北师大版数学五年级上册知识点总结及配套练习

北师大版数学五年级（上册）各单元知识点

第一单元小数除法

除数是整数的小数除法计算法则：

①除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除；

②商的小数点要和被除数的小数点对齐；

1、③如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”再继续除。

除数是小数的小数除法计算法则：

①除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；

②除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被

除数末尾用0补足）；

③然后按照除数是整数的小数除法进行计算。

3.在小数除法中的发现：

①当除数大于1时，商小于被除数。如：3.5-5=0.7

②当除数小于1时，商大于被除数。如：3.5-0.5=7

4、小数除法的验算方法：

①商x除数=被除数（通用）

②被除数+商=除数

③被除数+除数=商

商的近似数：

①计算时，比要求保留的小数位数多除一位，再根据“四舍五入”法保留小数位数，求出

商的近似数。例如：要求保留一位小数的，商要除到第二位小数就可以停下来；要求保留

两位小数的，商除到第三位小数停下来……如此类推。

②在解决实际问题取商的近似数时，要结合实际情况用“去尾”法或者“进一”法。

6.循环小数问题：

①小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。如：0.37、1.4135等。

②小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。如：5.3……、7.145145……等。

③一个数的小数部分，从某位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样

的小数叫做循环小数。（如5.3……、3.12323……、5.7171……）

④一个循环小数的小数部分，依次不断重复的数字，叫做小数的循环节。

（如5.333……的循环节是3,4.6767…的循环节是67,6.9258258…的循环节是258）

7、用简写循环小数的方法：

①只写一个循环节，并在这个循环节的首位和末位上面记一个小圆点。

例如：只有一个数字循环节的，就在这个数字上面记一个小圆点，5.333…写作

有两位小数循环节的，就在这两位数字上面记上小圆点，7.4343…写作

有三位或以上小数循环的，在首位和末位记上小数点，10.732732…写作

8、除法中的变化规律：

①商不变性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。

②除数不变，被除数扩大，商随着扩大。

③被除数不变，除数缩小，商扩大。

配套练习题：

1.6.4+0.004的商的最高位是在（）位上。

2.在括号里填上适当的数

（）X0.8=3.320.1754-（）=0.252.0244-（）=20.244-4

3.20+3的商可以记作（），保留一位小数是（），7.59595……保留

三位小数是（）。

4.两个数相除的商是5.3,如果除数不变，要使他们的商是53,那么被除数必须

（）O

5、一个三位小数四舍五入后是4.38,这个三位小数最小是（），最大是

（）O

6.4.5时=（）分1时15分=（）时

7、在3.14、、、3.144中，循环小数有（）个，最大的数是（）。

8、用竖式计算

15.64-0.259.64-0.751.264-180.7564-0.18

9、妈妈带6000元人民币到银行兑换泰铢，大约能换多少泰铢？（100泰铢兑换人民币19.67

元）

10、循环小数0.425871425871……小数部分第1000位上的数字是几,前1000位的和是多少？

第二单元轴对称和平移

1.轴对称：

轴对称图形：

如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，那么

这条直线就叫做对称轴。两图形重合时互相重合的点叫做对应点，也叫对称点。

2.轴对称图形的性质：对应点到对称轴的距离相等，对应点连线垂直于对称轴。

3.轴对称图形具有对称性。

4.轴对称图形的画法：

（1）找出所给图形的关键点，如图形的顶点、相交点、端点等；

（2）数出或量出图形关键点到对称轴的距离；

（3）在对称轴的另一侧找出关键点的对称点；

（4）按照所给图形的顺序连接各点，就画出所给图形的轴对称图形。

平移：

1.平移的定义：在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形

运动称为平移。

2.平移的基本性质：

（1）平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。

（2）经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等。

3.平移图形的画法：

