2025年高考数学大题复习训练：随机变量与分布列（解析）

专题20随机变量与分布列

i.温室是以采光覆盖材料作为全部或部分围护结构材料，具有透光、避雨、保温、控温等功能，可在冬季

或其他不适宜露地植物生长的季节供栽培植物的建筑，而温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它具

有较好的保温性能，使人们在任何时间都可吃到反季节的蔬菜，深受大众喜爱.温室蔬菜生长和蔬菜产品卫

生质量要求的温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量指标，其温室蔬菜产地环境质量等级划定如表所

zK.

环境质量等土壤各单项或综合质量灌溉水各单项或综合质量环境空气各单项或综合质等级名

级指数指数量指数称

1<0.7<0.5<0.6清洁

20.7〜1.00.5〜1.00.6〜1.0尚清洁

3>1.0>1.0>1.0超标

各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，若确对其所影

响的植物(生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标)或周围环境(地下水、地表水、大气等)有危

害，方能确定为污染.某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛，共8个村发展温室蔬菜

种植，对各村试验温室蔬菜坏境产地质量监测得到的相关数据如下：

1.21.05

1.031.0510

1.01U0、9

0.80.88

0.6-070.7470.69

0.40.510.5灌溉水

环境空气

0.2

(1)若从这8个村中随机抽取2个进行调查，求抽取的2个村应对土壤做进一步调研的概率；

(2)现有一技术人员在这8个村中随机选取3个进行技术指导，记f为技术员选中村的环境空气等级为尚清洁

的个数，求f的分布列和数学期望.

【答案】(*

(2)分布列见解析；数学期望E(f)=卷

O

【分析】(1)根据折线图可得应对土壤做进一步调研的村子个数，结合组合数知识可求得基本事件总数和

满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果；

(2)根据折线图可得环境空气等级为尚清洁的村子个数，由此可得f所有可能的取值，由超几何分布概率

公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值.

【详解】(1)由折线图可知：应对土壤做进一步调研的村共4个，

从8个村中随机抽取2个进行调查，基本事件总数有C3=28个；

其中抽取的2个村应对土壤做进一步调研的基本事件个数有Cg=6个,

二所求概率p=白=白

Zo14

(2)由折线图可知：环境空气等级为尚清洁的村共有5个，贝代所有可能的取值为0,1,2,3,

••・P(”。)-P(f=D=等「&=2)=詈

f的分布列为:

0123

115155

P

56562828

...数学期望E©=0X*+1XK+2XK+3X/=9.

JOUOZOZOO

2.2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行.为做好本次考试的评价

工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于

40至100之间,将数据按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组,制成了如

图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中小的值，并估计这50名学生成绩的中位数；

(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的三组中抽取了11人，再从这

11人中随机抽取3人，记孑为3人中成绩在[80,90)的人数，求f的分布列和数学期望；

【答案】⑴m=0.012；68

（2）分布列见解析；看

【分析】（1）由频率之和为1,可构建m的方程，求解m即可；令中位数为t,由［40,t］的频率之和为0.5,

可构建t的方程，求解t即可;

（2）先按抽样比算出各层样本数，接着我们发现《服从超几何分布，写出分布列，算出期望即可.

【详解】（1）由频率分布直方图的性质可得，（0.004+m+0.022+0.03+0.028+0.004）X10=1,

解得m=0.012,

设中位数为t,

0.004x10+0.022X10+(t-60)X0.03=0.5,解得t=68.

(2)•••[70,80),[80,90),[90,100]三组的频率之比为0.28:0.12:004=7:3:1,

.•.从[70,80),[80,90),[90,100]中分别抽取7人,3人，1人,

则m可取0,1,2,3,

p（/o）=fr提

p（t=i）=等

P(W=2)=警/

p(-)=fr+

故W的分布列为:

0123

562881

p

1655555165

故E0=0x言+1X||+2X£+3X+=V

3.2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚

运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下:

班号1234

人数30402010

该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题

目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品，假设每位同学的作答情况相互独立.

