2024年中考数学二轮题型突破：二次函数与线段有关的问题

类型二二次函数与线段有关的问题（专题训练）

1.（2023・重庆•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-X2+bx+c与x

4

轴交于点A,B,与了轴交于点C,其中8（3,0）,C（0,-3）.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点P是直线/C下方抛物线上一动点，过点尸作尸。14C于点。，求即的最大值及此时

点尸的坐标；

（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物

线与了轴交于点尸，。为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以。尸为腰的

△。斯是等腰三角形的点。的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来.

［答案】（1»=卜2+%-3；（2）PD取得最大值为:尸［2,-：）；（3）0点的坐标为（KT）

或俘5）或阂）

【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；

3

（2）直线NC的解析式为>=-彳X-3,过点p作尸轴于点£,交NC于点。，设

尸0,>2+）-3）,则00-3-3）,则尸£）=9。，进而根据二次函数的性质即可求解；

（3）根据平移的性质得出〉=：0-斗2-1，对称轴为直线x=g，点尸］一2,-（）向右平

移5个单位得到£（3,-j］,尸（0,2）,勾股定理分别表示出斯2,。私,0尸2,进而分类讨论即

可求解.

【详解】（1）解：将点8（3,0）,。（0,-3）.代入了=；X2+6x+c得，

1x32+36+。=。

.4

。=一3

1

b=—

解得：4,

c=-3

二抛物线解析式为：>=%2+%-3,

(2)•.,y=；x2+：x-3与x轴交于点A,B,

当>=0时，1X2+1X-3=0

解得：x=-4,x=3,

12

.-.^(-4,0),

C(0,-3).

设直线NC的解析式为了=6-3,

-4)1-3=0

3

解得：k=-%

3

.••直线AC的解析式为尸-丁-3,

如图所示，过点尸作尸Elx轴于点交4。于点。,

ZAQE=ZPQD,ZAEQ=/QDP=90。，

ZOAC=ZQPD,

OA=4,OC=3,

AC=5,

PDAO4

•cosZQPD=—=cosZOAC=一=_

PQAC5?

2

.•.当2时，尸。取得最大值为：，>+,3=3(-2%+白(-2)-3=1,

111<1Y49

(3)抛物线了=了尤2+彳尤_3=x+_

444(2)16

将该抛物线向右平移5个单位，得至ljy=』\(x-：0^2-49对称轴为直线％=9

412)162

点户(一2，一^)向右平移5个单位得到《3，4)

...平移后的抛物线与了轴交于点尸，令x=0,贝1]7=71、(：Q>2-=49=2,

4\2J16

.•.尸(0,2),

EF2=3I+（2+1|2117

4

。为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.

则。点的横坐标为2.

2

设仆),

QEz=@一3，+卜+＜，，QF1=@]+（"一2）2,

当。尸=E尸时，Q2+(m-2>=H1,

解得：加=-1或加=5,

当尸时，3-3)+(加+习2=0+(加—2)2,

解得：冽=a

综上所述，0点的坐标为(KT)或([s)或(C).

3

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的

平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

2.(2023・四川凉山•统考中考真题)如图，已知抛物线与x轴交于/(1,0)和8(-5,0)两点，

与y轴交于点C直线y=-3x+3过抛物线的顶点P.

尸-3片3

mx

⑴求抛物线的函数解析式；

(2)若直线》=机(-5＜加＜0)与抛物线交于点E,与直线BC交于点尸.

①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；

②当△£网?是等腰三角形时，求点E的坐标.

【答案】(l)y=-x2-4x+5;(2)①当加=-1■时，所有最大值，最大值为?；②(-3,8)或(T,5)

(72-5,672-2)

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)①先求出C(0,5),进而求出直线BC的解析式为V=x+5,则

E^m,-mi-4m+5)E邛m+5),进一步求出斯=-5+1+号,由此即可利用二次

函数的性质求出答案；②设直线》=机与x轴交于“，先证明是等腰直角三角形，得

4

至1」乙成（=/3。/=45。；再分如图3所示，当EC=FC时，如图3所示，当EF=EC时,

如图3所示，当成=C尸时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可.