（1）确定平移的方向与距离。

（2）将关键点按所需方向平移所需距离。

（3）按原来图形的连接方式依次连接各对应点并标上相应字母。

设计图案的基本方法：平移、对称、旋转

1、配套练习题：

A.下列日常生活现象中，不属于平移的是（）

B.飞机在跑道上加速滑行B.大楼电梯上上下下地迎送来客

C.时钟上的秒钟在不断的转动D.滑雪运动员在白茫茫的平坦雪地上滑动

2.判断题：

①线段不是轴对称图形。（）

②对称轴是一条线段。（）

3.能通过左边的图形平移得到的是哪个？是的打“J。

G9|9EBE田

镶子（）（）（）

3.作图题：画下面图形的对称轴。

第三单元倍数和因数

知识点：

（一）像0,1,2,3,4,5,6,…这样的数是自然数。

（二）像-3,-2,-1,0,1,2,3,…这样的数是整数。

（三）因数与倍数

我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数，倍数与因数是相互依存的关系，要说

清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。

①概念：两个不为0的自然数相乘的积，是这两个自然数的倍数，这两个自然数是积的因

数。如：4X9=36,那么36就是4或者9的倍数，4或者9就是36的因数。

②在1〜100的自然数中，找出某个自然数的所有因数。

方法一：运用乘法算式，思考：哪两个数相乘等于这个自然数。（可以一对一对找）

方法二：用除法

例如8,84-1=8

84-2=4

那么8的因数有：1.8、2.4

由此可知：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1,最大的因数是它本身；

③找一个数的倍数的方法—用乘法

例如8,8X1=88X5=40

8X2=168X6=48

8X3=248X7=56

8X4=32.......

那么8的倍数有:8、16.24.32.40、48、56.……

由此可知：一个数的因数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；

（一）2.5的倍数的特征

2的倍数的特征：个位上是0,2,4,6,8的数是2的倍数。

5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数。

既是2的倍数，又是5的倍数的特征：个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。

（二）偶数和奇数的定义：

是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。

（三）3的倍数的特征

3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

补充知识点：

6的倍数的特征：既是2的倍数又是3的倍数的数。

9的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。

4（或25）的倍数的特征：如果一个整数的末两位数字组成的数是4（或25）的倍数，那么

这个整数就能是4（或25）的倍数。

（四）理解质数与合数的意义：

①一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。

②一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。

[1既不是质数也不是合数】

1、自然数中最小的偶数是0,最小的奇数是1,最小的质数是2,最小的合数是4。

1〜100以内的质数有：2.3.5.7、11.13.17、19、23.29、31.37、41.43.47、53.59、61.67、

71.73.79>83.89、97。

（五）互质：公因数只有1的两个非零自然数互质。

两个不同的质数一定互质，如2和3。

1和任意一个自然数（0除外）互质，如1和6o

相邻的两个自然数（0除外）一定互质，如1和2。

相邻的两个奇数一定互质，如1和3o

互质的两个数可以是一个质数、一个合数，如2和15。

互质的两个数，可以都是合数，如4和9。

（六）数的奇偶性

通过规律发现奇数、偶数相加奇偶性变化：

偶数+偶数=偶数奇数+奇数=偶数偶数+奇数=奇数

偶数-偶数=偶数奇数-奇数=偶数偶数-奇数=奇数奇数-偶数=奇数

偶数X偶数=偶数偶数X奇数=偶数奇数X奇数=奇数

（记忆技巧：把偶数看做0,把奇数看做1）

1、配套练习题：

2、因为60+（）=（）,所以（）和（）是（）的因数，（）是（）

和（）的倍数。

3、有一个三位数15口，如果它是5的倍数，口里可以填（）;如果它是3的倍数，口里

可以填（）；如果它同时是2,5的倍数，口里填（）。

18=()X()=()X()=()x(),所以18的因数有()个，因

数的个数是()的，最大的是(),最小的是()。

在括号里填入合适的质数：

22=()+()=()-()；27=()X()X()

有一堆棋子，2个2个数多1,3个3个数多1,5个5个数多1。这堆棋子最少有多少个?

