福建省平潭第一中学2024-2025学年高二上学期开门考试数学试卷（解析版）

平潭一中2024--2025学年上学期开门考高二数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据已知条件，结合共面向量的充要条件即可求解．【详解】由共面向量的充要条件可得：对于A选项，，所以三个向量共面；对于B选项，，所以三个向量共面；对于C选项，假设三个向量共面，则存在，使得，则，即三个向量共面，这与已知构成空间的一个基底矛盾，故假设错误，即三个向量不共面，故C不正确；对于D选项，＝，所以三个向量共面；故选：ABD．2.已知，向量，，则“”是“”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】首先利用向量平行的坐标表示求，再根据充分，必要条件的定义判断.【详解】若向量，则，即解得：或,所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B3.设，向量，，，且，，则等于（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由向量的位置关系列式求出，根据模的计算公式计算即可求解.【详解】，，，，，，，．，．故选：C.4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】B【解析】【分析】运用线面垂直平行的定理，结合长方体模型举反例即可判断.【详解】对于A，如图，，此时，故A错误；对于B，若，面内可以找一条直线，使得；而，与内任意一条直线都垂直，则，则.故B正确；对于C，如图，，此时，故C错误；对于D，如图，，此时，故D错误．故选：B.5.在空间直角坐标系中，已知点，则一定是（）A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用空间两点间距离公式求出三角形边长作答.【详解】点，则，，，而，所以一定为直角三角形.故选：C6.如图，在正方体中，分别是的中点，则下列说法错误的是（）A. B.平面C. D.平面【答案】C【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【详解】∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，

∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，

则B（2，2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N（0，1，1），

∴MN⊥CC1，故A正确；∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；

∵∴MN和AB不平行，故C错误；

平面ABCD的法向量又MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正确．

故选C．【点睛】本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7.，则的大小关系是A B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由题意得，，故选D.【点睛】本题考查函数的三角恒等变换和三角函数的图像与性质，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型.首先利用诱导公式和两角和差公式将化简，再利用正弦的函数图像可得正解.8.设，，分别是的内角，，的对边，已知，设是边的中点，且的面积为，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件求出和，然后结合向量的数量积的运算即可求出结果.【详解】因为，所以，即，结合正弦定理得，即，所以，所以，因为的面积为，所以，即，所以，故选：A.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A.两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B.两个不同的平面，的法向量分别是，，则C.直线的方向向量，平面的法向量是，则D.直线的方向向量，平面的法向量是，则【答案】AB【解析】【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可.【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确；两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确；直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误；直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误．故选：AB10.关于函数，下列说法正确的是（）A.最小正周期为 B.的最大值为C.的单调递减区间为 D.的一个对称中心为【答案】ABC【解析】【分析】化简解析式，根据三角函数最小正周期、最值、单调区间，对称中心的知识确定正确选项.【详解】.所以的最小正周期为，A正确，的最大值为，B正确，由解得，所以的单调递减区间为，C正确.，所以的一个对称中心为，D不正确.故选：ABC11.已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，在翻折的过程中下列结论成立的是（）A.三棱锥的体积最大值为B.三棱锥的外接球体积不变C.异面直线与所成角的最大值为D.与平面所成角的余弦值最小值为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，当平面平面时，三棱锥的高最大，再棱锥体积公式计算即可；对于B，设的中点为，则由知，，所以为三棱锥外接球的球心，其半径为，再用球的体积公式计算即可；对于C，若，由，，平面，平面，可得平面，得到，因为，直角三角形斜边最长，知道不成立;对于Ｄ,因为是定值，则只需到面的距离最大时，与平面

所成角最大，当平面平面时，到面的距离最大为，再用锐角三角函数和同角三角函数关系分析计算即可.【详解】解：对于A，，当平面平面时，三棱锥的高最大，此时体积最大值为，故A正确；对于B，设的中点为，则由知，，所以为三棱锥外接球的球心，其半径为，所以外接球体积为，即三棱锥的外接球体积不变，故B正确；对于C，若，由，，平面，平面，可得平面，因为平面，则，因，根据直角三角形斜边最长，知道不成立，故C错误；对于D，因为是定值，则只需到面的距离最大时，与平面

