中考数学复习必考题型专训：菱形篇（解析版）

专题25菱形

考点一：菱形的性质

知识回顾

有一组邻边相等的四边形是菱形.

2.菱形的性质：

①具有平行四边形的一切性质.

②菱形的四条边都相等.

③菱形的对角线相互垂直且平分每一组对角.

④菱形既是一个中心对称图形,也是一个轴对称图形.对称中心为对角线交点,对称轴为对角线所

在直线.

⑤面积计算：除了用计算平行四边形的面积计算方法面积,还可以用对角线乘积的一半来计算面

积.

微专题

1.（2022•广东）菱形而边长为5,则它的周长是.

【分析】根据菱形的性质即可解决问题；

【解答】解：•••菱形的四边相等,边长为5,

菱形的周长为5X4=20,

故答案为20.

2.（2022•通辽）菱形ABCD^,对角线AC=8,BD=6,则菱形的边长为.

【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA.如,再利用勾股定理列式进行计算即可得解.

【解答】解：

解：•••四边形/颇是菱形，

OA^—AC^4,OB=、Bg3,ACLBD,

22

•*-^=VOA2-K）B2=5

故答案为：5

3.（2022•达州）如图，菱形ABCD的对角线阳如相交于点4〃=24,劭=10,则菱形ABCD的周长

为

D

B

【分析】菱形的四条边相等,要求周长，只需求出边长即可,菱形的对角线互相垂直且平分,根据勾股定

理求边长即可.

【解答】解：：四边形4?蜀是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,ACVBD,A0=CO,BO=DO,

'：AC=2\,BD=\^,

：.A0^—AC^\2,6什工M=5,

22

在RtZ\425中，

AB=VAO2+BO2=V122+52=13,

二菱形的周长=13X4=52.

故答案为：52.

4.（2022•甘肃）如图,菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,若AB=2我cm,AC=4an,则BD的长为

【分析】由菱形的性质可得ACVBD,8。=〃。,由勾股定理可求BO,即可求解.

【解答】解：：四边形/腼是菱形,/。二4腐，

ACLBD,BgDO,AO^Cg2cm,

,:AB=2y[^an,

AC

・"5AB2-（）2=4/

:・DO=BO=4cm,

:・BD=8cm,

故答案为：8.

5.（2022•乐山）已知菱形ABCD的两条对角线AC>BD的长分别是8cm和6cm.则菱形的面积为

cm2.

【分析】根据菱形的面积=对角线乘积的一半,可以计算出该菱形的面积.

【解答】解：:•菱形被力的两条对角线然、劭的长分别是8面和6网

菱形的面积是穿旦=24（c冷，

2

故答案为：24.

6.（2022•河池）如图,在菱形相切中,对角线阳如相交于点。，下列结论中错误的是（）

A.AB=ADB.ACLBDC.AC=BDD.NDAC=NBAC

【分析】根据菱形的性质即可一一判断.

【解答】解：：四边形/方蜀是菱形，

ABAC=ADAC,AB=ADyACVBD,

故力、B、〃正确，无法得出4?="

故选：C.

7.（2022•贵阳）如图,将菱形纸片沿着线段46剪成两个全等的图形，则N1的度数是（）

A.40°B.60°C.80°D.100°

【分析】根据菱形的对边平行，以及两直线平行，内错角相等即可求解.

【解答】解：二•菱形的对边平行，

由两直线平行，内错角相等可得Nl=80°.

故选：C.

8.（2022•德州）如图，线段被磬端点的坐标分别为4（-1,2）,次3,-1）,以3,2）,2（-1,5）,且AB"CD,将

力平移至第一象限内，得到CD'（C,〃均在格点上）.若四边形ABCD'是菱形，则所有满足条件

的点D'的坐标为

【分析】利用勾股定理可得AB=CD=b,根据菱形性质可得AD'=AB=5,再由平移规律即可得出答案.

