2023北京四中初三上学期期末考数学试题

西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料初三数学第一学期期末复习建议北京四中初三数学备课组2023.12一、总体建议1.计划性.根据学生的具体情况与期末复习课的节数，合理制定具体的复习计划，确定每节课的复习任务，从容复习不留死角.2.面向全体学生务必做到夯实基础对于基础薄弱的学生,建议先正确掌握核心的基础知识，落实.落实好基础后利用试卷中档偏难题进行加强和提升，多思考，多总结，体会其中的数学思想方法，来提高分析问题、解决问题的能力.3．把握核心内容、重要概念和原理，重要方法和策略，章节内知识的线性联通.比如复习二次函数时，对二次函数图象特征和函数性质的理解既要注重由数到形，也要关注由形到数，注重由观察函数图象特征而得到相应结论的代数计算和论证等.4..学生在对新知识学习过程中更多.复习时建议最好结合具体问题或问题串多引导学生理解、总结、归纳知识间的联系与区别，帮助学生在面对具体问题或情景比较新的问题时能够选择恰当的方法进行解决，并实现知识的迁移.二、复习建议（一）代数复习建议1.熟练掌握一元二次方程的各种解法.如，公式法、因式分解法、配方法.2.提升从数、形两个角度理解、掌握函数、方程、不等式之间的关系的能力如，函数自变量和函数值的取值范围，函数的单调性的理解、应用等，在复习过程中信息呈现形式多样，注意做一些数和形之间的对应和转化练习.3.提升代数运算能力和推理能力.综合问题.4.掌握方程、二次函数的应用.（二）几何复习建议1.2.对于几何综合问题，建议先易后难，注意通过添加常见辅助线构造基本图形，在解题时还要注第1页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料意运用好通过转移线段或角等方法实现问题的最终解决等能力，如：对于圆的综合问题要注意提升在圆中实现等线段或等角的转换的能力.3.述过程时要时刻多问几个为什么？（如为什么这样做，怎么想到的，如何去建立已知和待证的联系等）.（三）概率建议1.对象，几个步骤，是放回”还是“不放回的问题，所研究的问题是否需要关注顺序等；2.关注等可能，做到不重不漏.关于列举的方法，当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能的结果数当一次试验涉及两个或更多个因素时，可使用画树状图法，要特别关注表格和树状图的规范性.3.1）选择合适的方法整理数据2）分析数据求出对应概率，得出结论.三、具体内容第二十一章一元二次方程第2页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料知识点：1．一元二次方程的概念（10做一元二次方程．（2）一元二次方程的一般形式：ax2bxc=0（a，其中ax2叫做二次项，叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a．（3.典型题目：1．下列方程中，属于一元二次方程的是()1A．x22B．x22C．x22x30D．2(xxx2．已知，关于x的方程(mxm13x10是一元二次方程，则m_______.3．一元二次方程3x210的一次项系数是，常数项是．4．已知关于x的一元二次方程x22xa10有一个实数根为，则a的值为．2．一元二次方程的解法（降次）（1）直接开平方法（m）=（n≥0）的根是xb2（2）配方法：将ax++=0a）化成mn．b2的形式，当b2ac≥0时，用直接开xaa2平方法求解．（3）公式法：2++=0（a）的求根公式为xbb2ab2．（4）因式分解法：将方程右边化为，左边化为两个一次因式的积，令每个因式等于，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解．典型题目：1．方程x240的根是．2．用配方法解方程x24x1，变形后结果正确的是()A．(x25B．(x22x2a23C．(x2)25D．(x22aaa3．已知x1是关于x的方程的一个根，求代数式2的值．4用适当的方法解下列关于x的方程（1）（5）(x(x29；（2）x22x40；（）4x212x9；4）x5x；22(x0；（6）2x23x10；（）x2(m2)xm0．第3页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料3．根的判别式bb2ax2c0a0（1）当△>0时，方程有两个不相等的实数根，即x．abaax2c0a0ax2c0a0（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根，即x2．1（3）当△<0时，方程没有实数根．典型题目：1．关于x的一元二次方程x22xm0有实数根，则实数m的取值范围为()A．m1B．mC．m1D．m2．一元二次方程2x23x50根的情况是()A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根D．无法判断C．没有实数根13．关于x的一元二次方程ax2++=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数ab4的值：a=，=．4．若关于x的方程23x10有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()949499A．mB．mC．m且m0D．mm0且4x2m0．252021中考）已知关于x的一元二次方程(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若m>0，且该方程的两个实数根的差为2m的值．x2xm10mm的值及此时方程26（2019x的方程的根．72018中考）关于x的一元二次方程ax++1=0.(1)当ba时利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根．8．已知关于x的一元二次方程x24xm20有两个不相等的实数根．（1mm为正整数，求此时方程的根．9．已知关于x的一元二次方程x2m240．（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）选择一个m的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根．