条件改变之后的概率

PAGEPAGE4条件改变之后的概率对由于条件改变而引起的概率悖论的讨论【摘要】:悖论在数学中无处不在,但他们最经常是在一个比较高级的水平上出现.然而在概率方面.悖论却在一个比较简单的水平上出现.本文主要运用全概率公式和贝叶斯公式,解决一些由于条件改变而引起的概率悖论.并且通过分析两种常见的概率悖论,探讨概率悖论形成的原因,以及解决的方法,以期引起读者的重视和思索.【关键词】:数学;悖论;条件概率;特指前言悖论,从字面上讲就是荒谬的理论.关于悖论的起源,可以追溯到古希腊和我国先秦哲学时代.但是在那时及其往后的一段相当长的时期中,悖论往往泛指那些推理过程看上去是合理,但是推理的结果却又违背客观实际.如著名的芝诺悖论中的阿基里斯追龟说:阿基里斯(一个善跑的猛将)要追上在前面跑的乌龟,必须先到达乌龟的出发点,而那时乌龟又已经跑过前面一段路了,如此这样往复,因此阿基里斯永远也追不上乌龟.[1][1]徐利治.数学方法论选讲(第三版)[M].武汉:华中科技大学出版社,2002.在历史上,还有另一种与之相反的情形而称之为悖论,那就是由于新概念的引人而违背了具有历史局限性的传统观念,这就不是推理看上去好像是合理的问题,而是传统观念貌似事实的事了.例如伽利略悖论:自古人们就认为“整体大于部分”,现在有两个数列和,“整体大于部分”的观点,第二个数列中元素的个数会少于第一个数列.但是从对应的角度看,第一个数列中的任意项总可以和第二个数列中的对应,因此两个数列中的元素是一样多的.[2]凌晓牧.小议数学悖论.江苏教育学院学报（自然科学）,2010年第26卷第12期.2][2]凌晓牧.小议数学悖论.江苏教育学院学报（自然科学）,2010年第26卷第12期.知识准备2.1样本空间对于随机试验,尽管在每次试验之前不能预知试验的结果,但试验的所有可能结果组成的集合是已知的.我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间.2.2概率在一次试验中,一个事件(除必然事件与不可能事件外)可能发生也可能不发生,其发生的可能性的大小是客观存在的.事件发生的频率以及它的稳定性,表明能用一个数来表征事件在一次试验中的可能性大小.我们从频率的稳定性及频率的性质得到启发和抽象,给出了概率的定义.我们定义了一个集合(事件)的函数,它满足三条基本性质:非负性:对于每一个事件A,有;规范性:对于必然事件S,有;可列可加性:设是两两互不相容的事件,即对于ø,,有这一函数的函数值就定义为事件A的概率.[3][3]王潘玲.应用高等数学[M].杭州,浙江科学技术出版社,2004年.36-38.2.3古典概型中的概率概率的定义只给出概率必须满足的三条基本性质,并未对事件A的概率给定一个具体的数.只在古典概型的情况下,对于每个事件A给出了概率.一般,我们可以进行大量的重复试验,得到事件A的频率,而以频率作为的近似值.或者根据概率的性质分析,得到的取值.2.4条件概率在古典概型中,我们证明了条件概率的公式在一般的情况,上述公式作为条件概率的定义.固定A,条件概率具有概率定义中的三条基本性质,因而条件概率是一种概率.[4][4]盛骤等.概率论与数理统计.北京.高等教育出版社.2008，6（4）：1-24.一些经典的概率悖论3.1三门问题这是条件概率中的一个经典问题了.说在一次综艺节目上,设置了三个门,其中一个门后面是汽车,而另外两个门后面则是山羊.有一个嘉宾上去抽奖,当然想抽到汽车了.第一步,他先选中一个门,比如说1号门.选中了但不打开门.这时剩下的两个门里,至少有一个门背后是羊,对吧.第二步,主持人过来了,当然,他事先是知道汽车在哪个门后的.他在嘉宾剩下的那两个门中,把一个有羊的门打开了,比如说,打开了3号门,门后有羊.现在的问题就是嘉宾是坚持选他刚才选的1号门对他有利,还是改选剩下的2号门对他有利.[5][5]马丁•加德纳.从惊讶到思考――数学悖论奇景[M].四川:四川人民出版社,1985:1-108.第一种想法:每一个门后是汽车的概率都是,不管主持人怎么开门,每个门后的奖品都没被换过,那概率怎么会改变呢?1号门和2号门中奖的概率仍旧都是.第二种想法:当主持人打开了一个门后,剩下了两个门,其中一个有羊,另一个有汽车,1号门和2号门背后有汽车的概率都是.这两种想法当然都是错误的.下面我们用概率论的知识来计算一下.我们以表示事件"在号门后面有汽车",以表示事件"主持人打开的是在讨论"星期二男孩问题"之前,我们先讨论另外一个问题以作铺垫.