(1)求各班参加竞赛的人数；

(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为

X,求X的分布列及数学期望.

【答案】⑴3,4,2,1

(2)分布列见解析，2.8

【分析】(1)根据分层抽样计算可得;

(2)根据超几何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解;

【详解】(1)各班报名人数总共100人，抽取10人，抽样比为看,

故1—4班分别抽取30x5=3（人），40x=4（人），20X套=2（人），10x^=1（人）.

(2)由题意，X的可能取值为1,2,3,4,

1

PX

（=D=警=430'

犯专_

P（X=2）C21x3_3

岛―210~109

35x3_1

「一:需210-2'

4.“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具

有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、

物理、化学、信息技术学科夏令营活动.

⑴若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，f表示选取的人中来自该中

学的人数，求f的分布列和数学期望；

(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动.规则如下：两人一组，每一轮竞答中，

每人分别答两题，若小组答对题数不小于3,则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响.已知甲、乙两

位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为Pi，P2,且Pi+P2=%如果甲、乙两位同学想在此次答

题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？

【答案】(1)分布列见解析，E(D=]

(2)11轮

【分析】(1)根据超几何分布列分布列计算数学期望即可;

(2)先求每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.

【详解】(1)由题意可知珀勺可能取值有0、1、2、3,

P化=。)=m=%P(W=1)=雷

7「31

P-2）得/PQ=3）嚏与

所以，随机变量S的分布列如下表所示:

0123

72171

p

44442222

所以E（D=OX^+1喘+2x?+3吗=1

(2)他们在每轮答题中取得胜利的概率为

Q=c^pt（i-Pi）c|p1+0P洌P2（i-p2）+c|p?cipf

2

=2Plp2（P1+p2）-3（P1P2）2=|piP2-3（P1P2）,

41

由

o<<1o<p<1+p得<<

---2-2-「---

plpl33pl

2

则P1P2=P1G_P1)=(P1_P：=_(P1_|)+'因此PiP2eL，H，

☆t=PlP2e*,[,Q=|t-3t2=-3(t-^2+^于是当t=g时,Qmax=M

要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值号.

设他们小组在n轮答题中取得胜利的次数为X,则X〜B(n,金，E(X)=如，

由E(X)26,即如26,解得nN10.125.

而nCN*,则nmm=ll，所以理论上至少要进行11轮答题.

5.在一个不透明袋子中放入除颜色外完全相同的2个白色球和2个黑色球，从中任意取出一个球，若是黑

色球，则用2个同样的白色球替换黑色球放入袋子中，若取到的是白色球，则把该白色球放回袋子中.

(1)求第4次恰好取完两个黑色球的概率；

(2)若取到两个黑色球或者取球数达到5次就停止取球，设停止取球时取球次数为X,求X的分布列和数学

期望.

【答案】(1端

(2)分布列见解析，得

【分析】(1)前三次取球中有一次取到黑色球，则第4次取球恰好是第二次取到黑色球，求其概率即可；

(2)X的所有可能取值为2,3,4,5,分别求出对应的概率，然后利用期望的公式求解取球次数的数学期

望.

【详解】(1)由题意知，前三次取球中有一次取到黑色球，故第4次取球恰好是第二次取到黑色球的概率P=

1Z4\21,1141,小211129

—X(—)X——X—X—X—F(—)X—X—=------.

2\5752255\2/251000

(2)由题意可知，X的所有可能取值为2,3,4,5,

、、〜)、

PW(X—2r)=—1x—1=—1,P(X=3c)=—1x1—x—4H—,1x—1x—1=—13,P(nX=4)=--12-9-,

'72510k,2552251t)0、J1000

P(X=5)=1-[P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)]=澈,

故X的分布列为

X2345

113129641

P

10Too10001000

1,C13.4129IL6414311

E(X)=2X«+3x—+4x——+5x——=

100100010001000

6.某地乒乓球协会在年55岁〜65岁的乒乓球运动爱好者中，进行一次“快乐兵兵”比赛，3人一组先进行预

赛，选出1名参赛人员进入正式比赛.已知甲、乙、丙在同一组，抽签确定第一轮比赛次序为：甲对乙、甲

对丙、乙对丙，先累计获胜2场的选手，进入正式比赛.若前三场比赛甲、乙、丙各胜负一场，则根据抽签

确定由甲、乙加赛一场、胜者参加正式比赛.已知甲胜乙、甲胜丙、乙胜丙的概率分别为•!，■!，，各场比赛互

不影响且无平局.