【解答】解：如图，

*（-1,2）,83,-1）,C（3,2）,2（-1,5）,

：.AB//CD,AB=CD=5,

..•四边形/回'D'是菱形，

：.AD'=/5=5,

当点。向右平移4个单位，即〃（3,5）时=5,

当点，向右平移3个单位，向上平移1个单位，即〃（2,6）时,4/=5,

故答案为：⑶5）或（2,6）.

yA

।—18-----------1—।—।一一।—।一一।—।—•

।।।।।।।।।।

।_____I?______।_______।___।____।____।____।____।____।

II1IpJtrIIIIII

it-iL/\।i।iti

9.（2022•绵阳）如图1,在菱形/M?中，NC=120°是"的中点，”是对角线初上一动点，设ZW长为x,

线段MN与4V长度的和为力图2是y关于x的函数图象,图象右端点尸的坐标为（2百，3）,则图象最低

点£的坐标为（）

D

y,

x

B

图1图2

2A/3、

A.Z(----,2)B.(C.(,6)D.(V3,2)

33

【分析】由函数图象可得点尸表示图1中点”与点6重合时，即可求能加的长，由锐角三角函数可求

解.

【解答】解：如图,连接力a阳

图1

:四边形"6切是菱形，/阅9=120°,

:.AB=BC,AC垂直平分BD,NABC=6Q°,/ABD=/DBC=3Q°,

."小母△A5C是等边三角形，

：.ANyMN=CN'rMN,

当点"在线段上时,网有最小值为◎/的长，

:点尸的坐标为（2我,3）,

:.DB=2M，AB^BM=3,

:点〃是4?的中点，

：.AM=BM,CMLAB,

：tanN/8C=tan60°=里=百，

BM

:.CM=M，

'."cosZJ2®=cos30a=-B"=^^~,

_BN'2

:.BN=^^~,

3

:.DN

3_

...点£的坐标为：（生巨,如），

3

故选：C.

10.（2022•湘西州）如图，菱形2腼的对角线ZG劭相交于点a过点〃作码居于点〃连接明明=4,

若菱形485的面积为32石，则切的长为（）

A.4B.4A/3C.8D.8百

【分析】在双△,中先求得物的长,根据菱形面积公式求得力。长,再根据勾股定理求得切长.

【解答】W：'：DHVAB,

:./BHD=9Q°,

:四边形/四是菱形，

OB=OD,OC=/弓AC,ACLBD,

：.OH=OB=（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），

：.OD^A,BD^8,

由累m=32«得，

■1X8'AC=32V3,

.•./0=8我，

•,•宓=£AC=4«，

•,-<^=VoC2-H3D2=8;

故选c.

11.（2022•淄博）如图，在边长为4的菱形力及力中,£为相边的中点，连接方交对角线仍于点尤若NDEF

=ZDFE,则这个菱形的面积为（)

A.16B.6-V7C.1277D.30

【分析】连接AC交BD于0,如图,根据菱形的性质得到AD//BC,CB=CD=AD=4,AC±BD,BO=OD,OC=AO,

再利用/应叨得到DF=DE=2,证明/比得到BF=BC=4,则M=6,所以必="=3,接

着利用勾股定理计算出0C,从而得到AC=2由,然后根据菱形的面积公式计算它的面积.

【解答】解：连接北交加于0,如图，

•；四边形"颇为菱形，

J.AD//BC,C4CD=AD=4,ACVBD,BO=OD,OC=AO,

为4?边的中点，

：.DE=2,

,：ADEF=ADFE,

:.DF=DE=2,

'：DE//BC,

：.ADEF=ABCF,

‘：NDFE=/BFC,

：.ZBCF=ABFC,

:.BF=BC=4,

：.BD=BF+DF=^=&,

：.OB=OD=3,

在RtZ\6%中，%=山2-32=4,

：.AC=2OC=2y[7,

・•・菱形的面积=上/。区=工X2J7X6=6J7.