【详解】（1）解：1,抛物线与x轴交于*,0）和8（-5,0）两点，

二.抛物线对称轴为直线x=亨1=-2,

在y=-3x+3中，当x=-2时，y=9,

二抛物线顶点P的坐标为（-2,9）,

设抛物线解析式为y=。（x+2%+9,

a（1+2》+9=0,

CL——1,

二抛物线解析式为V=-（X+2）2+9=-xi-4x+5

（2）解：①•.•抛物线解析式为y=f2-4x+5,点C是抛物线与y轴的交点，

C（0,5）,

设直线BC的解析式为y=kx+b^,

\-5k+b=0

A[6:51，

i]

\k=\

「人=5，

直线BC的解析式为V=x+5,

•.・直线》=冽（-5〈冽〈0）与抛物线交于点石，与直线5。交于点尸

E\m,-mi-4m+5）,F（m+5）,

EF=-mi-4m+5-（m+5）

=-mi-5m

l2j4

----l<0,

5

575

二当加=-2时，E尸有最大值，最大值为王;

②设直线x=机与x轴交于”,

,BH=m+5,HF=m+5,

BH=HF,

：.ABHF是等腰直角三角形，

AEFC=^BFH=45°;

如图301所示，当EC=FC时，

过点C作CG,即于G,则G（因5）

.,.点G为EF的中点，

由（2）得£*（加，一加2-4m+5）,F（TH,加+5）

-mi-4m+5+m+5一

.•=5,

2

/.冽2+3加=0,

解得加=-3或加=0(舍去),

.”(-3,8)；

图3-1

如图302所示，当£F=EC时，贝UAEFC是等腰直角三角形,

乙FEF=90°,BPCELEF,

6

.,.点E的纵坐标为5,

-mi-4m+5=5,

解得加=-4或加=0（舍去）,

£（-4,5）

如图3口3所示，当斯=CF时，过点。作CGL斯于G,

同理可证△CFG是等腰直角三角形，

FG=CG=—m,

'.CF=42CG=-y/2m,

-m2-5m=-yj2m,

解得冽=JZ-5或加=0（舍去）,

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函

数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键.

3.小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1,

杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径4s=4,且点A,B关

于y轴对称，杯脚高CO=4,杯高。0=8,杯底MN在x轴上.

(1)求杯体ACB所在抛物线的函数表达式(不必写出x的取值范围).

(2)为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2,杯体4c9所在抛物线形状不变,

杯口直径45'//45,杯脚高CO不变，杯深与杯高之比为0.6,求4。的长.

【答案】⑴y=X2+4；(2)2/

【分析】

(1)确定B点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；

(2)利用杯深CD与杯高之比为0.6,求出0D,接着利用抛物线解析式求出

或A，横坐标即可完成求解.

【详解】

解：(1)设＞=以2+4,

•.•杯口直径AB=4,杯高D0=8,

...5(2,8)

将x=2,y=8代入，得。=1,

二.y=X2+4.

8

..CD'

(2),.0.6,

CD,

=0.6

4+CD1

CD'=6，3=10，

当y=10时，10=%2+4

I=心或工=_/,

A'B'=29

即杯口直径的长为2c.

【点睛】

本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内

容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等.

4.(2023•浙江金华・统考中考真题)如图，直线与x轴，歹轴分别交于点48,

抛物线的顶点尸在直线上，与x轴的交点为C,。，其中点C的坐标为(2,0).直线8c与

直线尸。相交于点瓦

(1)如图2,若抛物线经过原点O.

RF

①求该抛物线的函数表达式；②求学的值.

(2)连接尸C/CPE与/胡。能否相等？若能，求符合条件的点尸的横坐标；若不能，试说明

理由.

