y-y\

联立方程得消去x,整理得

=4x,

"-4y+4jq—44=。，

•••〃是切点，，/=16—4瓜4%一后）=0,

..2

即4—4Ayi+A-2j^=0,解得k=—,

Xi

o2c\

,直线7W的方程为p—%=—（太一?），即P=—x+?，

%4y\z

同理得直线内的方程为尸会+全

_%及

x~~9

解得《,

71+y2

7=2:

./yi72%+⑶

・・々丁，2)

是线段掰V的中点，.•

„Xl+恁4+jl

.•.尸0〃x轴,且Xo=---=---,

.♦.△/W的面积a0|•加一

1yiyi,,

=2~~Xo•\yi-y2\

1yiyi4+jl,,

=5V————fl

=77加—"「=32,

即A/W的面积为定值.