2024北京北师大实验中学初三（下）开学考数学试卷和答案

北师大实验中学2023-2024学年度第二学期综合练习初三年级数学班级姓名学号成绩1.本试卷共10页，共3道大题，28道小题；答题纸共3页。满分100分。考试时间120分钟。考生须知2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号。3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答。一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分）1．年月日，国家统计局发布的《中华人民共和国20232282022年国民经济和社会发展统计公报》中报道：2022年全年研究与试验发展（&ꢁ）经费支出30870亿元，比上年增长10.4%，将数字30870用科学记数法表示应为（）30.87×103B.3.087×105C.0.3087×1053.087×104【答案】D（东城一模第2题）用科学记数法表示较大的数时，一般形式为ꢂ×10ꢄꢃ，其中1|a<10，为整数．30870=3.087×104．2．下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）B.C.【答案】B（综合石景山一模第4题、丰台一模第3题）ꢅ+2ꢆ=3,3．方程组的解是（）�2ꢅ−ꢆ=57138ꢅ=ꢆ=ꢅ=ꢆ=ꢅ=ꢆ=ꢅ=2ꢆ=131B.51C.31����353【答案】B（改编题，西城二模第3题）北师大实验中学2023-2024学年度第二学期综合练习初三年级数学第1页，共20页4．a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）B.||||ꢂ<ꢇC.>0ꢂ>−1−1<ꢂ+ꢇ<0【答案】C（改编题，综合东城一模第4题，西城一模第5题）52个红球和3均为黄球的概率是（）3149B.C.10102525456题）6．如图，点P是圆形舞台上的一点，舞台的圆心为，在P点安装的一台某种型号的灯光装置，其照亮的区域如图中阴影所示，该装置可以绕着P点转动，转动过程中，边界的两条光线分别与圆交于A，B两点，并且夹角保持不变，该装置转动的过程中，以下结论正确的是（）．点P到弦所在直线的距离存在最大值ꢈꢉB．弦AB的大小改变C．弦与PB的长度之和不变ꢊꢈ．图中阴影部分的面积不变【答案】（23-24华女九上期中题）7．教练将某射击运动员50次的射击成绩录入电脑，计算得到这50个数据的平均数是7.5，方差是1.64．后来教练核查时发现其中有2个数据录入有误，一个错录为9环，实际成绩应是6环；另一个错录为7环，实际成绩应是10环．教练将错录的2个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是ꢅ，方北师大实验中学2023-2024学年度第二学期综合练习初三年级数学第2页，共20页差是ꢋ2，则（）．ꢅ>7.5,ꢌ2=1.64ꢅ=7.5,ꢌ2>1.64B．ꢅ=7.5,ꢌ2<1.64C．．2Dꢅ<7.5,ꢌ=1.64【答案】C（改编题，2022年北京西城区九年级二模）8．如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）．B．C．．【答案】B（22~23门头沟九上期中）二、填空题（共8小题，每题2分，共16分）北师大实验中学2023-2024学年度第二学期综合练习初三年级数学第3页，共20页√5−ꢍ9．若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．