第4页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料10.（2023x的方程x23xm10mm的值及此时方程的根．4．列一元二次方程解应用题的主要步骤（123456）答．典型题目：1设邀请x个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为()x(xA．2xB．x(xx(xC．D．222021年生产某种机械50002023年生产该种机械6600生产该种机械的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是()A．)C．)2B．x22D．))23．某学校有一个矩形小花园，花园长20米，宽18米，现要在花园中修建人行雨道，如图所示，阴影部分为雨道，其余部分种植花卉，同样宽度的雨道有3条，其中两条与矩形的宽平行，另外一条与矩形的宽垂直，计划花卉种植面积共为平方米，设雨道的宽为x米，根据题意可列方程为．4．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏宽忽略不平方米，求生态园垂直于墙的边长．5——学校为突出榜样教师的示范引领作用，在校园里通过展板展示四位教师的先进事迹、现有一块长25dm8dm之间及四周都留有宽度相同的空白区域．如果所有矩形展示区域的面积之和为dm2宽度应是多少dm？第5页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料6．如图，在ABC中，A90，，，现有动点从点出发，沿射线方PBQ从点CCAP的速度是/sQ的速度是cm/s，它们同时出发，设运动时间是tst．（1t3s时，求的面积．（2）经过多少秒时，的面积是2．7．某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：销售单价x（元/件）每天销售量y（件)30405060500400300200（1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；（245元/艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？第6页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料第二十二章二次函数1.二次函数的图象及性质解析式开口yaxh2kay2c(ayaxxxxa12a0，开口向上，a0，开口向上，a越大开口越小，a越小开口越大(,k)11x2顶点坐标（）配方（x式求yx顶点横坐标：，2b将其代入解析式，求顶点纵a坐标。bb2（）用公式(,)aax12b对称轴增减性直线xh直线x直线x2aa0（a0）2点(x,y(x,y)在抛物线上，1122y随xx2hyykyyk（1212））1y随xhx2k1yk1y2（122bb4ay的最值1x2当xh时，ykx，2ax当时，2与x轴交axh2x,0,x,0k02ca12点2kxh0，分别对应与x有两个交点时：a（直接开平方）k000，时，当，baxx12baxx，122a分别对应与x轴有两个，一个，没有交点；x在轴上截得线段长：a2kc与y轴交点x)12第7页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料典型题目1．抛物线y(xA．(22的顶点坐标是(B．)C．(D．32．已知抛物线yax2(a过A(y(,yy)，则y,y,y的大小关系是______．31223123.对于抛物线yax2bxc（a）0（1）若顶点是原点，则（2）若经过原点，则；；y（3）若顶点在轴上，则（4）若顶点在x轴上，则；；（5）若抛物线与x轴有两个交点,则（6）若抛物线与x轴有一个交点,则（7）若抛物线与x轴没有交点,则（8）若经过（，）点，则；；；；若经过（－1，）点，则；（9）若函数值恒为正，则________________；若函数值恒为负，则__________________．4．如果在二次函数的表达式y2c中，a0，b0，c0，那么这个二次函数的图象可能是()A．．C．D．5．如图，在同一坐标系中，二次函数y2c与一次函数yaxc的图象大致是()A．B．C．D．6．已知二次函数y2x28x6.（1）用配方法将该二次函数解析式配成顶点式；（2）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；（3）分别求出它与y轴的交点、和轴的交点AB的坐标，并画出函数的图象；x（4）描述它的最值和增减性；（5xm时，随x增大而增大，写出的取值范围；my第8页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料（6）若点Qn，P,n都在抛物线上，求m的值；（7）若点Qn，Mt,s都在抛物线上，且sn,求t的取值范围.（80x3时，写出y的取值范围；（9x取何值时，y0；（10P在抛物线上，若以P为圆心，2为半径的圆与x轴相切，求出P点坐标；（）若方程2x28x6m无实数根，求的取值范围.myk（12）直线与抛物线交点的横坐标为14，求不等式2x28x6b的解集；(13)在（12）的基础上，点E是x轴上的动点，过E作平行于轴的直线分别交抛物线和1E4yx直线于点FG，且点E的横坐标满足，求线段长度的最大值；E（14）说出它的图象与抛物线y2x2的位置关系；（15）将该二次函数图象向左平移3个单位，向上平移4个单位，求平移后图象的解析式；（16）求该二次函数图象分别关于x轴、轴的对称图形的解析式；y（17）求该二次函数图象分别关于顶点、原点中心对称图形的解析式；7mmm的其中一条123记为xm，m，m的其中456一条记为ya的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线(A．1，4B．2，5．m，mD．m，m函数y2)36242.二次函数图象的平移、旋转和翻折典型题目1．把抛物线y2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是(A．yx3B．