经济学第七章方差分析

2024/9/9版权所有BY统计学课程组1本章重点与难点重点:

是掌握方差分析的方法。难点:

方差分析的思想。2024/9/9版权所有BY统计学课程组2学习目标

通过本章的学习，正确理解方差分析的思想和有关概念，了解各种方法的应用条件和范围，能够应用软件进行有关的计算，能说明计算结果的含义。2024/9/9版权所有BY统计学课程组3案例

染整工艺对布的缩水率有影响吗?

某公司为考察染整工艺是否对布的缩水率有显著影响进行了试验。试验中采用三种染整工艺，分别对四种布样进行了处理，测得缩水率的百分比资料如7-1表所示:2024/9/9版权所有BY统计学课程组4问题：(1)如何判断染整工艺类型对缩水率是否有显著影响？若影响显著，应采用哪种工艺？(2)如果还有一个因素B（试验配方，共三种）也对缩水率产生作用，应该如何选择最优方案？(3)如果还有两个或者两个以上的因素也对缩水率产生作用，应该如何选择最优方案？为了回答上述问题，本章将介绍单因素方差分析、双因素方差分析和正交试验设计法的有关概念、分析思想、数学模型和方差分析表等内容。2024/9/9版权所有BY统计学课程组5第一节方差分析的基本思想第二节单因素方差分析第四节双因素方差分析第七章方差分析2024/9/9版权所有BY统计学课程组6第一节方差分析的基本思想

一、方差分析的有关概念和基本假定1、方差分析（AnalysisofVariance，ANOVA）：一种检验多个正态总体均值是否相等的统计方法。2、因素：方差分析研究的对象。3、水平：因素中的内容。4、试验指标：衡量试验结果好坏的特征值。2024/9/9版权所有BY统计学课程组7一、方差分析的有关概念和基本思想

5、单因素方差分析：若方差分析针对一个因素进行，称为单因素方差分析。6、双因素方差分析：若方差分析同时针对两个因素进行，则称为双因素方差分析。7、方差分析中的3个基本假定：（1）每个总体都服从正态分布；（2）每个总体的方差都相同；（3）观察值是相互独立的。2024/9/9版权所有BY统计学课程组8一、方差分析的有关概念和基本思想

在本章案例中，缩水率就是试验指标，染整工艺是所要检验的因素（又称因子），三种不同的工艺可看成是该因素的三种水平，故这是一个单因素三水平的试验。8、方差分析的基本思想从表7-1可知，12个数据各不相同。一方面，同一种工艺对不同种布样的缩水率是不同的，其差异可以看成是由于随机因素造成的；

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另一方面，不同工艺对各布样的缩水率也是不同的，这既可能是由于随机因素造成的，也有可能是由于染整工艺类型不同造成的。在三个基本假设的条件下，三种工艺为三个不同的总体，要判断随机因素和工艺差别哪个是造成缩水率不同的主要原因，将此归结为判断三个正态总体是否具有相同均值的问题。为此，需要首先分析各个样本之间的数据差异大小和各个样本的数据差异大小，其次分别计算它们的方差，并根据数理统计知识推断它们服从的分布，最后构造检验统计量进行检验。2024/9/9版权所有BY统计学课程组10二、显著性检验

2024/9/9版权所有BY统计学课程组11平方和分解公式：2024/9/9版权所有BY统计学课程组12

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由平方和分解公式可知，与的比值反映两种差异的大小，比值越大，说明由于因素水平不同引起的差异越显著。根据统计推断的有关定理和推论，统计量因此，F作为检验是否成立的检验统计量。2024/9/9版权所有BY统计学课程组14

对于给定的显著性水平α，由F分布表可查出相应自由度的临界值

。如果，则拒绝原假设

，此时说明因素A对试验指标起显著影响；如果，则接受原假设

，此时说明因素A的不同水平对试验指标的影响不显著。2024/9/9版权所有BY统计学课程组15第二节单因素方差分析一、各水平试验次数相等的方差分析试验次数相等的单因素方差分析的具体步骤：1．建立假设2024/9/9版权所有BY统计学课程组162．计算有关均值及平方和2024/9/9版权所有BY统计学课程组17在表7-1中增加若干计算栏，计算有关均值，如表7-3所示。2024/9/9版权所有BY统计学课程组182024/9/9版权所有BY统计学课程组193．列方差分析表2024/9/9版权所有BY统计学课程组20对于本章案例，方差分析表如表7-5所示：2024/9/9版权所有BY统计学课程组214．统计决策

2024/9/9版权所有BY统计学课程组22二、试验次数不等的方差分析2024/9/9版权所有BY统计学课程组23

例7.1为了对几个行业的服务质量进行评价，某市消费者协会对该地的旅游业、居民服务业、公路客运业和保险业分别抽取了不同数量的企业。每个行业中的这些企业在服务内容、服务对象、企业规模等方面基本相同。经统计，最近一年消费者对这23家企业投诉的次数资料如表7-7所示，消费者协会想知道:这几个行业之间的服务质量是否有显著差异？如果有，究竟是在哪些行业之间？如果能找出哪些行业的服务质量最差，就可以建议对消费者权益保护法中该行业的某些条款作出修正。2024/9/9版权所有BY统计学课程组242024/9/9版权所有BY统计学课程组25解(1)建立假设不全相等(2)计算有关均值及平方和