小明、小红、小刚三人的年龄正好是三个连续的很数，他们的年龄总和是48岁，他们中

最小的是多少岁？最大的是多少岁？

第四单元多边形面积

(一)比较图形的面积

知识点：

确定一个图形面积的大小，不仅是根据图形的形状，更重要的是根据图形所占格子的多少

来确定。

(二)底和高：

1.认识平行四边形、三角形与梯形的底和高。【高和底的关系是对应的】

①从平行四边形一边的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，对应的这条对

边是平行四边形的底。

【平行四边形有无数条高】

②三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。

【三角形有三个顶点，所以三角形有3条高】

③从梯形的两条平行线中的一条上的某一点到对边画垂直线段,

这条垂直线段就是梯形的高，这条对边就是梯形的底。

【梯形有无数条高】

（三）用三角板画出平行四边形的高的方法：

把三角板的一条直角边与平行四边形的一条边重合，让三角板的另一条直角边过对边的某一

点。从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从点到垂足）就是平

行四边形一条边上的高。

注意：从一条边上的任意一点可以向它的对边画高，也可以从另一条边上

的任意一点向它的对边画高。

（四）用三角板画出图形的高的方法：

把三角板的一条直角边对准三角形的一个顶点，另一条直角边与这个顶点的对边重合。

从这个顶点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线

（从顶点到垂足）就是三角形形一条边上的高。

（五）探索活动

知识点：

两组对边平行且相等的四边形叫作平行四边形。

只有一组对边平行的四边形叫作梯形。

平行四边形的面积一[S平行四边形=拼成的长方形的面积】

长方形的长就是平行四边形的底;长方形的宽就是平行四边形的高。

因此：平行四边形面积=底＞＜高

如果用S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，那么，平行四边形

的面积公式可以写成：S=ah

补充知识点：

当平行四边形的底和高相同时，其面积也是相同的。

三角形的面积——【S三角形=两个相同三角形拼成的平行四边形的面积+2]