⑴求甲进入正式比赛的概率；

(2)若比赛进行了四场结束，记甲获胜的场数为X,求X的分布列与数学期望.

【答案】(喝

(2)分布列见解析，!

【分析】(1)分类讨论由乘法公式计算即可；

(2)根据离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可.

【详解】(1)由题意，可分为两种情况，即分甲连胜两场和前三场甲、乙、丙各胜负一场，第4场甲胜乙:

①甲连胜两场的概率为gxg=摄；

②前三场甲、乙、丙各胜负一场，第4场甲胜乙的概率为(|x(xT+(x：x£)x|=券，

则甲进入正式比赛的概率为卷+券=券

(2)由题意得若要比四场，则前3场甲、乙、丙必然各胜一场，

此时第四场甲对乙，故X的可能取值为1,2,

第四场甲输，则P(X=1).,第四场甲赢，则P(X=2)=,,

故X的分布列为

7.为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒防毒拒毒意识”，我市组织开展青少

年禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录“禁毒知识竞赛/PP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人

赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第

1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有20局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名

次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名的得2分，获得第4名的得1

分；第2局获得第1名的得2分，获得第2、3、4名的得1分；后18局是无效局，无论获得什么名次，均不

能获得学习积分.经统计，小明每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为:，；，；，在第2局

424

四人赛中获得2分、1分的概率分别为;，

(1)设小明每天获得的得分为X,求X的分布列和数学期望；

(2)若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为右每局是否赢得

比赛相互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？

【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：

(2)在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大

【分析】(1)记事件人口=1,2,3)表示第一局获得1分，事件BG=1,2)表示第二局获得i分，X的可能值为

5,4,3,2,根据事件相互独立求出X的分布列、数学期望；

(2)设小A每天赢得的局数为Y,则Y〜B。。3),从而得到关于k的不等式组，解之即可得解.

【详解】(1)记事件人々=1,2,3)表示第一局获得1分，事件Bj(i=1,2)表示第二局获得i分，

这些事件相互独立，由条件知X的可能值为5,4,3,2.

P(X=5)=P(A3B2)=P(A3)P(B2)=沁=)；

P(x=4)=P(A3B1)+P(A2B2)=ix1+ixi=^;

P(X=3)=P(A2BD+P(A$2)=沁1^+1*1=套;7

133

-X---

P(X=2)=P(A$i)44

16

则其分布列为

X5432

1573

p

16161616

匚二।ll1A51c71c35213

所以E(X)=5x—+4x—+3x—+2x—=—=一

—16161616164

(2)设小明每天赢得的局数为Y,则易知Y〜B(20,£),

./i\kznx20-k

于是P(Y=k)=C0-G)•(()

20-k2啮】•(广©21-k

假设赢得k局的概率最大，则据条件得

20-k(广

20!/l\k⑶20-k20!/l\k-1/3\21-k

k!-(20-k)!’'\4/-(k-l)!-(21-k)!"V47,\47

k20-kk+119-k

20!/l\/3\>20!/l\/3\

(k!-(20-k)!>\47,\47-(k+l)!-(19-k)!>\47'\4/

r11>13

整理得.丁；耳%，解之得

、20—k4-k+14

又因为kez,所以k=5,

因此在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大.

8.食品安全问题越来越受到人们的重视.某超市在购进某种水果之前，要求食品安检部门对每箱水果进行

三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，这种水果才能在该超市销售.已知每箱这种水果第一轮

检测不合格的概率为：，第二轮检测不合格的概率为占第三轮检测不合格的概率为；，每轮检测只有合格与

456

不合格两种情况，且各轮检测互不影响.