问题ａ:老张有两个孩子,已知其中一个是女儿,问另一个也是女儿的概率是多少?问题ｂ:老张有两个孩子,给他家打电话,接电话的是他女儿,问他有两个女儿的概率是多少?[9][9]王秀芳,郝素娥.论数学悖论的思维特色[J].山西大学师范学院（综合版）,1993,（2）.好多没接触过条件概率的人,一看到这种问题就直接糊涂了:"这两个问题有什么不一样吗?两个问题不都是知道其中有一个是女儿,然后问另一个也是女儿的概率吗?概率不应该都是吗?"其实这只是涉及到条件概率的一个简单问题.我们先列出一个表格,把老张家两个孩子性别的所有可能都列出来.表格SEQ表格\*ARABIC2老张家两个孩子性别的所有可能编号第一个孩子第二个孩子1女女2女男3男女4男男令A,B,C分别表示事件"老张有两个儿子","老张有一儿一女","老张有两个女儿".则由上表显然有令E,F分别表示事件"其中一个是女儿","接电话的是女儿".显然E发生的概率就是Ｂ和Ｃ发生的概率大小之和而F发生的概率可以用全概率公式求得为了更好地比较与,我们也用全概率公式计算一遍而问题a与问题b可以分别等价于求"在E发生的条件下C发生的概率"和"在F发生的条件下C发生的概率",即要求和.这两个概率可以用贝叶斯公式计算得到那么是什么造成了这两个概率的不同呢?我们可以这样想,在问题a中"其中一个是女儿"可以指两个孩子中随便一个.也就是说,当这个"女儿"没有特指哪个孩子的时候,所以可能的情况比较多一些.而在这些情况中,"两个都是女儿"的情况只占其中的一种,从而使"两个都是女儿"的概率小一点,是.而在题b中,"接电话的是女儿"中的"女儿"有特指,指的就是接电话的这个孩子.此时,"两个都是女儿"等价于"没接电话的孩子也是女儿",所以的可能情况当然要少一点.而在这些情况中,"两个都是女儿"的情况同样只占一种,从而使"两个都是女儿"的概率小一点,是.[10]陶理.关于数学悖论的认识问题[J].东北师大学报（哲学社会科学版）,1993.[10]陶理.关于数学悖论的认识问题[J].东北师大学报（哲学社会科学版）,1993.在明白上面这个问题后,我们再来讨论”星期二男孩问题”.这个问题是这样说的:一个人有两个小孩,其中有一个是生于星期二的男孩,问另一个也是男孩的概率是多少?许多人一接触到这题目以后,第一个反应便是:答案肯定是嘛.两个孩子的性别是独立的,不论一个孩子的性别是什么都不会影响到另一个(不考虑极端或特殊情况),至于题目中的"星期二",大概是一个迷惑人用的无用信息吧.当然,在经过上一个问题的分析讨论之后,我们可能好这样想:在这个”男孩”没有特指的情况下,答案肯定不是,而是,至于出生日期什么的,应该不会影响到孩子的性别吧.但是经过计算之后,我们就会发现,情况好像跟我们所想的有些不一样.我们先来做几个相似的试验,可能就会看得比较明白一点.试验1:有两个硬币,正面标有数字1,反面标有数字2.抛掷这两枚硬币,假定是在理想状态下,也就是说每一枚硬币正面朝上和反面朝上的概率是1/2.抛掷后,发现其中一枚硬币朝上一面的数字是2,问另一枚硬币朝上一面的数字是偶数的概率是多少?试验2:有两个质地均匀的骰子,每个骰子有六个面,上面分别标有1~6的数字,掷一个骰子时,哪个数字朝上是完全随机的,即每个数字朝上的概率都是.现在,投掷两个骰子,发现其中一个骰子朝上的一面是2,问另一个骰子朝上一面的数字是偶数的概率是多少?试验3:有两个转盘,每个转盘被等分为14个部分,上面分别标有1~14的数字,转盘转动并停止时,停在每个数字上的概率都是相同的,即.现在转动两个转盘,停止后,发现其中一个转盘的数字是4,问另一个转盘上的数字为偶数的概率是多少?[11][11]王新爱.浅论数学悖论的积极意义.考试周刊,2009年24期对比这三个试验,我们会发现它们有很多相似的地放:都有一个随机数产生器(硬币,骰子或转盘);都知道其中一个随机数是2,却没有特指这个随机数由哪个随机数产生器产生;都是问另一个产生的随机数是偶数的概率.而这种已经给了信息,但并没有特指情况,我们前面已经做过讨论,只需把它们的所有可能都列出来就很好计算了.