yx3C．yx3D．yx2．将抛物线y2x2平移，得到抛物线y2(x2，下列叙述中，正确的是())222232A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位3(，yx1向上平移m2的抛物线与线段有公共点，则m的取值范围为()A．m4．将抛物线yA．开口方向改变．3C．3a向下平移，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的是(B．开口大小改变C．对称轴不变D．顶点位置不变或m2D．22)第9页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料5.将抛物线yx21绕原点O180°，则旋转后抛物线的解析式为（）yx2B.yx21C.yx21D.yx21A.1212yx21、yx216.如图，两条抛物线与分别经过12点,且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积y为（A．8）．6C．D．47．已知抛物线yx沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G．如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点P(,n)在G上，则a的取值范围是(21，直线l:xa，将抛物线在直线l左侧的部分)A．2．a或aC．aD．a8.在平面直角坐标系中，抛物线y2nn与x轴交于点，D(点CD的左侧)y轴交于点A．（1）求抛物线顶点M的坐标；（2A的坐标为，，AB轴,交抛物线于点，直接写出点B的坐标；（3）在（）的条件下，将抛物线在两点之间的部分沿y轴翻折，翻折后的图象记为G，若直1线푦=푥+푚与图象G有一个交点，结合函数图象，求m的取值范围．23.二次函数解析式的确定：待定系数法典型题目1．写出一个顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式．2．已知，二次函数图象经过点(2,0)，(0,4)，(，求二次函数的解析式．3．抛物线的顶点坐标是（1，x轴的交点坐标是（，）.求这个二次函数解析式.4.已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是－1轴交点为(0y数的解析式.5．已知二次函数yxc，函数y与自变量x的部分对应值如表：2xy101230450343（1）求该二次函数的解析式．（2）直接写出当2x3时，y的取值范围．6.抛物线经过（－，－）点，它的对称轴是直线x2，且在x轴上截得线段的长度为，求此抛物线的解析式.第10页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料4.、、c对二次函数yc(a的图象和性质的影响2开口方向和大小:a>0，开口向上；<0，开口向下．a确定a越大，开口越小;a越小，开口越大；||相等，开口大小相同．对称轴位置：ab同号⟺对称轴在y轴左侧；a，b异号⟺对称轴在y轴右侧；a、b共同确定b=0⟺y2c⟺对称轴是y轴．*ab都相同的抛物线是以顶点为动点的且沿对称轴平移而得到的一组抛物线系与y轴交点位置：c⟺与y轴交点在y轴正半轴；c<0⟺与y轴交点在y轴负半轴；c确定yax2⟺抛物线过原点．c=0⟺c相同的抛物线都过点（，c．抛物线与x轴交点个数：△抛物线与x轴有两个交点x,0),(x,0)；12b△抛物线与x轴有一个交点(0)顶点在x轴上；△确定2a△抛物线与x抛物线在x轴上方或下方.a+b+=0⟺图象过点（特殊点a−b+=0⟺图象过点（−10．典型题目：1y2a过和xt有下面四个推断：①若t1，则a1；②若t1，则a1t1；③若，则a1；④存在实数，使得at)为定值．其中推断正确的是(A．①③B．①④．①②③D．①③④)2ya的图象是抛物线Gx与函数y的2部分对应值如下表：xy321201024402下列说法错误的是()A．抛物线G的开口向上B．抛物线G的对称轴是x12C．抛物线G与y轴的交点坐标为D．二次函数y2a的最小值为2第11页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数ya的图象经过点(，对称轴为x1．2给出下面三个结论：①2ab0；②关于x的一元二次方程ax2c10有一个根大于；③对于任意实数m，2．上述结论中，所有正确结论的序号是()A．①②B．①③．②③D．①②③5.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式典型题目：1．下列表格是二次函数=ax++c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax++c=0（a，a，bc为常数）的一个解x的范围（）x1234y=ax++c-6.75-1.751.252.25A.<1B.1<x<2C.2<xD.3<<42．二次函数y=ax2++c的部分对应值如下表：xy－3－2－101234551250－3－4－3012利用二次函数的图象可知，当函数值y0时，x的取值范围是（A．＜0或＞2．＜x＜2C．＜－1或＞3D．－1＜＜33．已知二次函数y=−푥2+2푥+푚的部分图象如图所示，则关于푥的一元二次方程−푥2+2푥+푚=的解为____.则关于푥的不等式−푥2+2푥+푚<0的解集为____.풙4y=a푥2+푏푥+푐(푎≠0)푥的方程无实数根，则的取值范围是____________.푎푥2+푏푥+푐=푚푚5y=푎푥2+푏푥+3(푎≠0)的对称轴为푥=1，如果关于푥的方程푎푥2+푏푥−8=0的一个根为4，那么该方程的另一个根为_________．第12页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料6．如图，直线yn(k与抛物yc(a212分别交于(，B两点.cn的解为_____________；2（1）方程（2）不等式（3）不等式2cn的解集是__________；2bk)xcn的解集是_____________．7．