2024-2025学年高中数学综合测评课后习题含解析新人教B版必修第三册

PAGE综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数y=4sin2x(x∈R)是()A.周期为2π的奇函数 B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数 D.周期为π的偶函数解析周期为2π2=π,因为定义域为R,以-x替换x,得4sin(-2x)=-4sin2x,答案C2.sin140°cos10°+cos40°sin350°=()A.12 B.-12 C.32 D解析依题意,原式=sin40°cos10°-cos40°sin10°=sin(40°-10°)=sin30°=12,故选A答案A3.已知α∈0,π2,2sin2α=cos2α+1,则sinα=()A.55 B.15 C.33解析∵2sin2α=cos2α+1,∴4sinαcosα=2cos2α,∵α∈0,π2,∴cosα>0,sinα>0,∴2sinα=cosα.又sin2α+cos2α=1,∴sinα=55.故选A答案A4.在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E是BC的中点,则AC·AE=(A.3+33 B.92 C.3解析由题意知∠ABC=120°,BA·BC=2×2×cos120°=-2,AC·AE=(BC-BA)·(BE-BA)=(BC-BA)·12BC-BA=12BC2-32答案D5.函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像如图所示,为了得到g(x)=sin2x的图像,可将f(x)的图像()A.向右平移π6个单位 B.向右平移πC.向左平移π12个单位 D.向左平移π解析因为f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π),函数图像过点7π12,-1,所以-1=sin7π6+φ,可得φ=π3,因此函数f(x)=sin2x+π3的图像向右平移π6个单位得到函数g(x)=sin2x的图像,故选A答案A6.一个半径为R的扇形,它的周长是4R,则这个扇形所含的弓形的面积是()A.12(2-sin2)R2 B.14RC.12R2 D.R21-sin22解析弧长l=4R-2R=2R,扇形的圆心角α=lR=2RR=2,S扇形=12lR=12×2R×R=R2,S三角形=12×2Rsin1×Rcos1=sin22·R2,S弓形=S扇形-S三角形=R2-sin22·答案D7.已知cosα=-45,α∈(-π,0),则tanα-π4=()A.17 B.7 C.-17 D.解析∵cosα=-45,α∈(-π∴α∈-π,-π2,∴sinα=-35,tanα=3则tanα-π4=tanα-11+tanα=3答案C8.黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).如图所示,五角星是由五个黄金三角形与一个正五边形组成,在其中一个黄金△ABC中,BCAC=5-12.依据这些信息,可得A.1-254C.-5+14 D.解析由题图可知,∠ACB=72°,且cos72°=12所以cos144°=2cos272°-1=-5+1则sin234°=sin(144°+90°)=cos144°=-5+1答案C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.9.若将函数f(x)=2sin2x+π3的图像向右平移φ个单位,所得函数为偶函数,下列选项中,满意φ的取值的是()A.5π12 B.π3 C.2π解析由题意知函数f(x)=2sin2x+π3的对称轴满意2x+π3=kπ+π2(k∈Z),即x=kπ2+π12(k∈Z),当k=-1时,可得位于y轴左侧的对称轴方程为x=-5π12,此时φ=5π12.当k=0时,可得位于综上可得A,D满意题意,故选AD.答案AD10.下列四个选项中,结果正确的是()A.cos(-15°)=6B.cos15°cos105°+sin15°sin105°=0C.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=1D.sin14°cos16°+sin76°cos74°=1解析选项A:原式=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=22×3选项B:原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0,B正确;选项C:原式=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos60°=12,C正确选项D:原式=cos76°cos16°+sin76°sin16°=cos(76°-16°)=cos60°=12,D正确答案BCD11.在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,在下列命题中,是真命题的有()A.若a·b>0,则△ABC为锐角三角形B.若a·b=0,则△ABC为直角三角形C.若a·b=c·b,则△ABC为等腰三角形D.若c·a+c2=0,则△ABC为直角三角形解析在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,①若a·b>0,则∠BCA是钝角,△ABC是钝角三角形,选项A错误;②若a·b=0,则BC⊥CA,△ABC为直角三角形,选项B③若a·b=c·b,则b·(a-c)=0,即CA·(BC-AB)=0;CA·(BC+BA)=0,取AC的中点D,则CA·2BD=0,所以BA=BC,即△ABC为等腰三角形,④因为c·a+c2=AB·BC+AB2=AB·(BC+AB)=0,所以AB故选B,C,D.答案BCD12.对于函数f(x)=12cos2x-π2,给出下列结论,其中正确的是()A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)在π6,C.函数f(x)在π4D.函数f(x)的图像关于点-π2,0对称解析由诱导公式可得:f(x)=12cos2x-π2=12sin2x所以T=2πω=2π2=π≠2若x∈π6,π2,则2x∈π3,π,12sin2x∈0,12,故函数令π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ(k∈Z),即π4+kπ≤x≤3π4+kπ(k∈Z),函数f(x)在π4+kπ,3π4+kπ(k∈Z)上单调递减,当令2x=kπ(k∈Z),则x=kπ2(k∈Z),函数f(x)=12sin2x的对称中心为kπ2,0(k∈Z),当k=-1时,函数f(x)的图像关于点-π2,0对称,选项D答案CD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若sinθ2=45,且sinθ<0,则θ是第解析由倍角公式得cosθ=1-2sin2θ2=1-2×452=-725<0,又sinθ<0,因此,θ是第三象限角答案三14.设α为锐角,若cosα+π6=45,则sin2α+π12的值为.

