中考数学复习必考题型专训：相似综合篇（解析版）

专题10相似综合

知识回顾

J比例的性质：

①基本性质：两内项之积等于量外项之积.即若a:〃=c:d,则=

②合比性质：若@=工，则巴史=3.

bdbd

z—x八i1eh-4-Pac,6Z—bc—d

③分比性质：若：=一，则n——=----.

bdbd

④合分比性质：若，则@±2=3.

bda-bc-d

⑤等比性质：若=...='，则"+'+...+”=«=9=

bdnb+d+...+nbdn

2.平行线分线段成比例：

三条平行线被两条直线所截,所得的对应线段成比例.

,„士ABDE

即Hn如图：有---=----

BCEF

ABDE

AC~DF

BCEF

AC-DF

推论:

①平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

②如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于

三角形的第三边.

③平行于三角形的一边,并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与

原三角形的三边对应成比例.

3.相似三角形的性质：

①相似三角形的对应角相等,对应边的比相等.对应边的比叫做相似比.

②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.相似三角形的对应线段（对应中

线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比.

4.相似三角形的判定：

①平行线法判定：

平行于三角形一边的直线与三角形的另两边或另两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相

似.

②对应边判定：

三组对应边的比相等的两个三角形相似.

③两边及其夹角判定法：

两组对应边的比相等，且这两组对应边的夹角相等的两个三角形相似.

④两角判定：

有两组角（三组角）对应相等的两个三角形相似.

专题练习

1.如图，在RtzMBC由，Nda'=90°,£是边/，上一点，且应'=%过点/作座的垂线，交班'的延长线于

点〃求证：丛ADEs丛ABC.

【分析】根据等腰三角形的性质可得/「=/颂=//碘，由4a座可得比1=90°,即可得△

ADEsAABC.

【解答】证明：：龙=因

:./C=2CEB,

,：ZCEB=AAED,

：.ZC=ZAED,

,：ADVBE,

：.ZD^ZABC^90°,

:AADEsAABC.

2.如图，在△26。与△/'B'C中，点D、D'分别在边BC、B'C上，且c'D',

若，则△川切s△/B'D'.

请从①处="；②出■=组；③/屈〃这3个选项中选择一个作为条件（写序号）,

CDCDCDCD

并加以证明.

2/

A

A'

【分析】利用相似三角形的判定：两角对应相等的两个三角形相似可证明.

【解答】解：③.

理由如下：•:匕ACMX"CD',

：.AADC=AA0C,

：./ADB=4ADB,

又,：NBAD=Z.B，A1D',

:.丛ABD^丛ABD.

同理,选①也可以.

故答案是：③(答案不唯一).

3.如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点艮F在线段BC上，点Q在线段AB上,且CF=BE,力万=/0

AB.

求证：(1)/G4E=/84F;

(2)CF-FQ=AF-BQ.

【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到N6=NC利用外S证明△力侬△/班根据全等三角形的性质

即可得解；

(2)利用全等三角形的性质，结合题意证明加总丛CAFs丛BFQ,根据相似三角形的性质即可得

解.

【解答】证明：(1)：9=ZC

:./B="

•?CF=BE,

：.CF-EF=BE-EF,

即CE=BF,

在△/龙和△/跳'中，

rAC=AB

'ZC=ZB,

CE=BF

:.AAC胎△ABF(SAS,

3/

：.ACAE=ABAF\

(2)V△ACE^AABF,

:.AE=AF,ZCAE=ABAF,

，：AC=A》AB,AC^AB,

•AE=AC

"AQAF'

:.AACESAAFQ,

：.AAEC=ZAQF,

/AEF=/BQF,

"：AE=AF,

：.AAEF=AAFE,

：.ABQF=ZAFE,

,：4B=4C,

:NAFsXBFQ,

•CF=AF

"BQ而，

即CF'FQ=AF'BQ.

4.如图，在矩形A8CW=8,4D=4,点£是2c边上的任一点(不包括端点〃。，过点4作加U斯交CB

的延长线于点F,设DE=a.

(1)求跖的长(用含a的代数式表示);

(2)连接EF交阳于点G,连接GC,当GC〃/£时,求证：四边形出口是菱形.

