2024高考数学二轮专题复习测试专题强化练二含解析

PAGE专题强化练(二)1．(2024·河南省试验中学质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且csin2B－bsin(A＋B)＝0.(1)求角B的大小；(2)设a＝4，c＝6，求sinC的值．解：－sinBsin(A＋B)＝0，化简可得2sinCsinBcosB－sinBsinC＝0，因为sinBsinC≠0，所以cosB＝eq\f(1,2)，因为B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理可得：cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，eq\f(16＋36－b2,2×4×6)＝eq\f(1,2)，所以b＝2eq\r(7)，由正弦定理可得：sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(3\r(21),14).2．(2024·淮北模拟)已知△ABC的面积为S，且eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝S.(1)求sin2eq\f(A,2)－cos2eq\f(A,2)－eq\r(5)sin2A的值；(2)若角A，B，C成等差数列，|eq\o(CB,\s\up14(→))－eq\o(CA,\s\up14(→))|＝4，求△ABC的面积S.解：(1)设△ABC中A、B、C的对边分别为a、b、c，因为eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝S及S＝eq\f(1,2)bcsinA，所以tanA＝2⇒eq\f(sinA,cosA)＝2，因为sin2A＋cos2A＝1，所以sinA＝eq\f(2\r(5),5)，cosA＝eq\f(\r(5),5).sin2eq\f(A,2)－cos2eq\f(A,2)－eq\r(5)sin2A＝－cosA－2eq\r(5)sinAcosA＝－eq\r(5).(2)因为2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，所以B＝eq\f(π,3)，从而有sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(2\r(5)＋\r(15),10).因为|eq\o(CB,\s\up14(→))－eq\o(CA,\s\up14(→))|＝c＝4，所以由正弦定理eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)得b＝8eq\r(15)－12eq\r(5).所以S＝eq\f(1,2)bcsinA＝32eq\r(3)－48.3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA－acosB＝2c.(1)证明：tanB＝－3tanA；(2)若b2＋c2＝a2＋eq\r(3)bc，且△ABC的面积为eq\r(3)，求a.(1)证明：依据正弦定理，由已知得sinBcosA－cosBsinA＝2sinC＝2sin(A＋B)，绽开得sinBcosA－cosBsinA＝2(sinBcosA＋cosBsinA)，整理得sinBcosA＝－3cosBsinA，所以tanB＝－3tanA.(2)解：由已知得b2＋c2－a2＝eq\r(3)bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3)bc,2bc)＝eq\f(\r(3),2)，由0<A<π，得A＝eq\f(π,6)，tanA＝eq\f(\r(3),3)，所以tanB＝－eq\r(3)，由0<B<π，得B＝eq\f(2π,3)，所以C＝eq\f(π,6)，a＝c，由S＝eq\f(1,2)acsineq\f(2π,3)＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)a2＝eq\r(3)，得a＝2.4.(2024·安阳模拟)如图，在平面四边形ABCD中，∠DCB＝45°，∠ABD＝120°，∠ABC＝α，AD＝10eq\r(3).(1)求△ABD的面积的最大值；(2)在△ABD的面积取得最大值的条件下，若BC＝5eq\r(2)，求taneq\f(α,2)的值．解：(1)在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝BA2＋BD2－2BA·BDcos120°，所以300＝BA2＋BD2＋BA·BD≥3BA·BD，所以BA·BD≤100，当且仅当BA＝BD＝10时，等号成立．所以S△ABD＝eq\f(1,2)BA·BDsin120°≤25eq\r(3)，故△ABD的面积的最大值为25eq\r(3).(2)在△BCD中，由题意可得∠BCD＝45°，BD＝10.由正弦定理可得eq\f(BC,sin∠CDB)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，所以sin∠CDB＝eq\f(BC·sin∠BCD,BD)＝eq\f(5\r(2)×\f(2,2),10)＝eq\f(1,2).＝105°，所以α＝135°，所以taneq\f(α,2)＝tan67.5°.因为tan135°＝eq\f(2tan67.5°,1－tan267.5°)＝－1，所以taneq\f(α,2)＝tan67.5°＝1＋eq\r(2)(负值舍去)．5．(2024·北京市平谷区模拟)在△ABC中，∠B＝eq\f(π,3)，b＝eq\r(7)，________．求BC边上的高．①sinA＝eq\f(\r(21),7)，②sinA＝3sinC，③a－c＝2，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．解：选择①，在△ABC中，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(\f(a,\r(21)),7)＝eq\f(\f(\r(7),\r(3)),2)，解得a＝2；×eq\f(1,2)，化简得c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)；所以BC边上的高为h＝csinB＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).选择②，在△ABC中，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，又因为sinA＝3sinC，所以eq\f(a,3sinC)＝eq\f(c,sinC)，即a＝3c；由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即(eq\r(7))2＝(3c)2＋c2－2×3c×c×eq\f(1,2)，化简得7c2＝7，解得c＝1或c＝－1(舍去)；所以BC边上的高为h＝csinB＝1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).选择③，在△ABC中，由a－c＝2，得a＝c＋2；由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即(eq\r(7))2＝(c＋2)2＋c2－2×(c＋2)×c×eq\f(1,2)，化简得c2＋2c－3＝0，解得c＝1或c＝－3(舍去)；所以BC边上的高为h＝csinB＝1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，__________，求△ABC的周长L和面积S.在①cosA＝eq\f(3,5)，cosC＝eq\f(\r(5),5)，②csinC＝sinA＋bsinB，B＝60°，③c＝2，cosA＝－eq\f(1,4)这三个条件中，任选一个补充在上面问题中的横线处，并加以解答．解：选①因为cosA＝eq\f(3,5)，cosC＝eq\f(\r(5),5)，且0<A<π，0<B<π，所以sinA＝eq\f(4,5)，sinC＝eq\f(2\r(5),5)，在△ABC中，A＋B＋C＝π，即B＝π－(A＋C)，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(3,5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(10\r(5),25)＝eq\f(2\r(5),5)，由正弦定理得，b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(4×\f(2\r(5),5),\f(4,5))＝2eq\r(5)，因为sinB＝sinC，所以c＝b＝2eq\r(5)，所以△ABC的周长L＝a＋b＋c＝4＋2eq\r(5)＋2eq\r(5)＝4＋4eq\r(5)，△ABC的面积S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(5)×eq\f(2\r(5),5)＝8.选②因为csinC＝sinA＋bsinB，所以由正弦定理得，c2＝a＋b2因为a＝4，所以b2＝c2－4.又因为B＝60°.由余弦定理得b2＝c2＋16－2×4×c×eq\f(1,2)所以c2－4c＋16＝c2－4.解得c＝5.所以b＝eq\r(21).所以△ABC的周长L＝a＋b＋c＝4＋eq\r(21)＋5＝9＋eq\r(21).△ABC的面积S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×4×5×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3).选③因为c＝2，cosA＝－eq\f(1,4)，所以由余弦定理得，1