【答案】⑴①尸-¥加+3内；②;；(2)能,6或|■或-，或

【分析】(1)①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；

9

②过点E作E"1OC于点a.设直线8C为>=履+6，把C（2,0）代入，得0=2上+4,

解得左=-乎，直线BC为了=-乎》+口.同理，直线。为了=¥底联立两直线解析

式得出心¥）

,根据£以〃30,由平行线分线段成比例即可求解;

（2）设点p的坐标为，争+0,则点。的坐标为（2—2,0）.①如图2J当空2时,

存在NCPE=NBAO.记NC尸E=N3/O=ci,N/PC=B，则4尸D=ct+B.过点尸作尸尸_Lx

/尸2

轴于点F，则/尸=r+2.在RtA4P尸中，COSN3/0=R=N，进而得出点P的横坐标为6.②

Ai3

如图22当0<Y2时，存在NCP£=NA4O.记NCPE=NB4D=Q,ZAPD=B.过点尸作

AF2

尸Fix轴于点/，则4b=，+2.在Rtzk/PF中，cosZBAO==得出点尸的横坐标

AP3

7

为③如图2-3,当-2<ZWO时，存在NCPE=ZBAO.记NA4O=a.过点p作尸

Ap96

轴于点尸，则/尸=:+2.在RtANPF中，/=cosNA40=w，得出点尸的横坐标为一］.④

如图24当仁一2时，存在NCP£=NA4。.记/氏4O=a.过点尸作P尸1x轴于点尸，

竺=cosNPAF=414

贝i]4F=V-2.在RtA/P/中得出点尸的横坐标为

AP3

【详解】（1）解：①「OC=2,

二顶点尸的横坐标为L

.,.当x=l时，了=邪x+邪=3炉,

2、2

点P的坐标是

设抛物线的函数表达式为y=a（x-6+羊，把（0,0）代人,

得0=。+¥，

解得°=

2

,该抛物线的函数表达式为了=-芋"-1）2+苧，

即y=尤2+3px.

②如图1,过点E作昉'1OC于点石.

10

设直线8C为了=丘+妻，把C（2,0）代入，得0=2上+百,

解得上=-无，

2

二直线8c为广一冬+/.

同理，直线O尸为了=苧工.

y=-^-x+y/5,

由r-

3/

V=—2_x.

2

.1

解得,市

・「EH//BO,

BEOH

'^C~UC~T

（2）设点P的坐标为卜§+同，则点。的坐标为（2/2,0）.

①如图2-1,当/>2时，存在NCPE=NB40.

记NCPE=NB4O=a,ZAPC=B,贝ij心尸。=a+B.

「/PC。为△尸ZC的外角，

...NPCD=a+B.

11

PC=PD.

ZPDC=/PCD=a+B.

AAPD=NADP.

AP=AD=2t.

过点尸作尸尸工无轴于点尸，则/尸=f+2.

AF2

在RM4P尸中，cosZBAO=—=_,

.•.萼=],解得"6.

②如图22当0＜七2时，存在NCPE=NA40.

记ZCPE=ABAD=a,AAPD=p.

•「NPDC为AP/D的外角，

...APDC=a+p.

...NPCD=NPDC=a+B

NAPC=NACP.

：.AP=AC=4.

过点尸作尸尸Lx轴于点尸，贝|4F=f+2.

AF2

在Rt&4P尸中，cosABAO=_=_,

AP3

%+222

可，解得

~T~

12

图2-2

③如图23当一2＜々0时，存在NC尸£=Z8/0.记Z8/0=a.

PC=PD,

-APDC=4PCD=14CPE=la.

22

-ZAPD=ZBAO-ZPDC=a-L=La.

-22

AAPD=ZPDA.

AD=AP=—2t.

过点尸作尸尸工无轴于点尸，则/尸=f+2.

4F2

在RtA/P尸中，—=cosZBAO=^,

/+226

.••石二,解得"-亍

.,.点P的横坐标为-

④如图24当tv-2时，存在NCPE=N"O.记N"O=a.

,1PC=PD,

■/PCD=NPDC=LNCPE=LQ

22

13

图2-4

-AAPC=ZBAO-ZPCD=a-La=la.

-22

:.PA=CA=4.

过点尸作尸尸Lx轴于点尸，则/尸=V-2.

AF2

在RUAPF中，-jp=cosZPAF=_,

二点尸的横坐标为一下.

综上，点尸的横坐标为

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以

上知识，分类讨论是解题的关键.

5.如图1,隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，

另一边AB为2米.以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直

角坐标系xOy,规定一个单位长度代表1米.E(0,8)是抛物线的顶点.