22

故选：B.

12.（2022•兰州）如图，菱形/比77的对角线北与劭相交于点为曲的中点，连接。区N/a1=60°,必=

A.4B.243C.2D.73

【分析】根据菱形的性质可得，/9=30°能则仇=2加，再利用含30°角的直角三角形的性

质可得答案.

【解答】解：：四边形加密是菱形，乙处1=60°,

：.BO=DO,/ABO=3Q°,ACVBD,AB=AD,

：.BO=243,

力餐与B0=2，

o

：.AB=2AO=4f

•・・£为"的中点，NZM=90°,

：.OE=LAD=2,

2

故选：C.

13.（2022•呼和浩特）如图，四边形相切是菱形，N的8=60°,点£是物中点，尸是对角线北上一点，且N

叱=45°,则/见尸。的值是（）

A.3B.-\/~5+1C.2A/2+1D.2+73

【分析】连接施，交4C于点。，连接阳根据菱形的性质可得/物。=工/比归=30°切切=

2

;D,AC=2AO,AB=AD,从而可得△/如是等边三角形,进而可得DB=AD,再根据直角三角形斜边上的中

2

线可得OE=AE=DE=LAD,然后设OE=AE=DE=a,则AD=BD=2a,在中，利用勾股定理求出AO

2

的长，从而求出/C的长,最后利用等腰三角形的性质，以及三角形的外角求出/死尸=/项。=15°,从而

可得OE=OF=a,即可求出AF,CF的长,进行计算即可解答.

【解答】解：连接DB,交"1于点0,连接OE,

..•四边形/颗是菱形，

AZDAC=^-30°,AC±BD,OD=^BD,AC=

22

2AO,AB=AD,

■:/DAB=60；

...△/M是等边三角形，

:・DB=AD,

VZAOD=90°，点£是的中点,

OE=AE=DE=±AD,

2

设OE=AE=DE=a,

AD=BD=2a,

OD=~BD=a,

2

在RtZ\2如中，AO=A/AD2-D02=V（2a）2-a2=^3

：.AC=2AO=2,43^

°：EA=EO,

：.ZEA0=ZE0A=30o,

/.ZDEO=ZEA（^ZE0A=60o,

'：ZDEF=45°,

：•/OEF=/DEO-/DEF=\3°,

：.ZEFO=ZEOA-ZOEF=15°,

：.ZOEF=ZEFO=15°,

OE=OF=a,

AF=A>OF—V3a+&

：.CF=AC-AF=y[3a-a,

...AF=qa+a=V|+1=2+5/3,

CFV3a-aV3-1

故选：D.

14.（2022•湖北）由4个形状相同,大小相等的菱形组成如图所示的网格,菱形的顶点称为格点，点4区。都

在格点上，NA60°,则tan/A?C=()

V3

T

【分析】连接内然后证反C、2三点共线，根据菱形的性质可得：△〃劭是等边三角形，根据等边三角

形的性质可得为_LM,NZ应=60°,进而可得/2以=30°,进而可得tanN/回的值.

【解答】解：如图,连接）

•・,网格是由4个形状相同，大小相等的菱形组成，

・・・N3=N4,OD//CE,

・・・N2=N5,

VZ1+Z4+Z5=18O°,

AZ1+Z3+Z2=18O°,

：.B,a〃三点共线，

又•・,网格是由4个形状相同,大小相等的菱形组成,

：.OD=OB,OA=AD,

9：Z0=60°,

・•・△〃必是等边三角形,

C.BALOD,ZADB=QO°,

ZABC=180°-90°-60°=30°,

tanZABC=tan30°

3

故选：c.

15.（2022•河南）如图，在菱形/及/中，对角线阳劭相交于点。，点£为切的中点.若在'=3,则菱形"切

A.6B.12C.24D.48

【分析】由菱形的性质可得出初,46=比'="=的，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半得出。的长,结合菱形的周长公式即可得出结论.

