人教版九年级数学下册《锐角三角函数（第5课时）》示范教学设计

锐角三角函数（第5课时）教学目标1．会应用锐角三角函数解决生活中的问题，能构造直角三角形解决实际问题．2．经历用锐角三角函数解决实际问题的过程，发展分析问题、解决问题的能力．教学重点复习锐角三角函数，并能熟练地运用它们解决生活中的问题．教学难点应用锐角三角函数解决实际问题．教学过程知识回顾1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．sinA＝＝；cosA＝＝；tanA＝＝．2．将30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表：锐角A锐角三角函数30°45°60°sinAcosAtanA1【设计意图】复习锐角三角函数和特殊角的三角函数值，为本节课的学习作铺垫．新知探究类型一、非特殊角的三角函数值在生活中的应用【问题】1．下图是一个半圆形桥洞截面的示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝24m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE＝．（1）求AB的长；（2）根据需要，水面要以0.5m/h的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【师生活动】学生小组讨论，完成作答，教师总结．【答案】解：（1）∵OE⊥CD于点E，CD＝24m，∴ED＝CD＝12（m）．在Rt△DOE中，∵sin∠DOE＝＝，∴OD＝＝13（m）．∴AB＝26（m）．（2）在Rt△DOE中，OE＝＝＝5，∴将水排干需5÷0.5＝10（h）．答：经过10h才能将水排干．【问题】2．如图，CD是挂在墙上的一幅画，高为1.5m．画的下端与地面之间的距离DE为2.5m，一个高1.6m的人在距离墙1.2m处看画，求此人的视角α的正切值．【师生活动】教师提示：首先求出AD的长，再利用等腰三角形得出视角α＝∠C，求出tanC即可．学生根据提示，思考作答．【答案】解：由题意，得AF＝1.2m，DF＝2.5－1.6＝0.9（m），∴AD＝＝1.5（m）．∴CD＝AD．∴α＝∠C．在Rt△AFC中，tanC＝＝＝，∴视角α的正切值为．【设计意图】通过解答问题1、问题2，让学生学会应用非特殊角的三角函数值解决生活中的问题．类型二、特殊角的三角函数值在生活中的应用【问题】3．如图，在离地面5m的点C处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD（结果保留根号）．【师生活动】学生独立思考作答，请一名学生代表板演，教师指导、讲评．【答案】解：在Rt△ADC中，∵sin∠CAD＝，tan∠CAD＝，∴AC＝＝＝（m），AD＝＝＝（m）．答：拉线AC的长是m，拉线下端点A与杆底D的距离AD是m．【问题】4．在数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等．于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF（结果保留根号）．【师生活动】学生独立思考作答，教师指导、讲评．【答案】解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，tanA＝，∴AC＝＝2．∴EF＝AC＝2．在Rt△CEF中，∠E＝45°，sinE＝，∴FC＝EF·sin45°＝．∴AF＝AC－FC＝2－．【设计意图】通过解答问题3、问题4，让学生学会应用特殊角的三角函数值解决生活中的问题．类型三、构造直角三角形解决实际问题【问题】5．如图，△ABC表示某中学的一块三角形空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮，已知某种草皮的售价为a元/m2，则购买这种草皮至少花费多少元？【师生活动】学生小组讨论、尝试作答，教师指导、总结．【答案】解：如图，作BA边的高CD，与BA的延长线交于点D．∵∠BAC＝150°，∴∠DAC＝30°．∵在Rt△ADC中，AC＝30m，sin∠DAC＝，∴CD＝AC·sin∠DAC＝15（m）．∵AB＝20m，∴S△ABC＝AB·CD＝×20×15＝150（m2）．∵这种草皮的售价为a元/m2，∴购买这种草皮至少需要150a元．【问题】6．如图，在相距100m的A，B两处观测工厂C，测得∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，求A，B两处到工厂C的距离．【师生活动】学生独立思考作答，请一名学生代表板演，教师指导、讲评．【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．在Rt△ACD中，∠A＝60°，tanA＝，∴CD＝AD·tan60°＝AD．在Rt△BCD中，∠B＝45°，∴BD＝CD＝AD．又AB＝100m，∴AD＋BD＝AD＋AD＝100，解得AD＝50(－1)m．∴BD＝CD＝50(3－)m．在Rt△ACD中，∠A＝60°，cosA＝，∴AC＝100(－1)m．在Rt△BCD中，∠B＝45°，cosB＝，∴BC＝50(3－)m．故A，B两处到工厂C的距离分别为100(－1)m，50(3－)m．【归纳】（1）在作垂线构造直角三角形时，不要破坏特殊角（30°，45°，60°）的完整性，即尽量不要过这些特殊角的顶点作垂线．（2）当题目中出现150°，120°，105°，75°等角度时，要通过“割补”法，把这些角度转化为30°，45°，60°，再利用这些角的三角函数值解决问题．【设计意图】通过解答问题5、问题6，让学生学会构造直角三角形，结合特殊角的三角函数值解决生活中的问题．【问题】7．如图，一块三角形的草地，其中BC＝10m，tanB＝2，tanC＝，试求这块草地的面积．【师生活动】学生小组讨论，完成作答，教师总结．【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．∵tanB＝2，∴＝2．∵tanC＝，∴＝．则设AD＝x，则BD＝x，DC＝2x，故x＋2x＝10，解得x＝4．故这块草地的面积为·AD·BC＝×4×10＝20（m2）．答：这块草地的面积为20m2．【设计意图】