2024届湖南省张家界市桑植县中考数学最后一模试卷含解析

2024学年湖南省张家界市桑植县中考数学最后一模试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180。，那么这个多边形的边数是（）

A.7B.8C.9D.10

2.如图，QP平分NAO5,PCLOA于C,点。是05上的动点，若尸C=6cm,则尸。的长可以是（）

A.1cmB.4cmC.5cmD.3cm

3.如图，双曲线y=8（k>0）经过矩形OABC的边BC的中点E,交AB于点D,若四边形ODBC的面积为3,则

X

k的值为（）

6.下列博物院的标识中不是轴对称图形的是（）

ill

南京内场除

故密湾橄览

THIVMJOMLBIVM

cm生

仇

g•IMCMUAMJ*MW%**UM

7.如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=4,连接BD,NDBC的角平分线BE交DC于点E,现把△BCE绕点B逆时

针旋转，记旋转后的ABCE为ABCE，.当线段BE，和线段B。都与线段AD相交时，设交点分别为F,G.若△BFD

8

D.-

5

（2x-l<0

8.满足不等式组<,八的整数解是（)

x+l>0

A.-2B.-1C.0D.1

9.下列命题中，真命题是（）

A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离

B.如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切

C.如果一条直，线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切

D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离

10.中国幅员辽阔，陆地面积约为960万平方公里，“960万”用科学记数法表示为（）

A.0.96X107B.9.6xl06C.96xl05D.9.6xl02

11.如图，已知口ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F,那么SAAFE：S四边形FCDE为（）

E

B.1：4C.1：5D.1：6

12.如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的主视图是（）

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.分解因式：xy2-2xy+x=.

14.已知一组数据3,4,6,x,9的平均数是6,那么这组数据的方差等于

x

15.若代数式一二有意义，则实数x的取值范围是.

x+5

16.如果将“概率”的英文单词probability中的11个字母分别写在11张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任

取一张，那么取到字母b的概率是

17.用换元法解方程金――=3时，如果设H=y,那么原方程化成以V为“元”的方程是

XX+1X

18.如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN

与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45。，景点B的俯角为30。，此时C到地面

的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为一米（结果保留根号）.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）已知：如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，AQ43的顶点A、3的坐标分别是A（0,5）,B（3,

1）,过点5画交直线y=-机物＞》于点C,连结AC,以点A为圆心，AC为半径画弧交x轴负半轴于点

连结A。、CD.

（1）求证：AABC^AAOD.

（2）设AAC。的面积为s,求s关于〃7的函数关系式.

（3）若四边形A3C。恰有一组对边平行，求〃?的值.

20.（6分）某校有3000名学生.为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了该

校部分学生的主要上学方式（参与问卷调查的学生只能从以下六个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整

的统计图.

种类ABCDEF

上学方式电动车私家车公共交通自行车步行其他

某校部分学生主要上学方式扇形统计图某校部分学生主要上学方式条形统计图

根据以上信息，回答下列问题：参与本次问卷调查的学生共有一人，其中选择B类的人数有一人.在扇形统计图

中，求E类对应的扇形圆心角a的度数，并补全条形统计图.若将A、C、D、E这四类上学方式视为“绿色出行”，请

估计该校每天“绿色出行”的学生人数.

21.（6分）在“双十二”期间，A8两个超市开展促销活动，活动方式如下:

A超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；

3超市：购物金额打8折.

某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在A,3两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：若一次性付

款4200元购买这种篮球，则在3商场购买的数量比在A商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；学校计划

购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少.（直接写出方案）

22.（8分）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18。，教学楼

底部B的俯角为20。，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m.

（1）求NBCD的度数.

（2）求教学楼的高BD.（结果精确到0.1m,参考数据：tan20。沏.36,tanl8o*）.32）

mm

m□□

mm

mm

23.（8分）如图，已知AB是圆。的直径，F是圆O上一点，NBAF的平分线交。O于点E,交。。的切线BC于

点C,过点E作EDLAF,交AF的延长线于点D.

求证：DE是。。的切线；若DE=3,CE=2.①求——的值；②若点G为AE上一点，求

BAE

24.（10分）阅读材料，解答下列问题：

神奇的等式

当aWb时，一般来说会有a2+bWa+b2,然而当a和b是特殊的分数时，这个等式却是成立的例如:

（1）特例验证：

请再写出一个具有上述特征的等式：；

（2）猜想结论：

用n（n为正整数）表示分数的分母，上述等式可表示为：；

（3）证明推广：

①（2）中得到的等式一定成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由；

②等式（,）2+——=-+（--）2（m,n为任意实数，且时0）成立吗？若成立，请写出一个这种形式的等式

nnnn

（要求m,n中至少有一个为无理数）；若不成立，说明理由.