【分析】⑴根据矩形的性质可得/力庞=/力跳;//的阱/为£=90°,结合题干可得N掰a/

"1£=90°,进而可得/物£=/皿Q进而可得△/应J△力仍利用相似三角形的性质可得即的长度；

(2)先根据/6〃四和〃/£进而可得四边形/G四是平行四边形，通过勾股定理可得/、加、/片，再过

点G作加"'于点四易得△肱〜△力瓦;进而利用相似三角形的性质可得黑的长，即可得加能进

而可得GF是/AFB的角平分线,最后利用角平分线得性质可得EA=EC,即可得平行四边形AGCE是菱

形.

【解答】(1)解：：四边形4比。是矩形，

:.NADE=/ABF=NBAD=QQ：

：.ADAE+ZBAE=^°,

,：AFY.AE,

4/

：.ZBAF+ZBAE=90°,

:./DAE=/BAF,

：.XADEsXABF,

.ADDEnn4a

••-----=------,U|j---=------,

ABBF8BF

:・BF=2a,

⑵证明：•・,四边形28口是矩形，

：.AG//CE,

9

\GC//AEf

・・・四边形/颔是平行四边形.

.\AG=CE=8-a,

：.BG=AB-AG=8-(8-a)=a,

在Rt△丽中，6^=a2+(2a)2=5a2,

在中，质=(2a4-4)2+(8-a)2=5a+80,

在Rt△/庞中,A^=42+a=16+a,

如图,过点G作加/尸于点M,

C.GM//AE,

:.丛MGFs丛AEF,

,.,GM—GF，

AEEF

.GM2GF2

,•-,

AE2EF2

.GM2_5a2

••---------------,

16+a25a2+80

GM=a,

：.GM=BG,

又•：GMLAF,GB工FC,

•••5是//功的角平分线，

：.EA=EC,

平行四边形/GB是菱形.

5/

5.如图，在△/回中，点，，己尸分别在边必犯比'上，连接班;用.已知四边形跖切是平行四边

形,匹」.

BC4

⑴若48=8,求线段相的长.

(2)若龙的面积为1,求平行四边形现却的面积.

【分析】(1)证明△/施s△/9根据相似三角形对应边的比相等列式,

可解答；

(2)根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△力6c的面积是16,同理可得△厮。的面积=9,根据

面积差可得答案.

【解答】解：(1)：四边形物旗是平行四边形，

C.DE//BF,

：.DE//BC,

:.XADEsAABC,

.AD=DE=2

"ABBC1

'：AB=8,

：.AD=2;

(2)"：/\ADE^^ABC,

S

.AADE/DE)2=(1y1

,△ABCBC416

庞的面积为1,

；.△/比■的面积是16,

•四边形母即是平行四边形，

：.EF//AB,

△砒7s△4%

...S^EFC9

^AABC416

...△瓯的面积=9,

平行四边形皮物的面积=16-9-1=6.

6.如图，四边形46切为菱形，点£在形的延长线上，/ACg/ABE.

(1)求证：AABCsAAEB;

6/

(2)当AB=6,/C=4时,求力6的长.

【分析】(1)根据两角相等可得两三角形相似；

(2)根据(1)中的相似列比例式可得结论.

【解答】(1)证明：•••四边形口为菱形，

AACD=ABCA,

"：AACD=^/ABE,

:.NBCA=/ABE,

:ABAC=AEAB,

:.△ABCSMAEB：

⑵解：■:丛ABCs丛AEB,

.AB=AC

,,AEAB'

：/6=6,ZC=4,

•.•6_—4—,

AE6

.._36_c

../4£C=M-=9.

4

7.如图，矩形46缪中，点£在加上，龙=应;ZC与M相交于点。，应'与/C相交于点尸.

(1)若庞平分/侬求证：BFYAC-,

(2)找出图中与△眦相似的三角形,并说明理由；

⑶若卯=3,1'=2,求庞的长度.

【分析】(1)根据矩形的性质和角平分线的定义,求得N3=/6,从而求证BFVAC-

(2)根据相似三角形的判定进行分析判断；

(3)利用相似三角形的性质分析求解.

.*.Z2=Z3=Z4,Z3+Z5=90°,

7/

'：DE=BE,

・・・N1=N2,

又■:BE平分/DBC、

AZ1=Z6,

・・・N3=N6,

・・・N6+N5=90°,

：.BF^AC\

(2)解：与△恸相似的三角形有△虫△的方理由如下:

VZ1=Z3,4EFC=/BFO、

:AECFSMOBF,

VDE=BE,

AZ1=Z2,

又・・・/2=N4,

・・・N1=N4,

又■:2BFA=/0FB,

:•△BAFSXOBF、，

(3)解：在矩形中，N4=N3=N2,

VZ1=Z2,AZ1=Z4.