三角形的底和高，也就是平行四边形的底和高。

因此：三角形面积=平行四边形的面积+2

=底乂高+2

如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，那么，三角形的面积公式可

以写成：S=ah4-2

补充知识点：

决定三角形面积的大小的因素不是图形的形状，而是三角形的底与高的长度，只要底和

高相同，不同形状的三角形的面积也是相同的。

梯形的面积——[S梯形=两个相同梯形拼成的平行四边形的面积+2】

梯形的上底与下底的和就是平行四边形的底，梯形的高就是平行四边形的高。

因此：梯形面积=平行四边形面积+2

=底X高+2

二（上底+下底）义高+2

如果用S表示梯形的面积，用a和b分别表示梯形的上底和下底，用h表示梯形的高，那么，梯

形的面积公式可以写成：S=（a+b）h+2

补充知识点：

决定梯形面积的大小的因素不是图形的形状，而是梯形的上、下底之和与高的长度，只要上下

底的和与高相同，不同形状的梯形的面积也是相同的。

1、配套练习题：

2、一个等腰梯形的面积是20平方米，高是4米，下底是3米，上底是（）米。

一个平行四边形面积60平方厘米，底10厘米，高（）厘米，与它等底等高的

三角形面积为（）平方厘米。

将一个长方形的铁丝圈，拉成一个平行四边形，它的面积（）原来长方形面积。

A.大于B.小于C.等于

3、一个直角三角形的三条边分别为3分米、4分米和5分米，它们的面积是（）平方分

米。A.3X44-2B.3X54-2C.4X54-2

4、有一个平行四边形相邻的两条边分别为4厘米和6厘米，其中一条高是5厘米，这个平行四

边形的面积是（）平方厘米。

5、有一个面积为100平方厘米的正方形，每边都增加5厘米，这个正方形的面积增加了

（）平方厘米。

6、求阴影部分的面积

第五单元分数的意义

（一）分数的再认识

（四）分数对应的“整体”不同，分数所表示的部分的大小或具体数量也不一样，也就是分数

具有相对性。

（五）分数的意义

把整体“1”平均分成若干份，其中的一份或几份，可以用分数表示。分母

是几，整体就被分成了几份，分子是几，就表示其中的几份。

把整体“1”平均分成若干份，其中的一份，用分数表示，叫作分数单位，例如：、、

（三）分饼（分数的分类）

像、、、，…这样的分数叫作真分数。特点：分子〈分母；分数值〈1。

像、、、，…这样的分数叫作假分数。特点：分子三分母；分数值巳1。

像，这样的分数叫作带分数。特点：由整数和真分数两部分组成的；分数值大于1。

带分数的读法:2读作：二又四分之一。

★补充知识点：

分子是分母倍数的假分数可以化成整数。

分子不是分母倍数的假分数可以化成带分数。

（四）分数与除法

理解分数与除法的关系：被除数+除数=（除数不为0）,a+b=（bWO）

分数的分母不能是0。因为在除法中，0不能做除数，因此根据分数与除法的关系，分数中的分

母相当于除法中的除数，所以分母也不能是0。

运用分数与除法的关系解决实际问题，用分数来表示两数相除的商。

（五）假分数化成带分数一一根据分数与除法的关系：

用分子除以分母，把所得的商写在带分数的整数位置上，余数做分数部分的分子上，分母保持

不变。

带分数化成假分数的方法：将整数X分母+分子做分子，分母不变。

（六）分数基本性质

分数的基本性质：分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大

小不变。

联系分数与除法的关系以及“商不变”的规律，来理解分数的基本性质。分子相当于被除

数，分母相当于除数，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。因此分数的分

子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小也是不变的。

运用分数的基本性质，把一个分数化成指定分母（或分子）而大小不变的分数。

（七）找最大公因数以及最小公倍数

公因数和最大公因数：几个数公有的因数是这几个数的公因数，其中最大的一个是它们的

最大公因数。

公倍数和最小公倍数：两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做

最小公倍数。

最大公因数的表示方法：（A,B）

最小公倍数的表示方法：[A,B]

找两个数的公因数和最大公因数的方法：

1、列举法：

①运用找因数的方法先分别找到两个数各自的因数；

②再找出两个数的因数中相同的因数，这些数就是两个数的公因数；

③再看看公因数中最大的是几，这个数就是两个数的最大公因数；

例如：找15和50的公因数和最大公因数：

15的因数有：1.15.3.5

50的因数有：1.50、2.25.5.10

公因数：L5

最大公因数:5

2.筛选法：

先找出两个数中较小的数的因数，再看看这些因数中有哪些也是较大的数的因数，那么

这些数就是这两个数的公因数，其中最大的就是这两个数的最大公因数。

例如：找15和50的公因数和最大公因数：

可以先找出15的因数：1.3.5.15,再判断4个数中，哪几个也是50的因数，只有1和

5,那么1和5就是15和50的公因数，5就是它们的最大公因数。

3.分解质因数法：

用分解质因数的方法，分解15和50的质因数：

15=3X550=2X5X531152)

最大公因数=公有质因数的乘积=55

4.短除法：

.一

310

（15,5。）二8

5.特殊数字的最大公因数：

①如果两个数是连续的自然数（0除外），那么这两个数的公因数只有1；

②如果两个数具有倍数关系，那么较小的数就是这两个数的最大公因数；

③偶数与所有奇数的最大公因数是1；

④如果两个数互质，那么这两个数的最大公因数就是1；

找两个数的公倍数和最小公倍数的方法：（与找最大公因数的办法雷同）

两个数公倍数的个数是无限的，因此只有最小公倍数没有最大的公倍数。

列举法：

①先找出两个数各自的倍数（限制一定的范围内），

②再找出公有的倍数，

③再看看这些公倍数中最小的是几，这个数就是两个数的最小公倍数。

例如：找6和9的公倍数和最小公倍数:

6的倍数有:6.12.18、24.30、36.42.48.......

9的倍数有:9、18、27、36.45.......

