北师大版数学八年级上册1.3勾股定理的应用 同步练习【培优版】（附参考答案）

北师大版数学八年级上册1.3勾股定理的应用同步练习【培优版】班级：姓名：一、选择题1．如图，圆柱底面半径为4πcm，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到A．24cm B．30cm C．221cm 2．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49，②x⋅y=2A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④3．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=6，AC=8.点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）．A．288 B．400 C．432 D．4404．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸5．如图，在长方体ABCD−EFGH盒子中，AB=4cm，BC=3cm，CG=5cm，长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触.当木棒的端点I在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（）A．(10−52)cm B．3cm C．(10−46．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2−6=(10−x)C．x2+6=(10−x)7．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD=6m），踏板离地的垂直高度CF=4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（）mA．212 B．152 C．6 8．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离AC为（）

A．3米 B．5米 C．7米 D．9米二、填空题9．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为米．10．如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米.11．某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要元．12．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是尺．13．如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB(∠ACB=90°)，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB.某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行米．三、解答题14．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．A、B、F三点在一条直线上，CF⊥AF．回答下列问题：（1）根据题意可知：ACBC+CE（填“＞”、“＜”、“＝”）．（2）若CF=6米，AF=8米，AB=3米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．15．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB＝5千米，CA＝3千米，DB＝2千米，试问：（1）图书室E应该建在距点A多少千米处，即AE＝千米，才能使它到两所学校的距离相等？（2）证明上题中的结论.16．学校正在增加绿化区域，种植花草树木，提高校园的绿化覆盖率，准备在四边形的空地上种植花卉，如图所示，∠C=90°，AC=12m，BC=9m，BD=17m，AD=8m，求四边形ABCD的面积．17．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米.（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路.请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米.18．如图，曲柄连杆装置是很多机械上不可缺少的，曲柄OA（定长）绕固定点O做圆周运动，连杆AP（定长）拉动活塞做往复运动.如图1，当曲柄的A端运动到最右边时（P，O，A三点共线），OP的长为8cm.如图2，当曲柄的A端运动到最左边时（点P，A，O三点共线），OP的长为18cm.（1）求曲柄OA和连杆AP的长；（2）如图3，当OA⊥OP时，求OP的长.19．如图，小明家在一条东西走向的公路MN北侧200米的点A处，小红家位于小明家北500米（AC=500米）、东1200米（BC=1200米）点B处．（1）求小明家离小红家的距离AB；（2）现要在公路MN上的点P处建一个快递驿站，使PA+PB最小，请确定点P的位置，并求PA+PB的最小值．20．阅读材料，回答问题：（1）中国古代数学著作图1《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”.这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5.”.上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：．（2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”(如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形)，利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：∵S△ABC=1S正方形MNPQ=又∵=，∴(a+b)整理得a2∴．（3）如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB=4，BC=8，求BE的长．

1．【答案】B【解析】【解答】解：

如图，当棉线走的路程为上图所示，把圆柱展开，高分成三等分走，长度最短；

底面周长为：4π×π×2=8，分成三等份后每份为6，则AC=62+

【分析】棉线走的路程为上图所示，把圆柱展开，高分成三等分走，长度最短，由勾股定理求出AC长即可求解。2．【答案】A【解析】【解答】如图所示，∵△ABC是直角三角形，∴根据勾股定理：x2由图可知x−y=CE=4由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为4×1即2xy+4=49，故③符合题意；由2xy+4=49可得2xy=45，又∵x2两式相加得：x2整理得：(x+y)2x+y=94故正确的是①③．故答案选A．

【分析】根据直角三角形三边关系及正方形的性质，通过图形找他们之间的关系，逐项判定即可。3．【答案】D【解析】【解答】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，则△ABC≌△PFB≌△QCG，∴PB=AC=8，CQ=AB=6，∵图2是由图1放入矩形内得到，∴IP=8+6+8=22，DQ=6+8+6=20，∴矩形KLMJ的面积=22×20=440．故答案为：D．【分析】延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，可得∆ABC、∆PFB、∆QCG全等，根据全等三角形对应边相等可得PB=AC，CQ=AB，然后求出IP和DQ的长，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解。4．【答案】C【解析】【解答】解：设OA=OB=AD=BC=x，过D作DE⊥AB于E，则DE=10，OE=12CD=1，AE=x−1在Rt△ADE中，AE2+D解得2x=101．故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．故答案为：C．【分析】先构造直角三角形，再根据勾股定理列方程求解．5．【答案】A【解析】【解答】解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI=AC2+CG2，

∵AC2=AB2+BC2=25，

∴故答案为：A.