已知二次函数y2c(a的图象如图所示.,,c（1）判断含的代数式的取值情况②ab；③ab；0；①b24ac；④abc；⑤abc（2）求二次函数解析式；（3）增减性①若点（y)y)在函数图象上，比较yy的大小；,1212②若1x2，求的取值范围；y③垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x，y)Q(x，y)，与直线BC交于点N(x，y)．112233若x<x<x，结合函数的图象，求x+x+x的取值范围；123123④当二次函数自变量xmxm2时，函数y的最大值为5，求m的值；（4）对图象进行几何变换，求变换后的抛物线解析式：①抛物线沿x轴翻折；②抛物线沿y轴翻折；③抛物线绕原点旋转180度；④抛物线向左平移1个单位，向下平移2个单位；⑤E(，抛物线向左平移m个单位长度与定线段有公共点，求m的取值范围；（5）与几何图形面积相关问题：第13页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料①求∆ABC、∆ABD、∆BCD面积；②抛物线上有点且S=4,P坐标；（6）二次函数与方程不等式关系①x时，y3；x时，y3；xy3；②先求直线的解析式，再回答下列问题：BC的解析式为y=；yyx；；；BCyyBCxxyyBCy变形：设点E(e，过E作平行于轴的直线分别交抛物线和直线于点FG，EFEGe值范围；（7）函数图象的公共点问题：①抛物线位于BC之间的部分与直线yxb有公共点，求b的取值范围；②抛物线位于BC之间的部分与直线ykx5有公共点，求k的取值范围；yx22xc③抛物线位于BC之间的部分与抛物线只有一个公共点，求的取值范围；cymx2mxm2(m④抛物线位于C之间的部分与抛物线取值范围．m的6.图形运动与函数图象1．如图，圆柱的侧面积为2xmlmhmx在一定范围内变化时．l和h都随x的变化而变化，则l与x，h与x满足的函数关系分别是()A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系C．正比例函数关系，反比例函数关系D．正比例函数关系，一次函数关系第14页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料2.如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为，△APO的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（）7.二次函数的应用12023石景山二模）2023年4月日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获9金2银，位列奖牌榜第一．赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人10运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m)与水平距离x（单位：m)近似满足函数关系y(x)ka．2某跳水运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m竖直高度y/m00.20.40.60.81.6210.0010.4510.6010.4510.005.201.00①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系ka；y(x)2②运动员必须在距水面5m练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为1.6m说明理由；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系yx2A达到要求（填“能或“不能”)．A，B)入水能达到压水花的要求，则第二次训练22023海淀一模）“兔飞猛进谐音成语突飞猛进兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．（1）建立如图所示的平面直角坐标系．第15页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m)与竖直高度y（单位：m)数据：水平距离x/m竖直高度y/m000.411.422.42.800.480.90.980.80.48根据上述数据，回答下列问题：①野兔本次跳跃的最远水平距离为②求满足条件的抛物线的解析式；m，最大竖直高度为m；（2）已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为m，最大竖直高度为m点前方2m处有高为0.8m的篱笆，则野兔此次跳跃“能”或不能”)跃过篱笆．32023直发式与“间发式直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图12分别建立平面直角坐标系．通过测量得到球距离台面高度y（单位：)与球距离发球器出口的水平距离x（单位：)的相关数据，如下表所示：表1直发式x()y()0244681016203.843.963.96m3.642.561.44表2间发式x()0246801012141618y()3.36n1.680.841.402.4033.203根据以上信息，回答问题：n（1）表格中m，；第16页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；（3“直发式模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为1“间发式”模式下球第二次d2（填“”“”或“”)．接触台面时距离出球点的水平距离为d2，则141和BC与路面8员在路面上取点EE到墙面的距离E到隧道顶面的距离x米，y米通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表：x（米)y（米)024684.05.56.05.54.0（1）根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面的最大距离为米；（2函数关系式．（21米且到隧道顶面的距离不小于0.350.1第17页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料第二十三章旋转1.旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA′(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；ABC(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.4.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这心的对称点．5.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．平移、旋转都能通过两次轴对称得到.常见模型：手拉手模型；半角模型；一线三等角典型题目1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A．2．如图，在ABC中，C．将(．C．ABC)D．ABC，且B，B，C三绕点逆时针旋转至△A点共线．若CDC75，则A．40B．60C．70D．802题图）4题图）5题图）3．点关于原点的对称点坐标是4中(0,2)，BB顺时针旋转90得到线段BC，则点C的坐标为．．第18页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料52023海淀期中）如图，在平面直角坐标系中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心的坐标是．6CDE可以看作是AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种CDE由AOB得到的过程：．7()为A．B．．120D．8ABC绕点O顺时针旋转90得到，点B，C在x轴上．下面判断不正确的是()A．B．D．DEOBAEC．9RtABC中，ABAC4，MON的直角顶点O与BC边上的中点DD、于点E、F，如果四边形恰巧是正方形，则的长度为．10ABC的顶点(B(C(．（1）平移ABC，若点的对应点的坐标为AA，画出平移后的△ABC；1111（2ABC以点为旋转中心旋转180，画出旋转后对应的△ABC；222（3）已知将△ABC绕某一点旋转可以得到△ABC，则旋转中心的坐标为．111222第19页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料．综合与实践问题情境：“综合与实践课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个ACBDEF90，ADABC全等的三角形纸片，表示为ABC和，其中，将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B)．当A时，延长交于点G，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．1）请你解答老师提出的问题；2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在ABC内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”3A作交的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当CBEBAC时，过点9A作于点，若H，AC12，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．第20页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料第二十四章圆一、圆的定义及相关概念．圆（1）从旋转的角度理解：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.（2）从集合的观点理解：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到圆心O距离等于r的点的集合.典型题目1．小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是(A4B．5C．D)2．台风影响着人们的生产和生活．人们为研究台风，将研中心为原点，以台风半径为横轴，风速为纵轴的坐标系中，并在图中标注了该台风的12712级风圈半径是指近地面风速衰减至32.7m/s时，离台风中心的距离约为150．那么以下关于这场台风的说法中，正确的是()A．越靠近台风中心位置，风速越大．10级风圈半径约为280kmC．距台风中心150处，风速达到最大值D．在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减3.（圆的定义等）如图，点O为线段AB的中点，点，DO的距离相连接AC，BD.则下面结论不一定成立的是．．．B.∠BDC=BACD.∠BCD+BAD=180°A.ACB90°C.平分BAD（半径相等+D为并延长与的延长线交于点C＝75°，则∠A的度数为________.5.（半径相等分类讨论）直径为10的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是．．垂直于弦的直径（）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴．（）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（）2个弧中点，圆心，弦中点，垂直中知2推3.第21页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料典型题目1．如图，点A，B在上，直径于点C，下列结论中不一定成立的是()A．CBB．C．D．（第1题图）（第2题图）3题图）10m216m径CD为m．32023西城一模）“圆是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古2.5mm半径为m．中，为弦，于点CD，E，4（2023，则图中存在的相等关系有4题图）5题图）8题图）（第9题图）5.如图，在半径为2的⊙O中，弦相交于点，如果AB＝＝2，∠AMC＝，√那么OM的长为．