(1)求每箱这种水果能在该超市销售的概率；

(2)若这种水果能在该超市销售，则每箱可获利300元，若不能在该超市销售，则每箱亏损100元，现有4

箱这种水果，求这4箱水果总收益X的分布列和数学期望E(X).

【答案】(畤

(2)分布列见解析，E(X)=400

【分析】(1)根据题意结合对立事件和对立事件概率的乘法公式运算求解即可；

(2)先确定水果总收益X的可能取值，然后由独立重复试验的概率公式可得分布列，再由期望公式直接计算

即可.

【详解】(1)设每箱这种水果能在该超市销售为事件A,

则P(A)=(1X(1X(1-1)=i,

即每箱这种水果能在该超市销售的概率为去

(2)X的所有可能取值为1200,800,400,0,-400.

因为P(X=1200)=GV=《，

\2/16

P(X=800)=Cig)3xi-i

P(X=400)=O2X(1)2=1.

P(X=O)=CKNG)3=1,

P(X=-400)=C

所以x的分布列为

X12008004000-400

11311

P

1648416

所以E(X)=1200x—+800xi+400x-+0xi-400x—=400.

1648416

9.飞行棋是一种竞技游戏，玩家用棋子在图纸上按线路行棋，通过掷骰子决定行棋步数.为增加游戏乐趣,

往往在线路格子中设置一些“前进”“后退”等奖惩环节，当骰子点数大于或等于到达终点的格数时，玩家顺利

通关.已知甲、乙两名玩家的棋子已经接近终点，其位置如图所示：

后退

终点

©3步

(1)求甲还需抛掷2次骰子才顺利通关的概率；

(2)若甲、乙两名玩家每人最多再投掷3次，且第3次无论是否通关，该玩家游戏结束.设甲、乙两玩家再

投掷骰子的次数为X,匕分别求出X,丫的分布列和数学期望.

【答案】(嘘

(2)分布列见解析；期望为E(X)=|J,E(Y)=£

【分析】(1)由题意可知，甲抛掷的点数应小于4,所以分甲投1点，2点，或3点，分别求满足条件的概

率，即可求解；(2)根据题意可知，随机变量X,Y=1,2,3,根据随机变量表示的意义，分别求概率，即可

求解分布列和数学期望.

【详解】⑴甲第1次抛掷未到达终点，其点数应小于4

若第1次掷出的点数为1,根据游戏规则，棋子前进1步后可再前进1步，到达距离终点差2步的格子，第

2次掷出的点数大于1,即可顺利通关，其概率为Pi=；x：=?

oo36

若第1次掷出的点数为2,棋子到达距离终点差2步的格子，第2次掷出的点数大于1,即可顺利通关，其

概率为P2=；xJ5

6636

若第1次掷出的点数为3,根据游戏规则，棋子到达距离终点差1步的格子后需后退3步，又回到了原位,

第2次掷出的点数大于3,可顺利通关，其概率为P3=；xJ5

oZ1Z

故甲抛掷2次骰子顺利通关的概率为P=PI+P2+P3=9+9+W=?

36DO1Z36

(2)依题意得P(X=1)=*=；,P(X=2)=JP(X=3)=1—

OZDOZ5oDO

Y、21c、11,15,15,114.142

P(Y=1)=-=P(Y=2)=-x-+-x-+-x-+-x-=-,P(Y=3)=1---------=-

'763k7626666629vJ399

X123Y123

1135142

PP

23636399

■na1.o13,c5591".八,、a4,^217

一,

E—(X)=1x2—F2x—3F63x3—6=36E—(Y)=1x—F23x—F39x—9=—9

10.如图，经典的推箱子是一个古老的游戏，在一个狭小的仓库中，该游戏要求把木箱放到指定的位置,

稍不小心就会出现箱子无法移动或者通道被堵住的情况，所以需要巧妙地利用有限的空间和通道，合理安

排移动的次序和位置，才能顺利地完成任务，某学习小组在课外活动中为了培养组员的逻辑思维能力，开

展了推箱子的小游戏，已知组员小明在前四关中,每关通过的概率都是,，失败的概率都是%且每关通过与

否互不影响.假定小明只有在失败或四关全部通过时游戏才结束，X表示小明游戏结束时通过的关数.

