人教版九年级数学下册《锐角三角函数（第2课时）》示范教学设计

锐角三角函数（第2课时）教学目标1．感知当直角三角形的锐角度数确定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都确定这一事实．2．理解锐角的余弦、正切的定义，知道锐角三角函数的概念，能应用锐角的正弦、余弦、正切进行证明和计算．3．经历对余弦、正切的概念及应用的探究过程，逐步培养观察、比较、分析、概括的思维能力．教学重点理解并掌握锐角的余弦、正切的定义，并能灵活应用它们进行证明和计算．教学难点余弦、正切的概念的探究过程；会选择适合的方法求锐角三角函数．教学过程知识回顾如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝＝．【设计意图】回顾上节课学习的“锐角的正弦”，为本节课的学习作铺垫．新知探究一、探究学习【问题】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比随之确定．此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？为什么？【师生活动】教师引导学生思考、交流，并用准确的数学语言归纳自己的猜想．【猜想】在Rt△ABC中，当∠A确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比都是确定的．【探究】如图，任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，那么与相等吗？与呢？你能解释一下吗？【师生活动】学生先独立思考，再小组讨论，完成作答．【答案】解：＝，＝．理由如下：∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．∴＝＝．即＝，＝．【新知】类似正弦的情况，如图，在Rt△ABC中，当∠A确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比都是确定的．我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝＝；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝＝．【提醒】（1）余弦、正切是在直角三角形中相对于锐角定义的，反映了直角三角形边与角的关系，不能在非直角三角形中套用；（2）余弦、正切是一个比值，是两条线段长度的比，是没有单位的数值，只与角的大小有关，与三角形的大小无关．【新知】对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数．【提醒】锐角三角函数的实质是一个比值，这些比值只与锐角的大小有关．当锐角A的大小确定后，sinA，cosA，tanA就都确定了，所以sinA，cosA，tanA都是以锐角A为自变量的函数．【设计意图】引导学生仿照研究锐角的正弦的思路和方法，自己完成锐角的余弦、正切的探索过程，培养学生的推理论证意识，让学生更好地理解锐角三角函数的概念．二、典例精讲【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．【师生活动】学生独立完成，教师指导、讲解．【答案】解：由勾股定理，得AC＝＝＝8．∴sinA＝＝＝，cosA＝＝＝，tanA＝＝＝．【归纳】直接用定义法求锐角三角函数值：第1步：根据已知条件，选择合适的定理（如勾股定理等）求出所需的边长；第2步：根据锐角三角函数的定义进行求解．【设计意图】通过例1，考察学生是否会直接用定义法求出锐角三角函数值．【例2】已知α是锐角，且cosα＝，求sinα及tanα的值．【师生活动】学生小组讨论，尝试作答，教师指导、讲解．【答案】解：如图，在Rt△ABC中，令∠A＝α，∠C＝90°．∵cosα＝，∴可设AC＝4k，AB＝5k(k＞0)．∴BC＝＝3k．∴sinα＝＝＝，tanα＝＝＝．【归纳】设参数法求锐角三角函数值．已知锐角的一个三角函数值，求该角的另外两个三角函数值，可设参数解答．没有给出图形的题目，一般应先根据题目已知条件画出符合题意的图形，再采用设参数法，并结合勾股定理及锐角三角函数的定义来解决，注意在最后计算时约去参数．【设计意图】通过例2，让学生学会用参数法求锐角三角函数值．【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，求∠B的三角函数值．【师生活动】教师提示：求锐角的三角函数值必须在直角三角形中，若题目中没有直角三角形，则可作辅助线构造直角三角形解决问题．学生根据提示，思考作答，教师指导、讲解．【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝6．在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，∴sinB＝＝＝，cosB＝＝＝，tanB＝＝＝．【归纳】构造直角三角形求锐角三角函数值的步骤：第1步：观察所要求的锐角是否在某一个直角三角形中；第2步：若在直角三角形中，则根据锐角三角函数的定义直接求出其锐角三角函数值；若在锐角（或钝角）三角形中，则应先作辅助线构造以该角为内角的直角三角形，再根据锐角三角函数的定义求其锐角三角函数值．【设计意图】通过例3，让学生学会构造直角三角形求锐角三角函数值．【例4】如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，求tanD的值．【师生活动】学生独立思考，尝试作答，教师指导、讲解．【答案】解：如图，连接BC．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵AB＝2×3＝6，∴BC＝＝＝4．∵∠D＝∠A（圆周角定理的推论），∴tanD＝tanA＝＝＝2．【归纳】用等角转化法求锐角三角函数值．求锐角三角函数值的方法有很多，如设参数法、构造法等，但当直接利用这些方法都不能求解时，可将角进行转化，把所求角转化为与之相等的角．找相等的角的方法有很多种，可借助平行线、等腰三角形、同弧所对的圆周角相等、三角形全等（或相似）等知识来寻找，要根据题目中的条件灵活选用方法．【设