又■：/0FB=/BFA,

:•△OBFSXBFA.

•・・N1=N3,/OFB=/EFC,

:.△OBFS^ECF.

・EFCF

,,—■,

OFBF

,Zgi,即3CF=2,BF,

3BF

；.3(CR㈤=3G9=2册9,

：.3OC=2BF+S

；.3物=2册9①，

斯s△质

8/

.OFBF

,,-------,

BFAF

：.B^=OF'AF,

；.版=3(如+3)②，

联立①②,可得毋'=1±(负值舍去),

DE=BE=2+1+V19=3+-/19.

8.如图,平行四边形被力中,46=5,比'=10，区边上的高闻上4,点£为8c边上的动点(不与6、。重合，过

点£作直线46的垂线，垂足为月连接庞、DF.

(1)求证：AABM^AEBF;

(2)当点£为宛的中点时，求庞的长；

(3)设座'=x，△颇的面积为力求y与x之间的函数关系式,并求当x为何值时,y有最大值,最大值是

多少？

B

【分析】(1)利用两个角对应相等的三角形全等即可证明△/加△小；

(2)过点£作员吐血?于点儿可得四边形/仞列为矩形,从而得到砥=444,4%=施再由勾股定理求出

BM=3,从而得到ME=AN=2,进而得到DN=8,再由勾股定理,即可求解；

⑶延长FE交2c的延长线于点G.根据$仇/8=幽理•，可得EF』x，再证得△/而△以%,可得

ABBE5

GC=3(10-X)，从而得到DG=3(10-X)+5,再根据三角形的面积公式,得到函数关系式,再根据二次函

55

数的性质，即可求解.

【解答】⑴证明：：瓦工仍■是8。边上的高，

:.NAMB=NEFB=90；

又,：乙B=4B,

:.AABMs/\EBF;

(2)解：过点£作或工4?于点儿如图：

9/

N

BM

在平行四边形ABCD中，AD//BC,

又•・・/〃是小。边上的高,

C.AMLAD,

:./AME=/MAN=/ANE=9G°,

，四边形/磔V为矩形,

:・NE=AM=4,AN=ME,

在RtZk/砌中，BM=VAB2-AM2=752-42=3-

又为比1的中点，

；•BE-1-BC=5>

:.ME=AN=2,

:.DN=8,

在RtXDNE中,DE=VDN2+NE2=742+82=4V5；

(3)解：延长也交加的延长线于点G,如图:

.・•式但北噂

,.*4—EF,

5x

:.EF=±x,

5

'：AB//CD,

10/

/B=/ECG,AEGC=/BFE=9Q°,

又,：/AMB=Z.EGC=9Q；

：./\ABM^/XECG,

.CGEC

,.西飞

.CG10-x

••,

35

.•.6^旦(10-X),

5

."G=2(%GC=5+国(10-x),

5

.•.尸工册〃G=JLX£・[5+S(10-x)]=-&¥+_丝X=--§-(x-生产+卫1,

■22552552566

当X=地时,y有最大值为3,

66

答：尸-旦)+骂X,当X=至时,y有最大值为91.

25566

9.【问题呈现】

如图1,△/回和△/龙都是等边三角形,连接BD,CE.求证：BD=CE.

【类比探究】

如图2,△26C和△/座都是等腰直角三角形，N/6C=NN庞=90°.连接加，方.请直接写出些的

CE

值.

【拓展提升】

ABAD3

如图3,△/及?和△/龙都是直角三角形，N46C=//应'=90°,且一=——=二.连接BD,CE.

BCDE4

⑴求些的值；

CE

(2)延长须交初于点打交居于点G.求sin/母T的值.

【分析】【问题呈现】证明△的入△窃£从而得出结论；

【类比探究】证明△胡吐△窗£进而得出结果；

【拓展提升】(1)先证明△力6cs再证得△Cl£s△胡〃进而得出结果；

(2)在⑴的基础上得出初,进而/毋。=/掰6；进一步得出结果.