(1)求小明游戏结束时至少通过三关的概率;

(2)求X的分布列和数学期望E(X).

【答案】(底

(2)分布列见解析，期望为言

【分析】(1)分小明游戏结束时通过三关或四关，利用独立事件的乘法公式求解；

(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,分别求得其相应概率，列出分布列，再求期望.

【详解】（1）解：用A表示“小明游戏结束时至少通过三关”,

则P（A）=C）3*+（M

（2）X的所有可能取值为0,1,2,3,4,

用Ak表示“小明通过第k关”，

则P（Ak）=*k=l,2,3,4,且A〉A2,A3,A4独立.

故P(X=0)=P(A；)=i,

P(X=l)=P(A1Al)=|xi=A)

P(X=2)=P(AIA26=C)2XR1,

3

P(X=3)=P(AIA2A3')=C)十焉

P(X=4)=P(AiA2A3A4)=g)4=短，

X的分布列为

X01234

1392781

P

41664256256

所以E(X)=0x"lxV+2x^+3x^+4x^=525

2561

11.部分高校开展基础学科招生改革试点工作（强基计划）的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到

笔试优秀才能进入面试环节.已知4B两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相

互独立.若某考生报考A大学，每门科目达到优秀的概率均为|,若该考生报考B大学，每门科目达到优秀的

概率依次龙，”，其中。

（1）若n分别求出该考生报考A,B两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；

（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决

策，该考生更有希望进入力大学的面试环节，求打的范围.

【答案】（1）报考A大学恰好有一门笔试科目优秀概率为普；报考B大学恰好有一门笔试科目优秀概率为总

（2）（啕

【分析】(1)根据二项分布概率公式和独立事件概率乘法公式依次求解即可;

(2)根据二项分布期望公式可求得E(X)；结合独立事件概率乘法公式可求得离散型随机变量Y的分布列,

进而由数学期望公式求得E(Y)；根据E(Y)<E(X)可求得n的范围.

【详解】(1)设该考生报考A大学恰好有一门笔试科目优秀为事件A,

则P(A)=C“|X(|)2=^

该考生报考B大学恰好有一门笔试科目优秀为事件B,

132322331279

=-X-X----X-=----

则P(B)45334536O

20

--

(2)该考生报考A大4学达5到优秀科目的个数设为X,则X〜E(X)=3x|=*

该考生报考B大学达到优秀科目的个数设为Y,则Y所有可能的取值为0,1,2,3,

33

r

--XXl19(l-n)

(Y--v-

p(45-20—:

P(Y=D=；x-x(l-n)+-x-x(l-n)+-x-xn=-；

P(Y=2)=-x-x(l-n)+-x-xn+-x-xn=

,745v7454520

P(Y=3)=ix7xn=—；

'74510

・•・随机变量Y的分布列:

Y0123

9(1—n)97n+2n

P

202020To

r•八,、c9(1—n),.9,7n+2,n13+20n

・•・E(Y)=0x—_-+1x—+o2x-----4-3ox—=---------；

―2020201020

•••该考生更有希望进入A大学的面试环节，.•.£&)<E(X),即巧言<■!，

解得：0<n<\,二11的范围为(0,,).

12.在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球.四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两

组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在

下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现.已

知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、乙胜丁的概率均为|,甲胜丁的概率为|.

(1)设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X,求X的数学期望;

⑵求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率.