我们现在分别列出这三个试验的所有可能(见下表)表格SEQ表格\*ARABIC3试验一的所有可能结果XY121(1,1)(2,1)2(1,2)(2,2)表格SEQ表格\*ARABIC4试验二的所有可能结果XY1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)表格SEQ表格\*ARABIC5试验三的所有可能结果XY123456789101112131411,12,13,14,15,16,17,18,19,110,111,112,113,114,121,22,23,24,25,26,27,28,29,210,211,212,213,214,231,32,33,34,35,36,37,38,39,310,311,312,313,314,341,42,43,44,45,46,47,48,49,410,411,412,413,414,451,52,53,54,55,56,57,58,59,510,511,512,513,514,561,62,63,64,65,66,67,68,69,610,611,612,613,614,671,72,73,74,75,76,77,78,79,710,711,712,713,714,781,82,83,84,85,86,87,88,89,810,811,812,813,814,891,92,93,94,95,96,97,98,99,910,911,912,913,914,9101,102,103,104,105,106,107,108,109,1010,1011,1012,1013,1014,10111,112,113,114,115,116,117,118,119,1110,1111,1112,1113,1114,11121,122,123,124,125,126,127,128,129,1210,1211,1212,1213,1214,12131,132,133,134,135,136,137,138,139,1310,1311,1312,1313,1314,13141,142,143,144,145,146,147,148,149,1410,1411,1412,1413,1414,14从上面三个表格可以看出,三个试验所有可能的结果分别是种,种,种.而三个表格中添加阴影的部分,分别是包含数字2,2,4的所有可能结果,分别是3种,11种,27种.而在这些结果中另一个数字也是偶数的项用粗体字标了出来.可以看到,分别有1种,5种,13种.于是,三个试验中最后所问的概率分别是讨论到这里,有些人要问了:这和”星期二”的问题有什么关系吗?当然有关系.事实上,试验三中14个数字的转盘问题,就是”星期二男孩”的一个等价描述.要将”转盘问题”转换为”星期二男孩问题”,我们只需要做以下的映射即可:于是,在”星期二男孩问题”中,已知”其中一个是生于星期二的男孩”(相当于其中一个转盘的数字是4),另一个孩子也是男孩(相当于另一个转盘上的数字为偶数)的概率就是.经过我们的计算,我们发现,似乎一个孩子的出生日期能影响到另外一个孩子的性别.这几乎是荒谬的,但我们的计算也是没有出错的.这好像形成了一个悖论.[12][12]本奇BH.数学谬误与悖论[M].陈国君,姚竭,译.呼和浩特:内蒙古人民出版社,1990:5.其实不然,导致这个荒谬结果的原因就是:所给信息的对象没有特指是哪一个.而当没有特指的时候,所给的信息越丰富,越详细,越具体,信息所指代的对象就越明确,就越接近”特指”的情况.从概率上来说,另一个孩子也是男孩的概率就越接近”特指”情况下的概率,也就是.而这种规律在上面三个试验中已经有所体现:比接近,而比更接近.因此,我们有理由认为:当给出的信息比”出生于星期二的男孩”更详细的时候,另一个孩子也是男孩的概率比要接近.事实上,当给出的信息是”出生于星期二的晚上的男孩”时,另一个孩子也是男孩的概率是,而显然要比更接近.而当所给的信息足够详细时,我们就可以认为这是”特指”的情况了.比如,但所给的信息是”出生于6月6日6时6分6秒的男孩”时,我们可以计算出另一个孩子也是男孩的概率是,其中,误差,这已经是一个相当接近的数了.[13]涂利治等.悖论与数学基础问题[J].数学研究与评论,1982,[13]涂利治等.悖论与数学基础问题[J].数学研究与评论,1982,(4):122.总结从短期来看,概率悖论还会到处存在.概率事件可能似乎反复无常和不公平,概率的错觉,事件发生的不协调,反直觉和遗留的错误观念都需要一个理解,接受和发展的过程.长期频率的经验能有助于修正一些基于对随机和概率的误解而产生的某些不相适应的行为.[14]张建军.逻辑悖论研究引论[M].南京:南京大学出版社,2002:337.[14]张建军.逻辑悖论研究引论[M].南京:南京大学出版社,2002:337.[15]冯·赖特.知识之树[M].陈波等译.北京:三联书店,2003:166.Theprobabilityafterchangingthecon