空间角度问题与距离问题讲义高考数学一轮复习

知识点一异面直线所成之角【基础指数框架】1.异面直线成角步骤：（1）_______________，转化为相交直线所成角；（2）找锐角（或直角）作为夹角；（3）利用_______________________________求解.注意：取值范围：_____________________.2.表示角的方法：（1）在中，为直角，则,,;（2）余弦定理：在中，，.【例题分析】例1．如图，四边形是边长为2的正方形，面，直线与直线所成角大小为60°．（1）求证：平面平面；（2）求异面直线与所成角大小．

例2．已知长方体中，分别是和的中点，，，，求异面直线与所成角的余弦值.【变式训练】1．如图所示，在正方体中，M、N分别为、的中点.（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的大小.

知识点二直线与平面所成之角【基础指数框架】1.直线与平面所成之角（1）定义：一条直线和一个平面_______________，但不和这个平面_______________，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的_______________叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引_______________，过_______________和_______________的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_______________，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于_______________；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于_______________．因此，直线与平面所成的角α的范围是_______________．【例题分析】例1．如图，是正方形，直线底面，，是的中点.（1）证明：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.

例2．如图，四棱锥中，底面四边形为菱形，，为等边三角形.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，，求直线与平面所成的角.【变式训练】1．（2023春·天津河北·高二学业考试）如图，已知正方体.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成的角的大小.

2．（2023春·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）如图，是⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，是圆周上不同于的一动点．(1)证明：是直角三角形；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．3．如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点.（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）求直线AC1与面BCC1B1所成角的正弦值.

知识点三平面与平面所成之角【基础指数框架】1.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形如图：在二面角中，为交线上一点，，，且___________，___________，则___________为二面角的平面角;取值范围：_________________【例题分析】例1．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，求二面角的平面角的大小.

例2．如图，三棱锥中，已知平面.求二面角的正弦值【变式训练】1．（2023春·河南开封·高一河南省杞县高中校联考期末）如图1，四边形是边长为2的正方形，将沿折叠，使点到达点的位置（如图2），且.(1)求证：；(2)求二面角的大小.

知识点四空间距离问题【基础指数框架】1.点到平面距离（1）定义：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离（2）等体积法：等体积法就是通过变换三棱锥(或四面体)的顶点、底面来求三棱锥(或四面体)的体积的方法。等体积法就是一个几何体利用不同的底面积和高来求体积，利用体积相等，可以求出某一底面所对应的高或某一条高所对应的底面积。立体几何中一般用来求点到面的距离。等体积法就是要类比等面积法。（3）求三角形面积的常见方法：2.直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．3.平面到平面的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离【例题分析】例1．（2023春·陕西宝鸡·高一宝鸡中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，且.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.

例2．（2023春·山东泰安·高一统考期末）如图，平面，，，为中点．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．【变式训练】1．三棱锥中，分别为棱的中点，