【答案】（1瑞

谭

【分析】（1）根据游戏规则得到甲乙在第一轮对打，且在第二轮不对打，第三轮有可能对打，从而得到X

的可能值为1或2,其中第三轮对打为甲乙胜者组对打或甲乙败者组对打，再结合条件即可求解;

（2）设在第n轮中，甲乙对打的概率为an，甲丙对打的概率为bn，甲丁对打的概率为Cn，根据题目条件求

得ai，bl和C1，再分类讨论甲丙在胜者组对打或甲丙在败者组对打，从而求得bn+1=3an+（cn，再由an+bn+

品=1结合数列通项公式的求法，求得上，即可求出bw

【详解】（1）由题可知，甲乙在第一轮对打，且在第二轮不对打，所以X的可取值为1,2,

1,151

P(X=2)X-+-X

23100’

则P(X=1)=1-P(X=2)=券,

所以X的数学期望E（X）=lx提+2、品=黑.

（2）设在第n轮中，甲乙对打的概率为an，甲丙对打的概率为bn，甲丁对打的概率为Cn，

易知n>2,a1=lfb1=J=0,

1i-1-i

又an+bn+Cn=1,所以6+i^~an+~cn=---bn,

整理得bn+1-1=|an+|cn=-1(bn—I),

则数列｛bn-目是以bl—g=—（为首项，以一3为公比的等比数歹IL

即6_（=_1*（_目，所以bn=-,贝Ijbio=g+gx0,

故在第10轮比赛中，甲丙对打的概率为:+1x=卷=抖.

DD\Zz1300D1Z

13.电视剧《狂飙》显示了以安欣为代表的政法人员与黑恶势力进行斗争的决心和信心，自播出便引起巨

大反响.为了了解观众对其的评价，某机构随机抽取了10位观众对其打分（满分为10分），得到如下表格:

观众序号12345678910

评分7.88.98.67.48.58.59.59.98.39.1

(1)求这组数据的第75百分位数；

(2)将频率视为概率，现从观众中随机抽取3人对《狂飙》进行评价，记抽取的3人中评分超过9.0的人数

为X,求X的分布列、数学期望与方差.

【答案】⑴9.1

(2)分布列答案见解析,E(X)=0.9,D(X)=0.63.

【分析】(1)先将数据从小到大排列，结合百分位数的计算公式，即可求解；

(2)根据题意，求得评分超过90的概率，得出X的所有取值，利用独立重复试验的概率公式求出概率,

得出分布列，进而求出期望和方差.

【详解】(1)将这组数据从小到大进行排列，

74,7.8,8385858.6,899.1,959.9,

因为75%x10=7.5,所以第8个数据为所求，

所以这组数据的第75百分位数为9.1.

(2)样本中评分超过9.0的有3个，

所以评分超过9.0的概率(频率)为0.3,

依题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,且X〜B(3,0.3),

贝ljP(X=0)=c?X0.73=0.343,

P(X=1)=C；x0.3x0.72=0,441,

P(X=2)=C；x0.32x0.7=0.189,

P(X=3)=C：x0.33=0.027,

所以X的分布列为

X0123

P0.3430.4410.1890.027

所以E(X)=3x0.3=0.9,

D(X)=3x0.3x0.7=0.63.

14.某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过a,b,c三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序

加工合格率分别为p三道工序都合格的工艺品为特等品；恰有两道工序合格的工艺品为一等品；恰

有一道工序合格的工艺品为二等品；其余为废品.

(1)求加工一件工艺品不是废品的概率；

(2)若每个工艺品为特等品可获利300元，一等品可获利100元，二等品将使工厂亏损20元，废品将使工厂

亏损100元，记一件工艺品经过三道工序后最终获利X元，求X的分布列和数学期望.

【答案】唬；

(2)分布列见解析，数学期望为甘.

【分析】(1)三道工序都不合格为废品，求事件的概率，利用对立事件，求不是废品的概率;

(2)由X的取值，计算相应的概率，列出分布列，由公式求数学期望.