⑴求此抛物线对应的函数表达式；

(2)在隧道截面内(含边界)修建ITI型或型栅栏，如图2、图3中粗线段所

14

示占尸，尸在x轴上，MN与矩形PPPP的一边平行且相等.栅栏总长1为图中粗线段尸尸，

'八'、14123412

PP,PP,MN长度之和.请解决以下问题：

2334

(i)修建一个"m型栅栏，如图2,点<，4在抛物线AED上.设点4的横坐标为

沉(0<«7V6),求栅栏总长1与m之间的函数表达式和1的最大值；

(ii)现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建|TI型或型栅型

两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形尸「尸尸面积的最大值，及取最大值

1234

时点。的横坐标的取值范围(。在。右侧).

1

【答案】(l)y=_-gx2+8

(2)(i)1=Jm2+2m+24,1的最大值为26；(ii)方案一：-回+9WP】横坐标W同；

方案二：-JJT+|wP］横坐标wQ

【分析】(1)通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；

1

(2)(i)结合矩形性质分析得出口的坐标为(m,-/m2+8),然后列出函数关系式，利

用二次函数的性质分析最值；

(ii)设P2P「n,分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值,

从而利用数形结合思想确定取值范围.

⑴由题意可得：A(-6,2),D(6,2),

又rE(0,8)是抛物线的顶点，

设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+8,将A(-6,2)代入，

1

(-6)2a+8=2,解得：a=-

1

抛物线对应的函数表达式为y=-/X2+8；

O

(2)(i)•.•点P］的横坐标为m(0vmS6),且四边形P】P2P3P彳为矩形，点P?，P3在抛物线

AED上，

一1

...p的坐标为(m,--m2+8),

20

1

.,.PP=PP=MN=_-7m2+8,PP=2m,

1234623

111

.-.1=3(一下mz+8)+2m=-Km2+2m+24=一不z(m-2)2+26,

o22

15

.•.当m=2时，1有最大值为26,

即栅栏总长1与m之间的函数表达式为1=Jm2+2m+24,1的最大值为26；

(ii)方案一：设P?P］=n,则P2P3=18-3n,

矩形PF2P3P4面积为(18-3n)n=-3na+18n=-3(n-3)2+27,

-3<0,

.•.当n=3时，矩形面积有最大值为27,

1L

此时P?P］=3,P2P3=9,令一&X2+8=3,解得:x=±y/30,

，此时P］的横坐标的取值范围为-同+9WP］横坐标W回•

方案二：设PzPjn,贝UP2P3=9-n,

g81

矩形PPPP面积为(9-n)n=-n2+9n=-(n----)2+

123424

Q81

•・•-1vO,.•.当n=W时，矩形面积有最大值为K，

24

qQ1q

此时P,P,=?,PP=-,令_3*2+8=匕解得：x=+VTT,

21223262

,此时P］的横坐标的取值范围为-6T+|wP］横坐标w/T.

【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点

的坐标，利用数形结合思想解题是关键.

6.(2023・江西・统考中考真题)综合与实践

问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt448C中，ZC=90°,。为NC上一点，

CD=F,动点尸以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C-8fN匀速运

动，到达点/时停止，以。P为边作正方形DPE尸设点尸的运动时间为，S,正方形。尸EF的

而积为S,探究S与f的关系

16

图1图2

（1）初步感知：如图1,当点尸由点C运动到点8时，

①当f=l时，S=.

②S关于t的函数解析式为.

（2）当点尸由点3运动到点/时，经探究发现S是关于f的二次函数，并绘制成如图2所示

的图象请根据图象信息，求S关于/的函数解析式及线段的长.

（3）延伸探究：若存在3个时刻（t<t<t）对应的正方形OPE尸的面积均相等.

123123

①％+t=；

12-------

②当［=4（时，求正方形DPEF的面积.

【答案】⑴①3;②S=h+4;（2”=公-8f+18（2W8）,AB=6-,（3）①4;②?

