北师大版数学八年级上册1.3勾股定理的应用 同步练习（提升卷）（附参考答案）

北师大版数学八年级上册1.3勾股定理的应用同步练习（提升卷）班级：姓名：一、选择题1．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．51 B．49 C．76 D．无法确定2．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．x2+4C．(10−x)2+43．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD=6m），踏板离地的垂直高度CF=4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（）mA．212 B．152 C．6 4．数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当0＜x＜12时，求代数式x2+4+(12−x)2A．4 B．5 C．6 D．75．如图所示，已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于（）A．9 B．35 C．45 D．无法计算6．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米.若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（）A．1米 B．2米 C．2米 D．4米7．如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方形.一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（）A．10dm B．12dm C．15dm D．20dm8．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．1 B．2020 C．2021 D．20229．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（）A．3米 B．4米 C．5米 D．7米10．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边长为5，较短直角边长为3，则图中小正方形（空白区域）的面积为（）A．1 B．4 C．6 D．9二、填空题11．如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE时，AD=1米，则BE＝米.12．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了米.13．如图，△ABC是直角三角形，所有的四边形都是正方形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形I，Ⅱ的面积之和为cm2．14．如图，用三张大小各不相同的正方形纸片以顶点相连的方式可以设计成“毕达哥拉斯”图案．现有四张大小各不相同的正方形纸片，其面积分别是1，2，3，4．若选取其中三张，按如图方式组成“毕达哥拉斯”图案，则所围成的Rt△ABC的斜边长可为．我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题”：一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度为尺．（一丈=10尺）三、综合题16．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．

（1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC：（1）求BC边的长.（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值.18．如图，5米长的一根木棒AB靠在墙上A点处，落地点为B，已知OB＝4米．现从O点处拉出一根铁丝OP（点P在线段AB上）来加固该木棒（1）在图中画出铁丝最短时的情形，并求出此时铁丝的长度（2）如果落地点B向墙角O处移动2米，则木棒上端A上移是少于2米，还是多于2米？并说明理由19．如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC=5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处.已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm．（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为m；（2）求这棵树高有多少m？20．伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个景点A、B．其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（A、H、B三点在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米．（1）判断ΔBCH的形状，并说明理由；（2）求原路线AC的长．

1．【答案】C【解析】【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝122+52＝169所以x＝13所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76.故答案为：C.【分析】设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，由勾股定理可得x的值，然后根据周长的概念进行计算.2．【答案】D【解析】【解答】解：如图所示：由题意得：∠AOB=90°，设折断处离地面的高度OA是x尺，由勾股定理得：x2故答案为：D．【分析】设折断处离地面的高度OA是x尺，利用勾股定理可得x23．【答案】B【解析】【解答】解：设秋千绳索AB的长度为xm，由题意可得AC=AB=xm，四边形DCFE为矩形，BE=1m，DC=6m，CF=4m，DE=CF=4m，∴DB=DE−BE=3m，AD=AB−BD=(x−3)m，在Rt△ADC中，AD即62解得x=15即AC的长度为152故答案为：B．

【分析】设秋千绳索AB的长度为xm，利用勾股定理可得62+(x−3)4．【答案】B【解析】【解答】解：依题意如图，AC＝1，DB＝2，CD＝4，CP＝x，PD＝4-x，∴AE＝1+2＝3，BE＝4，∴AB=A∴代数式x2故答案为：B.【分析】依题意可得：AC＝1，DB＝2，CD＝4，CP＝x，PD＝4-x，则AE=AC+CE=3，BE=4，利用勾股定理求出AB，进而可得代数式的最小值.5．【答案】C【解析】【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2+MD2＝AB2-AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2-AD2+MD2，∴MC2-MB2＝（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）＝AC2-AB2＝45.故答案为：C.【分析】在Rt△ABD、Rt△ADC、Rt△BDM、Rt△CDM中，根据勾股定理可得BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2，BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2=AD2+MD2，然后作差即可.6．【答案】A【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，

由题意可知：AB＝AC＝5米，CF＝3米，∠AFC=90°，

∴AF2+CF2＝AC2，即AF2+9=25，

解得：AF＝4米，

∴BF＝AB-AF＝5-4＝1米，

∴此时木马上升的高度为1米.