【详解】(1)记“加工一件工艺品为废品”为事件A,

则P(A)=(1-汴(1-力(1一

则加工一件工艺品不是废品的的概率P(A)=1-P(A)=3

16

(2)由题意可知随机变量X的所有可能取值为-100,-20,100,300,

P(X=-100)=5，

、

P(X=-2rc0)=-3x-1x-1+,1-x-1x-1+.1-x-1x-1=—5,

,742242242216

v、311,311,1117

PCX=100)=-X—x—I—x-x—I—X—X—=—,

'742242242216

2112

P(X=300)==a

15.大连市是国内知名足球城市，足球氛围浓厚.在2022年第22届卡塔尔足球世界杯阶段，大连二十四中

的同学们对世界杯某一分组内的四支球队进行出线情况分析.已知世界杯小组赛规则如下：小组内四支球队

之间进行单循环(每只球队均与另外三只球队进行一场比赛)；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平

局，则比赛双方各积1分.现假设组内四支球队战胜或者负于对手的概率均为0.25,出现平局的概率为0.5.

(1)求某一只球队在参加两场比赛后积分X的分布列与数学期望;

(2)小组赛结束后，求四支球队积分相同的概率.

【答案】(1)分布列见解析，|

⑵*

【分析】(1)球队参加两场比赛后积分X的取值为0,1,2,3,4,6,分别求出随机变量对应的概率，可

得分布列，进而可得数学期望；

(2)求出6场比赛都出现平局的概率以及每支球队3场比赛结果均为1胜1平1负的概率，再求和即可.

【详解】(1)球队参加两场比赛后积分X的取值为0,1,2,3,4,6,

则P(X=0)=；x；=LP(X=1)-1x-1+.-1x-1=1

42244f

ill11,111

P(X=2)——x———P(X=3)-X-+-X-

22444448f

1-11

P(X=4)=ixi+ixi=iP(X=6)-X-=—，

4416

所以随机变量x的分布列为:

X012346

111111

P

16448416

随机变量X的数学期望:

11111

OX+1X+2X+3X+4X+6X

-一

4_4-8-4-

16

(2)由于小组赛共打6场比赛，每场比赛两个球队共积2分或者3分；

6场比赛总积分的所有情况为12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分共7种情况,

要使四支球队积分相同，则总积分被4整除，所以每只球队总积分为3分或者4分.

若每支球队得3分：

则6场比赛都出现平局，其概率为：P,=~

若每支球队得4分：则每支球队3场比赛结果均为1胜1平1负，

其概率为：P2=lxixlxixixix6=4.

242442445

所以四支球队积分相同的概率为P=Pl+P2=京+/=焉

16.在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大

学的初试，即将参加该重点大学组织的复试.已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为g,pp,复

试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为七.

⑴求P的值；

(2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X,求随机变量X的分布列.

【答案】(i)p=|

(2)答案见解析

【分析】(1)根据相互独立事件的乘法公式结合对立事件的概率，列式计算，可得答案.

(2)确定随机变量X的取值，求得每个值对应的概率，即可得分布列.

【详解】(1)因为甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为七，

所以(1_9)x(1x(1—p)=2，则p=|.

(2)由题意知，随机变量X的可能取值为0,1,2,3.

P(X=0)=卷，

P(X=l)=ix(l-i)X(l-1)+(l-l)x|x(l-|)+(l-l)X(l-1)x|=p

所以随机变量X的分布列为

X0123

1151

P

123126

17.根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为:

X1230

aa(la(l

Pa

V

-p)-p)2

(其中a>0,0<p<1)

每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为T，且相互独立，事件4表示一个家庭有i个孩子(i=0,l,2,3),事

件2表示一个家庭的男孩比女孩多(若一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多).

⑴若p=g,求a,并根据全概率公式(P(B)=P(BI4)P(4))求P(B)；

(2)是否存在p值，使得E(X)=£请说明理由.

【答案】(l)a=V，P(B)，

(2)不存在，理由见解析

【分析】(1)由概率之和为1列出方程，求出a,计算出P(B|AD，P(B|A2),P(B|A3),然后利用全概率公式可

求得结果，

(2)假设存在p,使E(X)=j+2a+3a(l一p)=(由于，=p2-3p+1+3,两式相乘后得5p3-6p2+2-

0,设/i(p)=5P3-6P2+2,利用导数可求出其最小值进行判断.