6.（分类）⊙O的半径为，P为圆内一点，PO的距离为，则过P点的弦长的最小值是_______，最大值是7.（分类）⊙O半径为，弦ABCD，若AB＝12cm，CD16cm，求两弦的距离8.已知，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于、D两点，求证：ACBD9.ABO的弦,且ABCD，将分成和7cm两部分，求圆心O的距离．弧、弦、圆心角（1）顶点在圆心的角叫做圆心角．（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．第22页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料（3）推论：同圆或等圆中：①两个圆心角相等；②两条弧相等；③两条弦相等；④两条弦的弦心距相等．四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立．．圆周角（1）圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交．（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（4）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．圆内接四边形的对角互补．典型题目，则BD．701．如图，在中，弦，CD相交于点P，A45，的大小是()A．35B．45C．60（第1题图）2题图）的直径，点C在3题图）4题图）CD与2．如图，为上，且于点，弦O相交于点，若EA．20的度数为(，则)B．30C．25D．353．如图，四边形ABCD内接于C130，则的度数为(150D．)A．50B．100C．1304是C，D将ABP在Q在AB上且，则点QA．AP()所在的弧是B．C．D．DB52023海淀一模）小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，器的90端固定在量角器中心点O27)倾斜角为(A．63B．36C．27D．18第23页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料6．如图，是的直径，D40，则AOC．（第6题图）7题图）8题图）75（第9题图）BOC7．如图，是8．如图，是的直径，，若的直径，CD是的弦，如果ACD36，那么OD2，则．．中是直径，，，，那么的长等于D．9．如图，在10．如图，是的直径，CD是弦，连接，．若，则．PMACODBNQ（第题图）题图）题图）2019中考）已知锐角∠AOB,）在射线OA上取一点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于D，连接CD）分别以点CD为圆心，长为半径作弧，交于点M，N）连接OMMN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（A）∠COMCOD（）MN∥BOM=，则∠AOB=20°D）=3CD12.O．,B段AB及优弧A1中阴影所示。若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示若将灯光装置改放在如图3所示的点M,N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是M处放置2台该型号的灯光装置①在②在M,N处各放置1台该型号的灯光装置③在P处放置2台该型号的灯光装置（A）①②）①③（）②③（D）①②③第24页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料132023中考）如图，圆内接四边形ABCD的对角线，交于点E，平分ABC，BACADB．（1）求证平分，并求的大小；（2C作//交的延长线于点F2，求此圆半径的长．．点与圆的位置关系点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为P到圆心的距离OP＝，则有：①点P在圆外⇔d＞；②点P在圆上⇔＝rP在圆内⇔d＜．．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：确定一词应理解为“有且只有点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．．三角形的外接圆与外心（）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．．直线与圆的位置关系（）相离：一条直线和圆没有公共点．（2）相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．（）相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．．切线的性质和判定（）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．进而可得经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2）不知切点，作垂直，证半径．（）切线长定理条切线的夹角．10．三角形的内切圆与内心（（三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．第25页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料（）直角三角形的内切圆半径与三边关系AAADbccbFOBaCaECBBC（）图（1）中，设abc分别为中ABC（）的对边，面积为S，s11pabcCrabc，则．则内切圆半径（）r，其中；）中，2p22典型题目1.已知：点P到⊙O最近的距离为，最远的距离为，求⊙O的半径.22023丰台校级模拟）如图，是点，M为的中点，连接．若的直径，C为P，为圆上一动的半径为，则长的最大值是．CFOAEB（第2题图）3（2023RtABC中，为直径的半圆上一动点，M为PC的中点，连接，则的最小值为（第3题图）4题图）（第52，23，P，是以斜边．4（2023为的直径，分别与C．