人教版九年级数学下册《锐角三角函数（第1课时）》示范教学设计

锐角三角函数（第1课时）教学目标1．经历锐角的正弦的探究过程，感知当直角三角形的锐角角度一定时，它的对边与斜边的比是一个固定值这一事实，理解锐角的正弦的定义．2．能灵活应用锐角的正弦进行计算，感受数形结合的思想方法．教学重点探究锐角的正弦，理解锐角的正弦的定义，并能灵活应用锐角的正弦进行计算．教学难点研究内容提出过程（研究锐角的正弦定义前，先研究直角三角形中锐角的对边与斜边的比为定值）的必要性．教学过程知识回顾如图，在Rt△ABC中，两个锐角之间有什么关系？三边之间有什么关系？【师生活动】学生独立思考，得出答案：在Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°（两锐角互余）；a2＋b2＝c2（勾股定理）．教师提问：对于直角三角形，我们已经知道三边之间、两个锐角之间的关系，它的边角之间有什么关系呢？学生交流思考，教师讲解新课．【设计意图】回顾学过的直角三角形的边角关系，自然地引出本节课的学习内容，激发学生的学习兴趣．新知探究一、探究学习【问题】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡的坡角（∠A）为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？【师生活动】教师提问：你能用数学语言来表述这个实际问题吗？学生组织语言进行小组交流，教师巡视，并适时引导．把上述实际问题抽象成数学问题为：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB．教师追问：如何解决这个问题？学生独立思考，完成作答．【答案】根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即＝＝，可得AB＝2BC＝70（m）．也就是说，需要准备70m长的水管．【思考】在上面的问题中，如果出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？【师生活动】学生独立思考、画图，完成作答．根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即＝＝，可得AB′＝2B′C′＝100（m）．也就是说，如果出水口的高度为50m，那么需要准备100m长的水管．【思考】对于有一个锐角为30°的任意直角三角形，30°角的对边与斜边的比是多少？【师生活动】教师引导学生根据上面求AB（所需水管的长度）的过程，进行归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于．【设计意图】在学生用“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”解决问题的基础上，引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式——研究锐角和它的对边与斜边之比之间的关系，为获得“角度固定，比值也固定”作铺垫．【问题】如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比．由此你能得出什么结论？【师生活动】教师提出问题，学生分组讨论，得出答案．【答案】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵∠A＝45°，∴Rt△ABC是等腰直角三角形．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝2BC2，∴AB＝BC．∴＝＝＝．结论：在一个直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于．【设计意图】强化学生对“对边与斜边的比”的关注，为获得“角度固定，比值也固定”作进一步铺垫．【问题】由上述两个结论可知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．由此你能猜想出什么一般的结论呢？【师生活动】教师引导学生思考、交流，并用准确的语言归纳猜想．【猜想】在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．【设计意图】让学生体验合理的猜想是数学学习中研究问题的方法之一，同时为学生提供自主探究的空间，增强语言表达能力．【探究】如图，任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，那么与有什么关系？你能解释一下吗？【师生活动】学生先独立思考，得出与的关系，再小组讨论，完成证明．【答案】＝．理由如下：∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．∴＝．即＝．【新知】这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝＝．例如，当∠A＝30°时，我们有sinA＝sin30°＝；当∠A＝45°时，我们有sinA＝sin45°＝．∠A的正弦sinA随着∠A的变化而变化．正弦是一个比值，是两条线段长度的比，是没有单位的数值，只与角的大小有关，与三角形的大小无关．【提醒】（1）正弦是在直角三角形中相对于锐角定义的，反映了直角三角形边与角的关系，不能在非直角三角形中套用；（2）sinA是一个整体符号，不能写成乘积的形式，即sin·A的写法是错误的；（3）若角是用一个大写字母或一个小写希腊字母表示的，则正弦的写法中可省略“∠”，如sinα；若角是用三个大写字母或数字表示的，则不能省略“∠”，如sin∠ABC．【设计意图】培养学生的推理论证意识，让学生在一系列的问题解决中，经历从特殊到一般建立数学概念的过程，感受定义的方式：先研究合理性，再下定义．二、典例精讲【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．【师生活动】教师提示：求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比．学生根据提示作答，请两名学生代表板演，教师规范步骤．【答案】解：如图（1），在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝＝＝5．∴sinA＝＝，sinB＝＝．如图（2），在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝＝12．∴sinA＝＝，sinB＝＝．【归纳】在直角三角形中，求锐角的正弦值时，如果没有给出锐角的对边长或斜边长，那么应先根据勾股定理求出所需的边长，再根据锐角的正弦的定义求解．【设计意图】通过例1，考察学生是否会根据直角三角形的边长求出锐角的正弦值．【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝．（1）若AB＝10，求AC和BC；（2）若AC＝8，求AB及AB边上的高CD．【师生活动】学生独立完成，教师指导、讲解．【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，sinA＝＝，AB＝10，∴BC＝6．∴由勾股定理得AC＝＝＝8．（2）∵在Rt△ABC中，sinA＝＝，AC＝8，∴设BC＝3x(x＞0)，则AB＝5x．由勾股定理得AC＝＝＝4x＝8，解得x＝2，∴BC＝3x＝6，AB＝5x＝10．∵在Rt△ACD中，sinA＝＝，AC＝8，∴CD＝4.8．【归纳】用正弦值求直角三角形边长的两种方法：（1）在直角三角形中，若已知锐角的正弦值及该角的对边长或斜边长，则先直接根据正弦定义求斜边长或对边长，再根据勾股定理求第三边长；（2）在直角三角形中，若已知锐角的正弦值及该角的邻边长，则可根据正弦的