所成角最大，当平面平面时，到面的距离为，设与平面

所成角为，此时，因为为锐角，所以，即与平面

所成角的余弦值最小值为，故D正确．故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则___________【答案】【解析】【分析】先由和角公式得，再平方结合倍角公式及平方关系求解即可.【详解】由得，即，两边同时平方得，即，解得.故答案为：.13.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的表面积为________．【答案】【解析】【分析】设球体半径为可得，根据棱锥的体积求，进而求半球的表面积.【详解】如图，连接，交点为，设球的半径为，由题意知：．则，四棱锥的体积为，解得，∴该半球的表面积为．故答案为：14.在ΔABC中，，已知BC边上的中线，则ΔABC面积的最大值为______.【答案】【解析】【分析】由题意利用平面向量的加减法几何意义，可得，两边平方再利用两个向量的数量积的定义，余弦定理、基本不等式，求得的最大值，可得ΔABC的面积的最大值．【详解】解：ΔABC中，，边上的中线长为3，，设，，平方可得：，化简可得，，可得：，故ΔABC的面积．故答案为：．【点睛】本题主要考查平面向量的加减法几何意义，两个向量的数量积的定义，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知空间三点（1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积；（2）若向量分别与向量垂直，且，求向量的坐标．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据已知条件，求出，进而得出，根据四边形的面积公式即可求解；（2）设出的坐标，利用向量垂直的充要条件及向量的摸的公式即可求解.【小问1详解】由，得，所以，即，又，所以向量为一组邻边的平行四边形的面积为.【小问2详解】设，则因为且，所以，即，即联立，解得解得或．所以或.16.四棱锥中，底面为正方形，平面，，E，F分别为PC，AD的中点.（1）求证：平面PFB；（2）求点E到平面PFB的距离.【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）取PB中点G，连接EG，FG，则由中位线性质可得四边形DEGF是平行四边形，即DEFG，从而DE平面PFB；（2）由DE平面PFB，故点D、E到平面PFB的距离相等，点D到平面PFB的距离可以看成三棱锥以为底面的高，利用等体积法即得解小问1详解】取中点，连接因为分别是的中点，所以，而，所以因此四边形是平行四边形,所以平面，平面所以平面【小问2详解】由（1），DE平面PFB，故点D、E到平面PFB的距离相等，即求点D到平面PFB的距离，记为点D到平面PFB的距离可以看成三棱锥以为底面的高，由，故由于故，故故点E到平面PFB的距离为17.记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，（1）求B；（2）若面积为，求c．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有，对比已知，可得，因为，所以，从而，又因为，即，注意到，所以.【小问2详解】由（1）可得，，，从而，，而，由正弦定理有，从而，由三角形面积公式可知，的面积可表示为，由已知的面积为，可得，所以.18.如图，四棱锥中，底面ABCD，，．（1）若，证明：平面；（2）若，且二面角的正弦值为，求．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出．【小问1详解】（1）因为平面，而平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以.因为，所以，根据平面知识可知，又平面，平面，所以平面．【小问2详解】如图所示，过点D作于，再过点作于，连接，因为平面，所以平面平面，而平面平面，所以平面，又，所以平面，根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，即，即．因为，设，则，由等面积法可得，，又，而为等腰直角三角形，所以，故，解得，即．19.如图多面体ABCDEF中，面面，为等边三角形，四边形ABCD为正方形，，且，H，G分别为CE，CD的中点．（1）证明：；（2）求平面BCEF与平面FGH所成角的余弦值；（3）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AD交点为P，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．【答案】（1）证明见解析（2）（3），作图见解析【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而证明出线线垂直；（2）由面面垂直得到线面垂直，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而利用平面法向量求出面面角的余弦值；（3）作出辅助线，得到线线平