人教版初中八年级数学上册同步讲义-等边三角形（原卷版）

第04讲等边三角形

学习目标

课程标准学习目标

1,掌握等边三角形的性质并能够对其熟练应用。

①等边三角形的概念与性质2.掌握等边三角形的判定方法，能够运用已知条件熟

②等边三角形的判定练判定等腰三角形。

③含30°角的直角三角形3.掌握含30°角的直角三角形的性质并对其熟练应

用。

思维导图

三条边三个角的性质

等边三角形的性质三边的三线合一

定义列定

等边三角形

等边三角形的判定性质判定

30°角的直角三角形的性质

知识点01等边三角形的概念与性质

1.等边三角形的概念:

三条边都的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的O

2.等边三角形的性质：如图

①等边三角形的三条边都，三个角也_________,且三个角都等于°

②等边三角形三条边都存在。

③等边三角形是一个图形，它有条对称轴，对称轴的交点叫做中心。

题型考点：①等边三角形的性质求角度与线段。

【即学即练1】

1.如图，直线a〃人等边三角形48c的顶点C在直线6上，Zl=40°,则/2的度数为（）

A.80°B.70°C.60°D.50°

【即学即练2】

2.如图：等边三角形/3C中，BD=CE,ND与BE相交于点P,则N/PE的度数是（）

【即学即练3】

3.如图，△/BC中，4D为角平分线，若/8=/C=60°,48=8,则CD的长度为.

【即学即练4】

4.如图，过边长为4的等边△43C的边43上一点尸，作尸EL/C于E,。为2。延长线上一•点，当B4=

C。时，连尸0交/C边于D,则的长为.

知识点02含30°角的直角三角形

1.30°角所对的直角边与斜边的关系：

30°角所对的直角边等于斜边的。证明如下：

如图，△NBC是等边三角形，ADLBC.证明

2

,：AABC是等边三角形

:.AB=BC=AC,/BAC=NB=NC=。

"JADLBC

：.4。平分ABAC,ZBAD=ZCAD=

BD=CD=BC

：.BD=AB.

题型考点：含30°角的直角三角形的性质。

【即学即练1】

5.如图，在△ZBC中，ZC=90°,/43C=60°,BD平分N4BC,若4。=6,则CD等于()

A.3B.4C.5D.6

【即学即练2】

6.若等腰三角形的一腰长为a,底角为15°,则这个等腰三角形腰上的高为（）

A.2aB.aC.—aD.与a无关

2

【即学即练3】

7.如图，NAOP=NBOP=15：PC//OA,PDLOA,若PC=4,则PD的长为2

知识点03等边三角形的判定

1.等边三角形的判定：

①定义判定：三条边都的三角形是等边三角形。

②判定定理1：三个角的三角形是等边三角形。或有两个角是的三角形是等边三

角形。

③判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形。

题型考点：等边三角形判定证明。

【即学即练1】

8.下列三角形：

①有两个角等于60°；

②有一个角等于60°的等腰三角形；

③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；

④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.

其中是等边三角形的有（）

A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④

【即学即练2】

9.已知，如图，/B=/C,AB//DE,EC=ED,求证：ZYDEC为等边三角形.

【即学即练3】

10.如图，在△/3C中，AC=BC,ZACB=U0°,CEL4B于点、D,1.DE=DC.求证：△CEB为等边三

角形.

【即学即练41

11.在△48C中，已知是角平分线.

(1)若BE=AE,求证：ZABC=2ZA；

(2)若3£J_NC,求证：△/BC为等边三角形.

题型精讲

题型01等边三角形的性质计算长度

【典例1】

如图,CD是等边△48C的中线,垂足为点E.若的长度为3c加，则点。到8c的距离为cm.