【解答】解：•••四边形/腼为菱形，

ACVBD,AB=BC=CgDA,

...△C"为直角三角形.

,：OE=3,点、£为线段切的中点，

：.CD=2OE=&.

二C菱形的=4C9=4义6=24.

故选：C.

16.（2022•株洲）如图所示,在菱形48缪中，对角线AC与切相交于点。，过点，作CW劭交48的延长线于

点£下列结论不一定正确的是（）

A.OB=-CEB.是直角三角形

2

C.BC=-AED.BE=CE

2

【分析】由菱形的性质可得初，通过证明△/如s△/绍可得//如=//0=90°,如

2

=」■啰AB=^AE,由直角三角形的性质可得BC=^AE,即可求解.

222

【解答】解：：四边形5是菱形，

：.AO^CO=—,ACLBD,

2

'：CE//BD,

：./\AOB^/\ACE,

：.ZAOB^ZACE=90°t

ACCEAE2

...△/方是直角三角形，OB=LCE,AB=LAE,

22

2

故选：D.

17.（2022•甘肃）如图1,在菱形力顺中，N/=60°,动点户从点4出发,沿折线/4『"方向匀速运动，

运动到点6停止.设点户的运动路程为x,△/期的面积为%y与x的函数图象如图2所示,则的长为

【分析】根据图1和图2判定三角形/初为等边三角形,它的面积为3百解答即可.

【解答】解：在菱形四口中，入4=60°,

...△/初为等边三角形，

设/8=a,由图2可知，△/初的面积为3百，

丛ABD的面积=返^=3«,

4

解得：ai=2,>/3,a2=-24^（舍去），

故选：B.

18.（2022•丽水）如图，已知菱形加切的边长为4,£是6c的中点，/6平分/仍〃交CD于点、F,FG〃AD交AE

于点£若cos，则的长是（)

8C2岳

A.3B.-D

3,3-I

【分析】方法一：过点A作AH_LBE于点、H,过点/作闻_LZ〃于点Q,根据cos^=—,可得BH=\,

AB4

所以A//=y/~15,然后证明AH是BE的垂直平分线,可得AE=AB=^设GA=GF=x,根据S梯形CEAD-S梯形

呢尸+s梯形的，进而可以解决问题.方法二：作/〃垂直笈于〃延长/£和加交于点〃由已知可得阴="

=1,所以AE=AB=EM=CM=4设砺=入，则AG—x,GE—\-x,由三角形如T7相似于三角形圾7即可得结

论.

【解答】解：方法一，如图，过点力作/几庞于点〃过点尸作此小2〃于点Q,

\AB=AD=BC=^

AH=22

VAB-BH二山2-]2=V15,

；£是宽的中点，

\BE=CE=2,

\EH=BE-BH=\,

是篦的垂直平分线，

\AE=AB=^,

•・・力/平分

:./DAF=/FAG,

'：FG//ADf

：.ZDAF=ZAFGf

：.ZFAG=ZAFGi

:・GA=GF,

设GA=GF=x,

,:AE=CD=限FG"AD,

:・DF=AG=x,

cosDn=-cosBA=-=D-Q^-——1,

DF4

:.DgLx,

4

FQ=7DF2-DQ2=Jx"gx)2=

,**S梯形CEA产S梯形CEG卢S梯形GFDA,

Z.Ax(2+4)XA/15=—(2+^)X(>/15-2ZILx)+1.(x+4)/叵-x,

22424

解得X=&,

3

则%的长是出■.

3

或者：,:AE=CD=4,FG〃AD,

四边形力。》的等腰梯形，

：.GA=FD=GF,

则x+—x+—x—4,

44

解得X=S,

3

则刀G的长是其.

3

19.（2022•自贡）如图，菱形A6切对角线交点与坐标原点。重合，点/（-2,5）,则点，的坐标是（）

c

A.(5,-2)B.⑵-5)C.(2,5)D.(-2,-5)

【分析】菱形的对角线相互平分可知点力与C关于原点对称，从而得结论.