1、公倍数：18、36.……

2、最小公倍数：18

筛选法：

先找出两个数中较大的数的倍数（限制一定的范围内），再看看这些倍数中有哪些也是

较小的数的倍数，那么这些数就是这两个数的公倍数，其中最小的就是这两个数的最小公倍数。

例如：找6和9的公倍数和最小公倍数：

（50以内）可以先找出9的倍数（50以内）有：9,18,27,36,45,再从这些数中找

出6的倍数18,36,18和36就是6和9的公倍数，18是最小公倍数。

分解质因数法：

用分解质因数的方法，分解6和9的质因数：

6=2X39=3X3

最小公倍数=公有质因数的乘积X独有质因数的乘积

=3X2X3=18

短除法：

zU__匚

23

口用。3xzx?二

5.特殊数字的最小公倍数：

①如果两个数是不同的质数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。

②如果两个数是连续的自然数（0除外），那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。

③如果两个数具有倍数关系，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。

（八）约分

理解约分的含义：把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值不变,

这个过程叫做约分。

理解最简分数的含义:像这样分子、分母公因数只有1了，不能再约分了，这

样的分数是最简分数。

约分的方法一般有两种：

①一种是用两个数的公因数一个一个去除；

②另一种是直接用两个数的最大公因数去除。

补充知识点：

比较分数大小时，分母相同的、分子相同的可以直接比较，有些时候分子分母都不相同可以采

用约分后进行比较的方法。例如：O

（九）分数比较大小

①数形结合:

②分母相同，分子大的就大；

③分子相同，分母小的就大；

④通分比较大小

理解通分的含义：把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同

的分数，这个过程叫作通分。

★通分的两个要点：①分数值与原来分数相等；

②分母相同；

通分的方法：

①先求出原分数分母的最小公倍数

②然后根据分数的基本性质

③把分数化成分母是最小公倍数的分数

（通分一般以最小公倍数作分母）

⑤比补数：（与1或者的差值进行比较大小，间接判断数的大小）

例如：和1-

1-12=1

1111

1>-（W更接近于1）

91111

所以：<

1、配套练习:

2、

米表示把（）平均分成（）份,表示有这样（）份；也可以表示把（)

平均分成（）份，有这样的（）份。

3、把7kg糖平均分给8个小朋友,每个小朋友分到这些糖的(）,每个小朋友分到

()kg-（用分数表示）

4、()4-()=7=()4-12.6

5、分母是5的最简真分数有（）个，它们的和是（)O

6、在0里填上“〉”“〈”或

T0213

泡8°1

7、一*个分数的分子比分母小8,约分后是，这个分数是（)0

在、、、、中，是最简分数有（）个。

8、判断：大于而小于的分数只有3个。()

9、先通分，在按照从小到大的顺序排列。

453

（1）主、二和三

9114

10、同学们分组参加植树节活动，每8人一组或每14人一组，都没有剩余,已知该班的人数在

30人至60人之间，该班有学生多少人？

ll.A=2X2X3X5X7B=2X2X2X5XH

(A,B)=[A,B]=

第六单元可能性、鸡兔同笼

1.图形中的规律

在摆n边形的活动中，摆第一个需要n个小木棒，其余的只需n—1个小木棒，找点阵中的

规律，要找到点数与点阵序号的关系

2.鸡兔同笼

①运用“假设举例与列表”的方法解题时，其中列举法就是各取总数的一半，或近似一半;

②用假设法解鸡兔同笼问题时，假设算出的腿数与实际腿数的差值除以2就是兔子的个数

3.等可能性和游戏公平性

可能性相同，游戏规则才公平

4.数量和可能性大小的关系

事件发生可能性的大小能反映出物体数量的多少，可能性越大，对应的物体数量越多；可能性越

小，对应的物体数量越少

数学公式及运算律

一、运算定律：

1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a。

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数

相加，再和第一个数相加它们的和不变，即(a+b)+c=a+(b+c)o

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即aXb=bXa。

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相

乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(aXb)Xc=aX(bXc)。

乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积

相加，即(a+b)Xc=aXc+bXc。

2.减法的性质：

从一个数里连续减去几个数，等于从这个数里减去所有减数的和，差不变，即

a-b-c=a-(b+c)；

一个数减去一个数再加上一个数，等于减去这两个数的差a-b+c=a-(b-c)。

3、除法的运算性质：

a4-(bXc)=a-rb-?c；a-?(b4-c)=a-i-bXc；

(a+b)4-c=a+c+b+c；(a-b)-T-C=a+c-b+c

二、分数四则运算法

1.分数的加、减法则:同分母的分数相