第三章《函数概念与性质》综合检测卷

第三章《函数概念与性质》综合检测卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复合函数定义域的求法进行求解.【详解】由题意可知，要使有意义，则，解得，所以函数的定义域为．故选：D．2．幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（

）

A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】D【分析】根据幂函数的性质即可求解.【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增，且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线；当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线，是曲线；综上所述幂函数，，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，.故选：D.3．已知，对任意的，均有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】由题意把恒成立问题转化为恒成立，分类讨论，分离参数求解函数最值即可求解.【详解】当时，由得，化简得，即，易知，当时，，由题意，而函数在上无最大值，所以不合题意；当时，，由题意，因为函数在上的最大值为1，所以，即，解得（舍去）或，所以；综上，实数的取值范围是.故选：A4．若是偶函数且在上为增函数，又，则不等式的解集为（

）A． B．或C．或 D．或【答案】A【分析】利用函数为偶函数将所求不等式变形为，利用该函数在区间上的单调性可得出，解此不等式即可得解.【详解】由于函数为偶函数，则，且函数在上为增函数，由，可得，，即，解得.因此，不等式的解集为.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，考查计算能力，属于中等题.5．设函数，若的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出函数的值域，要使函数的值域为，则函数的最大值需要大于等于1，据此列出不等式即可求出结果.【详解】易知函数的值域，要使函数的值域为，则函数的最大值必须大于等于1，即，解之得，故选：A.【点睛】本题主要考查了分段函数的值域问题，同时考查了指数函数和一次函数的值域问题，属于中档题.6．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则的解集是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用的奇偶性与单调性求得与的解，从而分类讨论即可得解.【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，又在上是增函数，，当时，不成立；当时，由，得，则，故或；由，得，则，故或；而由，得或，解得或，即的解集为.故选：A.7．如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】分类讨论重合部分的形状，然后利用面积公式将y关于x的函数表示出来即可.【详解】于D，，,,且故当时，重合部分为三角形，三角形的高，面积，函数图像为开口向上的二次函数，故排除A选项；当时，重合部分为直角梯形，上底长为，下底长为，高为4，故，函数图像为一条直线，故排除D选项；当时，重合部分可以看作两个直角梯形，左边直角梯形的上底长为，高为两个梯形下底长均为，右边直角梯形上底长为，高为，故，图像为开口下的二次函数，且对称轴为，故排除B选项；故选：C8．已知定义在R上的函数满足，，当时，，函数，则下列结论错误的是（

）A．B．的图象关于直线对称C．的最大值为D．的图象与直线有8个交点【答案】D【分析】确定函数是周期函数，由周期性判断A，分类讨论确定函数的解析式并得出函数的周期性，作出函数图象，由图象判断BC，结合直线判断D．【详解】对于A项，由题意知,所以，所以是定义域为且以4为一个周期的奇函数，所以，，同理，0，故A项正确．对于项，因为是以4为一个周期的函数，所以也是以4为一个周期的函数，当时，，所以当时，，所以当时，，所以，得到当时，，当时，，得到当时，，则当时，，当时，，当时，1），则当时，，所以当时，易知也是以4为一个周期的周期函数，作出的图象，如图，可知在处取得最大值，所以，故C项正确；对于B项，由图象知图象的对称轴为，易知当时，，故项正确；对于D项，作出直线的图象，因为当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，和联立得0，所以的图象与直线共有9个交点，故D项错误．故选：D．

【点睛】方法点睛：由函数的奇偶性与对称性确定周期性，利用已知式确定的解析式，作出函数图象，利用数形结合思想求解．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知定义在上的函数，对任意的满足，下列说法正确的是（

