专题1.10集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（提高篇）（人教A版2019）

第一章集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（提高篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2324高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法正确的是（

）A．0与0的意义相同B．某市文明市民可以组成一个集合C．集合A=x,yD．方程x2【解题思路】根据元素与集合的定义逐一判断即可.【解答过程】A：0是集合0的一个元素，因此本选项不正确；B：因为文明市民的标准不确定，所以组成不了集合，因此本选项不正确；C：由3x+y=2⇒y=2−3x，显然给x一个自然数的值，y都有唯一的一个实数与之对应，而自然数集是无限集，因此集合A是无限集，因此本选项正确；D：x2方程x2故选：C.2．（5分）（2324高一上·重庆·期末）若“x>2a2−3”是“1≤x≤4”的必要不充分条件，则实数aA．−2,2 B．−2,2【解题思路】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果.【解答过程】因为“x>2a2−3所以2a2−3<1，即a故选：B.3．（5分）（2324高二下·重庆·期末）已知集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为（）A．m≥3 B．2≤m≤3 C．m≤3 D．m≥2【解题思路】讨论B=∅,B≠∅两种情况，分别计算得到答案.【解答过程】当B=∅时：m+1>2m−1∴m<2成立；当B≠∅时：m+1≤2m−1m+1≥−22m−1≤5解得：综上所述：m≤3故选C.4．（5分）（2324高一上·广东茂名·期中）已知命题“∃x∈R，使2x2A．aa≤−1 C．a−1≤a≤3 【解题思路】由题意可得Δ=【解答过程】因为命题“∃x∈R，使2所以2x2+(a−1)x+解得−1<a<3，故实数a的取值范围是(−1,3)．故选：B．5．（5分）（2324高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|−1<x<5,x∈N}，则满足A⊆C⊊BA．4 B．7 C．8 D．15【解题思路】由题知A=1,2，B=【解答过程】解：由题知A={x|x2−3x+2=0}=所以满足A⊆C⊊B的集合C有1,2,故集合C的个数为7个.故选：B.6．（5分）（2223高三上·河北唐山·阶段练习）设集合A=x|x<2或x≥4，B=A．a<2 B．a>2 C．a≤4【解题思路】先求得∁RA=x|2≤【解答过程】由集合A=x|x<2又集合B=xx<a故选：B.7．（5分）（2324高一上·上海松江·期末）设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为“取整函数”，如：1.6=1，−1.6=−2.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合A=x|x2A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题【解题思路】对于①，分类讨论x=0、x=1、−1<x<0、0<x<1和1<x<2五种情况分别求解即可判断；对于②，分类讨论x为整数和不为整数时原式是否成立，对于x不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即可.【解答过程】对于①：当x=0时，x2当x=1时，x2当−1<x<0时，x2−x当0<x<1时，x2−x当1<x<2时，x2则x=2∈1,2综上，A=x|对于②：当x为整数时，x+当x不为整数时，设x=a+b（a为整数，0<b<1），当0<b<12时，x+此时，x+当b=12时，x=a+12，则此时，x+当12<b<1时，x+此时，x+综上，对于任意x∈R，x故选：A.8．（5分）（2324高一上·上海·期中）设集合S为实数集R的非空子集，若对任意x∈S，y∈S，都有x+y∈S，x−y∈S，xy∈S，则称集合①若S为“完美集合”，则一定有0∈S；②“完美集合”一定是无限集；③集合A=x④若S为“完美集合”，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是“完美集合”.其中真命题是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【解题思路】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断.【解答过程】对于①，若S为“完美集合”，对任意的x∈S，0=x−x对于②，完美集合不一定是无限集，例如0，②错；对于③，集合A=x在集合A中任意取两个元素，x=a+b5，y=c+d5，其中a、b、c、则x+y=a+c+b+d5xy=ac+5bd+集合A=x对于④，S=0，T=0,1，也满足④，但是集合T不是一个完美集合，④故选：A.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2324高一上·四川乐山·阶段练习）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（

）A．∃x∈R,C．∃x∈R,x2+2x+2≤0【解题思路】若该命题是真命题，则其否定为假命题，若该命题为全称量词命题，则其否定为特称量词命题.【解答过程】对A：该命题的否定为∀x∈R又x2对B：该命题为全称量词命题，故其否定为特称量词命题，故B不符合要求；对C：该命题的否定为∀x∈R又x2对D：存在实数x=−1，使x3故D不符合要求.故选：AC.10．（5分）（2324高一上·江苏常州·阶段练习）下列四个命题中正确的是（