【解答】【问题呈现】证明：•••△/欧和△/龙都是等边三角形，

：.AD=AE,AB=AC,ZDAE=ZBAC=60°,

：.ZDAE-ZBAE=ZBAC-/BAE,

11/

\ABAD=ACAE,

\ABAD^/\CAE(SAS),

\BD^CE\

【类比探究】解：和△/龙都是等腰直角三角形,

•.地=胆=工，/物£=/胡「=45°,

AEACV2

:/DAE-/BAE=/BAC-ABAE,

：.ABAD=ACAE,

：./\BAD^/\CAE,

•BD_AB_1_V2.

"CE"ACVT

【拓展提升】解：⑴•.,胆=妈=旦，应=90°,

BCDE4

:.XABCsAADE,

：.ABAC=/DAE,辿富L萼，

ACAE5

:./CAE=/BAD,

:.丛CAEs^BAD,

.BD=AD=2.

,,CEAE5'

(2)由(1)得：ZkOEs△切〃

NACE=/ABD,

,：ZAGC=ABGF,

：.ZBFC=ABAC,

10.如图，在矩形/及/中,/6=6,6C=4,点从”分别在/反相上，且施5制点£为切的中点，连接应交

加于点尸.

(1)当户为龙的中点时,求证：AM=CE-

小HEF门#■AN../士

⑵右■一=2,求------的值;

BFND

⑶若腑■〃能求"AN的值.

ND

【分析】⑴根据矩形的性质,利用44s证明△飒咤△皿得BM=CE,再利用点E为CD的中点，即可证

明结论;

12/

(2)利用△戚-△£生得Etqi」,从而求出胡的长，再利用△肱得也再，求出AV的

EFCE2BMBC

长,可得答案；

⑶首先利用同角的余角相等得/呼=/颂则tan/物'=tanN物得出受,可得融的长，由⑵

BCBM

同理可得答案.

【解答】⑴证明：•・/为龙的中点，

:・BF=EF,

•・•四边形/腼是矩形，

：.AB//CD,AB=CD

：.ZBMF=ZECF,

'：/BFM=/EFC,

:•△BM~AECF(AAS,

：.BM=CE,

•・♦点月为切的中点，

JCE=DE,

：.BM=CE=DE,

YAB=CD,

：.AM=CE\

(2)解：°：/BMF=/ECF,/BFM=/EFC,

:•△BMFS^ECF,

•.•—BF二BM=—1,

EFCE2

VCE=3、

:・BM=3,

2

2

CMLMN,

:・/CMN=9。。,

:・/AM^r/BMC=9G°,

•・・NZ仞计N4W=90°,

・•・/ANM=/BMC,

13/

N/=AMBC,

:.△ANMs^BMC,

.ANAM

,•西T

9,

.AN.7

~2

：.DN=AD-AN=\-

1616

27

.AN国=27

"DN"37""37'

⑶解：'：MN//BE,

：.ABFC=ACMN,

:.NFBC+NBCM=9Q；

■:/BCg/BMC=3Q°,

:.NCBF=/CMB,

tanNCBF—tanNCMB,

.CEBC

,•前前

.34

••--=---，

4BM

.,•以=女8划=6贵=半

oo

由⑵同理得,-纲望，

BMBC

2

.AN史

,,五7，

解得AN=3.,

9

：.DN=AD-AN=\-6=殁

99

14/

8,

.AN_T__2

,,DN28_Y-

V

11.在四边形ABCD中,/掰，的平分线”交宽于F,延长A6至I]£使BE=FC,G是肝的中点，必交BC于0,

连接GD.

⑴当四边形/颇是矩形时，如图1,求证：①GE=GD;②阶GQGSFC.

(2)当四边形/及/是平行四边形时，如图2,(1)中的结论都成立.请给出结论②的证明.

【分析】⑴连接CG,过点G作心切于点J.证明△明丝△的G(£1S,可得EG=DG,NAEG=NADG,再

证明△戚推出理=旦殳,可得结论；

GC0G

⑵过点。作力工比■于点7；连接GT.证明△见侬△的G(必S,推出£G=2G,再证明△

OBEs△OGT,推出些=胆,可得结论.

GT0G

【解答】(1)证明：连接CG,过点G作办缪于点J.