故答案为：A．

【分析】过点C作CF⊥AB于点F，由题意可知：AB＝AC＝5米，CF＝3米，∠AFC=90°，利用勾股定理求得AF的长，再用AB-AF即可求得木马上升的高度.7．【答案】C【解析】【解答】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，则AD=6dm，BD=6+9=15dm，AB=6②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC=6+6=12dm，BC=9dm，AB=1③将长方体的上面和左面展开在同一平面内，则DE=6dm，BE=6+9=15dm，DB=6∵15<329所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm．故答案为：C．【分析】将立体图形按照三个不同的方向展开，连接AB，用勾股定理求出AB的长，比较大小找出最短的距离即可．8．【答案】D【解析】【解答】解：如图，由题意得：SA=1，由勾股定理得：SB＋SC=1，则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……∴“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022，故答案为：D.【分析】利用勾股定理可证得SB＋SC=1，可得到“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2；“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3；“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……，由此规律可得到“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和.9．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知.BE=CD=1.5m，AE=AB−BE=4.5−1.5=3m，AC=5m由勾股定理得BD=CE=5故离门4米远的地方，灯刚好打开.故答案为：B.【分析】由题意可知：BE=CD=1.5m，AE=AB-BE=3m，AC=5m，由勾股定理求出BD、CE，据此解答.10．【答案】A【解析】【解答】解：大正方形的边长为5，较短直角边长为3，则较长直角边长4，∴小正方形边长为1，∴小正方形面积为1，故答案为：A．【分析】先求出较长直角边长4，再求出小正方形边长为1，最后求解即可。11．【答案】1【解析】【解答】解：∵AB=5，BC=3，∴AC=AB∵AD＝1，∴CD=AC-AD=3，∴CE=DE∴BE=CE-CB=1米，故答案为：1.【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AC的值，则CD=AC-AD=3，然后在Rt△CDE中，由勾股定理求出CE的值，再根据BE=CE-CB进行计算.12．【答案】9【解析】【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝BC2−A∵CD＝10（米），∴AD＝CD∴BD＝AB-AD＝15-6＝9（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9.【分析】分别在Rt△ABC、Rt△ACD中，根据勾股定理可得AB、AD的值，然后根据BD=AB-AD进行计算.13．【答案】81【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，所有的四边形都是正方形，其中最大的正方形的边长为9cm，

∴AC2+BC2=AB2，AB=9，

∴AC2+BC2=81，

∴正方形I，Ⅱ的面积之和为81cm2.

故答案为：81【分析】利用勾股定理可证得AC2+BC2=AB2，根据最大的正方形的边长为9cm，可得到AB的长，由此可求出AC2+BC2的值，即可得到正方形I，Ⅱ的面积之和.14．【答案】2或3【解析】【解答】解：∵四张大小各不相同的正方形纸片，其面积分别是1，2，3，4，

∴四张正方形纸片的边长分别为1，2，3，2，

∵∠C=90°，

∴AC2+BC2=AB2，

当选取的三张纸片的面积分别是1，2，3时，所围成的Rt△ABC的斜边长为3，

当选取的三张纸片的面积分别是1，3，4时，所围成的Rt△ABC的斜边长为2，

∴所围成的Rt△ABC的斜边长可为2或3.

故答案为：2或3.

【分析】根据正方形的面积分别求出正方形的边长，利用勾股定理得出AC2+BC2=AB2，分别确定三角形的三边长，即可得出斜边.15．【答案】3.2【解析】【解答】解：1丈＝10尺，设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10−x）尺，根据勾股定理得：x2＋62＝（10−x）2，解得：x＝3.2．答：折断处离地面的高度为3.2尺．故答案为：3.2

【分析】设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10−x）尺，利用勾股定理可得x2＋62＝（10−x）2，再求出x的值即可。16．【答案】（1）解：∵AC=15km，BC=20km，AB=25km，

152+202=252，∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，∵12AC×BC=1∴CD=AC×BC÷AB=12（km）．故修建的公路CD的长是12km；（2）解：在Rt△BDC中，BD=BC一辆货车从C处经过D点到B处的路程=CD+BD=12+16=28（km）．故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，再结合三角形的面积求出CD的长即可；

（2）先利用勾股定理求出BD的长，再利用线段的和差求解即可。17．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，∴设AC为3x，则：BC为4x，则：AB∴x=2或x=−2（舍），∴BC=4x=4×2=8cm；（2）解：当AP=BP时，如图，则AP=t，在Rt△ACP中，AC∴62解得t=25当AB=BP时，如图，则BP=t=10；当AB=AP时，如图，则BP=2BC；∴t=2×8=16，综上，t的值为254【解析】【分析】（1）设AC=3x，则BC=4x，利用勾股定理可得x的值，进而可得BC的值；

（2）当AP=BP时，则AP=t，PC=8-t，在Rt△ACP中，利用勾股定理求解即可；当AB=BP时，则BP=t=10；当AB=AP时，BP=2BC，代入求解即可.18．【答案】（1）解：过O作AB的垂线OP即可．在Rt△AOB中，OA=A∵12∴OP=3×4∴