）A．方程x−2+y+2B．由aa+C．集合x,y3x+2y=16,x∈ND．A=a【解题思路】选项A：由二次根式和绝对值的非负性可得解集；选项B：由a，b的正负性分类可得；选项C：由3x+2y=16得y=16−3x2，故16−3x为2的倍数，取x为2的非负整数倍可得；选项D：取【解答过程】选项A：方程的解为x=2y=−2，解集为2,−2选项B：由aa+bba,b∈当a，b同为正数时，aa当a，b一正一负时，aa当a，b同为负数时，aa故由aa+b选项C：3x+2y=16,x∈Ny=16−3x2，当x=0时，y=8；当x=2时，y=5；当x=4时，故集合x,y3x+2y=16,x∈N,y∈选项D：63−a当a=−3时，63−a=1；当a=0时，63−a=2；当当a=2时，63−a故A=a故选：BC.11．（5分）（2324高一上·安徽·期中）下列命题中，正确的是（

）A．“a<b<0”是“1aB．“−2≤λ≤3”是“−1≤λ≤3”的必要不充分条件C．“x2≠yD．“x∈(A∪B)∩C”是“x∈(A∩B)∪C”的必要不充分条件【解题思路】A项：利用不等式知识即可判断；B，C项：根据充分条件与必要条件知识即可判断；D项：根据交并集知识即可判断.【解答过程】对于A项：由“a<b<0”可以推出1a对于B项：由“−2≤λ≤3”推不出“−1≤λ≤3”，但反之可以，故B项正确.对于C项：由“x2≠y对于D项：由题意知：(A∪B)∩C是(A∩B)∪C的子集，所以“x∈(A∪B)∩C”可以推出“x∈(A∩B)∪C，但反之不可以，故D项错误.故选:AB.12．（5分）（2324高一上·山东德州·阶段练习）我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁SA=x|x∈S且x∉A，类似地，对于集合A,B我们把集合x|x∈A且x∉B，叫作集合A和B的差集，记作A−B，例如：A=1,2,3,4,5,B=