【分析】先证出当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI=A6．【答案】D【解析】【解答】解：如图，根据题意，AB+BC=10，AC=6，设折断处离地面的高度是x尺，即AB=x，根据勾股定理，AB2+A故答案为：D．

【分析】设折断处离地面的高度是x尺，即AB=x，利用勾股定理即可得到方程x27．【答案】B【解析】【解答】解：设秋千绳索AB的长度为xm，由题意可得AC=AB=xm，四边形DCFE为矩形，BE=1m，DC=6m，CF=4m，DE=CF=4m，∴DB=DE−BE=3m，AD=AB−BD=(x−3)m，在Rt△ADC中，AD即62解得x=15即AC的长度为152故答案为：B．

【分析】设秋千绳索AB的长度为xm，利用勾股定理可得62+(x−3)8．【答案】A【解析】【解答】解：如图所示：OE=3m，OB=12−3=9m，OD=15−3=12m，AB=CD=15m，在Rt△ABO中，AO=A在Rt△COD中，CO=C∴AC=AO−CO=3m，故答案为：A．【分析】先利用勾股定理求出AO和CO的长，再利用线段的和差列出算式AC=AO−CO=3求解即可。9．【答案】2.7【解析】【解答】解：如图，由题意得：AC=CD，AB=1.5米，BC=2米，ED=2.4米，

∴在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=（1.5）2+2210．【答案】13【解析】【解答】解：如图所示，AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米，过C作CE⊥AB于E，则CE=BD=12，AE=AB-CD=5，在直角三角形AEC中，AC=A则小鸟至少要飞13米.故答案为：13.【分析】如图，AB，CD为树，且AB=13，CD=8，BD为两树距离12米，过C作CE⊥AB于E，则CE=BD=12，AE=AB-CD=5，在直角三角形AEC中利用勾股定理即可求出AC.11．【答案】1020【解析】【解答】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，

则长为：13∴地毯的长度为12+5=17（米），地毯的面积为17×2=34（平方米），∴购买这种地毯至少需要30×34=1020（元）．故答案为：1020．【分析】本题考查勾股定理的运用．根据图形可得：先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，利用勾股定理先求出地毯的长度，进而求出地毯的面积，据此可求出购买地毯的钱数．12．【答案】12【解析】【解答】设水池的深度为x尺，则芦苇的长为(x+1)尺，根据勾股定理得：x2解得：x=12即水池的深度是12尺．故答案为：12【分析】设水池的深度为x尺，则芦苇的长为(x+1)尺，根据勾股定理列出关于x的方程，解此方程即可解答.13．【答案】4【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC的长约为6米，BC的长约为8米，∴AB=A∴AC+BC−AB=4米，∴多行4米，故答案为：4．

【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差求解即可。14．【答案】（1）=（2）解：∵A、B、F三点共线，∴在Rt△CFA中，AC=A∵BF=AF−AB=8−3=5，∴在Rt△CFB中，BC=C由（1）可得：AC=BC+CE，∴CE=AC−BC=10−61∴小男孩需移动的距离为(10−61【解析】【解答】解：（1）∵AC的长度是男孩拽之前的绳长，(BC+CE)是男孩拽之后的绳长，绳长始终未变，∴AC=BC+CE，故答案为：=；【分析】（1）根据绳长不变即得结论；

（2）在Rt△CFA中，利用勾股定理求出AC=10，从而得出BF=AF-AB=5，在Rt△CFB中，利用勾股定理求出BC=61，由（1）知CE=AC-BC即可求解.15．【答案】（1）2（2）方法一：当AE=2，则BE=3，而AC=3，BD=2，由勾股定理可得：CE=∴CE=DE，方法二：∵AE=BD=2，AC=BE=3，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，∴∠CAE=∠DBE=90°，∴△CAE≌△EBD，∴CE=DE.【解析】【解答】解：（1）设AE=x，则BE=AB−AE=5−x，∵CE=DE，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，∴A∵CA＝3千米，DB＝2千米，∴解得：x=2所以当AE=2千米时，它到两所学校的距离相等.

故答案为：2；【分析】（1）设AE=x，则BE=AB−AE=5−x，根据勾股定理可得AC2+AE2=BD2+B16．【答案】解：如图，连接AB，∴AB==9∵15∴AB∴△ABD是直角三角形，∴==114；答：四边形ABCD的面积为114m【解析】【分析】根据勾股定理及其逆定理求解。连接AB，先由勾股定理求出AB的长，再根据勾股定理的逆定理得出△ABD是直角三角形，再根据三角形的面积公式求解即可。17．【答案】（1）解：是，理由如下：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，即CH2+BH2=BC2，∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，∴CH⊥AB，由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路；（2）解：设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2∴x2=(x-0.9)2+1.22，解得x=1.25，即AC=1.25，故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米.【解析】【分析】（1）是，理由：根据勾股定理的逆定理可得△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，据此即得结论；

（2）设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，利用勾股定理可得x2=(x-0.9)2+1.22，解出x的值，即得AC，利用AC-CH即得结论.

18．【答案】（1）设OA=xcm，则AP=(x+8)cm.由题意可知OA+AP=18cm，即x+x+8=18，解得x=5，∴OA=5cm，AP=13cm.（2）当OA⊥OP时，在Rt△PAO中，OA∵OA=5cm，AP=13cm，∴OP=13【解析】【分析】（1）设OA=xcm，则AP=(x+8)cm，根据OA+AP=18cm构建方程求解即可；

（2）在Rt△PAO中，根据勾股定理即可解决问题.19．【答案】（1）解：如图，连接AB，由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∵∠AC