解析设β=α+π6,则sinβ=35,sin2β=2sinβcosβ=2425,cos2β=2cos2β-1因此sin2α+π12=sin2α+π3-π4=sin2β-π4=sin2βcosπ4-cos2βsinπ答案1715.已知平面对量a,b,c满意|a|=1,|b|=1,|c-(a+b)|≤|a-b|,则|c|的最大值为.

解析当|c|为定值时,|c-(a+b)|当且仅当c与a+b同向时取最小值,此时|c-(a+b)|=|c|-|a+b|≤|a-b|,所以|c|≤|a+b|+|a-b|.因为|a|=|b|=1,所以(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)=4,所以(|a+b|+|a-b|)2=(a+b)2+(a-b)2+2|a+b|·|a-b|≤2[(a+b)2+(a-b)2]=8,所以|c|≤|a+b|+|a-b|≤22,当且仅当a⊥b且c与a+b同向时取等号.答案2216.函数y=cos2x-4sinx的最小值为,最大值为.

解析y=cos2x-4sinx=1-sin2x-4sinx=-(sinx+2)2+5,因为sinx∈[-1,1],所以当sinx=-1时,ymax=-1+5=4;当sinx=1时,ymin=-9+5=-4.答案-44四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知f(a)=sin(1)化简f(a);(2)若f(a)=18,且π4<a<π2,求cosa-sin解(1)f(a)=si=sin2a·cosa·tana(2)由(1)知,f(a)=12sin2a=18,得sin2a=所以(cosa-sina)2=1-sin2a=34因为π4<a<π2,所以cosa-sin所以cosa-sina=-3218.(12分)已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1).(1)若a-tb与c共线,求实数t;(2)求|a+tb|的最小值及相应的t值.解(1)∵a-tb=(-3,2)-t(2,1)=(-3-2t,2-t),又a-tb与c共线,c=(3,-1),∴(-3-2t)×(-1)-(2-t)×3=0,解得t=35(2)∵a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),∴a+tb=(-3,2)+t(2,1)=(-3+2t,2+t),∴|a+tb|=(-=5(t-45)

2+495≥495=719.(12分)如图所示,在平面直角坐标系中,锐角α,β(β>α)的终边分别与单位圆交于A,B两点,点A的坐标为45,3(1)若点B的坐标为513,1213,求cos(α+β)(2)若OA·OB=310解(1)因为α、β是锐角,且A45,35,B513,1213在单位圆上,所以sinα=35,cosα=45,sinβ=1213,cosβ=513,故cos(α+β)=cosαcosβ-sin(2)因为OA·所以|OA||OB|cos(β-α)=310且|OA|=|OB|=1,所以cos(β-α)=31010,可得sin(β-α)=1010(β>α),且cosα=45,sin故sinβ=sin[α+(β-α)]=sinαcos(β-α)+cosαsin(β-α)=3520.(12分)已知函数f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求函数g(x)在区间0,解(1)因为f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx,所以f(x)=sinωxcosωx+1+cos2ωx2=12sin2ωx+12cos2由于ω>0,依题意得2π2ω=π,所以ω(2)由(1)知f(x)=22sin2所以g(x)=f(2x)=22sin4当0≤x≤π16时,π4≤4x+π4≤π2,所以22≤sin4x+π4≤1故g(x)在区间0,π1621.(12分)向量a=cosx,-12,b=(3sinx,cos2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的表达式并化简;(2)求出f(x)的最小正周期并在下图中画出函数f(x)在区间[0,π]内的简图;(3)若方程f(x)-m=0在[0,π]上有两个根α,β,求m的取值范围及α+β的值.解(1)f(x)=3sinxcosx-12cos2=32sin2x-12cos2x=sin2x-π6(2)f(x)的最小正周期T=π.(3)由图可知,当m∈-1,-12时,α+β2=5π6,即α+β=5π3;当m∈-12,1时,α+β2=π3,即α+β=2π3;所以m的取值范围为-1,-1222.(12分)已知向量OA=cos3x2,sin3x2,OB=cosx2,-sinx2,且x∈-π4(1)若f(x)=OA·OB,求函数f(x)关于x(2)求f(x)的值域;(3)设t=2f(x)+a的值域为D,且函数g(t)=12t2+t-2在D上的最小值为2,求a的值解(1)f(x)=OA=cos3x2cosx2-sin=cos3x2+x2=(2)由(1)知f(x)=cos2x,∵x∈-π4,π4,∴2x∈∴cos2x∈[0,1].故函数f