2024/9/9版权所有BY统计学课程组26(3)列方差分析表(表7-8)2024/9/9版权所有BY统计学课程组27(4)统计决策对于显著性水平由于检验统计量，所以拒绝原假设，即有95%的把握认为不同的行业之间投诉的差异显著。2024/9/9版权所有BY统计学课程组28Excel中方差分析的计算步骤(1)点击“工具”栏中的数据分析项；(2)在分析工具框中连击“单因素方差分析”；(3)在对话框的“数据区域”框中键入B3：D6；在α框中保持0.05不变（也可根据需要变为0.01）；在“输出选项”中键入A8；选择“确定”，输出结果如表7-9所示：2024/9/9版权所有BY统计学课程组29由于P=0.020715<0.05，故拒绝原假设，即有95%的把握认为三种染整工艺缩水率的差异是显著的。2024/9/9版权所有BY统计学课程组30三、方差分析中的多重比较最小显著差异法的基本步骤为：第一步：提出原假设：第二步：计算各检验统计量的值；第三步：计算LSD，其公式为：第四步：根据显著性水平进行决策：如果的值，则拒绝；否则，则接受2024/9/9版权所有BY统计学课程组31对于例7.1，对四个行业的均值进行多重比较（=0.05）由题意及计算可知，第一步：提出假设2024/9/9版权所有BY统计学课程组32第二步：计算检验统计量的值第三步：计算LSD。2024/9/9版权所有BY统计学课程组332024/9/9版权所有BY统计学课程组34第四步：进行决策2024/9/9版权所有BY统计学课程组35第三节双因素方差分析一、无交互作用的双因素方差分析若记一因素为因素A，另一因素为因素B，对A与B同时进行分析，就属于双因素方差分，即判断是否有某一个或两个因素对试验指标有显著影响，两个因素结合后是否有新效应。在统计学中将各个因素的不同水平的搭配所产生的新的影响称为交互作用。我们先讨论无交互作用的双因素方差分析问题，对于有交互作用的双因素方差分析问题稍后再讨论。2024/9/9版权所有BY统计学课程组36

假定因素A有r个水平：；因素B有s个水平：。在A的r个水平与B的s个水平的每种组合下作一次试验，可得无交互作用的双因素方差分析的数据结构如表7-10所示：2024/9/9版权所有BY统计学课程组372024/9/9版权所有BY统计学课程组38在表7-10中：2024/9/9版权所有BY统计学课程组392024/9/9版权所有BY统计学课程组40

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例7.2为提高某种产品的合格率，考察原料用量和来源地对其是否有影响。原料来源地有三个：甲、乙、丙；原料用量有三种：现有量、增加5%、增加8%。每个水平组合各作一次试验，得到的数据如表7-12所示。试分析原料用量和来源地对产品合格率的影响是否显著？2024/9/9版权所有BY统计学课程组45表7-12产品合格率数据2024/9/9版权所有BY统计学课程组462024/9/9版权所有BY统计学课程组47(3)列方差分析表2024/9/9版权所有BY统计学课程组48(4)统计决策对于显著性水平=0.05，查表得临界值因为即根据现有数据，有95%的把握可以推断原料来源地对产品合格率的影响不大，而原料用量对合格率有显著影响。由于为最优水平。既然原料来源地对产品合格率的影响不显著，在保证质量的前提下，可以选择运费最省的地方作为原料来源地选择时的首选。如果丙地的运费最省，则最优方案为。

2024/9/9版权所有BY统计学课程组49Excel应用以例7.2为例，设数据输入到Excel工作表的区域为A1:C3，再按以下步骤进行：(1)点击“工具”栏中的数据分析项。(2)分析工具框中连击“方差分析：无重复的双因素方差分析”。(3)在对话框的“数据区域”框中键入A1:C3；在框中保持0.05不变（也可根据需要变为0.01）；在“输出选项”中键入A5；选择“确定”，输出结果如表7-14所示：2024/9/9版权所有BY统计学课程组50

2024/9/9版权所有BY统计学课程组51二、有交互作用的双因素方差分析

所谓交互作用，简单来说就是各因素不同水平的组合对试验指标的复合作用，因素A和B的综合效应不是二因素效应的简单相加。为了能分辨出两个因素的交互作用，一般在每个组合下试验至少作两次。2024/9/9版权所有BY统计学课程组52表7-15有交互作用的双因素方差分析数据结构2024/9/9版权所有BY统计学课程组532．建立假设2024/9/9版权所有BY统计学课程组542024/9/9版权所有BY统计学课程组55对这一模型可设如下三个假设：2024/9/9版权所有BY统计学课程组563．方差分析与单因素方差分析的平方和分解类似，有2024/9/9版权所有BY统计学课程组572024/9/9版权所有BY统计学课程组582024/9/9版权所有BY统计学课程组59表7.16双因素（有交互作用）方差分析表2024/9/9版权所有BY统计学课程组60例7.3

某公司想将橡胶、塑料和软木的板材冲压成密封垫片出售。市场上有两种不同型号的冲压机可供选择。为了能对冲压机每小时所生产的垫片数进行比较，并确定哪种机器使用何种材料生产垫片的能力更强，该公司使用每台机器对每一种材料分别运行三段时间，得到的试验数据（每小时生产的垫片数）如表7-16所示，试运用方差分析确定最优方案。2024/9/9版权所有BY统计学课程组612024/9/9版权所有BY统计学课程组62解(1)建立假设：(2)计算相应的均值和平方和：2024/9/9版权所有BY统计学课程组632024/9/9版权所有BY统计学课程组64(3)列方差分析表（7-19）2024/9/9版权所有BY统计学课程组65(4)统计决策由于,说明不