:四边形46切是矩形，

：.ZBAD=ZABC=90a,AD=BC,

,:AF平分/BAD,

：.ZBAF=ZDAF=^5°,

：.ZAFB=ZBAF=A5°,

：.BA=BF,

'：BE=CF,

：.AE=AByBE=BF+CF=BC=AD,

\'AG=AG,

:.△EAGQXDAGlSAS),

:.EG=DG,/AEG=ZADG,

15/

・：AD〃FC、AG=GF,

:・DJ=JC,

'：GJ1CD,

：.GD=GC,

：.ZGDC=ZGCDi

■:/ADC=/BCD=90°,

:・/ADG=NGCO,

:・40EB=/0CG,

•:/BOE=/GOC,

：.XOBEsXOGC、

.BE=OB

**GC0G，

VGC=GD、BE=CF,

：.BOGD=GOFC\

(2)解：过点〃作〃让6c于点T,连接GT.

图2

,・•四边形/腼是平行四边形，

:.AD=BC,AD//BC,

：.ZDAG=ZAFBi

•:AF平分/DAB,

：.ZDAG=ZBAF,

：.BAF=ZAFB,

:,AB=BF,

：.AE=AB+BE=BF+CF=BC=AD,

9：AG=AG,

16/

:、MEAGQXDA虱SAS）、

：./AEG=/ADG,

9

：AD//FTiAG=GF,

:・D尸",

•・・GJLDT,

：.GD=GT,

:・/GDT=/GTD、

VZADT=ZBTD=90°,

:./ADG=/GTO,

：・/OEB=/OTG,

'：/BOE=/GOT,

:ZBESMOGT,

・BE=OB

.•瓦0G，

•・•GT=GD、BE=CF,

：.BOGD=GOFa

12.问题背景：

一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1,已知2〃是4

A6C的角平分线，可证”=弛.小慧的证明思路是：如图2,过点。作方〃/4交4?的延长线于点£

ACCD

构造相似三角形来证明”=—.

ACCD

尝试证明：

（1）请参照小慧提供的思路,利用图2证明：—;

ACCD

应用拓展：

（2）如图3,在中，/历1C=9O°,2是边区上一点.连接/〃将沿4）所在直线折叠，点C

恰好落在边/6上的瓦点处.

①若AC=1,AB=2,求DE的长；

②若反7=%,Q，求应的长（用含力，a的式子表示）.

【分析】（1）证明△侬-△胡〃由相似三角形的性质得出出0,证出但。，则可得出结论;

ABBD

17/

⑵①由折叠的性质可得出4=/应以,野=偌由⑴可知，期•型，由勾股定理求出比'=返，则可

ACCD

求出答案；

②由折叠的性质得出/a/力加a,贝Utan/C=tana=胆，方法同①可求出5=一2_，则可得

AC1+tanO.

出答案.

【解答】（1）证明：•••伪/力6,

/£=AEAB,/B=ZECB,

：./\CED^/\BAD,

.CE二CD

"AB"BD'

ZE=ZEAB,/EAB=ZCAD,

:.Z.E=NCAD,

：.CE=CA,

.AB_BD

,,AC=CD"

(2)解：①：将沿/。所在直线折叠,点。恰好落在边47上的£点处,

ZCAD=ABAD,CgDE,

由(1)可知

ACCD

又；AC=l,AB=2,

•.,-2=-B-D-,

1CD

：.BD=2CD,

'：ZBAC=90°,

BC=7AC2+AB2=Vl2+22=疾，

:.BaCD=烟,

：.3CD=瓜

;.CD^y-2-:

3

二庞=X2_；

3

②：将△力切沿4?所在直线折叠,点。恰好落在边48上的瓦点处，

ACAD=ABAD,CD=DE,4c=4AED=a,

18/

AR

/.tanZC=tana=£41,

AC

由(1)可知，组侬，

ACCD

谭,

.\BD=CD*tanQ,

又.：BC=B/CD=in,

/.67>tana+CD=m,

:.eg——--

1+tana

m

1+tana

13.【基础巩固】

⑴如图1,在△力回中，〃E,尸分别为AB,AC,a'上的点,DE//BC,BF=CF,AF交座于点G,求证：DG=EG.

【尝试应用】

DE

(2)如图2,在⑴的条件下,连结CD,CG.若CGLDE,CA6,/£=3,求一的值.

BC

【拓展提高】

⑶如图3,在F阅9中，N/%=45°与初交于点0,E为A0上一点,EG〃BD交AD于点G,EFLEG交

BC于点、F.若/£(加=40°,内61平分/砂d=10,求母1的长.

【分析】⑴证明△/如△/m/\AFC^/\AGE,根据相似三角形的性质得到地=亚,进而证明结论;

BFFC

(2)根据线段垂直平分线的性质求出CE,根据相似三角形的性质计算，得到答案；

⑶延长GE交AB于四连接她过点〃作MN1BC于4根据直角三角形的性质求出/哥1G,求出/函=

30°,根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可.