ꢅꢍ+3【答案】且（改编题，石景山朝阳东城西城丰台海淀）ꢅ≠−3ꢅ≤510．分解因式：−8+16ꢆ+ꢅ2ꢆ=_________．【答案】ꢆ(ꢅ−4)2（改编题，石景山朝阳东城丰台西城海淀）3ꢍ+212．分式方程=的解为_______．1−ꢍ【答案】ꢅ=−（改编题，海淀西城丰台朝阳）5112．命题“若，则ꢂ>”是假命题，请写出一个满足条件的ꢂ>0ꢎ的值，ꢂ=．1,这个数在0-1213．若关于的一元二次方程(ꢏ+3)ꢅ2−2ꢅ+5=0有两个实数根，则实数kꢅ的取值范围是．【答案】ꢏ≠−3且ꢏ≤−2.8（改编石景山一模15题）14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在上，边⊙ꢐAB、AC分别交⊙ꢐ于、E两点﹐点B是�的中点，则∠ABE=ꢑꢁ．【答案】13°（22年北师大附中模拟题）15．如图，在矩形中，点是坐标原点，点在反比例函数ꢆ=的图象2ꢈꢐꢉꢑꢐꢈꢍꢒ5√上，点ꢉ在反比例函数ꢆ=的图象上，∠ꢋꢓꢄꢑꢈꢉ=，则ꢏ=．ꢍ5北师大实验中学2023-2024学年度第二学期综合练习初三年级数学第4页，共20页【答案】-8（22年北师大附中模拟题）16．如图，在甲，乙两个十字路口各方向均设有人行横道和交通信号灯，小宇在甲路口西南角的ꢈ处，需要步行到位于乙路口东北角ꢉ处附近的餐馆用餐，已知两路口人行横道交通信号灯的切换时间及小宇的步行时间如下表所示：人行横道交通信小宇的步行时间号灯的切换时间沿人行横道穿过甲路口每1min乙路口每2min任一条马路在甲、乙两路口5min之间（ꢑꢁ段）假定人行横道的交通信号灯只有红、绿两种，且在任意时刻，同一十字路口东西向和南北向的交通信号灯颜色不同，行人步行转弯的时间可以忽略不计，若小宇在ꢈ处时，甲、乙两路口人行横道东西向的交通信号灯均恰好转为红灯，小宇从ꢈ处到达ꢉ处所用的最短时间为【答案】7（22年人大附中模拟题）min.6817-21522题623题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：°30．6ꢔꢕꢋ45−√8+�√2−5�−(ꢖ−2)北师大实验中学2023-2024学年度第二学期综合练习初三年级数学第5页，共20页【答案】（改编东城二模，石景山一模）2√2+2ꢍ+12ꢅ−1<①18．解不等式组2，并写出它的所有整数解．�−3ꢅ+1≤5②4【答案】−≤ꢅ<1，−1，0（改编西城二模）319.已知2ꢅ2−ꢅ−2=0，求代数式(2ꢅ−1)2−2(1−ꢅ)的值解：∵2ꢅ2−ꢅ−2=0∴2ꢅ2−ꢅ=2∴(2ꢅ−1)2−2(1−ꢅ)=4ꢅ2−4ꢅ+1−2+2ꢅ=2=(2)4ꢅ−2ꢅ−122ꢅ−ꢅ−1=4−1=320.下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．已知：如图，ꢈꢉ∥ꢑꢁ．求证：∠ꢈꢗꢑ=ꢈ+∠ꢑ∠方法二方法一证明：如图，延长AE，交CD于点F．证明：如图，过点E作MN【答案】(西城一模原题)方法一证明：如图，过点E作MN，北师大实验中学2023-2024学年度第二学期综合练习初三年级数学第6页，共20页∴∠A=∠AEM．∵ꢈꢉ∥ꢑꢁ，∴MN∥CD，∴C=．∵AEC∠=∠AEM+∠CEM，∴=A+∠C．方法二证明：如图，延长AE，交CD于点F，∵ꢈꢉ∥ꢑꢁ，∴∠A=∠AFC．∵=+C，∴=A+∠C．°，过点D作DE⊥BC交的延长线21.如图，在ꢀꢈꢉꢑꢁ中，∠ꢈꢑꢉ=90于点E，连接ꢈꢗ交CD于点F．（1）求证：四边形ꢈꢑꢗꢁ是矩形；（2）连接BF，若∠ꢈꢉꢑ=60，ꢑꢗ=，求BF的长．