80相切于点AB时P的大小为(A．60)B．70D．905.在RtABC中，A，点O在BC上，以O为圆心的⊙O分别与AB、AC相切于E、F，若a，b，则⊙O的半径为（ab）ababA、、、、26.给出下列命题：①任一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形其中真命题共有（）A1个B、2个C、3个D、4个第26页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料7.如图，△ABC中，AB，BC＝，8，它的内切圆分别和AABBC切于点、、F，则AD＝CF＝，若∠A70°，则∠DEF＝BE＝，F．DBCE8.（2023海淀二模）24．如图，P为☉O外一点，PB是☉O的切线，AB为切点，点C在☉O上，连接OAOCAC．（1）求证：AOC=2∠；AO（2）连接OBACOB☉O的半径为5AC=6，求AP的长．CPB92022中考）如图，是的直径，CD是，．的一条弦，，连接（1）求证：BOD2A；（2C作的延长线于点E，交于点F．若F为的中点，求证：直线CE为的切线．10.（2023西城二模）24．如图，以菱形的边为直径作交于点E，连接交于点F是上的一点，且BFBE，连接(1)求证：DMBM；．(2)求证：是的切线．第27页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料11．多边形和圆、弧长和扇形面积1、定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆。2、正多边形的中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做正多边形的中心。3、正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。40等于（n为正多边形的边数，n3）n5、正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一条边的距离叫做正多边形的边心距。R6、弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为，圆的半径为R）7、扇形面积公式：S＝n1πR2或S＝lR（其中l为扇形的弧长）．21圆锥的侧面积公式：S＝•2πr•＝πrl．2圆锥的全面积公式：SSS＝πr+πrl．全底侧注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．典型题目1ABCD的边长为4A，B，C，D2分的面积为()A．16B．16C．D．（第1题图）2．学校图书馆的阅读角有一块半径为m，圆心角为120的扇形地毯，这块地毯的面积为(D．m3．如图，点M在正六边形的边上运动．若ABMx，写出一个符合条件的x的值4内接于的半径为OM的长为5．已知圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面展开图的面积是3题图）（第4题图）)A．9m2B．m2C．m22．，．．6已知矩形ABCD的边4，3ABCD如图放在直线ll向右作无滑动地翻滚，当它翻滚到位置ABCD时，计算：1111（1）顶点A所经过的路线长为；（2A经过的路线与直线l所围成的面积为．第28页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料第二十五章概率一、随机事件与概率．必然事件、不可能事件与随机事件（1）在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件．相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定性事件．（）在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．一定条件下是指试验要在相同条件下进行，不同的条件可能会导致不同的事件归类．②事件的分类：．概率（A发生的概率，记为P（）．（nmn事件A包含其中的m种结果，那么事件AP（）=．（）取值范围：0≤PA≤1．特别地，当A为必然事件时，PA=1；当A为不可能事件时，（A=0越接近．典型题目：1．下列事件中是随机事件的是(A．明天太阳从东方升起C．平面内不共线的三点确定一个圆D．任意画一个三角形，其内角和是5402（2023中考）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是()B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯)1131234A．B．C．D．432个红球和3摸到黄球的概率是()2342535A．B．C．D．3第29页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料4．小文掷一枚质地均匀的骰子，前两次抛掷向上一面的点数都是6，那么第三次抛掷向上一面的点数是6的概率是()11312A．B．C．D165．下列说法正确的是（）A．可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生B．可能性很小的事件在一次试验中一定发生C．可能性很小的事件在一次试验中有可能发生D．不可能事件在一次试验中也可能发生6.二、求事件的概率．用列举法求概率可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率．事件的概率=．．用列表法求概率常采用列表法．．用树状图法求概率常采用画树状图法．典型题目：1行的概率为()1131234A．B．C．D．4第30页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料23个红球和1出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色相同的概率是()34581214A．．C．D．3“两人能分出胜负的概率是多少？4.为落实垃圾分类，环卫部门要求垃圾要按A，，C三类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类．