）A．若为一次函数，则B．若为一次函数，则C．若不是一次函数且，则D．若不是一次函数且，则【答案】BCD【分析】根据题意，令，列出方程组，求得的值，得到函数的解析式，再结合赋值法，求得的值，即可求解.【详解】若为一次函数，令，由又由，因为，可得，即，解得或，当时，；当时，，所以当为一次函数时，或，所以A不正确；令，可得，所以B正确；令，则，因为，令，所以，所以C正确；令，则，由，令，所以，故D正确.故选：BCD.10．若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有；（2）对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据“理想函数”的定义可判断出函数应具有的性质，即为奇函数且在定义域上单调递减，由此一一判断各选项中的函数是否具有这两个性质，即可得答案.【详解】由题意知对于定义域内的任意x，有，则为奇函数；对于定义域内的任意，当时，有，为定义域内的减函数；对于A，的定义域为R，函数为偶函数，不符合题意；对于B，的定义域为R，函数为奇函数，在R上单调递减，符合题意；对于C，定义域为，在上均单调递增，函数图象在处是不连续的，故在定义域上函数不是减函数，不符合题意；对于D，，作出其图象如图示：可知该函数在定义域上为奇函数，且单调递减，符合题意，故选：BD11．已知函数的定义域为，对定义域内任意的，当时，都有，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．函数和在上有相同的单调性【答案】C【分析】根据函数不等式恒成立分别应用各个选项判断即可.【详解】对于A：，，因为，所以，因为，所以恒成立，又因为不相等，所以，A选项错误；对于B：，所以恒成立，所以，又因为不相等，，所以，又，，，，所以，所以，B选项错误；对于C:因为不相等，不妨设，因为，所以，所以，C选项正确，对于D：不妨设在上单调递增，任取，满足，则，因为，所以，所以，所以单调递减，D选项错误.故选：C.【点睛】方法点睛：结合已知条件及函数单调性定义判断单调性，结合三角不等式判断绝对值不等式范围.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知命题：函数在区间上单调递增，命题：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是.【答案】【分析】根据题意可得命题：，由是的充分不必要条件，可得是的真子集，即可得到答案.【详解】因为函数在区间上单调递增，所以，解得：，又因为是的充分不必要条件，则是的真子集，即的取值范围是故答案为：13．已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是．【答案】【分析】对，都，使得成立，等价于恒成立，对的取值进行分类讨论，利用单调性求出和，列出关于的不等式组求得答案.【详解】函数，在上单调递增，所以，当时，在区间上单调递增，，所以，解得，又因为，所以，解得；当时，在区间上单调递增，其最小值为，所以有，解得，当时，在区间上单调减，在上单调增，其最小值为，所以有，解得，当时，在区间上单调减，，此时，无解；所以的取值范围是，故答案为：.14．已知定义在（0，3]上的函数的值域为[4，5]，若，则a+b的值为.【答案】7【解析】将函数变形为，令，，由，利用对勾函数的性质求解.【详解】因为，令，所以，因为，所以，所以在上递减，在递增，所以①，又，所以②，所以，由①②得或，因为，所以所以a+b=7故答案为：7【点睛】关键点点睛：本题关键是将函数变形为，由，确定为对勾函数.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．已知幂函数为偶函数，．(1)求的解析式；(2)若对于恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根据幂函数定义得到或，再根据为偶函数判断即可.（2）将题意转化为对于恒成立，再利用基本不等式即可得解.【详解】（1）因为幂函数为偶函数，所以，解得或，当时，，定义域为R，，所以为偶函数，符合条件；当时，，定义域为R，，所以为奇函数，舍去；所以.（2）因为，所以对于恒成立，即对于恒成立，等价于对于恒成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，故，则.16．新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本）(2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】(1)(2)年产量为90百辆时利润最大，最大利润为2820万元.【分析】（1）根据利润销售量售价成本，表示出利润关于产量的关系式即可，注意单位的统一；（2）分段函数的最值问题，先分别求出两个范围内的最大值，然后比较哪个最大哪个就是整个分段函数的最大值.【详解】（1）每辆车售价5万元，年产量（百辆）时销售收入为万元，总成本为，所以.所以年利润.（2）由（1）当时，（百辆）时（万元），当时，当且仅当（百辆）时，等号成立，因为2820万元万元,所以年产量90百辆时利润最大，最大利润为2820万元.17．设函数．(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论；(2)若，求函数的值域．【答案】(1)函数在上单调递增；证明见解析(2)【分析】（1）

通过定义法作差判断正负求解；（2）

由，由复合函数的单调性知函数在上单调递增，在上单调递减，即可求解．【详解】（1）函数在上单调递增；证明：任取，且，则因为，所以，所以，得，所以函数在上单调递增；（2）解：因为，则，，所以，由（1）的证明过程知，函数在上单调递减，所以由复合函数的单调性可得，函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又，显然，故，所以函数的值域为：18．已知定义在上的偶函数，且．(1)求函数的解析式；(2)解关于的不等式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数的奇偶性以及求得，也即求得的解析式.（2）先判断的单调性，根据单调性和奇偶性化简不等式，由此求得不等式的解集.【详解】（1）∵是定义在上的偶函数，∴，，即，又，即，解得，所以，经检验符合题意．（2）由（1）知：，∴在上为单调递减函数，因为，即，又∵为偶函数，可得，综上可得：，

解得或，所以不等式的解集为．19．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”.(1)判断函数是否为“利普希兹条件函数”，并说明理由；(2)若函数是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的，均有.【答案】(1)与是“利普希兹条件函数”，理由见解析(2)证明见解析【分析