25.（10分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级

的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间.根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1,图2）,请根据统

计图中的信息回答下列问题：

（1）本次调查的学生人数是人；

（2）图2中a是度，并将图1条形统计图补充完整；

（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有人；

（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、aD,其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流,

用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率.

26.（12分）列方程解应用题：某景区一景点要限期完成，甲工程队单独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6

天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，则工程期限为多少天？

27.（12分）如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45。，在楼顶C

测得塔顶A的仰角36。52，.已知山高BE为56m,楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE.（参考数据:

sin36°52M).6O,tan36°52Mo.75)

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、A

【解题分析】

设这个正多边形的边数是"，就得到方程,从而求出边数，即可求出答案.

【题目详解】

设这个多边形的边数为〃，依题意得：

180(/1-2)=360x3-180,

解之得

n=7.

故选A.

【题目点拨】

本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和与外角和，根据题目中的等量关系,构建方程求解

即可.

2、A

【解题分析】

过点尸作尸于。，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得尸C=PZ>,再根据垂线段最短解答即可.

【题目详解】

解：作于O,

平分NAOB,PC±OA,PDVOA,

：.PD=PC=6cm,

则PD的最小值是6cm,

故选A.

【题目点拨】

考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键.

3、B

【解题分析】

先根据矩形的特点设出B、C的坐标，根据矩形的面积求出B点横纵坐标的积，由D为AB的中点求出D点的横纵坐

标，再由待定系数法即可求出反比例函数的解析式.

【题目详解】

解：如图：连接OE,设此反比例函数的解析式为y='(k>0),C(c,0),

X

则B(c,b),E(c,-),

2

设D(x,y),

YD和E都在反比例函数图象上，

.be.

..xy=k,—=k

Bnc_c_1b

即SAAOD-S/^OECu/XCX/，

V四边形ODBC的面积为3,

.,1b

..be——xcx—=Q3

22

:.—be=3

4

:.bc=4

•••vuAOD—_VuOEC-1~x

Vk>0

••--^=1解得k=2,

2

故答案为：B.

【题目点拨】

本题考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，涉及到矩形的性质及用待定系数法求反比例函数的解析式，难度适

中.

4、C

【解题分析】

由题意得，4—x>0,x-4》0,

_v3

解得x=4,贝！Jy=3,贝!12=7,

x4

故选：C.

5、A

【解题分析】

直接根据圆周角定理即可得出结论.

【题目详解】

,:A、B、C是。O上的三点，ZB=75°,

/.ZAOC=2ZB=150°.

故选A.

6、A

【解题分析】

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对题中选

项进行分析即可.

【题目详解】

A、不是轴对称图形，符合题意；

B、是轴对称图形，不合题意；

C、是轴对称图形，不合题意；

D、是轴对称图形，不合题意；

故选：A.

【题目点拨】

此题考查轴对称图形的概念，解题的关键在于利用轴对称图形的概念判断选项正误

7、A

【解题分析】

25257

先在RtAABD中利用勾股定理求出BD=5,在RtAABF中利用勾股定理求出BF=—,则AF=4--.再过G作

888

25

GH〃BF,交BD于H,证明GH=GD,BH=GH,设DG=GH=BH=x,贝！|FG=FD-GD=--x,HD=5-x,由GH〃FB,

8

.FDBD

得出而二而’即13rl可求解

【题目详解】

解：在RtAABD中，VZA=90°,AB=3,AD=4,

Ef

D

在RtAABF中，VZA=90°,AB=3,AF=4-DF=4-BF,

ABF2=32+(4-BF)2,

25

解得BF=—,

AF=4--=

过G作GH〃BF,交BD于H,

.*.ZFBD=ZGHD,ZBGH=ZFBG,

VFB=FD,

AZFBD=ZFDB,

.\ZFDB=ZGHD,

/.GH=GD,

111

VZFBG=ZEBC=-ZDBC=-ZADB=-ZFBD,

222

又・.・NFBG=NBGH,ZFBG=ZGBH,

ABH=GH,

25

设DG=GH=BH=x,贝!)FG=FD・GD=--x,HD=5-x,

8

VGH/7FB,

25

&FDBD口口々5

•・-----=------,HPg=-----，

GDHD-5-x

解得x=r.