【详解】⑴当p=g时，P(A°)=：,P(AJ=2a,P(A2)=a,P(A3)=泉

贝吟+2a+a+；=1,解得a=春

由题意，得P(B|Ai)=Cix|,P(B|A2)=C4J,P(B|A3)=+砥().

由全概率公式，得P(B)=P(B|Ai)P(AJ=本+C瑟”+[cig)3+Clg)3]a(l-p)

aaa

=2i+4+2(1-P)-

又P='，a='，所以P(B)=

(2)由—Fa+a(l—p)+a(l—p>=1,得——p2—3p4---F3.

pap

假设存在p,使E(X)=-+2a+3a(l-p)=|.

P3

将上述两式相乘，得(+5—3p=三—5p+5+5,

化简，得5P3-6p2+2=0.

设/i(p)=5p3—6p2+2,则九(p)=15p2-12p=3p(5p—4).

由九'(p)V0,得0Vp<g,由九(p)>0,得一gvp<l,

则九(p)在(o,3上单调递减，在Q1)上单调递增，所以做P)的最小值为嗜)=色＞0,

所以不存在P0使得h(Po)=0.即不存在P值，使得E(X)=1

【点睛】关键点点睛：此题考查全概率公式的应用，考查离散型随机变量的分布列，考查导数的应用，第

(2)问解题的关键是根据概率和为1,和期望公式列方程，化简后利用导数解决，考查数学计算能力，属

于较难题.

18.在二十大报告中，体育、健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育

强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟

举行羽毛球团体赛，赛制采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上

场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根

据前期比赛的数据统计，甲队种子选手M对乙队每名队员的胜率均为|,甲队其余4名队员对乙队每名队员

的胜率均为今(注：比赛结果没有平局)

(1)求甲队最终2:1获胜且种子选手M上场的概率；

(2)已知甲队2:1获得最终胜利，求种子选手M上场的概率.

【答案】呜

♦

【分析】(1)设事件Aj="种子选手M第i局上场”(i=1,2,3),事件B="甲队最终2:1获胜且种子选手M

上场”,求出P(AJ、P(B|Ai)(i=l,2,3)的值,利用全概率公式可求得P(B)的值；

(2)设事件A。="种子选手M未上场“，事件C="甲队2:1获得胜利”，计算出P(C)、P(A0C)的值，利用贝

叶斯公式可求得P(匹|C)的值.

【详解】(1)解：设事件A]="种子选手M第i局上场”(i=1,2,3),

事件B="甲队最终2:1获胜且种子选手M上场”.

由全概率公式知,P(B)=P(B|Ai).P(A。+P(B|A2)-P(A2)+P(B|A3)-P(A3)

因为每名队员上场顺序随机，故P(A。=3i=1,2,3),

“nlA、311.1111n/nlA、131,1111「/EA、1133

P(B|A1)=-x-x-+-xix-=-,P(B|A2)=-X-X-+-X-X-=?P(B|A3)=C^-x?x-=

所以P(B)=£LP(B|Ai)P(Ai)=；xg+；xg+p标套

所以甲队最终2:1获胜且种子选手M上场的概率为

(2)解：设事件A。="种子选手M未上场“，事件C="甲队2:1获得胜利”，

P(Ao)=if=?==P(C|Ao)=C^xlxlxl=l,

P(C)=P(B)+P(C|A0).P(A°)=5+3x'宗

因为P①|C)=^.

由(1)知P(匹C)=P(B)=套所以P(匹忙)=普=普=£

所以，已知甲队2:1获得最终胜利，种子选手M上场的概率为5.

19.某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的

价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量(单位：十盒)，获

得如下数据:

日销售量/十盒78910

天数812164

假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.

(1)记每两天中销售草莓的总盒数为X(单位：十盒)，求X的分布列和数学期望；

(2)以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？

【答案】⑴分布列见解析，数学期望17.44

(2)选择每两天进17十盒

【分析】