北师大实验中学2023-2024学年度第二学期综合练习初三年级数学第7页，共20页2问改了数）【小问1详解】ꢀ∠ACB90°，=证明：∴⊥，ꢀ⊥，∴ACꢀ，ꢀ四边形ABCD是平行四边形，点E在的延长线上，∴ADꢀCE，∴四边形ꢀ∠ACE=90°，ACEDACED是平行四边形，∴四边形【小问2详解】ꢀ四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形，是矩形；\=CD=，AF=EF，ꢈꢁ=ꢑꢗ=ꢑꢉ=3ꢀ∠ABC=60°，，∴△ꢈꢉꢗ是等边三角形，∴BF⊥AE，ꢈꢉ=ꢈꢗ=ꢉꢗ=2ꢑꢗ=2×3=6，11∴∠ꢈꢘꢉ=90°，ꢈꢘ=ꢈꢗ=×6=3，22∴ꢉꢘ=√ꢈꢉ2−ꢈꢘ2=√62−32=3√3，∴BF的长是．3√3k22.在平面直角坐标系xOy中，直线yx与双曲线y=相交于点Pm和点=()x．(1)求m的值及点Q的坐标；kx()y=x=(2)已知点Nn，过点N作平行于x轴的直线交直线与双曲线y分()()>1别为点Ax,y和Bx,y．当x2时，直接写出n的取值范围．1122北师大实验中学2023-2024学年度第二学期综合练习初三年级数学第8页，共20页23-24学年九上房山期末）（1）解：将点ꢊ(2,ꢙ)代入直线ꢆ=ꢅ得：ꢙ=，故点ꢊ(2,2)，ꢒ将点ꢊ(2,2)代入双曲线ꢆ=得：ꢏ=，ꢍ4故双曲线为ꢆ=,ꢍ4联立直线ꢆ=ꢅ与双曲线ꢆ=得：ꢅ=−2或2，ꢍ故点ꢚ的坐标为(−2,−2)，故答案为：ꢙ=，ꢚ(−2,−2)；（2）解：如图，当直线ꢈꢉ在点P上方时，ꢅ>ꢅ，12此时，ꢄ>ꢛ=，即ꢄ>2；如图，当直线ꢈꢉ在点Q上方x轴下方时，ꢅ>ꢅ，12此时，0>ꢄ>ꢜ=−2，即−2<ꢄ<0；综上，ꢄ>2或−2<ꢄ<0；23.第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京举成功兴办掀起了全民“冬奥热”“冬奥知识”九年级共有学生48030名学生的两次竞赛成绩，北师大实验中学2023-2024学年度第二学期综合练习初三年级数学第9页，共20页满分50面给出了部分信息：a．小明在统计第二次竞赛成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表：成绩4545.54646.54747.54848.54949.550（分）人数2102111414（人）注：成绩只能为0.5的整数倍．b．将竞赛成绩按四舍五入取整后，得出的频数分布折线图如下（数据分组：ꢅ=45，45<ꢅ≤46，46<ꢅ≤47，47<ꢅ≤48，48<ꢅ≤49，49<ꢅ≤50）某校抽取30名学生的两次“冬奥知识”竞赛成绩折线统计图c．两次竞赛成绩的平均数、中位数如下：平均数中位数第一次48.5046.75第二次m根据以上信息，回答下列问题：北师大实验中学2023-2024学年度第二学期综合练习初三年级数学第10页，共20页(1)请补全折线统计图，并标明数据；(2)请完善c中的统计表，的值是ꢙ．(3)若成绩为46.5分及以上为优秀，根据以上信息估计，第二次竞赛九年级约名学生成绩达到优秀；有(4)通过观察、分析，小明得出这样的结论“在抽取30名学生的第一次竞赛成绩中，众数一定出现在45<ꢅ≤46这一组”．请你判断小明的说法“正确”或“错误”．【答案】(23年北京二中模拟题)（1）成绩为46分的学生人数为：30−18−2−1−3−2=4；补全折线统4（2）ꢙ=49.5；故答案为：．1+3+2+18（3）480×=38430故答案为：384．（445<ꢅ≤46的分数可以是45.5或46然这一组人数最多，但也可能出现在ꢅ=45或49<ꢅ≤50这两组中．24．如图，ꢈꢉ为⊙ꢐ的直径，弦ꢈꢑꢈꢁ于，连接、，过点ꢈ作⊙ꢐꢑꢁ⊥ꢈꢉ的切线，∠的平分线相交于点ꢗ，ꢁꢗ交ꢈꢑ于点ꢘ，交ꢈꢉ于点ꢝ，交⊙ꢐꢈꢁꢑ于点ꢞ，连接ꢈꢞ．