13

故选A.

【题目点拨】

本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，准确作出辅助线是

解题关键.

8、C

【解题分析】

先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可.

【题目详解】

[x+l>0②

•••解不等式①得：x<0.5,

解不等式②得：x>-l,

...不等式组的解集为-lVxWO.5,

二不等式组的整数解为0,

故选C.

【题目点拨】

本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键.

9^D

【解题分析】

根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可.

【题目详解】

A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，A是假命题；

B.如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切或内切或相交，B是假命题；

C.如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切或相交，C是假命题；

D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离，D是真命题；

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r,两圆圆心距为d,则当d>R+r时两圆外离；当归尺+/时两圆

外切；当R-r<d<R+r(Z?>r)时两圆相交；当d=R-r(R>r)时两圆内切；当0Wd<R-r(R>r)时两圆内含.

10、B

【解题分析】

试题分析：“960万”用科学记数法表示为9.6x106,故选B.

考点：科学记数法一表示较大的数.

11、C

【解题分析】

根据AE〃BC,E为AD中点,找到AF与FC的比，则可知小AEF面积与△FCE面积的比，同时因为ADEC面积=AAEC

面积，则可知四边形FCDE面积与△AEF面积之间的关系.

【题目详解】

解：连接CE,；AE〃BC,E为AD中点，

.AEAF_1

"FC_2'

/.△FEC面积是△AEF面积的2倍.

设4AEF面积为x,则AAEC面积为3x,

；E为AD中点，

二ADEC面积=△AEC面积=3x.

二四边形FCDE面积为lx,

所以SAAFE：S四边彩FCDE为1：1.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题关键是通过线段的比得到三角形面积的关系.

12、D

【解题分析】

试题分析：根据三视图的法则可知B为俯视图，D为主视图，主视图为一个正方形.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、x(y-1)2

【解题分析】

分析：先提公因式x,再用完全平方公式把丁―2y+l继续分解.

详解：xy1-2xy+x

=x(y2-2y+l)

=x(y-l)2.

故答案为x(y-IE

点睛：本题考查了因式分解，有公因式先提公因式，然后再用公式法继续分解，因式分解必须分解到每个因式都不能

再分解为止.

14、5.2

【解题分析】

分析：首先根据平均数求出x的值，然后根据方差的计算法则进行计算即可得出答案.

详解：；平均数为6,，（3+4+6+x+9）+5=6,解得：x=8,

二方差为：-［（3-6）2+（4-6）2+（6-6）2+（8-6）2+（9-6）21=5.2.

点睛：本题主要考查的是平均数和方差的计算法则，属于基础题型.明确计算公式是解决这个问题的关键.

15、x丰-5.

【解题分析】

根据分母不为零分式有意义，可得答案.

【题目详解】

由题意，得x+5#0,解得/-5,故答案是：x/-5.

【题目点拨】

本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零分式有意义得出不等式是解题关键.

2

16、—

11

【解题分析】

分析：让英文单词probability中字母b的个数除以字母的总个数即为所求的概率.

2

详解：•••英文单词”。加瓦/海中，一共有11个字母，其中字母方有2个，二任取一张，那么取到字母分的概率为

2

故答案为1.

点睛：本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比.

2-

17、y--=3

y

【解题分析】

分析：根据换元法，可得答案.

详解：-=L二i时，如果设可，那么原方程化成以y为“元”的方程是y--=1.

%x+i%y

2

故答案为y-—=1.

y

Y-U1

点睛：本题考查了换元法解分式方程，把一换元为y是解题的关键.

x

18、100+10073

【解题分析】

【分析】由已知可得NACD=NMCA=45。，ZB=ZNCB=30°,继而可得NDCB=60。，从而可得AD=CD=100米，DB=

100逝米，再根据AB=AD+DB计算即可得.

【题目详解】VMN//AB,ZMCA=45°,ZNCB=30°,

.,.ZACD=ZMCA=45O,ZB=ZNCB=30°,

VCD1AB,.•.ZCDA=ZCDB=90°,NDCB=60。，

•.,CD=100米，.•.AD=CD=100米，DB=CD«tan60°=73CD=10073

/.AB=AD+DB=100+100(米)，

故答案为：100+1006.

【题目点拨】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，解题的关键是借助俯角构造直角三角形并解直角三

角形.注意方程思想与数形结合思想的应用.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)证明详见解析；(2)S=：(m+1)2+y(2)2或1.