【典例2】

如图，将边长为4个单位的等边△/2C沿边2C向右平移3个单位得到△/'2'C',则3'C的长度

为

【典例3】

如图，在等边△48C中，3。平分交NC于点。，过点。作。E_L2C于点E,且CE=1.5,则48的

长为（）

【典例4】

如图，等边三角形/3C是一块边长为20加的草坪，点P是草坪内的任意一点，过点尸有三条小路PD,PE,

PF,且满足PE〃/5,PF//BC,PD//AC,则三条小路的总长度为（）

B.IOA/3^C.20mD.20A/3^

题型02等边三角形的性质计算角度

【典例1】

等边三角形一个内角的平分线与一个外角的平分线相交所成的锐角是3。度.

【典例2】

如图，已知△/3C是等边三角形，点8、C、D、E在同一直线上，MCG=CD,DF=DE,则/£的度数为

)

C.15°D.7.5°

【典例3】

在△NBC中，点。，£是3C的三等分点,且△/£>£是等边三角形，则/历1C的度数为（)

A.100°B.110°C.120°D.130°

【典例4】

如图，△/BC是等腰三角形，AB=AC,在△/BC外部分别作等边三角形4D3和等边三角形/。瓦若/D4E

=/DBC,求△A8C三个内角的度数.

题型03含30°角的直角三角形的计算

【典例1】

如图，Rt/vlSC中，//=30°，且/2=6,则BC=()

B.4C.6D.不确定

【典例2】

如图，在RtZX/BC中，已知，ZACB=90°Z5=15°,N5边的垂直平分线交48于£,交BC于D,且

BD=V3cm,则NC的长是（）

C.30cmD.6y]~2cm

【典例3】

如图，在△48C中，AB=AC,NR4C=120°点。在3c上，ABLAD,AD=2cm,则3c的长为（)

C.6cmD.8cm

【典例4】

如图，在△/BC中，AB=AC,//=120°,BC=6cm,48的垂直平分线交3c于点"，交48于点E,AC

的垂直平分线交8C于点N,交/C于点e则aW的长为（）

C.2.5cmD.3cm

题型04等边三角形的判定

【典例1】

下列推理中，不能判断△NBC是等边三角形的是（

A./4=/B=NCB.AB=AC,ZB=60°

C.ZA=60°,ZB=60°D.AB=AC,且

【典例2】

已知：在△/BC中，ZA=60°,如要判定△48C是等边三角形，还需添加一个条件.现有下面三种说法:

①如果添加条件"AB=AC”,那么△NBC是等边三角形；

②如果添加条件"/B=/C”,那么△NBC是等边三角形；

③如果添加条件“边/夙8C上的高相等"，那么A/BC是等边三角形.

上述说法中，正确的有（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

【典例3】

如图，在△/2C中，AB=AC,D为边的中点，DELAC于点E,。尸_L3C于点RDE=DF.求证：△

/8C是等边三角形.

【典例4】

如图，△4BC中，。为NC边上一点，DELABE,ED的延长线交8c的延长线于尸，且CD=CF.

（1）求证：△/3C是等腰三角形;

（2）当/尸=度时，△A8C是等边三角形？请证明你的结论.

【典例5】

在边长为9的等边三角形/3C中，点P是上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点/向点2运动，

设运动时间为/秒.

（1）如图1,若点。是2C上一定点，BQ=6,PQ//AC,求才的值；

（2）如图2,若点P从点/向点2运动，同时点。以每秒2个单位长度的速度从点8经点C向点/运

动，当:为何值时，△/尸。为等边三角形？

题型05等边三角形的判定与性质

【典例1】

如图，在RtZXZBC中，ZACB=90°,Z5=30°,。石是45的垂A

B

EC

直平分线，交AB、BC于点D、£连接CO、AE.求证:

(1)△4DC是等边三角形；

(2)点E在线段CD的垂直平分线上.

【典例2】

己知：如图，点。为线段N5上一点，&LCM,△C8N都是等边三角形，AN交MC于点、E,BM交CN于

点尸.

(1)求证：AN=BM；

(2)求证：△CM为等边三角形.

【典例3】

在Rt/X/BC中，ZACB=90°,ZA=30°,3。是△48C的角平分线，DE_LAB于点E.