【分析】（1）①先求出CP=1,再利用勾股定理求出DP=®,最后根据正方形面积公式求

解即可；②仿照（1）①先求出。尸=/,进而求出DP2=/2+2,则S=D尸2=h+2;

（2）先由函数图象可得当点尸运动到2点时，S=DP2=6,由此求出当"2时，s=6,

可设S关于t的函数解析式为S=aQ-4）2+2,利用待定系数法求出S=h-8t+18,进而求

出当S=h-8/+18=18时，求得f的值即可得答案；

（3）①根据题意可得可知函数S=G-41+2可以看作是由函数S=这+2向右平移四个单位

得到的，设P（m，"），。（加,"）（别>加）是函数S=l2+2上的两点，则+4,力），

12211

（加+4,"）是函数S=。-4）2+2上的两点，由此可得加+加=0,m<m<m+4<m+4,

2121212

贝+m+4=4,根据题意可以看作f=〃？，f=机+4,Z+4,贝心+f=4；②由（3）

2112213212

17

4

①可得/=/+4,再由/=4/,得到/=才，继而得答案.

313113

【详解】（1）解：••,动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C-8f4

匀速运动，

.,.当f=l时，点尸在BC上,且。尸=1,

ZC=90°,CD=p,

.DP=JCA+CDz=73，

S=DP1=3,

故答案为：3;

②•.•动点尸以每秒1个单位的速度从C点出发，在8C匀速运动，

CP=t,

-：ZC=90°,CD=72,

DPi=CPi+CDi=t2+2,

/.S=DPi=£2+2;

（2）解：由图2可知当点P运动到3点时，S=DP2=6,

../2+4=6,

解得f=2,

.•.当/=2时，5=6,

由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为（4,2）,

可设S关于f的函数解析式为S=aG-4%+2,

把（2,6）代入S=a（t-4）2+2中得：6=。（2—4方+2,

解得4=1,

...S关于［的函数解析式为S=（f—4）2+2=/2—8/+18（2W%8）,

在S=f2-&+18中，当S=/2-8/+18=18时,解得f=8或1=0,

/8=8-2=6；

（3）解：①•.•点P在3C上运动时，S=f2+2,点尸在A8上运动时S=0—4>+2,

.•.可知函数S=Q-41+2可以看作是由函数S=h+2向右平移四个单位得到的，

设尸（加，"），Q［m,«）（m>机）是函数S=h+2上的两点，贝！］（加+4,"）,（/〃+4,〃）是

122112

18

函数S=(%-41+2上的两点,

：,m+m=0,m<m<m+4<m+4,

121212

m+m+4=4,

21

,存在3个时刻,t<t<t)对应的正方形OPE尸的面积均相等.

123123

可以看作看=m,t=m+4,t=m+4,

122132

t+t=4,

12

故答案为：4;

②由(3)①可得\=(+4,

t=4t,

31

4,=，+4,

ii

"i3'

「MV、34

.,.S=，2+2=—+2=—.

⑺9

【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等

等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键.

7.在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0)和点B(0,3),

顶点为C,点D在其对称轴上,且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,

点C落在抛物线上的点P处.

19

⑴求抛物线的解析式；

(2)求点P的坐标；

⑶将抛物线平移，使其顶点落在原点0,这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M,

使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴户-x2+2x+3

⑵尸(2,3)

⑶存在，M(0,p

【分析】(1)根据点4B的坐标，利用待定系数法即可得；

(2)先求出抛物线的对称轴，再设点。的坐标为。(1,。)(。＜4),则8=4-根据旋转的

性质可得NC。尸=90。,尸。=CO=4-a,从而可得尸(5-a,“)，将点尸代入抛物线的解析式求

出0的值，由此即可得；

(3)先根据点坐标的平移规律求出点作点E关于V轴的对称点连接尸"，从

而可得尸E与歹轴的交点即为所求的点再利用待定系数法求出直线尸日的解析式，由此

即可得出答案.

f—1—6+。=°

⑴解：将点次-1,0),3(0,3)代入y=T2+6x+c得：1=3，

[b=2

解得[=3，

则抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.