【解题分析】

试题分析：(1)利用两点间的距离公式计算出AB=5,则AB=OA,则可根据“HL”证明△ABC^4AOD；

(2)过点B作直线BE_L直线y=-m于E,作AF±BE于F,如图，证明RtAABF^RtABCE,利用相似比可得BC=：

(m+1),再在RtAACB中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=25+?(m+1)2,然后证明△AOBsaACD,利用相似的

性质得爰=微；而SAAOB=*于是可得S=；(m+1)2+y(m>,

(2)作BH_Ly轴于H,如图，分类讨论：当AB〃CD时，贝！J/ACD=NCAB,由△AOBs/\ACD得NACD=NAOB,

所以NCAB=NAOB,利用三角函数得到tan/AOB=2,tanZACB=^=所以己=2；当AD〃BC,贝!)N5=NACB,

由△AOBs^ACD得到N4=N5,则NACB=N4,根据三角函数定义得到tanN4=；,tanZACB=^=则高=；,

然后分别解关于m的方程即可得到m的值.

试题解析：(1)证明：TA(0,5),B(2,1),

AB=⑪+Q_02=5,

.\AB=OA,

VAB±BC,

ZABC=90°,

在RtAABC和RtAAOD中，

\AB=AO

Uc=AD>

/.RtAABC^RtAAOD；

(2)解：过点B作直线BE_L直线y=-m于E,作AF_LBE于F,如图，YNl+N2=90。，Nl+N2=90。,

：.Z2=Z2,

/.RtAABFsRtABCE,

•,=生即上=3-

,•BCBE'即BCm+]'

BC=^(m+l),

在RSACB中，AC2=AB2+BC2=25+^(m+1)2,

,/△ABC^AAOD,

/.ZBAC=ZOAD,即N4+NOAC=NOAC+N5,

Z4=Z5,

而AO=AB,AD=AC,

/.△AOB^AACD,

25

・SAAOB

••------制=25+a加+1)2,

S^ACD

而SAAOB=1x5x2=y,

/.S=^(m+1)2+y(m>；)；

(2)作BH，y轴于H,如图，

当AB〃CD时，贝！|NACD=NCAB,

MAAOB^AACD,

AZACD=ZAOB,

.\ZCAB=ZAOB,

5

_.BH,AB----------3

而tanZAOB=—=2,tanZACB=—=|fWi+7)=^77，

+『29解得m=1；

当AD〃BC,则N5=NACB,

WAAOB^AACD,

AZ4=Z5,

AZACB=Z4,

_/BH3/AB3

而tanZ4=-=tanZACB=-=-9

・33

''m+rr

解得m=2.

综上所述，m的值为2或1.

考点：相似形综合题.

20、(1)450、63；⑵36。，图见解析；(3)2460人.

【解题分析】

(D根据“骑电动车”上下的人数除以所占的百分比，即可得到调查学生数；用调查学生数乘以选择3类的人数所占的

百分比，即可求出选择3类的人数.

(2)求出£类的百分比，乘以360即可求出E类对应的扇形圆心角e的度数；由总学生数求出选择公共交通的人数,

补全统计图即可；

(3)由总人数乘以“绿色出行”的百分比，即可得到结果.

【题目详解】

⑴参与本次问卷调查的学生共有：162+36%=450(人)；

选择3类的人数有：450x0.14=63.

故答案为450、63；

⑵E类所占的百分比为：1—36%—14%—20%—16%—4%=10%.

E类对应的扇形圆心角a的度数为：360X10%=36.

选择C类的人数为：450x20%=90(人).

补全条形统计图为：

某校部分学生上学方式条形统计图

(3)估计该校每天“绿色出行”的学生人数为3000x(1-14%-4%)=2460人.

【题目点拨】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

21、(1)这种篮球的标价为每个50元；(2)见解析

【解题分析】

(1)设这种篮球的标价为每个x元，根据题意可知在B超市可买篮球幽个，在A超市可买篮球4200+300个,

0.8%0.9%

根据在B商场比在A商场多买5个列方程进行求解即可；

(2)分情况，单独在A超市买100个、单独在B超市买100个、两家超市共买100个进行讨论即可得.