A．已知A=4,5,6,7,9,B=B．已知A=x|x<−1或x>3,B=x|−2≤x<4，则C．如果A⊆B，那么A−B=∅D．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则A−B=A∩【解题思路】依题意根据A−B的定义可知，可先求出A∩B，再求出其以A为全集的补集，结合具体选项中集合的关系逐项判断，即可得出结论.【解答过程】根据差集定义B−A即为x|x∈B且x∉A，由A=4,5,6,7,9,B=3,5,6,8,9由定义可得A−B即为x|x∈A且x∉B，由A=x|x<−1或x>3,B=x|−2≤x<4，可知若A⊆B，那么对于任意x∈A，都满足x∈B，所以x|x∈A且x∉B=∅，因此A−B=∅易知A−B=x|x∈A且x∉B在图中表示的区域可表示为∁AA∩B，也即A∩故选：BCD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2324高三上·天津河西·期中）含有3个实数的集合既可表示成a,ba,1，又可表示成a2,a+b,0，则【解题思路】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果.【解答过程】因为a,b显然a≠0，故ba=0，则此时两集合分别是a,1,0,则a2=1，解得a=1或当a=1时，不满足互异性，故舍去；当a=−1时，满足题意.所以a故答案为：1.14．（5分）（2324高一上·安徽芜湖·期末）已知命题p:“∀x∈R，2kx2+kx−38<0恒成立”是真命题，则实数【解题思路】分k=0与k≠0两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数k的不等式组，由此可解得实数k的取值范围.【解答过程】已知命题p:“∀x∈R，2kx当k=0时，则有−3当k≠0时，则有2k<0Δ=k2综上所述，实数k的取值范围是−3,0.故答案为：−3,0.15．（5分）（2324高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合A={x∈Z|点(x−1,x−a)不在第一、三象限}，集合B=t1≤t<3，若“y∈B”是“y∈A”的必要条件，则实数a的取值范围是【解题思路】由必要条件得A⊆B，进而有A可能为1，2，1,2，结合集合A的描述列不等式组求对应x范围，根据可能集合情况确定参数范围即可.【解答过程】由“y∈B”是“y∈A”的必要条件，即A⊆B，由A中元素为整数，故A只可能为1，2，1,2，由点不在第一、三象限，得：x−1≥0x−a≤0或x−1≤0x−a≥0，即x≥1x≤a当a<1时，①无解，由②得a≤x≤1，此时A=x∈Za≤x≤1，故A=当a≥1时，由①②得1≤x≤a，此时A=x∈Z1≤x≤a，因1∈A，只须3∉A综上：实数a的取值范围是x0<a<3故答案为：0<a<3.16．（5分）（2024高一·上海·专题练习）设集合S，T，S⊆N∗，T⊆N∗，S，T中至少有两个元素，且（1）对于任意x，y∈S，若x≠y，则xy∈T；（2）对于任意x，y∈T，若x<y，则y下列命题正确的是④.(填序号)①若S有3个元素，则S∪T有4个元素；②若S有3个元素，则S∪T有5个元素；③若S有4个元素，则S∪T有6个元素；④若S有4个元素，则S∪T有7个元素.【解题思路】利用特殊集合验证排除选项，推出结果即可．【解答过程】解：对于①，令S=2,4,8，T=∴S∪T=2,4,8,16,32，有5个元素，∴对于②，令S=1,2,4，T=∴S∪T=1,2,4,8，有4个元素，∴②对于③，令S=2,4,8,16，T=∴S∪T=2,4,8,16,32,64,128，有7个元素，∴对于④，由题可设S=a,b,c,d其中a<b<c<d，则ab,cd∈T且ab和cd分别为集合T由性质2可知，cdab∈S且为集合S中最大的元素d，即c=ab，则同理可知，bdba,ad若a=1，则cdb=d，即若a≠1即a≥2，则d>da>db>dab，S=dab,故答案为：④．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2324高一上·甘肃武威·阶段练习）已知p:3x−1>515>2x−1>0,q:x≥3m+1(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；(2)若p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）先求出p范围，依题意p是q的充分条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解即可；（2）先写出¬q的范围，由p是¬q的必要不充分条件，则¬q表示的集合是p所表示集合的真子集，列出不等式求解即可.【解答过程】（1）因为p：3x−1>515>2x−1>0，所以p：x>212因为p是q的充分条件，所以3m+1≤2或3m−3≥8，解得m≤13或m≥113，即实数m的取值范围是（2）依题意，¬q：3m−3<x<3m+1，由（1）知p：2<x<8，又p是¬q的必要不充分条件，所以3m−3≥23m+1≤8解得53≤m≤73，即实数18．（12分）（2024高一上·全国·专题练习）已知集合A=x(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A；(3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．【解题思路】（1）利用A是空集，则Δ<0a≠0即可求出（2）对a分情况讨论，分别求出符合题意的a的值，及集合A即可；（3）分A中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解．【解答过程】（1）解：∵A是空集，∴a≠0且Δ<0∴9−8a<0a≠0，解得所以a的取值范围为：98（2）：①当a=0时，集合A={x|−3x+2=0}=2②当a≠0时，Δ=0∴9−8a=0，解得a=98，此时集合综上所述，当a=0时，集合A=23，当a=9（3）A中至少有一个元素，则当A中只有一个元素时，a=0或a=9当A中有2个元素时，则a≠0且Δ>0，即9−8a>0a≠0，解得a<9综上可得，a≤98时A中至少有一个元素，即19．（12分）（2324高二下·湖北武汉·期末）设命题p:∀x∈−1,1，使得不等式x2−2x−3+m<0恒成立；命题q:∃x∈(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）若p为真命题，即∀x∈−1，1，使得不等式x2−2x−3+m<0（2）若q为真命题，即∃x∈0,1，不等式2x−2≥m2−3m成立，则转化为对于【解答过程】（1）若p为真命题，即∀x∈−1，1则对于x∈−1，1由于x∈−1，1,（2）若q为真命题，即∃x∈0,1，不等式2x−2≥则对于x∈0,1，(2x−2)由于x∈0，1，2x−2∈−2p、q有且只有一个是真命题，则m<0m<0或m>3解得m∈(−∞20．（12分）（2324高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合P=x∈(1)若b=4，存在集合M使得P为M的真子集且M为Q的真子集，求这样的集合M；(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围.【解题思路】（1）确定P=∅，并求出集合Q，写出Q的真子集即得；（2）分类讨论，P=∅时满足题意，P≠∅时，由集合Q中的元素属于集合P，分别代入求出参数b，得集合P检验即可．【解答过程】（1）当b=4时，方程x2−3x+b=0的根的判别式Δ=又Q=x∈Rx+1由已知，得M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为−4,（2）当P=∅时，P是Q的一个子集，此时对于方程x2有Δ=9−4b<0，所以b>当P≠∅时，因为Q=−4,−1,1，所以当−1∈P−12−3×−1+b=0，即因为4∉Q，所以P不是Q的子集；同理当−4∈P时，b=−28，P=7,−4，也不是Q当1∈P时，b=2，P=1,2，也不是Q综上，满足条件的b的取值范围是bb>21．（12分）（2324高一上·山东青岛·阶段练习）已知A=x|2a−1<x≤a+1(1)若a=−12，求(2)在①A∪B=B；②A⊆A∩B；③A∩B=∅；这三个条件中任选一个，求满足条件的实数a构成的集合P注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分．【解题思路】（1）利用集合补集和交集的概念求解即可；（2）根据集合的包含关系分情况讨论即可.【解答过程】（1）当a=−12时，A=x−2<x≤1所以A∩∁（2）选①A∪B=B，则A⊆B；若A=∅，此时2a−1≥a+1，解得a≥2；若A≠∅，此时a<2，只需2a−1≥−1a+1≤3，解得0≤a<2综上满足条件的实数a构成的集合P=a|a≥0选②A⊆A∩B，则A⊆B若A=∅，此时2a−1≥a+1，解得a≥2；若A≠∅，此时a<2，只需2a−1≥−1a+1≤3，解得0≤a<2综上满足条件的实数a构成的集合P=a|a≥0选③A∩B=∅，若A=∅，此时2a−1≥a+1，解得a≥2；若A≠∅，此时a<2，只需2a−1≥3或a+1<−1，显然2a−1≥3即a≥2无解，解a+1<−