【解答】解：..•四边形/阅9是菱形，

/.OA=OC,即点A与点。关于原点对称，

,点4(-2,5),

...点C的坐标是(2,-5).

故选：B.

20.(2022•鞍山)如图，菱形相的边长为2,乙仿C=60°,对角线北与初交于点为必中点，户为助

中点,连接EF,则哥'的长为.

【分析】由菱形的性质可得四=4=2,//初=30°,然，劭,灰="由三角形中位线定理得FH=LAO

2

=1,FH//AO,由勾股定理可求解.

2

【解答】解：如图，取勿的中点〃连接咫

:四边形/颔是菱形，//8C=60°,

：.AB=AD=2,ZABD=30°,ACLBD,BO=DO,

AO=LB=1,Bg6Ao=如=DO,

2

:点〃是切的中点，点尸是4,的中点，

：.FH^—AO^—,FH//AO,

22

J.FHLBD,

:点£是功的中点，点〃是勿的中点，

.•.但返,阳=返，

22

:.EH=M，

•■­^=7EH2+FH2=^3^=^>

故答案为：全.

2

21.（2022•青岛）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果.图②

是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次

镶嵌便得到图①，则图④中//直的度数是°.

褥。，

图①图②图③图④

【分析】先确定N为〃的度数,再利用菱形的对边平行,利用平行线的性质即可求出NZ比的度数.

ABAD=ZBAE=/DAE,/BAE+/DAE=36G°,

AABAD=ABAE=ADAE=120°,

•:BC"AD,

：.ZABC=180°-120°=60°,

故答案为：60.

22.（2022•铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形,ZABC=80°,延长区到E,在/DCE内作射线CM,使得/£，影

=30°,过点〃作加工酸垂足为F.若如'=，则M的长为（结果保留根号）.

【分析】连接4C交劭于H,证明△比修△加月得出掰的长度,再根据菱形的性质得出切的长度.

【解答】解：如图，连接阳交初于点〃

由菱形的性质得/49C=N/6C=80°,/戊为=80°,/幽=90°,

又<4ECM=30；

：./DCF=5。；

'JDFLCM,

:"CFD-

:.NCDF=4Q°,

又：四边形"口是菱形，

:.BD平分/ADC,

:"HDC=40：

在和△肉中，

fZCHD=ZCFD

-ZHDC=ZFDC>

DC=DC

，△切侬△W40,

：.DH=DF=4^,

:.DB=2DH=2>/6.

故答案为：276.

23.（2022•哈尔滨）如图,菱形相切的对角线网即相交于点。，点少在"上,连接皿点F为切的中点,

连接OF.若AE=BE,OE=3,勿=4,则线段毋'的长为.

【分析】由菱形的性质可得ACLBD,AO^CO^4,BO^DO,由勾股定理可求AE的长，勿的长，由三角形中

位线定理可求解.

【解答】解：••,四边形46圈是菱形，

ACLBD,AO=浙4,BO=DO,

•*-AE=VA02+E02=V9+16=5,

:.BE=AE=5,

：.BO=S,

•*-BC=VB02C02=V64+16=4V5,

:点、F为CD的中点,BO=D0,

：.0F=WBC=2炳,

故答案为：2遥.

24.（2022•黑龙江）如图，菱形力及力中，对角线物相交于点/掰460°是/曲C的平分

线，龙，于点E,点户是直线48上的一个动点,则用加的最小值是.