北师大实验中学2023-2024学年度第二学期综合练习初三年级数学第页，共20页(1)求证：ꢈꢑ=ꢈꢁ；(2)若，求AF长．ꢟꢂꢄꢈꢞꢁ=2√2ꢑꢁ=4∠，【答案】(23-24平谷九上期末题)【分析】证明方法不唯一，仅供参考（1ꢑꢠ=ꢁꢠꢈꢠꢑ=∠ꢈꢠꢁ=90°△ꢈꢑꢠ≌△ꢈꢁꢠ即可；1（2ꢈꢞꢁ=ꢈꢑꢁCH=DH=ꢑꢁ=，2ꢟꢂꢄ∠ꢈꢞꢁ=ꢟꢂꢄ∠ꢈꢑꢁ=2√2ꢈꢠ=4√2ꢈꢑ=，根据ꢈꢗ⊥ꢈꢉ，ꢑꢁ⊥ꢈꢉ，得到ꢈꢗ∥ꢑꢁ，结合ꢁꢗ是∠ꢈꢁꢑ的平分线，推出∠ꢈꢗꢁ=∠ꢈꢁꢗꢈꢗ=ꢈꢁ=ꢈꢑ=ꢈꢗ∥ꢑꢁ证明△ꢈꢗꢘ∽△ꢑꢁꢘ，得到ꢡꢢ=ꢡꢥ，即可求解．ꢣꢤꢥꢣ1ꢀꢈꢉ为⊙ꢐ的直径，ꢑꢁ⊥ꢈꢉ，∴CH=DH°，∠ꢈꢠꢑ=∠ꢈꢠꢁ=90，在△ꢈꢑꢠ与△ꢈꢁꢠ中，ꢑꢠ=�∠ꢈꢠꢑ=∠ꢈꢠꢁ=90°，ꢈꢠ=ꢈꢠ△ꢈꢑꢠ≌△ꢈꢁꢠ，∴∴ꢈꢑ=ꢈꢁ；（2ꢀ∠ꢈꢞꢁ=ꢈꢑꢁ，∴ꢟꢂꢄ∠ꢈꢞꢁ=ꢟꢂꢄ∠ꢈꢑꢁ=2√2，1CH=DH=CD=22，ꢀ∴ꢈꢠ=ꢑꢠ⋅ꢟꢂꢄ∠ꢈꢑꢁ=4√2，∴ꢈꢑ=√ꢈꢠ2+ꢑꢠ2=，ꢀꢈꢗ⊥ꢈꢉ，ꢑꢁ⊥ꢈꢉ，北师大实验中学2023-2024学年度第二学期综合练习初三年级数学第12页，共20页∴ꢈꢗ∥ꢑꢁ，∴∠ꢈꢗꢁ=∠ꢑꢁꢗ,∠ꢗꢈꢑ=∠ꢈꢑꢁ=∠ꢈꢁꢑ，ꢀꢁꢗ是∠ꢈꢁꢑ的平分线，∴∠ꢑꢁꢗ=∠ꢈꢁꢗ，∴∠=，∴ꢈꢗ=ꢈꢁ=ꢈꢑ=，ꢀꢈꢗ∥ꢑꢁ，∴△ꢈꢗꢘ∽△ꢑꢁꢘ，∴ꢡꢢꢣꢤꢡꢥ6ꢡꢥ=，即=，ꢥꢣ1846−ꢡꢥ∴AF=5．25.排球场的长度为18ꢙ，球网在场地中央且高度为2.24m，排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度ꢆ(单位：ꢙ)与水平距离ꢅ(单位：ꢙ)近似满足函数关系ꢆ=ꢂ(ꢅ−ꢀ)2+ꢏ(ꢂ<0)．(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度的几组数据如下：ꢅꢆ水平距离ꢅ/ꢙ02461112竖直高度ꢆ/ꢙ2.382.622.72.621.721.42①根据上述数据，求抛物线解析式；②判断该运动员第一次发球能否过网______(填“能”或不能”),并说明理由．(2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度单位：与水平距ꢆ(ꢙ)离ꢅ(单位：ꢙ)近似满足函数关系ꢆ=−0.02(ꢅ−5)2+2.88，请问该运动员此北师大实验中学2023-2024学年度第二学期综合练习初三年级数学第13页，共20页次发球是否出界，并说明理由．22-23学年八下期末题）（11）①由表中数据可得顶点(4,2.7)，设ꢆ=ꢂ(ꢅ−4)2+2.7(ꢂ<0)，把(0,2.38)代入得16ꢂ+2.7=2.38，解得：ꢂ=−0.02，∴所求函数关系为ꢆ=−0.02(ꢅ−4)2+2.7；②不能．当ꢅ=9时，ꢆ=−0.02(9−4)2+2.7=2.2<2.24，∴该运动员第一次发球能过网，故答案为：不能；（2）判断：没有出界．第二次发球：ꢆ=−0.02(ꢅ−5)2+2.88，令ꢆ=0，则−0.02(ꢅ−4)2+2.88=0，，解得ꢅ=−7(舍)，x=17，21∵2=17<18，∴该运动员此次发球没有出界．26.已知二次函数ꢆ=ꢂꢅ2+ꢇꢅ+的图像经过点(．ꢈ2,2(1)用含的代数式表示______；ꢂ(2)若直线值；ꢇ=3√2ꢆ=ꢅ与抛物线ꢆ=ꢂꢅ2+ꢇꢅ+2相交所得的线段长为，求的ꢂ2(3)若抛物线2与轴交于ꢞ(ꢅ,0ꢦꢅ,0和()两点（1<2，ꢆ=ꢂꢅ+ꢇꢅ+2ꢅ12且2ꢅ+ꢅ>0，直接写出ꢂ的取值范围．