⑵解：抛物线＞=一》2+2x+3=—(x—l)2+4的对称轴为直线x=l,其顶点C的坐标为C(l,4),

设点。的坐标为则C0=4-a,

由旋转的性质得：ZCDP=90°,PD=CD=4-a,

20

尸(1+4—a,a),即尸(5-a,a)t

将点P(5—a,a)代入V=TXT)2+4得：-(5-a-1)2+4=a,

解得a=3或。=4(舍去)，

当a=3时，5-a=5-3=2,

所以点尸的坐标为P(2,3).

⑶解：抛物线y=-x2+2x+3的顶点C的坐标为C(l,4),

则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点O,

;这时点尸落在点E的位置，且尸(2,3),

.••^(2-1,3-4),即恰好在对称轴直线尤=1上，

如图，作点E关于〉轴的对称点夕，连接

由两点之间线段最短可知，尸日与了轴的交点即为所求的点“，此时“P+MT的值最小,

即"尸+ME的值最小，

由轴对称的性质得：£1(-1,-1),

设直线尸色的解析式为y=h+，〃，

21

[2左+初=3

将点P(2,3),£,(-l,-l)代入得：y_k+m=_1

解得1,

I3

41

则直线尸的解析式为广丁+],

1

当x=o时，『，

故在V轴上存在点M,使得MP+ME的值最小，此时点M的坐标为"（0,；）.

【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标的

平移规律等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键.

8.（2023•甘肃武威・统考中考真题）如图1,抛物线y=-x2+bx与x轴交于点A,与直线V=-x

交于点8（4,-4）,点C（0,-4）在y轴上.点尸从点B出发，沿线段80方向匀速运动，运动

⑵当3尸=2。时，请在图1中过点尸作尸。1OA交抛物线于点D,连接PC,OD,判断

四边形。的形状，并说明理由.

（3）如图2,点P从点3开始运动时，点。从点。同时出发，以与点尸相同的速度沿x轴正方

向匀速运动，点P停止运动时点。也停止运动.连接8。，PC,求C尸+8。的最小值.

【答案】（l）N=f2+3x；（2）四边形。CP。是平行四边形，理由见解析；（3）4出

【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；

（2）作尸D1GM交抛物线于点。，垂足为连接尸C,OD,由点尸在歹=一“上，可知

22

OH=PH,ZPOH=45°,连接3C,得出08=4/，贝\OH=PH=goP=*2*=2,

当X=2时，DH=y=-4+3x2=2,进而得出P。=0C,然后证明PO〃OC,即可得出

DD

结论；

（3）由题意得，BP=OQ,连接BC.在。4上方作AOMQ,使得NMOQ=45。，OM=BC,

证明△CBP^txMOQ（SAS）,根据CP+BQ=MQ+BQNMB得出CP+BQ的最小值为MB,

利用勾股定理求得"3,即可得解.

【详解】（1）解：1,抛物线y=-»+云过点8（4,-4）,

/.-16+46=-4,

「.6=3,

/.y=-X2+3x;

（2）四边形OCP。是平行四边形.

理由：如图1,作尸交抛物线于点。，垂足为“，连接尸C,0D.

OH=PH,APOH=45°,

连接BC,

OC=BC=4,

OB=40,

BP=2*,

OP=OB-BP=2y]2,

OH=PH=丑OP=/x2J2=2,

227

当X=2时，DH=y=—4+3x2=2,

DD

23

，PD=DH+PH=2+2=4,

■：C（0,-4）,

OC=4,

PD=OC,

■：OCLx^,尸。lx轴，

PD//OC,

.•.四边形OCPD是平行四边形；

（3）如图2,由题意得，BP=OQ,连接BC.

在。4上方作AOMQ,使得乙团9。=45。，OM=BC,

-：oc=8C=4,BCLOC,

NCBP=45°,

NCBP=ZMOQ,

BP=OQ,NCBP=ZMOQ,BC=OM,

：,△C8P三△MOQ（SAS）,

：.CP=MQ,

.■,CP+BQ=MQ+BQ>MB（当M,Q,8三点共线时最短），

二CP+50的最小值为MB,

•JAMOB=AMOQ+ABOQ=45°+45°=90°,

MB=^OMI+OB2=,42+4/,

即CP+8。的最/］、值为46.