（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；（2）求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率．5．有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、3、（如图所、3的三个小球（除数不同外，其余都相同）．小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积．（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平．三、用频率估计概率．频率的稳定性在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的稳定性．．用频率估计概率mn一般地，在大量重复试验中，如果事件A稳定于某个常数，那么事件A发生的概率PA=p．第31页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料典型题目：1．某射箭选手在同一条件下进行射箭训练，结果如下：射箭次数n射中靶心的次数mm10720175044100922001780.893503150.905004550.910.700.850.880.92射中靶心的频率n下列说法正确的是()A．该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90B．该选手射箭80次，射中靶心的频率不超过0.90C．该选手射箭次，射中靶心的次数不超过360次D．该选手射箭1000次，射中靶心的次数一定为次n2．掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值()m121212A．一定是．一定不是．随着m的增大，越来越接近1D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性23．不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n(n为正整数）个，这些球除颜色外无其别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．图中显示了用计算机模拟实验的结果：下面有三个推断：①0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是；②若盒子中装个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球14③若再次进行上述摸球试验，则当摸球次数为2000.40．所有合理推断的序号是(A①②)B②C①③D①②③第32页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料4．某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如下：种子个数发芽种子个数94100200187300282400337500436800718994140012540.896170015310.901200017970.899发芽种子频率0.9400.9350.9400.8430.872根据试验数据，估计该种作物种子能发芽的有0.8980.904．5．十八世纪法国的博物学家C布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为lld)的针任意投掷在这个平面上，针与直线相l交的概率为d1计算机模拟布丰投针试验，取ld，得到试验数据如下：2试验次数1500相交频数495相交频率0.330020006232500300095435004000126945001434500079915900.31960.31800.32090.31730.31870.3180可以估计出针与直线相交的概率为（精确到的近似值为（精确到．6．为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中捕获条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放回鱼塘，过些天再从鱼塘中打捞出200条鱼若在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则估计鱼塘中的鱼有.第33页共39页西城区教育研修学院·初三数学研修活动资料专题一：代数综合一与线段交点问题1.2018年北京中考26在平面直角坐标系xOyy=4+4与x轴y轴分别交于点y=ax+bxa经过点A将点B向右平移5个单位长度，得到点C．(1)求点C的坐标；(2)求抛物线的对称轴；(3)若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．2.2019年北京中考261在平面直角坐标系中，抛物线y=2+-与y轴交于点，将点A向右平移2个单位长度，a得到点，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a（2）求抛物线的对称轴；11（3(,-)，Qa的取值2a范围．二.比大小（最值问题）1.2020年北京中考2626．在平面直角坐标系xOy中，（x，y）,（x，y）为抛物线=ax+bx+c(a>0)上任意两点，1122其中x<x．12(1)若抛物线的对称轴为=1xx为何值时，y=y=；1212(2）设抛物线的对称轴为，若对于x+x>3y<yt的取值范围．12122.2021年北京中考26．在平面直角坐标系中，点（1m）和点（，n）在抛物线=2+bx>0)(1)若m=3,=15，求该抛物线的对称轴；(2）已知点（，y）,（，y）,（，y）在该抛物线上，若mn<0，比较y,y,y的大小，并123123说明理由．3.2022年北京中考26yax2c(a26.在平面直角坐标系轴为xt.)在抛物线（1cmn时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；t(x,)(xmnc,t求的取值范围及的取值范围.x