【题目详解】

(1)设这种篮球的标价为每个x元,

42004200+300

依题意，得

0.8%0.9%

解得：x=50,

经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，

答：这种篮球的标价为每个50元；

(2)购买100个篮球，最少的费用为3850元，

单独在A超市一次买100个，则需要费用：100x50x0.9-300=4200元，

在A超市分两次购买，每次各买50个，则需要费用：2(50x50x0.9-300)=3900元，

单独在B超市购买：100x50x0.8=4000元，

在A、B两个超市共买100个，

20004

根据A超市的方案可知在A超市一次购买：—-=44-,即购买45个时花费最小，为45x50x0.9-300=1725元，

0.9x509

两次购买，每次各买45个，需要1725x2=3450元，其余10个在B超市购买，需要10x50x0.8=400元，这样一共需要

3450+400=3850元，

综上可知最少费用的购买方案：在A超市分两次购买，每次购买45个篮球，费用共为3450元；在B超市购买10个,

费用400元，两超市购买100个篮球总费用3850元.

【题目点拨】

本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.

22、(1)38°；(2)20.4m.

【解题分析】

(1)过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；

(2)在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求

出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高.

【题目详解】

(1)过点C作CE_LBD,则有NDCE=18°,ZBCE=20°,AZBCD=ZDCE+ZBCE=18o+20°=38°；

(2)由题意得：CE=AB=30m,在R3CBE中，BE=CE»tan20°«10.80m,在RtACDE中，DE=CD・tanl8°a9.60m,

二教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60=20.4m,则教学楼的高约为20.4m.

【题目点拨】

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确添加辅助线构建直角三角形、熟练掌握和灵活运用相关知识是

解题的关键.

2

23、(1)证明见解析(2)①一②3

3

【解题分析】

(1)作辅助线，连接OE.根据切线的判定定理，只需证DE_LOE即可；

(2)①连接BE.根据BC、DE两切线的性质证明AADEs^BEC；又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相

等求得△ABEs/\AFD,所以生=、"=2；

AEDE3

②连接OF,交AD于H,由①得NFOE=NFOA=60。,连接EF,贝！］△AOF、△EOF都是等边三角形，故四边形AOEF

是菱形，由对称性可知GO=GF,过点G作GM±OE于M,则GM=-EG,OG+,EG=GF+GM,根据两点之间线段最

22

短，当F、G、M三点共线，OG+4EG=GF+GM=FM最小，此时FM=3.故OG+^EG最小值是3.

22―

【题目详解】

(1)连接OE

VOA=OE,AZAEO=ZEAO

VZFAE=ZEAO,AZFAE=ZAEO

AOE/ZAF

VDE±AF,AOElDE

.'DE是。O的切线

(2)①解：连接BE

,直径ABAZAEB=90°

•.•圆。与BC相切

ZABC=90°

■:ZEAB+ZEBA=ZEBA+ZCBE=90°

AZEAB=ZCBE

/.ZDAE=ZCBE

,.,ZADE=ZBEC=90°

.".△ADE^ABEC

.BCCE2

**AEDE-3

②连接OF,交AE于G,

由①，设BC=2x,贝!|AE=3x

..入“BCCE

VABEC^AABC:.——=——

ACBC

.2x_2

3x+22x

解得：xi=2,x=--(不合题意，舍去)

22

；.AE=3x=6,BC=2x=4,AC=AE+CE=8

.\AB=45ZBAC=30°

二ZAEO=ZEAO=ZEAF=30°,:.ZFOE=2ZFAE=60°

NFOE=NFOA=60。,连接EF,贝!)△AOF、△EOF都是等边三角形，二四边形AOEF是菱形

由对称性可知GO=GF,过点G作GMLOE于M,则GM=4EG,OG+^EG=GF+GM,根据两点之间线段最短，当F、

22

G、M三点共线，OG+^EG=GF+GM=FM最小，此时FM=FOsin600=3.

2

故OG+^EG最小值是3.

2

【题目点拨】

本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质.比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答.

1111

24、(1)(-)】+—=—+(-)1；；(1)(-)]+匕-=—+(二)%；(3)①成立，理由见解析；②成立，理由见解析.

6666nnnn

【解题分析】

(1)根据题目中的等式列出相同特征的等式即可

(1)根据题意找出等式特征并用n表达即可;

(3)①先后证明左右两边的等式的结果，如果结果相同则成立;

②先证明等式是否成立，如果成立再根据等式的特征写出m,n至少有一个为无理数的等式.

【题目详解】

解：(1)具有上述特征的等式可以是(!)

666

故答案为(，)1+3=!+(=)1;

6666

(1)上述等式可表示为(!)4n-11(匚)

------=—+

nnnn

,,心,、r,1、1n-11

故答案为(-)1+----------=—+

nnnn

(3)①等式成立,

n—11—1)/一〃+1

证明：•.•左边=(-)'+=——+

nnn2n2n2

1