【解答】(1)证明：..•庞〃8c

△AGD^XAFB,XAFCsXAGE、

DG=AGGE=AG

BFAF'FCAF)

DG=GE

BF而’

BF=CF,

:.DG=EG;

(2)解：'：DG=EG,CGX.DE,

19/

:.CE=CD=6,

U：DE//BC,

：.XADEsXABC,

・DE_AE_3_1.

**BCAC3^63'

⑶解：延长四交朋于以连接她过点〃作觥LBC于4

・・•四边形/颇为平行四边形，

・・・0B=OD,AABC=AADC=45°,

'：MG〃BD,

：.ME=GE,

u：EFLEG,

:・FM=FG=\G,

在Rt△戚中，N"声=40。,

・・・/皮帝=90°-40°=50°,

VFG平分/EFC,

:./GFC=/EFG=3G°,

■:FM=FG,EFIGM,

:・/MFE=/EFG=52°,

ZMFN=30°,

:.MN=LMF=3,

2

・•・NF=VMF2-MN2=5V3,

,：ZABC=45°,

:.BN=MN=3,

:.BF=BNVNF=3+5M.

14.如图1,在矩形485中,48=4,比'=6.点£是线段初上的动点(点£不与点4〃重合)，连接团过点£

作母工◎；交于点尸.

(1)求证：MAEFsMDCE：

(2)如图2,连接CF,过点8作庆壮年垂足为G,连接AG.点〃是线段比'的中点,连接GM.

①求/创酸的最小值；

20/

②当40瓶取最小值时,求线段座的长.

【分析】（1）由矩形的性质及直角三角形的性质证出/戊若=//班;根据相似三角形的判定可得出结论;

⑵①连接AM,由直角三角形的性质得出奶=»»/BC=3,则点G在以点〃为圆心,3为半径的圆上,

当A,G,〃三点共线时,AG+GM^AM,此时,力伊西取得最小值，由勾股定理求出加5,则可得出答案；

②方法一：过点〃作MN〃AB交FC于点、N,证明△酸以△烟;由相似三角形的性质得出理"乌」,设

BFCB2

AF=x,则BF=4-x,得出MN=工BF=工（4+x）,证明XAFG5△城得出比例线段逆江，列出方程

22MNGM

1--I，解得x=l,求出AF=1,由⑴得坦4,设DE=y,则/£=6--得出方程工上工解得

f（4-x）3DEDCy4

y=3+Jg或y=3-娓,则可得出答案.

方法二：过点G作GH〃AB交.BC千悬〃证明△的%s△飒,由相似三角形的性质得出受型_典，求

AMABMB

出赤理，磔=a,证明△酸?s△烟;得出生具，求出外=3,则可得出m=i,后同方法一可求出

55FBCB

龙的长.

【解答】（1）证明：・・,四边形/四是矩形,

ZA=ZD=90°,

・・・NCWN〃CF=90°,

VEFLCE,

:./CE>/AEF=90°,

:・/DCE=/AEF,

:•△AEFSXDCE、

⑵解:①连接4〃如图2,

图2

•:BGICF,

，△宛。是直角三角形,

21/

:点〃是比1的中点，

二跖=阴加£BC=3，

...点G在以点〃为圆心,3为半径的圆上，

当A,G,〃三点不共线时，由三角形两边之和大于第三边得:AG+GM>AM,

当A,G,〃三点共线时,AG^GM=AM,

此时,力华而取得最小值，

在RtZXZ砌中，AM^^AB2+BM2==5,

伊胡的最小值为5.

②

如图3,过点〃作AB交兄■于点N,

:.XCMNs^cBF,

.MNCM1

"BF"CB"2'

设AF^x,贝I］郎=4-x,

:.MN=LBF=L14-x),

22

'：MN//AB,

:.△AFGsXMNG,

.AF_AG

,•而领

由⑵可知/华酸的最小值为5,

即序仁5,

又,：GM=3,

：.AG=2,

22/

X2

持"3'

解得x=l,

即AF=lf

由⑴喷嗡

设DE=y,则AE=&-K

.16-y

y4

解得：y=3+J^或y=3-

VO<3+75<6,0<3-V5<6,

.,.庞=3+病或DE=3-V5.

15.已知矩形ABCD,点E为直线BD上的一个动点(点E不与