12【答案】(22人大附分校模拟题)（1）解：∵二次函数ꢆ=ꢂꢅ2+ꢇꢅ+的图像经过点ꢈ(2,2)，∴4ꢂ+2ꢇ+2=2，∴ꢇ=−2ꢂ，故答案为：−2ꢂ；（2）解：由（1）得二次函数解析式为ꢆ=ꢂꢅ2−2+2，1ꢅ=ꢆ=ꢆ=ꢂꢅ2−2+2ꢅ=2ꢆ=2ꢎ由题意得：�，解得：�1，�，ꢆ=ꢅꢎ11即直线与抛物线的两个交点坐标为�,�，(2,2)；ꢎꢎ2213√2由题意得：2�−2�=��，ꢎ2北师大实验中学2023-2024学年度第二学期综合练习初三年级数学第14页，共20页2解得：ꢂ=或ꢂ=2；7（3）解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴ꢧ=(−2ꢂ)2−4ꢂ×2>，解得：ꢂ<0或ꢂ>2；当ꢂ>2时，对于ꢆ=ꢂꢅ2−2+2，令ꢅ=0，有ꢆ=2，即抛物线与y轴交点为，(0,2)∴抛物线必过(2,2)与∴0<ꢅ<ꢅ，，12∴必有2ꢅ+ꢅ>0；12当ꢂ<0时，对于ꢂꢅ2−2+2=0，则由根与系数的关系有：ꢅ+ꢅ=2，12∴2ꢅ+ꢅ=ꢅ+(ꢅ+ꢅ)=ꢅ+2>0，121121即1>−；∵ꢂ<0，抛物线对称轴为直线ꢅ=1，且ꢅ<ꢅ，12∴当ꢅ=−2时，ꢆ=ꢂ×(−2)2−2ꢂ×(−2)+2<，1解得：ꢂ<−；41综上，ꢂ<−或ꢂ>2．427．如图1，在正方形ABCD中，BD是对角线，将线段AB绕点A逆时针旋转ꢨ（0°<ꢨ<90）得到线段AE，点E关于直线BD的对称点是点F，射线BF交线段AD于点，连接BE，GE.（1）当=30时，①依题意补全图1；②求∠的度数；α°ꢘꢉꢈ（2）直接写出∠的大小，并证明。ꢉꢗꢝ北师大实验中学2023-2024学年度第二学期综合练习初三年级数学第15页，共20页图1备用图解答：（1）①如图②∵旋转∴AE=AB∴∠ABE=∠AEB180°−180°−30°∴===75°22∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABC=90°，ABCABD=CBD==45°2∵E、F关于BD对称∴∠FBD=∠EBD∴−=CBD−∴==−=90°−75°=15°(2)∠BEG=90°证明：作∠BAE的角平分线分别交BG、BE于点M、,BAEαBAM=∠EAM==则.22∵AB=AE,∴AH⊥BE,BH=BE,180°−BAEαABE=AEB==90°−,22北师大实验中学2023-2024学年度第二学期综合练习初三年级数学第16页，共20页∴MB=ME.∵E、F关于BD对称,∴∠FBD=∠EBD.∴−=CBD−.αα∴∠FBA=∠EBC=∠ABC−∠ABE=90°−90°−=.22∴∠MAB=∠MBA.∴MA=MB.∵=°−∠,=°−∠,∴MA=MG.∴MA=MB=ME=MG.∴A、B、E、G在以M为圆心，AM为半径的圆上.∴=°−∠=°.28.是圆上的两个点，点在⊙C的内部．若∠为直角，则称∠ꢈꢊꢉꢈ,ꢉꢊꢈꢊꢉ为ꢈꢉ关于⊙C的内直角，特别地，当圆心ꢑ在∠边（含顶点）上时，称ꢈꢊꢉ∠ꢈꢊꢉ为ꢈꢉ关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠ꢈꢞꢉ是ꢈꢉ关于⊙C的内直角，∠是ꢈꢉ关于⊙C的最佳内直角．在平面直角坐标系ꢅꢐꢆ中．ꢈꢦꢉ（1）如图2，⊙O的半径为5，ꢈ(0,−5),ꢉ(4,3)是⊙O上两点．①已知()，，，3，，在∠∠∠ꢈꢊ1ꢉ,ꢈꢊ2ꢉ,ꢈꢊ3ꢉ中，是ꢊ1,0ꢊ�−21�ꢊ�0�12ꢈꢉ关于⊙O的内直角的是______；②若在直线ꢆ=2ꢅ+ꢇ上存在一点ꢊ，使得∠求ꢇ的取值范围．是ꢈꢉ关于⊙O的内直角，ꢈꢊꢉ（2）点ꢗ是以ꢩ(ꢟ,0)圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与ꢅ轴交于点ꢁ（点ꢁ在点ꢩꢞ(1,0),ꢦ(0,ꢄ)，对于线段ꢞꢦ上每一点H，都存在点ꢩ，使∠是ꢁꢗ关于⊙T的最