【分析】连接OE,过点。作OFLAB,垂足为F,并延长到点。,，使0'尸=妣连接0'£交直线"于点P,

连接曲从而可得OP=O'A此时仍"的值最小，先利用菱形的性质可得AD=AB=3,/BAC=工/

2

BAD,OA=OC=^AC,OD=OB=^BD,ZAOD=90°,从而可得△495是等边三角形,进而求出49=3,然后在

22

中，利用勾股定理求出2。的长,从而求出力C的长,进而利用直角三角形斜边上的中线可得0E=

的=工/修=旦再利用角平分线和等腰三角形的性质可得心〃力6,从而求出/员加'=90°,进而在Rt

22

△/如中，利用锐角三角函数的定义求出⑺的长，即可求出00'的长,最后在中，利用勾股定

理进行计算即可解答.

【解答】解：连接OE,过点。作OFLAB,垂足为F,并延长到点。,，使0'尸=/;连接0'£交直线48于

点A连接OP,

:.AP是00'的垂直平分线,

C.OP^O'P,

：.OPrPE=O'PrPE=O'E,

此时,用心的值最小，

•.•四边形切是菱形，

：.AD=AB=?,,/BAC=L/BAD,OA=OC=^-AC,OD=OB=^-BD,N/6©=90°,

222

VZW=60°,

；.△/庞是等边三角形,

:.BD=AD=3,

.•.勿=工初=旦，

22

=42-您）2=右向,

.\J^^AD2_DQ2

."。=2勿=3«,

CEY.AH,

，/板=90°,

OE=〃="1〃二旦、回，

22

：.ZOAE=ZOEA,

平分N窃旦

：.ZOAE=ZEAB,

：.NOEA=/EAB,

J.OE//AB,

:.NEOF=/AFO=9Q

在RtZUtF中，//夕=上/〃仿=30°,

2

：.OF=LOA=3、后,

24

.*.00'=2OF=卡,

在Rt△以9。中，。'E=VE02-K）0,2=（-1V3）2+（yV3）2=-1V6>

/.断房的最小值为反'伍

2

故答案为：-^-V6-

25.（2022•天津）如图，已知菱形四口的边长为2,N的6=60°,£为26的中点，尸为龙的中点，在与您相

交于点G,则曲的长等于.

【分析】如图,过点尸作FH〃CD,交.DE千H,过点。作CMLAB,交相的延长线于M,连接FB,先证明FH是

△6〃的中位线,得FH=1,再证明色△破（A4S,得AG=FG,在RtZ\CW中计算砌和的长,再证

明即是中位线,可得即的长，由勾股定理可得/厂的长,从而得结论.

【解答】解：如图，过点尸作用〃山交应于〃过点c作aa/旦交相的延长线于可连接用

,/四边形48切是菱形，

AB=切=BC=2,AB//CD,

C.FH//AB,

：.AFHG=/AEG,

是CE的中尽FH〃CD,

〃是龙的中点，

用是△建的中位线,

:.FH=LCD=\,

2

是46的中点，

:"E=BE=\,

：.AE=FH,

,：AAGE=AFGH,

:.AAEG空丛FHG(AAS),

:.AG=FG,

'：AD//BC,

:./CBM=/DAB=6Q°,

RtZXdW中，/BCM=3Q：

：.BM=^BC=1,CM=62_]2=

：.BE=BM,

,:F是喈的中点，

...必是△㈤/的中位线，

:.BF=LcM=^~,FB〃CM,

22

:.NEBF=/M=9。；

=22

Rt△加方中，由勾股定理得^VAB+BF=#+旁

：.GF=^AF=^^~.

24

故答案为：页.

4

考点二：菱形的判定

四条边都相等的四边形是菱形.

几何语言：：AB=BC=CD=DA,四边形ABCD是菱形

2.利用平行四边形判定：

①定义：一组领边相等的平行四边形是菱形.

②对角线的特殊性：对角线相互垂直的平行四边形是菱形.

微专题

1_C2022i襄阳珈的对角线〃和M相交于点。，下列说法正确的是（）

A.若08=如,则口486V是菱形

B.若47=初，贝g朋/是菱形

C.若0A=0D,则口力及力是菱形

D.若47_L&），贝/画/是菱形

【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可.

【解答】解：从：四边形/颔