【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定

理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=》2-2》-3与*轴相交于点人、B（点A在点B的

24

左侧），与y轴相交于点C,连接NC,3c.

⑴求线段AC的长；⑵若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当取=PC时，求点P的坐

标；

⑶若点M为该抛物线上的一个动点，当ABCM为直角三角形时，求点M的坐标.

【答案】⑴加⑵（1,T）⑶（1,-4）或（-2,5）或（与£,-咨或（于，-乎，

【分析】（1）根据解析式求出A,B,C的坐标，然后用勾股定理求得AC的长；（2）求出

对称轴为x=l,设P（1,t）,用t表示出PA2和PC2的长度，列出等式求解即可；（3）设点

M（m,m2-2m-3）,分情况讨论，^CMi+BCi=BMi,BMi+BCi=CM2,BM2+CM2=BCi

分别列出等式求解即可.

⑴

y=X2-2x-3与x轴交点:

令y=0,解得％=-1，工=3，

即A(-1.0),B(3,0),

j=X2-2x-3-^y轴交点：

令x=0,解得y=-3,

即C(0,-3),

AO=1,CO=3,

AC=jAO2+CO2=回;

(2)抛物线》=%2—2%—3的对称轴为：x=l,

设P(1,t),

.P/2=(1+1)2+"0)=4+/2,=(1-0)2+G+3)2=1+(/+3)2,

-4+/2=1+(/+3)2

25

t=-l,

7.p(1,-1);

⑶设点M(m,m2-2m-3),

BM2=(加-3)2+(<m2-2m-3-0]=(m-3)2+C

<m2-2m-3

2

CM2=(m-0)+(、nn-2加-3+3)=

m2+\m2—2m

BC2=(3-0)2+(0+3)2=18,

①当CM2+BCi=BMi时,

2

C/2一2加1+18=(m-3)+GZ2-2m-3)

mi+

解得，T。（舍）,加尸，

/.M(1,-4)；

②当BMi+BCi=CMi时,

(m-3)2+Gz

2—2冽-3力+18=冽2+2-2m

解得,勺=-2,加2=3（舍），

/.M(-2,5)；

③当BMi+CMi=BCi时,

（冽一3方+（-2m一3)+加2+(冽2-2m)=18,

解得，

综上所述：满足条件的M为（1,-4）或（-2,5）或［1里,

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识,

解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题.

10.（2023•四川乐山•统考中考真题）已知（无J）,（x））是抛物C:y=-9x2+6x（b为常

112214

数）上的两点，当q+x,=O时，总有♦=八

（1）求6的值；

26

(2)将抛物线C平移后得到抛物线C:y=-l(x-m)2+l(m>0).

124

探究下列问题：

①若抛物线C与抛物线C有一个交点，求m的取值范围；

12

②设抛物线c,与X轴交于4,3两点，与了轴交于点C,抛物线c2的顶点为点M“BC外

接圆的圆心为点G如果对抛物线£上的任意一点P,在抛物线上总存在一点。，使得

点尸、。的纵坐标相等.求E尸长的取值范围.

79

【答案】⑴0;⑵①+S②爹,跖明

［分析］⑴根据y=-%+bx,y=-Lx2+bx,且x+x=0时，总有y=y，变形后即

141124221212

可得到结论；

(2)按照临界情形，画出图象分情况讨论求解即可.

11

【详解】(1)解：由题可知：y=--xi+bx,y=-xi+bx

14112422

.x+x=0时，总有v=y,

1212

1717

--X2+bx=--X2+bx.

411422

则+x)(x-x)-Z?(x-x)=0,

4212121

(x-x)J.(x+x)-bi=0

21|_421J1

—b{x—x)=0总成立,且x—xw0,

2121

.".b=0；

(2)①注意到抛物线最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移下面考虑满足题意

的两种临界情形：

(z)当抛物线。过点(。，0)时，如图所示，

2

27

解得加=2+20或2-2#（舍），

综上，2<m<2+2y2,

②同①考虑满足题意的两种临界情形：

（/）当抛物线°过点（。，-1）时，如图所示,

2

28

综上2"<m<4,

如图，由圆的性质可知，点£、尸在线段的垂直平分线上.