(1)如图1,连接EC,求证：△E3C是等边三角形；

(2)点M是线段CD上的一点(不与点C,。重合)，以8M为一边，在8M的下方作入BMG=60°,

MG交。E延长线于点G.请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD,0G与/。之间的数量关系；

(3)如图3,点N是线段4。上的一点，以5N为一边，在5N的下方作N5NG=60°,NG交DE延长

线于点G.试探究ND,DG与/。数量之间的关系，并说明理由.

上上席

图1图2\

G

图3

【典例4】

如图，点。是等边△48。内一点，。是△/8C外的一点，ZAOB=UQC,ZBOC=a,△BOCQAADC,

ZOCD=60°,连接OD.A

(1)求证：△OCD是等边三角形；

a

BC

(2)当a=150°时，试判断的形状，并说明理由;

(3)探究：当a为多少度时，△20。是等腰三角形.

【典例5】

己知：如图，△/BC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点

。，点〃、N分别是线段40、3E的中点.

(1)求证：AD=BE；

(2)求/。OE的度数；

(3)求证：△MVC是等边三角形.

强化训练

1.如图，直线加〃力等边△45。的顶点8在直线〃上，N2=35°,则N1的度数为()

A

A.40°B.25°C.30°D.35°

2.下列对△/BC的判断，不正确的是（）

A.^AB=AC,ZC=60°,则△48C是等边三角形

B.若//：NB：ZC=1：2：3,则△48C是直角三角形

C.若/N=50°,ZB=80°,则△NBC是等腰三角形

D.若AB=BC,ZC=40°,则NB=40°

3.老师设计了“谁是卧底”游戏，用合作的方式描述下面的题目：

“如图，在△/8C中，NC=30°,点。是/C的中点，DEL4c交8c于E；点O在皮＞上，OA=OB,

OD=2,OE=4",C

甲说：CE=12；A

乙说：C5=20；/\

丙说：ZX/OB为等边三角形；/\

丁说：过点。作C3,可以求出8/=10.牛夫

若四个描述中，只有“卧底”的描述是错误的.则“卧底”是（）//w

A.甲B.乙/\\

C.丙D.四个人都不是卧底巫----------------

4.如图，等边三角形纸片N3C的边长为8,点E,厂是8c边的三等分点.分别过点E,尸沿着平行于R4,

C4的方向各剪一刀，则剪下的△。斯的周长是（）

A

5.如图，在△NBC中，ZC=90°,ZA=15°,NDBC=60°,5C=1,则NO的长为()

B

6.如图，ZABC^60°,AB=6,动点尸从点3出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线/运动，设点尸

的运动时间为/秒（?>0）,当△/AP为锐角三角形时，/的取值范围是（）

A.t>3B.t>6C.6<t<12D.3</<12

7.如图，△/2C中,4B=5,5C=7,48=60°,现将△/灰:沿着射线BC的方向平移2个单位得到△/向Ci，

则△NbBC的周长是（）

8.如图，已知与△CDE都是等边三角形，点8、C、。在同一条直线上，与BE相交于点G,BE

与ZC相交于点R4D与CE相交于点X,连接万给出下列结论：①△/CD之△BCE；（2）ZAGB=

60°；③BF=4H；④△C/H是等边三角形.其中正确结论的个数是（）

9.如图，木工师傅从边长为30cm的正三角形/8C木板上锯出一正六边形木板，那么正六边形木板的边长

为cm.

10.如图，已知/48C=60°,DB=12,DE=DF,若EF=2,则

A

BEFC

11.如图，//。8=60°,点。是8。延长线上的一点，OC=6cm,动点尸从点C出发沿射线C8以2c加/s

的速度移动，动点。从点。出发沿射线。/以\cmls的速度移动，如果点P、Q同时出发，用I（s）表

示移动的时间，当/=时，△尸。。是等边三角形.

12.如图，已知等边△/8C中，点。、E分别在边/2、3C上，把△8DE沿直线DE翻折，使点2落在点次

处，